24.1 一元二次方程
能力点1由一元二次方程的定义确定字母的取值
题型导引关于x的整式方程是一元二次方程，未知数的最高次数是2，且二次项的系数不是0，确定字母系数的取值．
【例1】若关于x的方程(3m2＋m－4)x|m＋1|－5x＝12是一元二次方程，求m的值．
分析：根据一元二次方程的概念可知，未知数的最高次数应是2，且二次项的系数不能为零．
解：由题意知|m＋1|＝2，解之，得m＝1或m＝－3.
当m＝1时，3m2＋m－4＝0，当m＝－3时，3m2＋m－4≠0.
因为3m2＋m－4≠0，所以满足条件的m值为－3.
规律总结解决此类问题，应根据一元二次方程中所含字母要满足的条件“①未知数的最高次数是2；②二次项的系数不为0”建立方程和不等式，求出相关字母的值，然后求代数式的值．
变式训练
1．若关于x的方程(k－3)x|k|－1－x－2＝0是一元二次方程，求不等式kx－2k＋6≤0的解集，并将解集在数轴上表示出来．
2．已知关于x的方程(m2－16)x2＋(m＋4)x－9＝0.
(1)当m为何值时，此方程是一元一次方程？并求出此时方程的解．
(2)当m为何值时，此方程是一元二次方程？并写出这个方程的二次项系数、一次项系数及常数项．
分析解答
1．分析：根据一元二次方程的定义列出方程和不等式确定k的值(注意隐含条件二次项系数不为0)，然后代入不等式解不等式．
解：由题意知解得k＝－3，所以不等式为－3x－2×(－3)＋6≤0，即－3x＋12≤0，解得x≥4.不等式的解集在数轴上表示为
2．分析：要根据一元一次方程和一元二次方程的概念进行解题，一元一次方程的未知数的最高次数是1，所以不含有二次项，即(m2－16)x2的系数为0，；而一元二次方程的未知数的最高次数是2，所以(m2－16)x2的系数不等于0.
解：(1)根据一元一次方程的定义可知m2－16＝0，m＋4≠0，解得m＝4，
此时化简方程为8x－9＝0，解得x＝.
(2)根据一元二次方程的定义可知m2－16≠0，解得m≠±4.
该方程的二次项系数为m2－16(m≠±4)；一次项系数为m＋4；常数项为－9.
能力点2根据一元二次方程的根的意义判断字母之间的关系
题型导引若已知一元二次方程的根，根据根的意义，将根代入到原方程中，以便确定字母的关系．
【例2】已知一元二次方程ax2－8x＋b＝0的两根为x1＝3，x2＝－，求这个方程．
分析：将方程的两个根分别代入方程中，得到关于a，b的方程组，解方程组便可求出a，b的值，进而求出这个方程．
解：将x1＝3，x2＝－代入方程ax2－8x＋b＝0中，得解得
所以这个一元二次方程是3x2－8x－3＝0.
规律总结解决此类问题常采用将方程的两根代入方程中得出关于字母的方程组是解题的关键．
变式训练
已知关于x的一元二次方程(m－1)x2＋3x－5m＋4＝0有一根为2，则m＋1＝______．
解析：把x＝2代入方程得4(m－1)＋6－5m＋4＝0，解得m＝6，所以m＋1＝7.
答案：724.2 解一元二次方程
能力点1根的判别式
题型导引利用根的判别式确定一元二次方程根的情况，或是根据根的情况，利用根的判别式确定某些字母的取值情况．
【例1－1】一元二次方程5x2－7x＋5＝0的根的情况是( )
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
解析：因为a＝5，b＝－7，c＝5，所以b2－4ac＝(－7)2－4×5×5＝－51<0，所以此方程没有实数根．
答案：D
规律总结一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 (a≠0)根的情况可由b2－4ac来判定，这样我们不解方程就可以判断方程根的情况． b2－4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的判别式，通常用“Δ”来表示，当b2－4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；当b2－4ac＝0时，方程有两个相等的实数根；当b2－4ac＜0时，方程没有实数根．反之，同样成立．
【例1－2】若关于x的一元二次方程kx2－2x－1＝0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是( )
A．k＞－1 B．k＜1，且k≠0 C．k≥－1，且k≠0D．k＞－1，且k≠0
解析：根据条件得(－2)2－4×k×(－1)＞0，且k≠0；解得k>－1，且k≠0，所以选D.
答案：D
规律总结根据一元二次方程的根的情况计算相关字母的取值范围是中考的热点之一，需要利用方程的根的情况，计算b2－4ac的值并构建相应的不等式或者方程，结合二次项的系数特征确定系数中的字母的取值范围．
变式训练
1．已知一元二次方程：①x2＋2x＋3＝0，②x2－2x－3＝0.下列说法正确的是( )
A．①②都有实数解 B．①无实数解，②有实数解
C．①有实数解，②无实数解 D．①②都无实数解
2．已知关于x的一元二次方程x2＋2x＋2k－4＝0有两个不相等的实数根，求k的取值范围．
分析解答
1．解析：求出方程①、②的判 ( http: / / www.21cnjy.com )别式，方程①的判别式Δ＝4－12＝－8，则方程①没有实数解；方程②的判别式Δ＝4＋12＝16，则方程②有两个不相等的实数解．
答案：B
2．分析：根据方程有两个不相等的实数根，得到方程的判别式的值大于0，列出关于k的不等式，求出不等式的解集即可得到k的取值范围．
解：根据题意得Δ＝4－4(2k－4)＝20－8k＞0，解得k＜.
能力点2一元二次方程解法的合理选择
题型导引根据一元二次方程的特征，选取最为合适的解法，进行求解．
【例2】用适当的方法解下列方程．
(1)(x－3)2＝100；(2)x2－16x＝9936；
(3)x2－2500x＝0；(4)2x2＝3x＋6.
解：(1)直接开平方，得x－3＝±10，
即x－3＝10，或x－3＝－10.
所以x1＝13，x2＝－7.
(2)配方，得x2－16x＋64＝9936＋64，
即(x－8)2＝10000，所以x－8＝±100.
所以x1＝108，x2＝－92.
(3)原方程可化为x (x－2500)＝0，
所以x＝0，或x－2500＝0.
所以x1＝0，x2＝2500.
(4)原方程可化为2x2－3x－6＝0，
这里a＝2，b＝－3，c＝－6，
所以b2－4ac＝(－3)2－4×2×(－6)＝9＋48＝57>0.
所以x＝＝.
所以x1＝，x2＝.
规律总结对于一元二次方程，一般按照先特殊后一般的顺序选择解法：直接开平方法→因式分解法→配方法→公式法．
变式训练
用合适的方法解方程：
(1)x2－3x＝18；
(2)3y(y－1)＝2－2y.
解：(1)解法一：(配方法)
∵方程两边都加上，
得x2－3x＋＝18＋，
即＝，∴x－＝±.
∴x1＝6，x2＝－3；
解法二：(公式法)
将原方程化为x2－3x－18＝0.
∵a＝1，b＝－3，c＝－18，b2－4ac＝(－3)2－4×1×(－18)＝81>0，
∴x＝＝.
∴x1＝6，x2＝－3；
(2)原方程可化为3y(y－1)＝－2(y－1)．
移项并分解因式，得(y－1)(3y＋2)＝0.
则y－1＝0，或3y＋2＝0，所以y1＝1，y2＝－.24.4 一元二次方程的应用
能力点1利用一元二次方程解决图形面积问题
题型导引(1)在解决规则图形的面积问题时，一般根据有关图形的面积计算公式确定等量关系．
(2)在解决不规则的图形面积问题时，一般将其分割或组合成规则的图形，再根据规则图形的面积计算公式计算．
【例1－1】如图，在宽为20m，长 ( http: / / www.21cnjy.com )为30m的矩形地面上修建两条同样宽的道路，余下部分作为耕地．若耕地面积需要551m2，则修建的路宽应为( )
( http: / / www.21cnjy.com )
A．1m B．1.5m C．2m D．2.5m
解析：设修建的路宽为xm ( http: / / www.21cnjy.com )，根据题意可知：矩形地面－所修路面积＝耕地面积，依此列出等量关系：20×30－(20x＋30x－x2)＝551，解得x＝49或1，但49不合题意，应舍去．故选A.
答案：A
【例1－2】如图，某中学准备在校园 ( http: / / www.21cnjy.com )里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园ABCD(围墙MN最长可利用25m)，现在已备足可以砌50m长的墙的材料，试设计一种砌法，使矩形花园的面积为300m2.
( http: / / www.21cnjy.com )
分析：根据可以砌50m长的墙的材料，即总长度是50m，AB＝xm，则BC＝(50－2x)m，再根据矩形的面积公式列方程，解一元二次方程即可．
解：设AB＝xm，则BC＝(50－2x)m.
根据题意可得x(50－2x)＝300，
解得x1＝10，x2＝15，
当x＝10时，BC＝50－10－10＝30＞25，
故x1＝10不合题意，应舍去．
答：可以围成AB长为15m，BC长为20m的矩形．
规律总结在解决与面积有关的问题时，解题的关键是紧扣几何图形的面积公式，另外应用一元二次方程解实际问题时，检验根的合理性是必不可少的一部分．
变式训练
1．如图，张大叔从市场上买回一块矩形铁皮，他将此铁皮的四个角各剪去一个边长为1m的正方形后，剩下的部分刚好能围成一个容积为15m3的无盖长方体箱子，且此长方体箱子的底面长比宽多2m．现已知购买这种铁皮每平方米需20元钱，问张大叔购回这张矩形铁皮共花了多少元钱？
( http: / / www.21cnjy.com )
2．如图，有一矩形空地，一边靠墙 ( http: / / www.21cnjy.com )，这堵墙的长为30m，另三边由一段总长度为35m的铁丝网围成．已知矩形空地的面积是125m2，求矩形空地的长和宽．
( http: / / www.21cnjy.com )
分析解答
1．分析：根据长方体的体积公式列方程，求出铁皮的长和宽，再计算铁皮的面积，便知道所需费用．
解：设长方体箱子的宽为xm，则长为(x＋2)m，根据题意得
x(x＋2)×1＝15，解之得x1＝－5，x2＝3.
因为宽为正数，
所以x＝3，宽为3m，长为5m.
则原来长方形铁皮的宽为5m，长为7m.
费用为5×7×20＝700(元)．
答：张大叔购回这张矩形铁皮共花了700元钱．
2．分析：根据长方形面积公式，即“ ( http: / / www.21cnjy.com )长×宽＝125”列方程求解．在方程中墙的长度30m没有直接用到，但在检验结果的时候，要注意矩形平行于墙的一边的长不能超过30m.
解：设矩形与墙平行的一边长为xm，则矩形的另一条边长为m．根据题意，得
x·＝125.
整理，得x2－35x＋250＝0.
解这个方程，得x1＝10，x2＝25.
当x＝10时，＝12.5；
当x＝25时，＝5.均合题意．
答：矩形空地的长和宽分别是12.5m和10m或25m和5m.
能力点2利用一元二次方程解决销售问题
题型导引(1)商品销售问题往往都涉及下列数量关系：
①商品售价＝商品标价×折扣率；
②商品利润＝商品售价－商品进价；
③商品利润率＝×100%；
④总销售额＝总销量×商品单价；
⑤总销售利润＝总销售额－总成本＝总销量×每件商品的利润．
(2)在商品销售问题中，最常见的类型就是“每每”型问题，这类试题的特点就是售价每下降(或上升)，销量就每增加(或减少)，解决这类问题的关键就是表示出售价下降(或上升)后该商品的销售量，进而表示出销售利润，即可根据等量关系列方程求解．
【例2】物华商场销售某种冰 ( http: / / www.21cnjy.com )箱，每台进货价为2500元，市场调研表明：当销售价为2900元时，平均每天能售出8台，而当销售价每降低50元时，平均每天就能多售出4台，商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达到5000元，每台冰箱的定价应为多少元？
分析：设每台冰箱的定价为x元，则列表如下：
每天的销售量/台 每台销售利润/元 总销售利润/元
降价前 8 2900－2500＝400 400×8
降价后 8＋4× x－2500 (x－2500)
解：设每台冰箱的定价应为x元，根据题意，得
(x－2500)＝5000.
解这个方程，得x1＝x2＝2750.
答：每台冰箱定价应为2750元．
规律总结对于以商场营销为素材的利润问题，解题的关键是明确：商品利润＝每件商品利润×销售件数，以及单价的提高与销售量的减少之间的关系．
变式训练
某旅游景点为了吸引游客，推出的 ( http: / / www.21cnjy.com )团体票收费标准如下：如果团体人数不超过25人，每张票价150元，如果超过25人，每增加1人，每张票价降低2元，但每张票价不得低于100元，阳光旅行社共支付团体票价4800元，则阳光旅行社共购买了多少张团体票？
分析：先计算购买票是否超过25张，超过25张 ( http: / / www.21cnjy.com )时，建立方程求解．设购买x张票，则每张票价为150－2(x－25)，团体票价为x×[150－2(x－25)]．解方程即可．
解：∵150×25＝3750＜4800，
∴购买的团体票超过25张．
设共购买了x张团体票，
由题意列方程得x×[150－2(x－25)]＝4800，即x2－100x＋2400＝0，
解得x1＝60，x2＝40，
当x1＝60时，超过25人的人数为3 ( http: / / www.21cnjy.com )5，票价降70元，降价后为150－70＝80元＜100元，不符合题意，舍去；x2＝40时符合题意，故取x＝40.
答：共购买了40张团体票．
能力点3利用一元二次方程解决增长率问题
题型导引增长率问题中常见的公式是a(1＋x)n＝b(其中a是基础数，x是平均增长率，n是增长的次数，b是增长到的数)．增长率也可以是负的．
【例3】某农场的粮食产量在两年内由50万千克增加到60.5万千克，那么平均每年增长的百分率是多少？
分析：
时间 产量基数/万千克 增长率 产量/万千克
第一年 50 x 50(1＋x)
第二年 50(1＋x) x 50(1＋x)(1＋x)
解：设平均每年增长的百分率为x，根据题意，得
50(1＋x)2＝60.5，
(1＋x)2＝1.21，
即1＋x＝±1.1.
于是x1＝0.1，x2＝－2.1(不合题意，舍去)．
答：平均每年增长的百分率为10%.
规律总结对于增长率来说，要理解常见的术语，如“增加了”“增加到”“增加了几倍”等，解决问题时，要了解和灵活应用这类术语寻找等量关系或数量关系．
变式训练
某渔船出海捕鱼，2011 ( http: / / www.21cnjy.com )年平均每次捕鱼量为10吨，2013年平均每次捕鱼量为8.1吨，求2011年～2013年每年平均每次捕鱼量的年平均下降率．
分析：解答此题利用的数量 ( http: / / www.21cnjy.com )关系是：2011年平均每次捕鱼量×(1－每次降低的百分率)2＝2013年平均每次捕鱼量，设出未知数，列方程解答即可．
解：设2011年～2013年每年平均每次捕鱼量的年平均下降率为x，根据题意列方程得
10×(1－x)2＝8.1，
解得x1＝0.1，x2＝－1. 9(不合题意，舍去)．
答：2011年～2013年每年平均每次捕鱼量的年平均下降率为10%.24.2 解一元二次方程
基础巩固JICHU GONGGU
1．方程x2－36＝0的解是( )
A．x＝6 B．x＝－6 C．x＝4或9 D．x＝±6
2．下面方程中，不能用因式分解法求解的是( )
A．2x2＝5x B．(x－2)2＝3x－6
C．9x2＋6x＋1＝0 D．(x＋2)(3x－1)＝5
3．方程x2－7＝0的解是________．
4．已知关于x的方程x2＋mx－6＝0的一个根为2，则m＝________，另一根是________．
5．m为________时，方程(m－3)xm2－2m－1＋2mx＋3＝0是关于x的一元二次方程．
6．解方程：(1)x2－2x－1＝0；
(2)x(x＋8)＝16；
(3)3x(x－1)＝2(x－1)．
能力提升NENGLI TISHENG
7．关于x的一元二次方程x2＋3x＋m－1＝0的两个实数根分别为x1，x2.
求m的取值范围．
8．已知方程(x＋m)(x－n)＝0和方程x2－2x－3＝0的根相同，求m，n的值．
参考答案
1．D 点拨：移项之后方程可变形为x2＝36，因为36的平方根为6和－6，所以x＝±6.
2．D 点拨：将方程的右边化为0，看其左边能否分解因式．
3．x1＝， x2＝－ 点拨：利用平方差公式分解因式．
4．1 －3 点拨：将x＝2代入原方 ( http: / / www.21cnjy.com )程，得4＋2m－6＝0，m＝1；因此原方程即为x2＋x－6＝0，(x－2)(x＋3)＝0，解得x1＝2，x2＝－3.
5．－1 点拨：∵方程(m－3)xm2－2m－1＋2mx＋3＝0是关于x的一元二次方程，
∴m2－2m－1＝2，且m－3≠0.利用配方法解得m＝－1.
6．分析：根据方程的特征选择合适的方法解答．
解：(1)因为a＝1，b＝－2，c＝－1，
所以b2－4ac＝(－2)2－4×1×(－1)＝8.
代入公式，得x＝＝＝＝1±.
所以原方程的解为x1＝1＋，x2＝1－.
(2)去括号得x2＋8x＝16，方程两边都加上16得x2＋8x＋16＝16＋16，即(x＋4)2＝32，两边开平方得x＋4＝±4，故x1＝4－4，x2＝－4－4.
(3)移项，得3x(x－1)－2(x－1)＝0.
因式分解，得(x－1)(3x－2)＝0.
所以x－1＝0或3x－2＝0.
故x1＝1，x2＝.
7．分析：因为方程有两个实数根，所以Δ≥0，据此即可求出m的取值范围．
解：∵方程有两个实数根，∴Δ≥0.
∴9－4×1×(m－1)≥0，解得m≤.
8．分析：将(x＋m)(x－n)＝0展开再与x2－2x－3＝0的各项对比，便可求出m，n的值．或者解x2－2x－3＝0，把求得的解代入(x＋m)(x－n)＝0求值．
解法一：由题意，得(x＋m)(x－n)＝x2－2x－3，即x2＋(m－n)x－mn＝x2－2x－3，比较系数，得m－n＝－2，－mn＝－3；把m＝n－2代入－mn＝－3，得n2－2n－3＝0，解得n1＝3，n2＝－1，当n1＝3时m1＝1，当n2＝－1时m2＝－3.所以m1＝1，n1＝3或m2＝－3，n2＝－1.
解法二：解方程x2－2x－3＝0，得x ( http: / / www.21cnjy.com )1＝3，x2＝－1，而方程(x＋m)(x－n)＝0的根为x1＝－m，x2＝n，所以－m＝3或－m＝－1，所以m1＝1，n1＝3或m2＝－3，n2＝－1.24.4 一元二次方程的应用
基础巩固JICHU GONGGU
1．某商品原价100元，连续两次涨价x%后售价为120元，下面所列方程正确的是( )
A．100(1－x%)2＝120 B．100(1＋x%)2＝120
C．100(1＋2x%)2＝120 D．100(1＋x2%)2＝120
2．如图①，在一幅矩形地毯的四周镶有宽度相同的花边．如图②，地毯中央的矩形图案长6m、宽3m，整个地毯的面积是40m2.求花边的宽．
( http: / / www.21cnjy.com )
3．某药品经过两次降价，每瓶零售价由100元降为81元．已知两次降价的百分率相同，求两次降价的百分率．
4．将一条长为20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形．
(1)要使这两个正方形的面积之和等于17cm2，那么这段铁丝剪成两段后的长度分别是多少？
(2)两个正方形的面积之和可能等于12cm2吗？若能，求出两段铁丝的长度；若不能，请说明理由．
能力提升NENGLI TISHENG
5．某农机厂四月份生产零件50万个，第二季度共生产零件182万个．设该厂五、六月份平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是( )
A．50(1＋x)2＝182 B．50＋50(1＋x)＋50(1＋x)2＝182
C．50(1＋2x)＝182 D．50＋50(1＋x)＋50(1＋2x)＝182
6．有一人患了流感，经过两轮传染后共有100人患了流感，那么每轮传染中，平均一个人传染的人数为( )
A．8 B．9
C．10 D．11
7．如图，A，B，C，D为矩形ABCD的四个顶点，AB＝16cm，BC＝6cm，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以3cm/s的速度向点B移动，一直到达B点为止；点Q以2cm/s的速度向点D移动．
( http: / / www.21cnjy.com )
(1)P，Q两点出发后，几秒时四边形PBCQ的面积是33cm2
(2)P，Q两点出发后，几秒时点P和点Q的距离是10cm
参考答案
1．B
2．解：设花边的宽为xm，根据题意，得
(2x＋6)(2x＋3)＝40.
解得x1＝1，x2＝－(不合题意，舍去)．
答：花边的宽为1m.
3．解：设每次降价的百分率为x，根据题意得
100(1－x)2＝81，
解得x1＝0.1，x2＝1.9(不合题意，舍去)．
∴x＝0.1＝10%.
答：每次降价的百分率为10%.
4．解：(1)设其中一个正方形的边长为xcm，则另一个正方形的边长为＝(5－x) cm.
依题意列方程得x2＋(5－x)2＝17，
解方程得x1＝1，x2＝4，
因此这段铁丝剪成两段后的长度分别是4cm、16cm.
(2)两个正方形的面积之和不可能等于12cm2.理由：
由(1)可知：
若两个正方形的面积之和等于12cm2，则有
x2＋(5－x)2＝12，
化简后得2x2－10x＋13＝0，
∵b2－4ac＝(－10)2－4×2×13＝－4<0，
∴方程无实数解，
即两个正方形的面积之和不可能等于12cm2.
5．B 点拨：根据题意可知五月份生产零件50(1＋x)个，六月份生产零件50(1＋x)2，第二季度的产量是四、五、六三个月的产量的和．
6．B 点拨：设平均一个人传染的人数为 ( http: / / www.21cnjy.com )x，则可列方程1＋x＋x(1＋x)＝100，解得x1＝9，x2＝－11(不合题意，舍去)，故答案为B.
7．解：(1)设经过ts，四边形PBCQ的面积是33cm2，则有×6＝33，解得t＝5.
(2)设经过ts，PQ＝10cm.
过点Q作QH⊥AB，垂足为H.
因为在Rt△PHQ中，PH＝16－3t－2t＝16－5t，PH2＋HQ2＝PQ2，
所以(16－5t)2＋62＝102，解得t1＝，t2＝.
答：(1)P，Q两点出发后，5s时，四边形PBCQ的面积是33cm2；
(2)s和s时，点P和点Q的距离是10cm.24.3 一元二次方程根与系数的关系
基础巩固JICHU GONGGU
1．已知α，β是一元二次方程x2－5x－2＝0的两个实数根，则α2＋αβ＋β2的值为( )
A．－1 B．9 C．23 D．27
2．(开放题)请写出两根分别是2和－5的一个一元二次方程________．
3．已知方程x2＋(m－1)x＋m－10＝0的一个根是3，求m的值及该方程的另一个根．
4．设x1，x2是一元二次方程3x2＋6x－＝0的两实数根，不解方程，求下列各式的值．
(1)x·x2＋x1·x；
(2)|x1－x2|.
5．关于x的方程x2－(k＋2)x＋2k＋1＝0的两实数根为x1与x2，若x＋x＝11，求实数k的值．
能力提升NENGLI TISHENG
6．已知实数a，b分别满足a2－6a＋4＝0，b2－6b＋4＝0，且a≠b，则＋的值是( )
A．7 B．－7 C．11 D．－11
7．设x1，x2是关于x的方程x2－4x＋k＋1＝0的两个实数根．问：是否存在实数k，使得3x1·x2－x1＞x2成立，请说明理由．
8．已知a，b，c是Rt△ABC三边的长，a＜b＜c，
(1)求证：关于x的方程a(1－x2)－2bx＋c(1＋x2)＝0有两个不相等的实数根；
(2)若c＝3a，x1，x2是这个方程的两根，求x＋x的值．
参考答案
1．D 点拨：∵α，β是方程x2－5x－2＝0的两个实数根，
∴α＋β＝5，αβ＝－2.
又∵α2＋αβ＋β2＝(α＋β)2－αβ，
∴α2＋αβ＋β2＝52＋2＝27.
故选D.
2．x2＋3x－10＝0(答案不唯一) 点拨：设这个方程是x2＋bx＋c＝0，
根据一元二次方程根与系数的关系，
可得b＝－(2－5)＝3，c＝－10；
则这个方程是x2＋3x－10＝0.
3．分析：一元二次方程的根就是能够 ( http: / / www.21cnjy.com )使方程左右两边相等的未知数的值，即用这个数代替未知数所得式子仍然成立；将x＝3代入原方程即可求得m及另一根的值．
解：∵方程x2＋(m－1)x＋m－10＝0的一个根是3，
∴9＋3(m－1)＋m－10＝0，
即4m－4＝0，
解得m＝1.由方程x2－9＝0，
解得x＝±3，故所求方程的另一根为－3.
4．解：x1＋x2＝－2，x1·x2＝－，
(1)x·x2＋x1·x＝x1·x2(x1＋x2)
＝－×(－2)＝3.
(2)(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2
＝(－2) 2－4×
＝4＋6＝10.
故|x1－x2|＝.
5．分析：本题考查了根与系数的关系及根的判别式，关键要掌握x1，x2是方程x2＋px＋q＝0的两根时，x1＋x2＝－p，x1x2＝q，本题容易忽视了判别式Δ≥0这一隐含条件而导致错误．
解：∵方程x2－(k＋2)x＋2k＋1＝0的两实数根为x1与x2，
∴Δ＝[－(k＋2)]2－4(2k＋1)≥0，
解得k≥4或k≤0.
由根与系数的关系得x1＋x2＝k＋2，x1x2＝2k＋1，
∵x＋x＝(x1＋x2)2－2x1x2＝11，
∴(k＋2)2－2(2k＋1)＝11.
∴k2－9＝0，解得k＝±3.
∵k≥4或k≤0，∴k＝3舍去．故k＝－3.
6．A 点拨：根据题意得a与b为方程x2－6x＋4＝0的两根，
则a＋b＝6，ab＝4.
故原式＝＝＝7.
7．解：∵关于x的方程x2－4x＋k＋1＝0有两个实数根，
∴Δ＝16－4(k＋1)≥0.∴k≤3.
又3x1·x2－x1＞x2，
∴3x1·x2－(x1＋x2)＞0.
而x1＋x2＝4，x1·x2＝k＋1，
∴3×(k＋1)－4＞0.∴k＞.
∴＜k≤3，
∴存在实数k，使得3x1·x2－x1＞x2成立．
8．(1)证明：把方程a(1－x2)－2bx＋c(1＋x2)＝0化成一般形式为(c－a)x2－2bx＋a＋c＝0，
其判别式Δ＝8b2－4a2＋4c2，
∵a，b，c是Rt△ABC三边的长，
且a＜b＜c，
∴Δ＝8b2－4a2＋4c2＞0.
∴方程a(1－x2)－2bx＋c(1＋x2)＝0有两个不相等的实数根．
(2)解：∵x1＋x2＝，x1·x2＝，
又c＝3a，∴x1＋x2＝，x1·x2＝2，
∴x＋x＝－4.24.3 一元二次方程根与系数的关系
能力点1利用根与系数的关系求代数式的值
题型导引利用一元二次方程根与系数的关系求代数式的值时，常见的代数式有：
(1)x＋x＝(x1＋x2)2－2x1x2；
(2)＋＝；
(3)(x1＋1)(x2＋1)＝x1x2＋(x1＋x2)＋1；
(4)＋＝；
(5)|x1－x2|＝.
【例1】已知一元二次方程2x2－6x－1＝0的两实数根为x1，x2，不解方程，求代数式＋的值．
分析：代数式＋＝，然后根据根与系数的关系可知，x1＋x2＝3，x1·x2＝－，然后代入求值即可．
解：∵x1＋x2＝3，x1·x2＝－，
∴＋＝eq \f(x＋x,x1·x2)
＝
＝
＝－20.
规律总结在利用根与系数的关系求代数式的值时，首先将所求的代数式转化为含有x1＋x2，x1·x2的形式，然后利用根与系数的关系求得x1＋x2，x1·x2的值，最后将其代入所求的代数式并求值即可．
变式训练
已知x1，x2是方程x2－2x－2＝0的两实数根，不解方程求下列各式的值：
(1)＋；
(2)－.
分析：欲求＋，－的值，先把此代数式变形为两根之积或两根之和的形式，再把两根之和、两根之积代入其中计算即可．因为x1与x2的大小不明确，所以对x1与x2的大小分情况讨论．
解：根据根与系数的关系得x1＋x2＝2，x1·x2＝－2，
(1)＋＝＝＝－2；
(2)①当x1－＝＝
＝eq \f(\r(x＋x－2x1x2),－2)
＝
＝＝－；
②当x1>x2时，
－＝
＝－
＝－eq \f(\r(x＋x－2x1x2),－2)
＝－
＝－
＝.
能力点2已知一元二次方程的一个根求其另一个根及字母系数的值
题型导引在问题中给出一元二次方程的一个根，将其代入到根与系数的关系式中确定另一个根或字母系数的取值范围．
【例2】已知方程x2－4x＋m＝0的一个根为－2，求该方程的另一根及m的值．
分析：根据题意得两根之和等于－4，可以求出方程的另一根，再根据两根之积等于m求m的值；也可以先把x＝－2代入方程求出m的值，然后再把m的值代入方程，通过解一元二次方程求出方程的另一根．
解法一：设原方程的两根为x1，x2，
则x1＋x2＝4，x1x2＝m.
∵x1＝－2，∴x2＝4－x1＝6，m＝x1x2＝－12.
故所求方程的另一根是6，m的值为－12.
解法二：把x＝－2代入原方程x2－4x＋m＝0.得m＝－12.
解方程x2－4x－12＝0，得x1＝－2，x2＝6.
故所求方程的另一根是6，m的值为－12.
规律总结一元二次方程根与系数的关系是x1＋x2＝－，x1·x2＝，运用这一关系，可以很简洁地解决与方程系数有关的问题．已知方程的一根求其另一根：当常数项含有字母系数时，利用两根之和求另一根；当一次项含有字母系数时，利用两根之积求另一根．
变式训练
1．已知关于x的方程x2＋(2k＋1)x＋k2－2＝0的两实根的平方和等于11，则k的值为________．
2．已知关于x的一元二次方程2(x－1)2－m＝x2＋x的一根为－1，求其另一根及m的值．
分析解答
1．解析：设方程x2＋(2k＋1)x＋k2－2＝0的两根为x1，x2，
则x1＋x2＝－(2k＋1)，x1·x2＝k2－2，
∵x＋x＝11，
∴(x1＋x2)2－2x1x2＝11.
∴(2k＋1)2－2(k2－2)＝11，
解得k＝1或－3.
∵Δ＝(2k＋1)2－4×(k2－2)＝4k＋9＞0，
∴k＞－.故k的值应为1.
答案：1
2．解：∵关于x的一元二次方程2(x－1)2－m＝x2＋x的一根为－1，
∴2×(－1－1)2－m＝(－1)2＋(－1)．
∴m＝8，
原方程可变形为2(x－1)2－8＝x2＋x，
整理得x2－5x－6＝0.
设方程的另一根为x1，
又∵x＝－1，
∴x1·(－1)＝－6，
解得x1＝6.
故所求方程的另一根为6.24.1 一元二次方程
基础巩固JICHU GONGGU
1．下列方程中一定是关于x的一元二次方程的是( )
A．3(x＋1)2＝2(x＋1) B．.＋－2＝0
C．ax2＋bx＋c＝0 D．x2＋2x＝x2－1
2．将一元二次方程2(x＋1)(x－2)＝x(x＋3)－5化为一般形式为( )
A．x2－5x＋1＝0B．x2＋x－9＝0 C．x2－4x＋3＝0D．x2－x＋1＝0
3．下列各数是一元二次方程2x2＋5x＋2＝0的根的是( )
A．1 B．－1 C．2 D．－2
4．若关于x的方程x2－2x＋c＝0有一个根是1，那么c的值是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
5．关于x的方程(m－1)x2＋(m＋1 ( http: / / www.21cnjy.com ))x＋3m－1＝0，当m________时，它是一元一次方程；当m________时，它是一元二次方程．
6．大连某小区准备在每两幢楼房之间开辟面积 ( http: / / www.21cnjy.com )为300平方米的一块长方形绿地，并且长比宽多10米，设长方形绿地的宽为x米，则可列方程(化为一般形式)为________．
7．将下列一元二次方程化为一般形式，并写出二次项系数、一次项系数及常数项．
(1)2x2＋3x＝x2－3x－2；
(2)(2x－1)(3x＋2)＝(x－2)2－1；
(3)4x2＝3x－＋1.
8．在一幅长8分米，宽6分米的矩形风景画( ( http: / / www.21cnjy.com )如图①)的四周镶宽度相同的金色纸边，制成一幅矩形挂图(如图②)．如果要使整个挂图的面积是80平方分米，求金色纸边的宽．(请根据题意列出方程)
( http: / / www.21cnjy.com )
能力提升NENGLI TISHENG
9．关于x的方程(m＋1)xm2＋1＋2mx－3＝0是一元二次方程，则m的值是( )
A．任意实数 B．1 C．－1 D．±1
10．已知2是关于x的方程x2－2a＝0的一个根，则2a－1的值是________．
11．有一个两位数，它的个 ( http: / / www.21cnjy.com )位数字与十位数字的和等于6，且这两个数字的积等于这个两位数的，设这个两位数的十位数字为x，求这个两位数．(只需根据题意列出方程)
12．已知x＝1是一元二次方程ax2＋bx－40＝0(a≠0)的一个解，且a≠b，求的值．
参考答案
1．A 点拨：B是分式方程，C中没有指出a≠0，D中化简后不含x2项，它们都不是一元二次方程．
2． A 3.D
4．A 点拨：将x＝1代入原方程，得12－2×1＋c＝0，解得c＝1.
5．＝1 ≠1 6.x2＋10x－300＝0
7．解：(1)x2＋6x＋2＝0，二次项系数：1，一次项系数：6，常数项：2；(2)x2＋x－1＝0，二次项系数：1，一次项系数：1，常数项：－1；(3)4x2－3x＋－1＝0，二次项系数：4，一次项系数：－3，常数项：－1.
8．解：设金色纸边的宽为x分米，根据题意，得(2x＋6)(2x＋8)＝80，即x2＋7x－8＝0.
9．B
10．5 点拨：把x＝2代入原方程，得×22－2a＝0，解得a＝3，所以2a－1＝5.
11．解：根据题意，得x(6－x)＝[10x＋(6－x)]，即x2－3x＋2＝0.
12．解：把x＝1代入原方程，得a＋b－40＝0，即a＋b＝40，所以原式＝＝＝＝20.
