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第四章 因式分解 单元测试（提高卷）
（考试时间：90分钟 分值：120分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．下列由左边到右边的变形，属于因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
2．下列因式分解结果正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．多项式的公因式是（ ）
A． B． C． D．3
4．因式分解：（ ）
A． B．
C． D．
5．将关于的一元二次方程变形为，就可以将表示为关于的一次多项式，从而达到“降次”的目的，又如，我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式．根据“降次法”，已知：，且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
6．下列多项式中，可以使用平方差公式进行因式分解的是（ ）
A． B． C． D．
7．给出下面四个多项式：①；②；③；④，其中含因式的多项式有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．下列各式可直接用完全平方公式分解因式的有（ ）
①；②；③；④．
A．①②④ B．②③④ C．①②③ D．①③④
9．当，，且时，的值（ ）
A．总是为正 B．总是为负
C．可能为正，也可能为负 D．不能确定正负
10．已知有一个因式，则的值是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
11．分解因式 ．
12．已知，，则的值为 ．
13．因式分解： ．
14．已知是方程的一组解．则的值等于 ．
15．分解因式： ．
16．已知含有的代数式，则 ．
17．边长为a，b的长方形的周长14，面积10，则的值为 ．
18．配方法是数学中非常重要的一种思想方法，它是指将一个式子或将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决问题．
定义：若一个整数能表示成（a，b为整数）的形式，则称这个数为“完美数”．
例如，5是“完美数”，理由：因为，所以5是“完美数”已知34是“完美数”，请将它写成（a，b为整数）的形式 ；若是整数，k是常数，且为“完美数”，则 ．
三、解答题（第19、20题每题6分，第21，22，23，24题每题8分，第25题10分，第26题12分，共66分）
19．把下列各式分解因式：
(1)； (2)．
20．将下列多项式因式分解：
(1)； (2)．
21．先因式分解，再计算求值：，其中，．
22．（1）因式分解：；
（2）已知，，求的值．
23．小刚同学动手剪了如图①所示的正方形与长方形纸片若干张．
(1)他用1张1号、1张2号和2张3号卡片拼出一个新的图形（如图②）．根据这个图形的面积关系写出一个你所熟悉的乘法公式，这个乘法公式是__________．
(2)如果要拼成一个长为，宽为的大长方形，则需要2号卡片__________张，3号卡片__________张；
(3)当他拼成如图③所示的长方形，根据8张小纸片的面积和等于大纸片（长方形）的面积可以把多项式分解因式，其结果是__________；
(4)动手操作，请依照小刚的方法，利用拼图分解因式，并画出拼图的图形．
24．阅读与思考
我们熟知的因式分解的方法有提取公因式法、公式法和十字相乘法．但有时遇到了四项及以上的多项式要进行因式分解时，就往往不知从何下手了．因此，针对四项及以上的多项式因式分解，我们通常使用的方法是分组分解法：将多项式分成多个小组，每个小组单独进行因式分解，再利用提取公因式法或者公式法对整体进行因式分解．请观察以下使用分组分解法进行因式分解的过程： ．
请使用分组分解法解决以下问题：
(1)分解因式：．
(2)已知a，b，c满足，请判断b与c的大小关系并说明理由．
25．阅读材料：
①用配方法因式分解：．
解：原式．
②若，利用配方法求M的最小值．
解：．
∵，
∴当时，M有最小值1．
请根据上述材料解决下列问题：
(1)在横线上添上一个常数项使之称为完全平方式：_________．
(2)用配方法因式分解：．
(3)若，求M的最大值．
26．阅读理解并解答：
我们把多项式 叫做完全平方式，在运用完全平方公式进行因式分解时，关键是判断这个多项式是不是一个完全平方式．同样地，把一个多项式进行部分因式分解可以来解决求代数式值的最大（或最小）值问题．
例如：
∵是非负数， 即
则这个代数 的最小值是2，这时相应的x的值是；
，
是非负数，即
则这个代数式 的最小值是 ，这时相应的x的值是 2
【知识再现】（1）当 时， 代数式 的最小值是 ；
【知识运用】 （2）若 ；当 时，y有最 值（填“大”或“小”），这个值是 ；
【知识拓展】 （3）若 求的最小值．中小学教育资源及组卷应用平台
第四章 因式分解 单元测试（提高卷）
（考试时间：90分钟 分值：120分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．下列由左边到右边的变形，属于因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查因式分解的定义，根据因式分解的定义，把一个多项式化成几个整式的积的形式，据此进行判断即可．
【详解】解：A、，不是对多项式进行变形，故本选项不符合题意；
B、，等式右边不是整式的积的形式，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
C、，属于整式的乘法，不是因式分解，故本选项不符合题意；
D、，是因式分解，选项正确，故本选项符合题意．
故选：D．
2．下列因式分解结果正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查因式分解的定义和用完全平方公式分解因式，根据因式分解的定义和完全平方公式，即可解答，掌握因式分解的定义和会运用完全平方公式分解因式是关键．
【详解】解： A、是整式的乘法，不是因式分解，故不符题意；
B、先提取公因式a，再用完全平方公式分解因式，，故符合题意；
C、没有把多项式化成乘积的形式，故不符题意；
选D、所化的结果不完全是整式，故不符题意；
故选：B．
3．多项式的公因式是（ ）
A． B． C． D．3
【答案】C
【分析】本题主要考查了求公因式，（1）公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数；（2）字母取各项都含有的相同字母；（3）相同字母的指数取次数最低的；据此求解即可．
【详解】解：多项式的公因式是，
故选：C．
4．因式分解：（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查提公因式法分解因式，提公因式x即可求解．
【详解】解：，故选：A．
5．将关于的一元二次方程变形为，就可以将表示为关于的一次多项式，从而达到“降次”的目的，又如，我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式．根据“降次法”，已知：，且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了代数式求值，先由得到，再利用“降次法”将转化为，进一步得到，据此可得答案．
【详解】解：∵，∴．∴，
，，故选：C。
6．下列多项式中，可以使用平方差公式进行因式分解的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】此题考查平方差公式分解因式．根据平方差公式：两个数平方的差，等于这两个数的和与差的平方解答．
【详解】解：A、，不能用平方差公式分解因式，本选项不符合题意；
B、，能用平方差公式分解因式，本选项符合题意；
C、，不能用平方差公式分解因式，本选项不符合题意；
D、，不能用平方差公式分解因式，本选项不符合题意；
故选：B．
7．给出下面四个多项式：①；②；③；④，其中含因式的多项式有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】本题考查提取公因式和公式分解因式，先分解因式，再做判断，熟练掌握因式分解的方法是解题关键．
【详解】解：①；②；③；
④不能分解因式；其中含有因式的多项式为：①②③，共3个，故选C．
8．下列各式可直接用完全平方公式分解因式的有（ ）
①；②；③；④．
A．①②④ B．②③④ C．①②③ D．①③④
【答案】D
【分析】本题考查因式分解，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．根据完全平方公式：；结合所给的多项式，分别进行判断即可．
【详解】解：①，
故①能直接用完全平方公式分解因式；
②不能用完全平方公式分解因式；
③，
故③能直接用完全平方公式分解因式；
④，
故④能直接用完全平方公式分解因式；故选：D．
9．当，，且时，的值（ ）
A．总是为正 B．总是为负
C．可能为正，也可能为负 D．不能确定正负
【答案】A
【分析】本题考查了因式分解的应用，把原式变形后利用平方差公式因式分解得到，然后分别判断出，，即可得出结论．
【详解】解∶
，∵，，且，
∴，，∴，即，
∴总是为正，故选∶A．
10．已知有一个因式，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查因式分解的知识，解题的关键是掌握求解的方法，设该多项式的另一个因式是 ，再利用多项式的乘法即可求解．
【详解】解：设该多项式的另一个因式是，
∴，
∴，，解得：，∴．
故选：C．
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
11．分解因式 ．
【答案】
【分析】本题考查了用提取公因式法因式分解，解题的关键是正确找出公因式．提取公因式，即可解答．
【详解】解：根据题意得：，
故答案为：．
12．已知，，则的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查因式分解的应用，二次根式的运算，将因式分解为，把已知条件整体代入，运用二次根式的运算即可求解．熟练掌握因式分解和二次根式的计算是解题的关键．
【详解】∵，
∴
．故答案为：
13．因式分解： ．
【答案】
【分析】本题主要考查了分解因式，直接利用平方差公式分解因式即可．
【详解】解：．
故答案为：．
14．已知是方程的一组解．则的值等于 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了二元一次方程的解的定义，代数式求值，平方差公式，先把代入原方程得到，再利用平方差公式把原式变形为，进一步变形得到，据此求解即可．
【详解】解：把代入方程，得，
∴，∴
，
故答案为：．
15．分解因式： ．
【答案】
【分析】本题考查了因式分解，先提公因式，再利用完全平方公式因式分解即可，掌握因式分解的方法是解题的关键．
【详解】解：，
故答案为：．
16．已知含有的代数式，则 ．
【答案】
【分析】此题考查了完全平方公式的应用，解题的关键是掌握完全平方公式，利用整体代入思想求解．先将化为，再将代入计算即可．
【详解】解：∵，∴，
∴，
故答案为：6．
17．边长为a，b的长方形的周长14，面积10，则的值为 ．
【答案】490
【分析】本题主要考查了因式分解的应用．根据题意可得：，，再将代数式进行因式分解，代入即可求解．
【详解】解：∵边长为a，b的长方形的周长为14，面积为10，
∴，，
∴．
故答案为：490．
18．配方法是数学中非常重要的一种思想方法，它是指将一个式子或将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决问题．
定义：若一个整数能表示成（a，b为整数）的形式，则称这个数为“完美数”．
例如，5是“完美数”，理由：因为，所以5是“完美数”已知34是“完美数”，请将它写成（a，b为整数）的形式 ；若是整数，k是常数，且为“完美数”，则 ．
【答案】 /
【分析】此题考查了配方法和完全平方公式的应用，弄清题中的新定义是解本题的关键．运用题中的新定义结合配方的方法确定出所求即可．
【详解】解：，
写成（a，b为整数）的形式为；
，且为“完美数”，
，；
故答案为：；5．
三、解答题（第19、20题每题6分，第21，22，23，24题每题8分，第25题10分，第26题12分，共66分）
19．把下列各式分解因式：
(1)； (2)．
【分析】本题主要考查了分解因式：
（1）先提取公因数6，再利用完全平方公式分解因式即可；
（2）先利用平方差公式分解因式，再利用完全平方公式分解因式即可．
【详解】（1）解：；
（2）解：．
20．将下列多项式因式分解：
(1)； (2)．
【分析】本题主要考查了因式分解，解题关键是熟练掌握因式分解的常用方法．
（1）首先根据完全平方公式将原式整理为，再利用平方差公式进行因式分解；
（2）将原式整理为，然后提公因式即可．
【详解】（1）解：原式；
（2）解：原式．
21．先因式分解，再计算求值：，其中，．
【答案】，
【分析】本题考查了综合提公因式和公式法进行因式分解，代数式求值．熟练掌握综合提公因式和公式法进行因式分解，代数式求值是解题的关键．
综合提公因式和公式法进行因式分解即可，然后代值求解即可．
【详解】解：
，
将，代入得，．
22．（1）因式分解：；
（2）已知，，求的值．
【答案】（1）；（2），36
【分析】本题考查因式分解，熟记乘法公式并灵活运用是解答的关键．
（1）利用平方差公式求解即可；
（2）先提公因式，再利用完全平方公式化简原式，再代值求解即可．
【详解】解：（1）
；
（2），
∵，，∴原式．
23．小刚同学动手剪了如图①所示的正方形与长方形纸片若干张．
(1)他用1张1号、1张2号和2张3号卡片拼出一个新的图形（如图②）．根据这个图形的面积关系写出一个你所熟悉的乘法公式，这个乘法公式是__________．
(2)如果要拼成一个长为，宽为的大长方形，则需要2号卡片__________张，3号卡片__________张；
(3)当他拼成如图③所示的长方形，根据8张小纸片的面积和等于大纸片（长方形）的面积可以把多项式分解因式，其结果是__________；
(4)动手操作，请依照小刚的方法，利用拼图分解因式，并画出拼图的图形．
【详解】（1）解：由图得，正方形面积为，或为，
，故答案为：；
（2），
需要2号卡2个，三号卡3个，故答案为：2，3；
（3）长方形面积为，或为，
，
故答案为：；
（4），
如图所示，
故答案为：．
24．阅读与思考
我们熟知的因式分解的方法有提取公因式法、公式法和十字相乘法．但有时遇到了四项及以上的多项式要进行因式分解时，就往往不知从何下手了．因此，针对四项及以上的多项式因式分解，我们通常使用的方法是分组分解法：将多项式分成多个小组，每个小组单独进行因式分解，再利用提取公因式法或者公式法对整体进行因式分解．请观察以下使用分组分解法进行因式分解的过程： ．
请使用分组分解法解决以下问题：
(1)分解因式：．
(2)已知a，b，c满足，请判断b与c的大小关系并说明理由．
【分析】本题考查因式分解分组分解法，理解题意并掌握分组分解法是解题的关键．
（1）运用题中所给定的方法即分组分解法因式分解即可；
（2）运用分组分解法可得，再根据推导，从而得解．
【详解】（1）解：
（2）因为，所以，
所以，所以．因为，，所以，
所以所以．
25．阅读材料：
①用配方法因式分解：．
解：原式．
②若，利用配方法求M的最小值．
解：．
∵，
∴当时，M有最小值1．
请根据上述材料解决下列问题：
(1)在横线上添上一个常数项使之称为完全平方式：_________．
(2)用配方法因式分解：．
(3)若，求M的最大值．
【分析】本题考查利用配方法进行因式分解、求最值：
（1）根据完全平方式的结构特点求解；
（2）将变形为，再利用完全平方公式、平方差公式求解；
（3）通过配方将原式变形为，可得最值．
【详解】（1）解：，故答案为：4；
（2）解：
；
（3）解：
∴当时，M有最大值3．
26．阅读理解并解答：
我们把多项式 叫做完全平方式，在运用完全平方公式进行因式分解时，关键是判断这个多项式是不是一个完全平方式．同样地，把一个多项式进行部分因式分解可以来解决求代数式值的最大（或最小）值问题．
例如：
∵是非负数， 即
则这个代数 的最小值是2，这时相应的x的值是；
，
是非负数，即
则这个代数式 的最小值是 ，这时相应的x的值是 2
【知识再现】（1）当 时， 代数式 的最小值是 ；
【知识运用】 （2）若 ；当 时，y有最 值（填“大”或“小”），这个值是 ；
【知识拓展】 （3）若 求的最小值．
【详解】解：（1），∵是非负数， 即，
∴，∴当时， 代数式 的最小值是3，
故答案为：3，3；
（2），∵，∴，
∴，∴当时，有最大值，最大值为，
故答案为：1，大，；
（3）∵，∴，∴，
∵，∴，∴当时， 的最小值是．
