27.2 反比例函数的图像和性质
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1．已知反比例函数y＝的图像经过点(1，－2)，则k的值为( )
A．2 B．－ C．1 D．－2
2．已知如图，A是反比例函数y＝(k≠0)的图像上的一点，AB⊥x轴于点B，且△ABO的面积是3，则k的值是( )
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A．3 B．－3 C．6 D．－6
3．点P在反比例函数y＝(k≠0)的图像上，点Q(2，4)与点P关于y轴对称，则反比例函数的表达式为__________．
4．如图，在平面直角坐标系中，点O为原 ( http: / / www.21cnjy.com )点，反比例函数y＝(k≠0)的图像经过点(1，4)，菱形OABC的顶点A在函数的图像上，对角线OB在x轴上．
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(1)求反比例函数的表达式；
(2)直接写出菱形OABC的面积．
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5．函数y1＝x(x≥0)，y2＝(x＞0)的图像如图所示，下列结论：
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①两函数图像的交点坐标为A(2，2)；
②当x＞2时，y2＞y1；
③直线x＝1分别与两函数图像相交于B，C两点，则线段BC的长为3；
④当x逐渐增大时，y1的值随x的增大而增大，y2的值随x的增大而减小．
其中正确的是( )
A．①② B．①③ C．②④ D．①③④
6．如图，过点C(1，2)分别作x轴， ( http: / / www.21cnjy.com )y轴的平行线，交直线y＝－x＋6于A，B两点，若反比例函数y＝(x＞0)的图像与△ABC有公共点，则k的取值范围是( )
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A．2≤k≤9 B．2≤k≤8 C．2≤k≤5 D．5≤k≤8
7．已知反比例函数y＝(k＜0)的图像上有两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1＜x2，求y1，y2的关系．
8．在平面直角坐标系中，点A(－3 ( http: / / www.21cnjy.com )，4)关于y轴的对称点为点B，连接AB，反比例函数y＝(x＞0)的图像经过点B，过点B作BC⊥x轴于点C，点P是该反比例函数图像上任意一点，过点P作PD⊥x轴于点D，点Q是线段AB上任意一点，连接OQ，CQ.
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(1)求k的值；
(2)判断△QOC与△POD的面积是否相等，并说明理由．
参考答案
1．D 点拨：反比例函数y＝的图像经过点(1，－2)，即在表达式y＝中，当x＝1时，y＝－2，所以k＝xy＝1×(－2)＝－2.
2．C
3．y＝－ 点拨：因为点Q(2，4)与点P关于y轴对称，所以点P的坐标为(－2，4)．
因为点P在反比例函数y＝(k≠0)的图像上，
所以4＝，所以k＝－8，
所以y＝－.
4．解：(1)∵y＝的图像经过点(1，4)，
∴4＝，即k＝4.
∴所求反比例函数的表达式为y＝.
(2)S菱形OABC＝8.
5．D 点拨：①由于是选择题，直接验证得点A在两个函数图像上，所以①正确；②用特殊值代入法，取x＝4，有y2＝1，y1＝4，所以②错误；③当x＝1时，y2＝4，y1＝1，BC＝4－1＝3，所以③正确；④由一次函数和反比例函数的增减性可知④正确．
6．A 点拨：当点C(1，2)在反比例函数y＝上时，则k＝2.由＝－x＋6，则x2－6x＋k＝0，
当(－6)2－4k＝0时，直线与双曲线有 ( http: / / www.21cnjy.com )且只有一个交点，即k＝9，因此反比例函数y＝(x＞0)的图像与△ABC有公共点，则k的取值范围是2≤k≤9.
7．解：如图，∵k＜0，
∴在每个象限内，y随x的增大而增大．
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当x1，x2同号时，点A，B在同一个象限内，y随x的增大而增大．
∵x1＜x2，∴y1＜y2.
当x1，x2异号时，
∵x1＜x2，∴x1＜0，x2＞0.
∴y1＞0，y2＜0.∴y1＞y2.
8．解：(1)∵点B与点A关于y轴对称，A(－3，4)，∴点B的坐标为(3，4)．
∵反比例函数y＝(x＞0)的图像经过点B，
∴＝4，解得k＝12.
(2)相等．理由如下：
设点P的坐标为(m，n)，其中m＞0，n＞0，
∵点P在反比例函数y＝(x＞0)的图像上，
∴n＝，即mn＝12.
∴S△POD＝OD·PD＝mn＝×12＝6，
∵A(－3，4)，B(3，4)，
∴AB∥x轴，OC＝3，BC＝4.
∵点Q在线段AB上，
∴S△QOC＝OC·BC＝×3×4＝6.
∴S△QOC＝S△POD.27.1 反比例函数
能力点1利用待定系数法确定字母的取值范围
题型导引利用待定系数法结合函数的特征，确定函数表达式中字母的取值情况．
【例1】已知函数y＝(5m－3)x2－n＋(n＋m)，
(1)当m，n为何值时是一次函数？
(2)当m，n为何值时，为正比例函数？
(3)当m，n为何值时，为反比例函数．
分析：(1)根据一次函数的定义知2－n＝1，且5m－3≠0，据此可以求得m，n的值；
(2)根据正比例函数的定义知2－n＝1，m＋n＝0，5m－3≠0，据此可以求得m，n的值；
(3)根据反比例函数的定义知2－n＝－1，m＋n＝0，5m－3≠0，据此可以求得m，n的值．
解：(1)当函数y＝(5m－3) x2－n＋(m＋n)是一次函数时，2－n＝1，且5m－3≠0，
解得n＝1，m≠.
(2)当函数y＝(5m－3)x2－n＋(m＋n)是正比例函数时，
解得n＝1，m＝－1.
(3)当函数y＝(5m－3)x2－n＋(m＋n)是反比例函数时，解得n＝3，m＝－3.
规律总结正确理解和区分正比例函数、一次函数和反比例函数的表达式，正比例
函数可以表示为y＝kx(k≠0)；一次 ( http: / / www.21cnjy.com )函数可以表示为y＝kx＋b(k≠0)，反比例函数可以表示为y＝(k≠0)，即y＝kx－1(k≠0)．
变式训练
已知函数(m为常数)．
(1)当m取何值时，它是正比例函数？
(2)当m取何值时，它是反比例函数？
分析：函数y＝kxn＋b为正、反比例函数的条件分别是k≠0，b＝0，n＝1和k≠0，b＝0，n＝－1.
解：(1)由正比例函数的概念可知，要使为正比例函数，则需要满足解得m＝1，所以当m＝1时，它是正比例函数，其函数表达式为y＝－x.
(2)由反比例函数的概念可知，要使为反比例函数，则需要满足解得m＝3，所以当m＝3时，它是反比例函数，其函数表达式为y＝x－1.
能力点2求实际问题中反比例函数的表达式
题型导引在实际问题中，可以通过数学建模思想，确定反比例函数的表达式．
【例2】写出下列函数关系式，并指出它们各是什么函数？
(1)一个面积为500m2的矩形花坛，花坛的长y(m)与宽x(m)的关系；
(2)一个游泳池的容积为2000(m3)，注满游泳池的时间t(h)与注水速度v(m3/h)的关系．
解：(1)y＝，y是x的反比例函数；
(2)t＝，t是v的反比例函数．
规律总结利用数学建模思想列函数表达式时，首先审清题意，列出两个变量之间的关系式，将两个变量之间的关系加以整理，写出反比例函数的一般形式，即y＝(k≠0)．
变式训练
某村有耕地360公顷，人口数n逐年发生变化，那么该村人均占有耕地面积m(公顷/人)与全村人口数n的函数关系式为____________．
解析：由题意可知，该村的耕地总数一定，所以该村人均占有耕地面积m(公顷/人)与全村人口数n成反比例关系，所以该村人均占有耕地面积＝.
答案：m＝27.1 反比例函数
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1．下列函数中，y是x的反比例函数的是( )
A．y＝－4x B．y＝－6x＋1 C．y＝ D．xy＝2
2．计划修建铁路l千米，铺轨天数为t(天)，每日铺轨量s(千米/天)，则在下列三个结论中，正确的是( )
①当l一定时，t是s的反比例函数；
②当t一定时，l是s的反比例函数；
③当s一定时，l是t的反比例函数．
A．① B．② C．③ D．①②③
3．已知一个函数的关系式满足下表(x为自变量)：
x －4 －3 －2 －1 1 2 3 4
y 1.5 2 3 6 －6 －3 －2 －1.5
则这个函数的关系式为( )
A．y＝ B．y＝ C．y＝－ D．y＝
4．某厂有煤1500吨，则这些煤能用的天数y与每天用煤的吨数x之间的函数关系是__________．
5．现有一批救灾物资要从A市送往B市，如果两城市间的路程为500km，车速为每小时xkm，从A市到B市所需的时间为yh，那么y与x的函数关系式是__________，且y是x的__________函数．
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6．如果函数是反比例函数，那么m的值是__________．
7．已知函数y＝y1＋y2，y1与x成正比例，y2与x成反比例，且当x＝1时，y＝4；当x＝2时，y＝5.
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)当x＝4时，求y的值．
8．反比例函数y＝(k≠0)，当x的值由4增加到6时，y的值减少3，求这个反比例函数的表达式．
参考答案
1．D 2.A 3.C
4．y＝(x＞0)
5．y＝(x＞0) 反比例
6．－1 点拨：由题意，得解得m＝－1.
7．解：(1)设y1＝k1x(k1≠0)，y2＝(k2≠0)，
则y＝y1＋y2＝k1x＋①.
∵当x＝1时，y＝4；当x＝2时，y＝5，将它们的值分别代入①，
得
解得
∴y＝2x＋②.
(2)将x＝4代入②，得y＝2×4＋＝8.
8．解：当x＝4时，y＝；当x＝6时，y＝；
∵当x的值由4增加到6时，y的值减少3，
∴－＝3，解得k＝36.
∴这个反比例函数的表达式为y＝.27.3 反比例函数的应用
能力点反比例函数在物理等学科中的应用
题型导引反比例函数常常与物理学科的知识联系在一起，借助于物理知识建立模型，从而使问题获解．
【例题】某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压p(kPa)是气球的体积V(m3)的反比例函数，其图像如图所示．
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(1)写出这个函数的表达式；
(2)当气球的体积为0.8m3时，气球内的气压是多少千帕？
(3)当气球内的气压大于144kPa时，气球将爆炸，为了安全起见，气球的体积应不小于多少立方米？
解：(1)设p与V的函数的表达式为p＝(k≠0)，
把点A(1.5，64)代入，解得k＝96.
∴这个函数的表达式为p＝.
(2)把V＝0.8代入p＝，
得p＝120，
当气球的体积为0.8m3时，气球内的气压是120kPa.
(3)当p＝144时，V＝，
∴p≤144时，V≥.
规律总结本题运用了建模思想和代入法，根据已知条件建立反比例函数模型，得出反比例函数表达式，进而求解，应注意的是在画反比例函数图像时，注意在本题中的自变量取值范围，图像只分布在第一象限．
变式训练
蓄电池的电压为定值，使用此电源时，电流I(A)与电阻R(Ω)之间的函数关系如图所示．
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(1)蓄电池的电压是多少？你能写出这个函数的表达式吗？
(2)如果以此蓄电池为电源的用电器限制电流不得超过12A，那么用电器的可变电阻应控制在什么范围内？
分析：首先根据蓄电池的电压为定值，可知电流与电阻成反比，观察图像知电流与电阻的一对对应值，因而利用待定系数法求解．
解：(1)设蓄电池的电压为U，由电学公式知U＝IR，观察图像，
当R＝8时，I＝6，因而U＝6×8＝48.
所以函数的表达式为I＝.
(2)根据电流与电阻成反比的关系，当用电器限制电流不得超过12A(即I≤12A)时，则用电器的可变电阻应不少于＝4(Ω)，即R≥4Ω.27.3 反比例函数的应用
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1．已知甲、乙两地相距s(km)，汽车从甲地匀速行驶到乙地，则汽车行驶的时间t(h)与行驶速度v(km/h)的函数关系图像大致是( )
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2．在某一电路中，保持电压不变，电流I(A)与电阻R(Ω)成反比例，当电阻R＝5Ω时，电流I＝2A．
(1)求I与R(R＞0)之间的函数关系式；
(2)当电流I＝0.5安培时，求电阻R的值．
3．人的视觉机能受运动速度的影响很大，行驶中司机在驾驶室内观察前方物体时是动态的，车速增加，视野变窄．当车速为50km/h时，视野为80度．如果视野f(度)是车速v(km/h)的反比例函数，求f，v之间的函数关系式，并计算当车速为100km/h时视野的度数．
4．某校科技小组进行野外考察，途中遇到一片十几米宽的烂泥湿地．为了安全、迅速通过这片湿地，他们沿着前进路线铺了若干块木块，构筑成一条临时近道．木板对地面的压强p(Pa)是木板面积S(m2)的反比例函数，其图像如图所示．
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(1)请直接写出这一函数表达式和自变量的取值范围；
(2)当木板面积为0.2m2时，压强是多少？
(3)如果要求压强不超过6000Pa，木板的面积至少要多大？
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5．如图，是一次函数y1＝kx＋b与反比例函数y2＝的图像，则关于x的方程kx＋b＝的解为( )
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A． x1＝1，x2＝2 B．x1＝－2，x2＝－1
C．x1＝1，x2＝－2 D．x1＝2，x2＝－1
6．如图，小华设计了一个探究杠杆平衡条件的实验：在一根匀质的木杆中点O左侧固定位置B处悬挂重物A，在中点O右侧用一个弹簧秤向下拉，改变弹簧秤与点O的距离x(cm)，观察弹簧秤的示数y(N)的变化情况．实验数据记录如下：
x(cm) … 10 15 20 25 30 …
y(N) … 30 20 15 12 10 …
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(1)把上表中(x，y)的各组对应值作为点的 ( http: / / www.21cnjy.com )坐标，在坐标系中描出相应的点，用平滑曲线连接这些点并观察所得的图像，猜测y与x之间的函数关系，并求出函数关系式；
(2)当弹簧秤的示数为24N时，弹簧秤与O点的距离是多少厘米？随着弹簧秤与O点的距离不断减小，弹簧秤上的示数将发生怎样的变化？
7．某物体质量一定，则物体的体积V与物体的密度ρ成反比例函数．若体积V＝40m3，则密度ρ＝1.6kg/m3.
(1)写出此物体的体积V与密度ρ的函数关系式．
(2)当物体密度ρ＝3.2kg/m3时，它的体积V是多少？
(3)若为了将物体的体积控制在4～80m3之间，则该物体的密度在哪一个范围内？
8．如图，一次函数y＝kx＋b的图像与反比例函数y＝的图像相交于A，B两点，
(1)根据图像，分别写出A，B的坐标；
(2)求出两函数表达式；
(3)根据图像回答：当x为何值时，一次函数的函数值大于反比例函数的函数值．
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参考答案
1．C 点拨：t＝且v＞0，故函数图像是双曲线在第一象限内的分支．
2．解：(1)设I＝(k≠0)，
∵当R＝5时，I＝2，
∴k＝10.
∴I与R之间的函数关系式为I＝(R＞0)．
(2)当I＝0.5A时，由0.5＝，
解得R＝20(Ω)．
3．解：设f，v之间的函数关系式为f＝(k≠0)．
∵当v＝50时，f＝80，
∴80＝.
解得k＝4000，
∴f＝.
当v＝100时，f＝＝40(度)．
答：当车速为100km/h时视野为40度．
4．解：(1)p＝(S＞0)．
(2)当S＝0.2m2时，p＝＝3000(Pa)，
即压强是3000Pa.
(3)由题意知，≤6000，
∴S≥0.1，
即木板面积至少为0.1m2.
5．C 点拨：由图像可知，当x＝1和x＝－2时，y1＝y2，即kx＋b＝.
所以方程kx＋b＝的解是x1＝1，x2＝－2.
6．解：(1)画图略，
由图像猜测y与x之间的函数关系为反比例函数关系，
设函数关系式为y＝(k≠0)，
把x＝10，y＝30代入，得k＝300，
∴y＝，将其余各点代入验证均适合．
∴y与x之间的函数关系式为y＝.
(2)把y＝24代入y＝得x＝12.5，
∴当弹簧秤的示数为24N时，弹簧秤与O点的距离是12.5cm，
∵k＝300＞0，
∴随着弹簧秤与O点的距离不断减小，弹簧秤上的示数不断增大．
7．解：(1)该物体质量m＝40×1.6＝64(kg)，所以V＝(ρ＞0)．
(2)当ρ＝3.2kg/m3时，V＝＝20(m3)．
(3)当4≤V≤80时，4≤≤80.
解得0. 8≤ρ≤16，
即该物体的密度在0. 8～16kg/m3之间．
8．解：(1)A(－6，－2)，B(4，3)；
(2)∵一次函数y＝kx＋b的图像经过点A(－6，－2)，B(4，3)，
∴
解得
∴一次函数的表达式为y＝x＋1.
∵反比例函数y＝(m≠0)的图像经过点A(－6，－2)，
∴－2＝，
解得m＝12.
∴反比例函数的表达式为y＝.
(3)当－6＜x＜0或x＞4时，一次函数的函数值大于反比例函数的函数值．27.2 反比例函数的图像和性质
能力点1根据图像上点的坐标确定反比例函数的表达式
题型导引用待定系数法确定反比例函数表达式，由于在反比例函数y＝(k≠0)中，只有一个待定系数，因此，只需要图像上的一个点的坐标即可求出k的值．
【例1】已知反比例函数y＝(k为常数，且k≠0)的图像经过点A(2，3)．
(1)求这个函数的表达式；
(2)判断点B(－1，6)，C(3，2)是否在这个函数的图像上，并说明理由．
分析：(1)把点A的坐标代入已知函数表达式，通过方程即可求得k的值．
(2)只要把点B，C的坐标分别代入函数表达式，横纵坐标之积等于6时，即该点在函数图像上．
解：(1)∵反比例函数y＝(k为常数，且k≠0)的图像经过点A(2，3)，
∴把点A的坐标代入表达式，得3＝，解得k＝6，
∴这个函数的表达式为y＝.
(2)∵反比例函数表达式y＝，∴6＝xy.
分别把点B，C的坐标代入，得(－1)×6＝－6≠6，则点B不在该函数图像上．
3×2＝6，则点C在该函数图像上．
规律总结本题采用了待定系数法和代入法，由于在反比例函数y＝(k≠0)中，只有一个待定系数，因此，只需要图像上的一个点的坐标即可求出k的值；反之利用代入法，我们直接将点的坐标代入到函数表达式中，看是否使表达式成立，若成立，则是图像上的点，反之不是．
变式训练
1．(湖南湘潭中考)如图，点P(－3，2)是反比例函数y＝(k≠0)的图像上一点，则反比例函数的表达式为( )
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A．y＝－ B．y＝－ C．y＝－ D．y＝－
2．已知反比例函数的图像上有两点A(－4，3)和P(a，－2)．求点P的坐标．
分析解答FENXI JIEDA
1．答案：D
2．分析：根据同一反比例函数图像上各点的横纵坐标的积相等列出关于a的方程，求出a的值即可求出点P的坐标．
解：∵点A(－4，3)和P(a，－2)是同一反比例函数图像上的点，
∴(－4)×3＝－2a，
解得a＝6，
∴P点坐标为(6，－2)．
能力点2确定反比例函数表达式中字母的取值范围
题型导引根据反比例函数的增减性，确定字母的取值范围．
【例2】在反比例函数y＝的图像的每一条曲线上，y都随x的增大而增大，则k的值可以是( )
A．－1 B．0 C．1 D．2
解析：由“每一条曲线上，y都随x的增大而增大”可知1－k＜0，解得k＞1.在四个选项中，只有2＞1，故选D.
答案：D
规律总结在具体问题中，根据反比例函数的性质可以得到关于未知系数的不等式，解不等式可求得字母的取值范围．
变式训练
(黑龙江中考)反比例函数y＝的图像，当x＞0时，y随x的值的增大而增大，则k的取值范围是( )
A．k＜2 B．k≤2 C．k＞2 D．k≥2
解析：∵函数y＝当x＞0时，y随x的值的增大而增大，∴在其所在的每一象限内，函数值y随自变量x的增大而增大，∴k－2＜0，解得，k＜2.
答案：A
能力点3比较反比例函数值的大小
题型导引根据反比例函数的增减性可以比较同一个反比例函数的函数值的大小．
【例3】在函数y＝的图像上有三个点的坐标分别为(1，y1)，，(－3，y3)，函数值y1，y2，y3的大小关系是( )
A．y1＜y2＜y3 B．y3＜y2＜y1 C．y2＜y1＜y3 D．y3＜y1＜y2
解析一：将x＝1，，－3分别代入y＝，
可得y1＝1，y2＝2，y3＝－.
因为－＜1＜2，
所以y3＜y1＜y2.
解析二：由函数y＝中，k＝1＞0，可知它的图像的两个分支分别位于第一、三象限(如图所示)，观察图像可知y3＜y1＜y2.
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解析三：由k＝1＞0，且1＞＞0＞－3，可知前两个点在第一象限内，且y2＞y1＞0，第三个点在第三象限内，y3＜0，所以y3＜y1＜y2.
答案：D
规律总结比较反比例函数值的大小时，可通过反比例函数的增减性来比较，也可以利用数形结合思想，通过函数图像解决．
变式训练
已知点(－2，y1)，(－1，y2)，(3，y3)都在反比例函数y＝的图像上，y1，y2，y3的大小关系正确的是( )
A．y1＜y2＜y3 B．y3＜y2＜y1 C．y2＜y1＜y3 D．y3＜y1＜y2
解析：由函数y＝，k2＋1＞0，可知它的图像的两个分支分别位于第一、三象限，(如图所示)，观察图像可知y2＜y1＜y3.
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答案：C
