26.4 解直角三角形的应用
能力点 利用解直角三角形解决实际问题的一般步骤
题型导引在实际问题中建立直角三角形，通过解直角三角形，解决实际问题．
【例题】某校初三课外活动小组，在测量树高的一次活动中，如图，测得树底部中心A到斜坡底C的水平距离为8.8m．在阳光下某一时刻测得1m长的标杆影长为0.8m，树影落在斜坡上的部分CD＝3.2m．已知斜坡CD的坡比i＝1∶，求树高AB.(结果保留整数，参考数据：≈1.7)
( http: / / www.21cnjy.com )
解：如图，延长BD与AC的延长线交于点E，过点D作DH⊥AE于点H.
( http: / / www.21cnjy.com )
∵i＝tan∠DCH＝＝＝，
∴∠DCH＝30°.
∴DH＝CD＝1.6(m)，
CH＝DH＝≈2.7(m)．
由题意可知＝，
∴HE＝0.8DH＝1.28(m)．
∴AE＝AC＋CH＋CE＝8.8＋2.7＋1.28＝12.78 (m)．
∵＝，∴AB＝＝≈16(m)．
规律总结对于非直角三角形问题，经常需要通过添加辅助线构造直角三角形，把实际问题转化为求直角三角形的边和角的问题．
变式训练
如图，放置在水平桌面上的台灯的灯臂AB长为40cm，灯罩BC长为30cm，底座厚度为2cm，灯臂与底座构成的∠BAD＝60°.使用发现，光线最佳时灯罩BC与水平线所成的角为30°，此时灯罩顶端C到桌面的高度CE是多少？(结果精确到0.1cm，参考数据：≈1.732)
( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com )
分析：过点B作BF⊥CD于点F，作BG⊥AD于点G.得到两个直角三角形；这两个直角三角形都是已知斜边和一锐角，求一直角边(对边)，依据锐角的正弦可求．
解：过点B作BF⊥CD于点F，作BG⊥AD于点G.
( http: / / www.21cnjy.com )
在Rt△BCF中，∠CBF＝30°，
∴CF＝BC·sin30°＝30×＝15(cm)．
在Rt△ABG中，∠BAG＝60°，
∴BG＝AB·sin60°＝40×＝20(cm)．
∴CE＝CF＋FD＋DE＝15＋20＋2＝17＋20≈51.64≈51.6(cm)．
答：此时灯罩顶端C到桌面的高度CE约是51.6cm.26.1 锐角三角函数
能力点1求锐角三角函数值
题型导引1.当一个锐角在一个直角三角形中时，只要求出相应边的长度即可求出相应的三角函数值．
2．在有些问题中，可以把求一个角的锐角三角函数值转化为与它相等的角的锐角三角函数值．
3．如果这个锐角不在直角三角形中时，应作辅助线构造包含这个角的直角三角形，然后再求相应边的长度．
【例1】如图，在△ABC中，D是AB的中点，CD⊥AC于点C，且tan∠BCD＝，求sinA，cosA，tanA的值．
( http: / / www.21cnjy.com )
分析：解答本题的突破口是将∠BCD转化为直角三角形中的角，通过作辅助线DE⊥CD，∠BCD是直角三角形CDE中的角．
解：过点D作DE⊥CD于点D，交BC于点E.
( http: / / www.21cnjy.com )
∵CD⊥AC，∴DE∥AC.
∵D为AB的中点，
∴E为BC的中点，DE＝AC.
设DE＝x，∴AC＝2DE＝2x.
在Rt△CDE中，∵tan∠BCD＝，
∴＝，即CD＝3x.
在Rt△ACD中，∠ACD＝90°，AC＝2x，CD＝3x，∴AD＝＝＝x.
∴sinA＝＝＝，
cosA＝＝＝，
tanA＝＝＝.
规律总结如果所求角不在直角三角形中，需将它转化到直角三角形中去，结合已知条件合理地构造直角三角形来解答．
变式训练
如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝45°，AC＝2，BD为AD边上的中线，求tan∠ABD的值．
( http: / / www.21cnjy.com )
分析：求tan∠ABD必须想办法把∠ABD放到直角三角形中，而△ABD不是直角三角形，可考虑过点D作DE⊥AB于E，再求出Rt△BDE的边DE，BE的长．
( http: / / www.21cnjy.com )
解：如图，过点D作DE⊥AB于E，
∵∠C＝90°，∠A＝45°，AC＝2，
∴BC＝2，AB＝2.
∵BD为AD边上的中线，
∴AD＝CD＝1.
在Rt△ADE中，sinA＝，
∴DE＝AD·sinA＝1×＝.
∴AE＝，BE＝2－＝.
∴tan∠ABD＝＝＝.
能力点2利用特殊角的三角函数值进行计算
题型导引特殊角的三角函数值经常应用在计算中，它会与求代数式的值结合起来，由特殊的三角函数值，确定某些字母的取值，然后代入求值即可．
【例2】先化简，再求值：÷，其中a＝sin30°，b＝tan45°.
分析：先将括号内的部分通分，并将分式的除法转化为乘法，然后根据特殊角的三角函数值求出a，b的值，再代入进行解答．
解：原式＝×
＝×＝a－b.
当a＝sin30°＝，b＝tan45°＝1时，
原式＝a－b＝－1＝－.
规律总结对于分式的化简求值与特殊角的三角函数值结合的问题，解题的关键是利用分解因式的方法化简分式，将已知量与未知量联系起来．
变式训练
先化简，再求代数式－÷的值，其中a＝6tan60°－2.
分析：除式的分子利用完全平方公式分解因式，同时将除法变乘法，然后用同分母分式的减法法则计算，再利用特殊角的三角函数值求出a的值代入进行计算即可．
解：原式＝－·
＝－＝.
∵a＝6tan30°－2
＝6×－2
＝2－2，
∴原式＝＝＝.26.4 解直角三角形的应用
基础巩固JICHU GONGGU
1．如图，AC是电杆AB的一根拉线，测得BC＝6m，∠ACB＝52°，则拉线AC的长为( )
( http: / / www.21cnjy.com )
A．m B．m C．6·cos52°m D．m
2．如图，在平地上种植树木时，要求株距(相邻两树间的水平距离)为4m．如果在坡度为0.75的山坡上种树，也要求株距为4m，那么相邻两树间的坡面距离为( )
( http: / / www.21cnjy.com )
A．5m B．6m C．7m D．8m
3．如图，某飞机于空中A处探测到目标C ( http: / / www.21cnjy.com )，此时飞机高度AC＝1200m，从飞机上看地面指挥台B的俯角α＝18°，则飞机A到指挥台B的距离为________．(精确到1m，参考数据：sin18°≈0.31，cos18°≈0.95，tan18°≈0.32)
4．如图，有一段斜坡BC长为10m，坡角∠CBD＝12°，为方便残疾人的轮椅车通行，现准备把坡角降为5°.
(1)求坡高CD；
(2)求斜坡新起点A与原起点B的距离(精确到0.1m，参考数据：sin12°≈0.21，cos12°≈0.98，tan5°≈0.09)．
5．某中学九年级学生在学习“直角三 ( http: / / www.21cnjy.com )角形的边角关系”时，开展测量物体高度的实践活动，他们要测量学校一幢教学楼的高度．如图，他们先在点C测得教学楼AB的顶点A的仰角为30°，然后向教学楼前进60m到达点D，又测得点A的仰角为45°.请你根据这些数据，求出这幢教学楼的高度．(计算过程和结果均不取近似值)
( http: / / www.21cnjy.com )
能力提升NENGLI TISHENG
6．如图，△ABC中BC边上的高为h1，△DEF中DE边上的高为h2，下列结论正确的是( )
( http: / / www.21cnjy.com )
A．h1＞h2 B．h1＜h2 C． h1＝h2 D．无法确定
7．小明同学在东西方向的沿江大道A处，测得江中灯塔P在北偏东60°方向上，在A处正东400m的B处，测得江中灯塔P在北偏东30°方向上，则灯塔P到沿江大道的距离为________m.
8．有一水库大坝的横截面是梯形ABC ( http: / / www.21cnjy.com )D，AD∥BC，EF为水库的水面，点E在DC上，某课题小组在老师的带领下想测量水的深度，他们测得背水坡AB的长为12m，迎水坡上DE的长为2m，∠BAD＝135°，∠ADC＝120°，求水深．(精确到0.1m，≈1.41，≈1.73)
( http: / / www.21cnjy.com )
9．如图，AB，DC分别表示甲、乙两建 ( http: / / www.21cnjy.com )筑物的高，AB⊥BC，DC⊥BC，从B点测得D点的仰角α为60°，从A点测得D点的仰角β为30°，已知甲建筑物高AB＝36m.
(1)求乙建筑物的高DC；
(2)求甲、乙两建筑物之间的距离BC(结果精确到0.01m)．
(参考数据：≈1.414，≈1.732)
10．渔船以5海里/时的 ( http: / / www.21cnjy.com )速度向正东方向行驶，在A处看见灯塔B在渔船的北偏东60°方向，2小时后船行驶到C处，发现此时灯塔B在渔船的北偏西45°方向，求此时灯塔B到C处的距离．
( http: / / www.21cnjy.com )
(第9题图)
( http: / / www.21cnjy.com )
(第10题图)
11．气象台发布的卫星云图显示，代号为W的台风在某海岛(设为点O)的南偏东45°方向的B点生成，测得OB＝100km.台风中心从点B以40km/h的速度向正北方向移动，经5h后到达海面上的点C处．因受气旋影响，台风中心从点C开始以30km/h的速度向北偏西60°方向继续移动．以点O为原点建立如图所示的直角坐标系．
( http: / / www.21cnjy.com )
(1)台风中心生成点B的坐标为________，台风中心转折点C的坐标为________；(结果保留根号)
(2)已知距台风中心20km的范围 ( http: / / www.21cnjy.com )内均会受到台风的侵袭．如果某城市(设为点A)位于点O的正北方向且处于台风中心的移动路线上，那么台风从生成到最初侵袭该城要经过多长时间？
参考答案
1．D 2.A
3．3871m 点拨：因为sinB＝，
所以AB＝＝≈≈3871(m)．
4．解：(1)在Rt△BCD中，CD＝BC·sin12°
≈10×0.21＝2.1(m)．
即坡高约为2.1m.
(2)在Rt△BCD中，BD＝BC·cos12°≈10×0.98＝9.8(m)；
在Rt△ACD中，AD＝≈≈23.33(m)，AB＝AD－BD≈23.33－9.8＝13.53≈13.5(m)．
即斜坡新起点与原起点的距离约为13.5m.
5．解：由已知可得∠ACB＝30°，∠ADB＝45°.
设AB＝x，在Rt△ABD中，BD＝AB＝x.
又在Rt△ABC中，∵tanC＝，
∴BC＝＝＝x.
∵BC－BD＝CD，∴x－x＝60.
即(－1)x＝60.
∴x＝＝30(＋1)(m)．
即教学楼高度为30(＋1) m.
6．C
7．200 点拨：根据题意，画出图形(如图)，可知∠A＝30°，∠PBC＝60°，
所以∠APB＝60°－30°＝30°，
所以PB＝AB＝400m.
在Rt△PBC中，sin∠PBC＝，
所以PC＝PB·sin∠PBC＝400×＝200(m)．
8．解：分别过点A，D作AM⊥BC于M，DG⊥BC于点G.过点E作EH⊥DG于点H，则四边形AMGD为矩形．
( http: / / www.21cnjy.com )
∵AD∥BC，∠BAD＝135°，∠ADC＝120°，
∴∠B＝45°，∠DCG＝60°，∠GDC＝30°.
在Rt△ABM中，
AM＝AB·sinB＝12×＝6(m)．
∴DG＝6m.
在Rt△DHE中，
DH＝DE·cos∠EDH＝2×＝(m)．
∴HG＝DG－DH＝6－≈6×1.41－1.73≈6.7(m)．
答：水深约为6.7m.
9．解：(1)过点A作AE⊥CD于点E，根据题意，得∠DBC＝∠α＝60°，∠DAE＝∠β＝30°，
AE＝BC，EC＝AB＝36m，
设DE＝xm，则DC＝DE＋EC＝(x＋36)m，
在Rt△AED中，tan∠DAE＝tan30°＝，∴AE＝xm，
∴BC＝AE＝xm，
在Rt△DCB中，
tan∠DBC＝tan60°＝，
∴＝，
∴3x＝x＋36，x＝18，∴DC＝54m，
即乙建筑物高为54m.
( http: / / www.21cnjy.com )
(2)∵BC＝AE＝xm，x＝18，
∴BC＝×18≈18×1.732≈31.18(m)，即甲、乙两建筑物之间的距离约为31.18m.
10．解：如图，过B点作BD⊥AC于点D，
( http: / / www.21cnjy.com )
∴∠DAB＝90°－60°＝30°，∠DCB＝90°－45°＝45°，
设BD＝x，
在Rt△ABD中，AD＝＝x，
在Rt△BDC中，BD＝DC＝x，BC＝x，
又AC＝5×2＝10(海里)，
∴x＋x＝10，得x＝5(－1)海里，
∴BC＝×5(－1)＝5(－)(海里)．
答：灯塔B距C处5(－)海里．
11．解：(1)(100，－100)，(100，200－100)；
(2)过点C作CD⊥OA于点D，
如图，则CD＝100km.
( http: / / www.21cnjy.com )
在Rt△ACD中，∠ACD＝30°，CD＝100km，
∴＝cos30°＝.∴CA＝200km.
∵＝6(小时)，5＋6＝11(小时)，
∴台风从生成到最初侵袭该城要经过11小时．26.1 锐角三角函数
基础巩固JICHU GONGGU
1．三角形在方格纸中的位置如图所示，则tanα的值是( )
( http: / / www.21cnjy.com )
A． B． C． D．
2．2sin30°的值等于( )
A．1 B． C． D．2
3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，AC＝1，则cosA的值是( )
A． B． C． D．4
4．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝9，sin∠B＝，则AB＝( )
A．15 B．12 C．9 D．6
5．在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果cosB＝，那么sinA的值是( )
A．1 B． C． D．
6．如图，角α的顶点为O，它的一边在x轴的正半轴上，另一边OA上有一点P(3，4)，则sinα＝__________.
( http: / / www.21cnjy.com )
7．求满足下列等式的锐角α.
(1)sin(α－15°)＝；
(2)2cos(45°－α)－＝0；
(3)tan2α－4tanα＋＝0.
8．计算下列各题：
(1)cos30°cos45°＋cos60°；
(2) 2sin60°－2cos30°sin45°；
(3)；
(4)(cos45°－sin30°)＋(4－4π)0＋(－1)－1；
(5)sin30°＋cos260°－tan45°－tan30°.
能力提升NENGLI TISHENG
9．在△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，则tanB＝( )
A． B． C． D．
10．如图，AD⊥CD，AB＝13，BC＝12，CD＝3，AD＝4，则tanB＝( )
( http: / / www.21cnjy.com )
A． B． C． D．
11．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，tanA＝，则BC的长是__________．
12．如图，在Rt△ABC中，∠ ACB＝90°，CD⊥AB于点D，已知AC＝，BC＝2，那么tan∠ACD＝__________.
( http: / / www.21cnjy.com )
13．设α为锐角，已知tanα＝，求sinα和cosα的值．
参考答案
1．A 2.A 3.B 4.A 5.B 6.
7．解：(1)75°；(2)15°；
(3)a＝，b＝－4，c＝，
∵b2－4ac＝42－4××＝4，
∴tanα＝
＝＝＝，
∴tanα1＝，tanα2＝，
∴α1＝60°，α2＝30°.
8．解：(1)原式＝×＋＝；
(2)原式＝2×－2××＝－；
(3)原式＝＝＝－1；
(4)原式＝(－)＋1＋(＋1)
＝1－＋1＋＋1＝3＋；
(5)原式＝＋－1－1＝－.
9．B 10.A
11．6 点拨：∵∠C＝90°，AB＝10，
∴AC＝＝.
∵tanA＝，即＝＝，
解得BC＝6.
12. 点拨：在Rt△ABC中，tan∠ABC＝＝；又因为∠ACD＝∠ABC，
所以tan∠ACD＝.
13．解：∵tanα＝，∴＝.
∴sinα＝cosα.
又∵sin2α＋cos2α＝1，∴＋cos2α＝1.
∵α为锐角，∴cosα＝，
∴sinα＝cosα＝×＝.26.2 锐角三角函数的计算
基础巩固JICHU GONGGU
1．如图，已知Rt△ABC，通过观察或测量进行判断，tanA等于( )
( http: / / www.21cnjy.com )
A． B． C． D．1
2．在△ABC中，∠C＝90°，a＝5，c＝13，则∠A约等于( )
A．14°38′ B．65°22′ C．67°23′ D．22°37′
3．已知tanα≈0.7，为了求α的度数，某同学画了一个三角形，如图，∠C＝90°，AC＝5cm，BC＝3.5cm，测量∠A，则α≈__________.
( http: / / www.21cnjy.com )
4．用计算器求下列各式的值(精确到0.0001)．
sin37°，cos41°，tan32°18′57″.
5．根据下列条件求θ的大小(精确到1′)．
(1)tanθ＝4.326；
(2)sinθ＝0.7570；
(3)cosθ＝0.5835.
能力提升NENGLI TISHENG
6．已知α是锐角，且tanα＝，那么α的取值范围是 ( )
A．60°＜α＜90°B．45°＜α＜60° C．30°＜α＜45° D．0°＜α＜30°
7．“平阳府有座大鼓楼，半截子插在天里头”．如图，为测量临汾市区鼓楼的高AB，在距B点50m的C处安装测倾器，测得鼓楼顶端A的仰角为40°12′，测倾器的高CD为1.3m，则鼓楼高AB约为________m(tan40°12′≈0.85)．
( http: / / www.21cnjy.com )
8．(1)画直角三角形：△A1B1C1，△A2B2C2，△A3B3C3，使得∠C1＝∠C2＝∠C3＝90°，A1C1＝A2C2＝A3C3＝5cm，B1C1＝3cm，B2C2＝5cm，B3C3＝7cm；
(2)求值并比较大小：tanA1＝________，tanA2＝________，tanA3＝________，
tanA1________tanA2________tanA3(填“＞”“＜”或“＝”)；
(3)结论：较大的锐角对应的正切值________．
参考答案
1．C 2.D 3.35°
4．0.6018，0.7547，0.6326.
5．(1)76°59′；(2)49°12′；(3)54°18′.
6．B 点拨：因为tan45°＝1，tan60°＝，而1＜＜，所以45°＜α＜60°.
本题也可利用计算器求出α的度数．
7．43.8 点拨：AB＝BC·tan∠ADB＋1.3≈50×0.85＋1.3＝43.8(m)．
8．解：(1)图略；(2) 1 ＜ ＜ (3)较大26.3 解直角三角形
能力点1已知直角三角形的一边和一锐角解直角三角形
题型导引当已知直角三角形的一边和一个锐角时， ( http: / / www.21cnjy.com )利用直角三角形中两锐角互余和适当的锐角三角函数来解直角三角形．常见类型：∠B＝90°－∠A，a＝c·sinA，b＝c·cosA或∠B＝90°－∠A，b＝，c＝.
【例1】已知：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，b＝2，解这个直角三角形．
分析：直角三角形的两个锐角互余，并且在Rt△ABC中，∠C＝90°，则sinA＝cosB，sinB＝cosA，解直角三角形就是求直角三角形中除直角以外的两锐角，三边中的未知的元素．
解：在直角△ABC中∠B＝90－∠A＝60°，
∵tanA＝，∴tan30°＝，
∴a＝×2＝2.
∵sinA＝＝，∴c＝4.
规律总结解直角三角形时，可以 ( http: / / www.21cnjy.com )画出图形，结合图形和定义法来解直角三角形．在利用定义法时，选择关系式时要尽量利用已知条件，必须求出所有的未知元素．
变式训练
在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边．解下列直角三角形．
(1)已知b＝10，∠B＝60°；
(2)已知c＝8，∠A＝60°.
分析：(1)根据直角三角形两锐角互余求得∠A为30°，根据直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，可得出a等于c的一半；
(2)根据题中所给的条件，在直角三角形中，根据角的正弦值及余弦值与三角形边的关系，可求出各边的长，然后再代入三角函数进行求解．
解：(1)∵△ABC中，∠C＝90°，∠B＝60°，
∴∠A＝30°.
∴a＝c.
设a＝x(x＞0)，则c＝2x，又b＝10，
根据勾股定理得：a2＋b2＝c2，
即x2＋102＝(2x)2.
整理得3x2＝100，解得x＝±，
∵x＞0，∴∠A＝30°，a＝，c＝.
(2)∵△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，
∴∠B＝30°.
∵c＝8，sin60°＝＝＝，
∴a＝12.
∵cos60°＝＝＝，∴b＝4.
能力点2已知直角三角形的两边解直角三角形
题型导引在直角三角形中，若已知其中两条边的长，利用勾股定理可以求出另一边，然后利用锐角三角函数求出锐角的度数．常见类型有：由sinA＝，求∠A，∠B＝90°－∠A，b＝或由tanA＝，求∠A，∠B＝90°－∠A，c＝.
【例2】在Rt△ABC中，∠C＝90°，c＝2，a＝3，解这个直角三角形．
分析：已知斜边和一条直角边，可以先利用勾股定理求出另一条直角边的长，再利用正弦或余弦求角的度数．
解：在Rt△ABC中，c＝2，a＝3，
∴b＝＝＝.
∴sinA＝＝＝，∴∠A＝60°.
∴∠B＝90°－∠A＝90°－60°＝30°.
规律总结在解直角三角形时，要结合题意要求选取合适的关系式来解决问题．
变式训练
在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝20，b＝20，求∠A，∠B，c.
分析：三角形ABC为直角三角形， ( http: / / www.21cnjy.com )c为斜边，由a与b的长，利用勾股定理求出c的长，再根据锐角三角函数定义求出sinA和sinB的值，由∠A和∠B为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可出∠A和∠B的度数．
解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝20，b＝20，
根据勾股定理得： c＝＝40，
∴sinA＝＝＝，
sinB＝＝.
又∠A和∠B都为三角形的内角，
∴∠A＝30°，∠B＝60°.26.3 解直角三角形
基础巩固JICHU GONGGU
1．下列命题：
①所有锐角三角函数值都为正数；
②解直角三角形时只需已知除直角外的两个元素；
③在Rt△ABC中，∠B＝90°，则sin2A＋cos2A＝1；
④在Rt△ABC中，∠A＝90°，则tanC·sinC＝cosC.
其中正确的命题有( )
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为点D.若AC＝，BC＝2，则sin∠ACD的值为( )
A． B． C． D．
3．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD是BC边上的中线，BD＝4，AD＝2，则tan∠CAD的值是__________．
( http: / / www.21cnjy.com )
(第2题图)
( http: / / www.21cnjy.com )
(第3题图)
4．如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝4cm，tanB＝，则△ABC的面积是__________cm2.
5．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，b＝10，∠A＝60°.解这个直角三角形．
( http: / / www.21cnjy.com )
(第4题图)
( http: / / www.21cnjy.com )
(第5题图)
6．已知在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3，c－b＝4－2.解这个直角三角形．
能力提升NENGLI TISHENG
7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝，AB的垂直平分线ED交BC的延长线于点D，垂足为E，则sin∠CAD＝( )
A． B． C． D．
8．如图，在△ABC中，AD是BC上的高，tanB＝cos∠DAC.
(1)求证：AC＝BD；
(2)若sinC＝，BC＝12，求AD的长．
( http: / / www.21cnjy.com )
(第7题图)
( http: / / www.21cnjy.com )
(第8题图)
参考答案
1．C 点拨：本题采用排除法，根据三角函数、解直角三角形的有关定义进行．
2．A 点拨：根据勾股定理可得，AB＝＝＝3，
由题意，可知∠ACD＋∠A＝90°，∠B＋∠A＝90°，∴∠ACD＝∠B.
∴sin∠ACD＝sin∠B＝＝.故选A.
3．2 点拨：CD＝BD＝4，AD＝2，根据勾股定理求出AC＝2，则tan∠CAD＝＝2.
4．12 点拨：∵tanB＝，
∴＝＝，∴AC＝6cm.
∴△ABC的面积是4×6÷2＝12(cm2)．
5．解：∠B＝30°，AB＝20，BC＝10.
6．解：∵∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3，
∴∠A＝30°，∠B＝60°，∠C＝90°.
∵sin60°＝＝，∴b＝c.
∵c－b＝4－2，∴c－c＝4－2.
解得c＝4，b＝2.
∴a＝＝2.
7．A 点拨：本题综合应用了三角形相似和解直角三角形，由BC＝3，AC＝，得AB＝＝2，
由DE垂直平分AB，得AE＝EB＝，设DE与AC交于点O，则△AOE∽△ABC，＝，即＝，得AO＝＝，
同理得CD＝1，AD＝BD＝3＋1＝4，
sin∠CAD＝＝.故选A.
8．(1)证明：∵AD是BC上的高，
∴AD⊥BC.
∴∠ADB＝90°，∠ADC＝90°.
在Rt△ABD和Rt△ADC中，
∵tanB＝，cos∠DAC＝，
tanB＝cos∠DAC，∴＝.
∴AC＝BD.
(2)解：在Rt△ADC中，sinC＝，
故可设AD＝12k，AC＝13k.
∴CD＝＝5k.
∵BC＝BD＋CD，AC＝BD，
∴BC＝13k＋5k＝18k.
∵BC＝12，∴18k＝12，∴k＝.
∴AD＝12k＝12×＝8.26.2 锐角三角函数的计算
能力点1利用计算器进行有关锐角三角函数的计算
题型导引利用计算器和锐角三角函数的有关概念，我们可以进行有关边、角之间的计算．
【例1－1】如图所示，通过计算可以求得某 ( http: / / www.21cnjy.com )市在冬至日正午时分的太阳光线入射角为30°30′，因此在规划建设楼高为20m的小区时，两楼间的距离最小__________米才能保证不挡光．(精确到0.01)
( http: / / www.21cnjy.com )
解析：如图所示，太阳的光线和水平地面、楼高形成Rt△ABC，当两楼间的距离为线段AC时，才能保证不挡光．
( http: / / www.21cnjy.com )
在Rt△ABC中，∠A＝30°30′，BC＝20m.
∵tan∠BAC＝，∴AC＝＝≈≈33.96(m)．
故当两楼间的距离至少为33.96m时，才能保证不挡光．
答案：33.96
规律总结在解题过程中有求非特殊角的三角函数值，因此必须熟练掌握用计算器求三角函数值．
【例1－2】在Rt△ABC中，若∠C＝90°，BC＝20，AC＝12.5，求两个锐角的度数(精确到1°)．
分析：先求出锐角的某一三角函数值，再求锐角．
解：∵∠C＝90°，BC＝20，AC＝12.5，
∴tanB＝＝＝0.625.
用计算器计算，得∠B≈32°.
∴∠A＝90°－32°＝58°.
规律总结在利用计算器由锐角三角函数值求锐角的度数时，要注意正确使用计算器，和题目中对精确度的要求．
变式训练
1．如图，某校自行车棚的人字架棚顶为等腰三角形，点D是AB的中点，∠A＝26°，CD＝1m，求跨度AB的长(精确到0.01m)．
( http: / / www.21cnjy.com )
2．等腰三角形中，两腰和底的长分别是10和13，求三角形的三个内角的度数(精确到1′)．
分析解答
1．分析：因为△ABC是一个等腰三角 ( http: / / www.21cnjy.com )形，故具备三线合一的特征，所以△ACD是一个直角三角形中，然后利用锐角三角函数求得AD的长度，最后求得AB的长．
解：由题意可知，△ADC为直角三角形，其中∠ADC＝90°，且∠A＝26°，DC＝1m.
∵tanA＝，∴AD＝＝.
∴AB＝2AD＝≈≈4.10(m)．
即跨度AB的长约为4.10m.
2．分析：先画图，AB＝AC＝10，BC＝13，AD是底边上的高，利用等腰三角形三线合一定理可知BD＝CD＝6.5，∠BAD＝∠CAD＝∠BAC，在Rt△ABD中，利用∠BAD的正弦值，使用计算器，可求出∠BAD的大小，从而可求出∠B，∠BAC的度数．
解：如图，AB＝AC＝10，BC＝13，AD是底边上的高，
( http: / / www.21cnjy.com )
∵AD是底边上的高，∴AD⊥BC.
又∵AB＝AC，
∴BD＝CD＝6.5，
∠BAD＝∠CAD＝∠BAC.
在Rt△ABD中，sin∠BAD＝＝＝0.65，
∴∠BAD≈40°32′，
∴∠BAC≈2∠BAD≈81°4′，∠B＝∠C≈49°28′.
故△ABC的三个内角分别为：81°4′，49°28′，49°28′.
能力点2利用计算器探索锐角三角函数值变化规律
题型导引通过计算器计算一些锐角的三角函数值，通过对其计算结果的比较，得出锐角三角函数值的变化规律．
【例2】(1)如图，锐角的正弦值和余弦值都随着锐角的确定而确定、变化而变化．试探索随着锐角度数的增大，它的正弦值和余弦值变化的规律．
( http: / / www.21cnjy.com )
(2)根据你探索到的规律，试比较18°，34°，50°，62°，88°，这些锐角的正弦值和余弦值的大小．
(3)比较大小(在空格处填“＞”“＜”或“＝”)
若α＝45°，则sinα______cosα；若α＜45°，则sinα______cosα；若α＞45°，则sinα______cosα.
(4)利用互为余角的两个角的正弦和余弦的关系，试比较下列正弦值和余弦值的大小：
sin10°，cos30°，sin50°，cos70°.
分析：解决问题的关键是先用计算器求出各三角函数值，然后再进行比较，从而得出规律．
解：(1)锐角的正弦值随着角度的增大而增大，余弦值随着角度的增大而减小．
(2)sin18°＜sin34°＜sin50°＜sin62°＜sin88°，cos88°＜cos62°＜cos50°＜cos34°＜cos18°.
(3)若α＝45°，sinα＝cosα；
若α＜45°，sinα＜cosα；
若α＞45°，sinα＞cosα.
(4)sin10°＜cos70°＜sin50°＜cos30°.
规律总结锐角三角函数值的变化规律为，正 ( http: / / www.21cnjy.com )弦值随着角度的增大而增大；余弦值随着角度的增大而减小；正切值随着角度的增大而增大．可记为“正弦正切值递增，余弦递减恰相反”．
变式训练
1．下列各式一定成立的是( )
A．tan75°＞tan48°＞tan15° B．tan75°＜tan48°＜tan15°
C．cos75°＞cos48°＞cos15° D．sin75°＜sin48°＜sin15°
2．(1)操作：通过利用计算器计算并比较，
sin75°与cos15°，cos75°与sin15°，sin21°5′与cos68°55′，cos26°42′与sin63°18′.
(2)你能得出什么规律？
分析解答
1．解析：方法一：根据锐角三角函数值的变化规律判定；方法二：利用计算器，计算每组中的每一个角的函数值，然后进行比较．
答案：A
2．分析：通过计算器进行计算，然后比较结果，探索锐角三角函数之间的关系，得出答案．
解：(1)sin75°＝cos ( http: / / www.21cnjy.com )15°，cos75°＝sin15°，sin21°5′＝cos68°55′，cos26°42′＝sin63°18′.
(2)规律：任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值；任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值．
或若∠A是锐角，则sinA＝cos(90°－A)，cosA＝sin(90°－A)．
