25.1 比例线段
能力点 利用比例性质求值
题型导引与比例有关的求值问题是常见的题型，一般有以下两种解题方法：
(1)利用比例的基本性质可将比例式转化为等积式，进而解方程求出字母的值；
(2)在与比例式有关的求值问题中，用设k法求解往往比较简单，即设所给比例式的值是一个常数k，得出所有未知量与这个常数的关系式，再将它们代入求值．
【例题】已知x∶2＝y∶3＝z∶4，求的值．
分析：已知条件给出的是一个连比，而比是一个商，是一个数值．如果我们设两个量a，b的比值为k，由＝k可以得等式a＝bk，所以比反映的又是两个量之间的一种关系．
解法一：设＝＝＝k，则x＝2k，y＝3k，z＝4k，
故＝＝－.
解法二：∵＝＝，∴x＝y，z＝y.
∴＝＝＝－.
规律总结两种解法均建立在对“比”的意义的理解上，在解法一中，设辅助元即已知比的比值为k，分别得x，y，z与k的关系，代入所求代数式中得到结果，这就是数学中的参数思想的运用；解法二，将已知式子中的两个量分别用第三个量表示，再代入求值，体现了消元思想．
变式训练
1．已知a，b，c三个数满足＝，＝，＝，那么的值为( )
A． B． C． D．
2．已知x∶y∶z＝3∶5∶6，且2x－y＋3z＝38，求3x＋y－2z的值．
分析解答
1．解析：注意到a≠0，b≠0，c≠0，那么根据分式基本性质，得＝，＝，＝.
∴＝＝＝1.
根据等比性质，得
∴＝1.
即有＝1.
所以＝.
答案：A
2．分析：设辅助元k，用含k的代数式表示x，y，z，建立方程求解．
解：因为x∶y∶z＝3∶5∶6，
所以可设＝＝＝k，
则x＝3k，y＝5k，z＝6k，
又2x－y＋3z＝38，
所以6k－5k＋18k＝38，即k＝2.
所以3x＋y－2z＝9k＋5k－12k＝2k＝4.25.4 相似三角形的判定
能力点1判断两个三角形相似的基本思路
题型导引要判断两个三角形相似，一般的思考方法是：先考虑是否有两对角对应相等；如果只有一对角对应相等，再看夹这个角的两边是否成比例；如果不能确定出对应角相等，再看三组对应边是否成比例．
警误区：当两个三角形有两边对应成比例，只有当这两边的夹角相等时，两个三角形才相似．
【例1】在△ABC与△A′B′C′中，有下列条件：①＝；②＝；③∠A＝∠A′；④∠C＝∠C′.如果从中任取两个条件组成一组，那么能判断△ABC∽△A′B′C′的共有__________组．
解析：①与②，满足＝＝，能判定△ABC∽△A′B′C′；
③与④，满足∠A＝∠A′，∠C＝∠C′.
能判定△ABC∽△A′B′C′；
②与④满足＝，∠C＝∠C′，能判定△ABC∽△A′B′C′，共有3组．
答案：3
规律总结根据相似三角形的三种判定
方法选择合适的条件．判定两个三角形相似的思路：①先找两对对应角相等；②若只能找到一对对应角相等，则判断相等的角的两夹边是否对应成比例；③若找不到角相等，就判断三边是否对应成比例，否则可考虑相似三角形的“传递性”．
变式训练
如图，已知△ABC的两条高BD，CE相交于点O.
求证：△AED∽△ACB.
( http: / / www.21cnjy.com )
分析：在△AED和△ACB中，有公共角∠A，但很难再找出一组角对应相等，故需证明夹∠A的两边对应成比例．
证明：∵∠ADB＝∠AEC＝90°，∠A＝∠A，∴△ABD∽△ACE.∴＝.
又∵∠A＝∠A，∴△AED∽△ACB.
能力点2比例式与等积式
题型导引1.证明比例式
(1)如果构成比例式的四条线段在两个三角形中时，可通过证明这两个三角形相似得到；
(2)当构成比例式的四条线段不在两个三角形中时，可考虑寻找中间比或用相等的线段替代题目中的线段．
2．证明等积式
在证明等积式时，首先要根据比例的基本性质把等积式化为比例式，然后再利用(1)中的方法求解．
【例2】已知：如图，在△ABC中，∠C＝90°，D，E分别是AB，AC上的两点，并且AD·AB＝AE·AC，证明：ED⊥AB.
( http: / / www.21cnjy.com )
分析：要证ED⊥AB，即要证∠ADE＝90°，即△ADE∽△ACB.
证明：∵AD·AB＝AE·AC，∴ ＝.
又∵∠A是△ABC和△AED的公共角，
∴△ABC∽△AED.
∴∠ADE＝∠C＝90°，即ED⊥AB.
规律总结对于几何证明中遇到等积式时，一般把等积式改写成比例式，然后证明三角形相似，再利用相似三角形证明线段成比例．
变式训练
如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D.
( http: / / www.21cnjy.com )
求证：(1)AC2＝AD·AB；
(2)BC2＝BD·AB；
(3)CD2＝AD·BD.
分析：等积式AC2＝AD·AB可化为＝，其中分子上的AC，AB在△ABC中，
分母上的AD，AC在△ACD中，因此可通过证明这两个三角形相似得到．利用同样的方法可证明(2)和(3)．
证明：(1)∵CD⊥AB，∴∠ADC＝90°.
∵∠ACB＝90°，∴∠ADC＝∠ACB.
又∵∠CAD＝∠BAC，
∴△ACD∽△ABC.∴＝，
即AC2＝AD·AB.
(2)易证△BCD∽△BAC，
∴＝，
即BC2＝BD·AB.
(3)易证△ADC∽△CDB，
∴＝，即CD2＝AD·BD.25.4 相似三角形的判定
基础巩固JICHU GONGGU
1．如图，△ABC中，D，E分别在AB，AC上，且DE∥BC，若AE∶EC＝1∶2，AD＝6，则AB的长为( )
A．18 B．12 C．9 D．3
2．如图，∠DAB＝∠CAE，请补充一个条件：__________，使△ABC∽△ADE.
( http: / / www.21cnjy.com )
(第1题图)
( http: / / www.21cnjy.com )
(第2题图)
3．如图，已知E是矩形ABCD的边CD上一点，BF⊥AE于点F，试说明：△ABF∽△EAD.
( http: / / www.21cnjy.com )
4．如图，在4×4的正方形网格中，△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的正方形的顶点上．
(1)填空：∠ABC＝______°；BC＝______；
(2)判断△ABC与△DEF是否相似，并说明理由．
5．已知图中的每个小正方形的边长是1个单位．在图中画出一个与格点△ABC相似但相似比不等于1的格点三角形．
( http: / / www.21cnjy.com )
(第4题图)
( http: / / www.21cnjy.com )
(第5题图)
能力提升NENGLI TISHENG
6．如图所示，给出下列条件：
①∠B＝∠ACD；②∠ADC＝∠ACB；③＝；④AC2＝AD·AB.
其中单独能够判定△ABC∽△ACD的个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
7．在 ABCD中，E在DC上，若DE∶EC＝1∶2，则BF∶BE＝__________.
( http: / / www.21cnjy.com )
(第6题图)
(第7题图)
8．如图，已知△PMN是等边三角形，∠APB＝120°，求证：AM·PB＝PN·AP.
( http: / / www.21cnjy.com )
9．如图，△ABC中，D，E分别是边BC，AB的中点，AD，CE相交于点G.求证：＝＝.
10．如图，已知△ABC，△DEC均为等边三角形，D在AB上．
(1)图中有哪几个三角形与△DBC相似，把它们表示出来；
(2)请选其中的一组说明理由．
( http: / / www.21cnjy.com )
(第9题图)
( http: / / www.21cnjy.com )
(第10题图)
参考答案
1．A 点拨：因为DE∥BC，所以△ABC∽△ADE.
所以AD∶AB＝AE∶AC.
又因为AE∶EC＝1∶2，
所以AE∶AC＝1∶3.
所以AD∶AB＝1∶3.
因为AD＝6，所以AB＝18.
2．∠D＝∠B或∠AED＝∠C或＝
3．解：∵矩形ABCD中，AB∥CD，∠D＝90°，
∴∠BAF＝∠AED.
∵BF⊥AE，∴∠AFB＝90°.
∴∠AFB＝∠D.∴△ABF∽△EAD.
4．解：(1)135 2
(2)相似，理由：观察图形可知AB＝2，BC＝2，FE＝2，ED＝，
∵＝＝，＝＝，
∴＝.
又∵∠ABC＝∠FED＝135°，
∴△ABC∽△DEF.
5．解：如图所示(答案不唯一)．
( http: / / www.21cnjy.com )
6．C 点拨：在△ABC和△ACD中，有公共角∠A，再有一组角相等，如∠ADC＝∠ACB(或∠ACD＝∠ABC)，两三角形相似；在△ACD中，夹∠A的边为AC和AD，在△ABC中，夹∠A的边为AB和AC，当它们对应成比例，即＝(或AC2＝AD·AB)时，两三角形相似．故答案为C.
7．3∶5 点拨：因为DE∶EC＝1∶2，
所以AB∶EC＝3∶2；
因为AB∥CD，所以△ABF∽△CEF.
所以＝＝.所以＝.
8．证明：∵△PMN是等边三角形，
∴∠PMN＝∠PNM＝60°.
又∵∠PMA＋∠PMN＝∠PNB＋∠PNM＝180°，∴∠PMA＝∠PNB＝120°.
∴∠A＋∠1＝60°，∠1＋∠2＝120°－60°＝60°.
∴∠A＋∠1＝∠1＋∠2.
∴∠A＝∠2.∴△APM∽△PBN.
∴＝.∴AM·PB＝PN·AP.
9．证明：连结ED，
( http: / / www.21cnjy.com )
∵D，E分别是边BC，AB的中点，
∴DE∥AC，＝.
∴△ACG∽△DEG.
∴＝＝＝.
∴＝＝.
10．解：(1)△DBC∽△FEC，△DBC∽△FAD.
(2)选△DBC与△FEC相似来证明．
∵△ABC，△DEC均为等边三角形，
∴∠BCD＋∠ACD＝60°.
又∵∠ECF＋∠ACD＝60°，
∴∠BCD＝∠ECF.
∵∠B＝∠E＝60°.
∴△DBC∽△FEC.25.6 相似三角形的应用
能力点1利用相似三角形解决物高或影长问题
题型导引利用相似三角形解决实际问题中的物体高度或影长问题，通过构建相似三角形，利用其性质解决问题．
【例1】如图，九年级(1)班课外活动小组利用标杆测量学校旗杆的高度，已知标杆高度CD＝3m，标杆与旗杆的水平距离BD＝15m，人的眼睛与地面的高度EF＝1.6m，人与标杆CD的水平距离DF＝2m，求旗杆AB的高度．
( http: / / www.21cnjy.com )
分析：旗杆AB的高度由两部分组成，下部HB等于人眼距地面的高度，上部AH利用相似三角形的知识求解．
解：过E点作AB的垂线EH，交CD于点G.
∵CD⊥FB，AB⊥FB，∴CD∥AB.
( http: / / www.21cnjy.com )
∴△CGE∽△AHE，∴＝.
即＝.
∴＝，∴AH＝11.9.
∴AB＝AH＋HB＝AH＋EF＝11.9＋1.6＝13.5(m)．
规律总结对于这类问题，要注意灵活应用相似三角形的有关性质，分清对应的边和角，必要时可适当添加辅助线，构造出相似三角形，通过列比例式求解．
变式训练
如图，花丛中有一根路灯杆AB.在灯光下，乐乐在D点处的影长DE＝3米，沿BD方向行走到达G点，DG＝5米，这时乐乐的影长GH＝5米．如果乐乐的身高为1.7米，求路灯杆AB的高度(精确到0.1米)．
( http: / / www.21cnjy.com )
分析：由于CD⊥BH，FG⊥BH，AB⊥BH ( http: / / www.21cnjy.com )，于是有△ABE∽△CDE，△ABH∽△FGH，列两个比例式，通过身高和灯杆不变构建中间比求出BD，进而求出AB.
解：根据题意，得AB⊥BH，CD⊥BH，FG⊥BH，
在Rt△ABE和Rt△CDE中，∠ABE＝∠CDE＝90°，∠AEB为公共角，
∴△ABE∽△CDE.
∴＝.①
同理＝.②
又∵CD＝FG＝1.7m，
由①②可得＝，
即＝，
解之得BD＝7.5m.
将BD＝7.5代入①，
得AB＝5.95m≈6.0m.
答：路灯杆AB的高度约为6.0m.
能力点2利用相似三角形解决生活中的距离问题
题型导引通过构建相似三角形，利用其性质，求一些无法直接测量的距离．
【例2】检查视力时，规定人与视力表之间的距离应为5米，现因房间两面墙的距离为3米，因此，使用平面镜来解决房间小的问题，若使墙面镜子能呈现完整的视力表，如图，由平面镜成像原理，作出了光路图，其中视力表AB的上下边沿A，B发出的光线经平面镜MM′的上下沿反射后射入人眼C处，如果视力表的全长为0.8米，请你计算出镜子的长至少为多少米？
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
分析：正确理解人与视力表之间的距离和房间两面墙的距离问题，点到线(面)的距离、线与线(面与面)之间的距离是垂线段的长度，所以要作出点C到MM′和A′B′的垂线段，利用相似三角形对应高的性质列比例式求解．
解：如图，作CD⊥MM′，垂足为D，并延长交A′B′于E，
( http: / / www.21cnjy.com )
∵AB∥MM′∥A′B′，
∴CE⊥A′B′，∠CMM′＝∠CA′B′，∠CM′M＝∠CB′A′.
∴△CMM′∽△CA′B′.
∴＝.
∵CD＝5－3＝2，CE＝5，A′B′＝AB＝0.8，
∴＝，
∴MM′＝0.32(米)．
即镜长至少为0.32米．
规律总结对于实际中的距离问题，有时我们可以运用模型思想解答，解决的关键是把实际问题转化为数学问题，并建立相似三角形模型，利用相似三角形的性质解决问题．
变式训练
如图，小刚在晚上由灯柱AE走向灯柱BC，当他走到M点时，发觉他身后影子的顶部刚好接触到灯柱AE的底部，当他向前再走12米到N点时，发觉他身前的影子刚好接触到灯柱BC的底部，已知小刚的身高是1.6米，两根灯柱的高度都是9.6米，设AM＝NB＝x米．求：两根灯柱之间的距离．
( http: / / www.21cnjy.com )
分析：依题意得到△AMF∽△ABC，从而利用相似三角形对应边成比例得到＝，再由它可以求出AB.
解：由对称性可知AM＝BN，
设AM＝NB＝x米，
∵MF∥BC，
∴△AMF∽△ABC.
∴＝.
∴＝.
∴x＝3.
经检验x＝3是原方程的根，并且符合题意．
∴AB＝2x＋12＝2×3＋12＝18(m)．
答：两根灯柱之间的距离为18米．25.7 相似多边形和图形的位似
能力点1探索多边形相似的条件
题型导引利用相似多边形的概念，我们可以通过寻找对应边成比例，对应角相等从而证明两个多边形相似．
【例1】某出版社一位编辑在设计一本书的封 ( http: / / www.21cnjy.com )面时，想把封面划分为四个矩形，其中左上角矩形与右下角矩形相似(如图)，以给人一种和谐的感觉，这样的两个矩形是怎样画出来的？
分析：如图所示，作对角线AC，在AC上取一点P，过P作EF∥BC，GH∥AB，显然△PAG∽△PCH，所以＝，这样，矩形AEPG和矩形CFPH就满足对应边成比例，对应角相等，即这两个矩形相似．
解：如图．
( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com )
规律总结相似多边形的判定要满足两个条件：对应角相等，对应边成比例．
变式训练
如图，一块长3m，宽1.5m的矩形黑板ABCD，镶在其外围的木质边框宽7.5cm.边框的内边缘所成的矩形ABCD与边框的外边缘所成的矩形EFGH相似吗？为什么？
( http: / / www.21cnjy.com )
分析：根据相似多边形的定义可以知道，当两个多边形所有的对应角相等，对应边成比例时，两个多边形相似．本题中因为两个多边形是矩形，所以对应角都相等，判断它们是否相似，只要确定对应边是否成比例即可．
解：不相似．
∵矩形ABCD中，AB＝1.5m，AD＝3m，镶在其外围的木质边框宽7.5cm＝0.075m，
∴EF＝1.5＋2×0.075＝1.65(m)，
EH＝3＋2×0.075＝3.15(m)，
∴＝＝，＝＝.
∵≠，∴矩形ABCD与矩形EFGH不相似．
能力点2利用位似变换特征作图
题型导引根据位似图形的特征，我们可以把一些图形按要求进行放大或缩小．
【例2】已知：△ABC在坐标平面 ( http: / / www.21cnjy.com )内，三个顶点的坐标分别为A(0，3)，B(3，4)，C(2，2)．(正方形网格中，每个小正方形的边长是1个单位长度)
( http: / / www.21cnjy.com )
(1)画出△ABC向下平移4个单位得到的△A1B1C1，并直接写出C1点的坐标；
(2)以点B为位似中心，在网格中 ( http: / / www.21cnjy.com )画出△A2BC2，使△A2BC2与△ABC位似，且位似比为2∶1，并直接写出C2点的坐标及△A2BC2的面积．
分析：(1)根据网格结构，找出点A，B，C向下平移4个单位的对应点A1，B1，C1的位置，然后顺次连接即可，再根据平面直角坐标系写出点C1的坐标；
(2)延长BA到A2，使AA2＝AB，延长BC到C2，使CC2＝BC，然后连接A2C2即可，再根据平面直角坐标系写出C2点的坐标，利用△A2BC2所在的矩形的面积减去四周三个小直角三角形的面积，列式计算即可得解．
解：(1)如图，△A1B1C1即为所求，C1(2，－2)；
(2)如图，△A2BC2即为所求，C2(1，0)，△A2BC2的面积：6×4－×2×6－×2×4－×2×4＝24－6－4－4＝24－14＝10.
( http: / / www.21cnjy.com )
规律总结利用平移变换作图 ( http: / / www.21cnjy.com )，以及在网格内求三角形的面积时，根据网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键，网格内的三角形的面积通常利用三角形所在的矩形的面积减去四周三个小直角三角形的面积得到．
变式训练
画一个三角形，使它与已知△ABC位似，且原三角形与所画的三角形的位似比为2∶1.
( http: / / www.21cnjy.com )
分析：没有给出位似中心，当位似中心的位置不同时，所画的图形也不相同．
解：画法1：如图(1)，在△ABC外任选一点O，连接OA，OB，OC，并且分别取OA，OB，OC的中点A′，B′，C′，连接A′B′，B′C′，A′C′，得到△A′B′C′，则△A′B′C′与△ABC位似，且位似比为1∶2.
( http: / / www.21cnjy.com )
(1)
( http: / / www.21cnjy.com )
(2)
( http: / / www.21cnjy.com )
(3)
画法2：如图(2)，取AB的中点A′，过A′作A′C′∥AC，交BC于点C′，则△A′BC′与△ABC位似，且位似比为1∶2.
画法3：如图(3)，延长AB到A′点，使BA′＝AB，延长CB到C′点，使BC′＝BC，连接A′C′，则△A′BC′与△ABC位似，且位似比为1∶2.25.3 相似三角形
基础巩固JICHU GONGGU
1．若△ABC∽△A′B′C′相似，且相似比为，那么△A′B′C′与△ABC的相似比为( )
A． B． C． D．
2．如图，点P是△ABC的边AB上的一点，且满足△APC∽△ACB，则下列比例式：
①＝；②＝；
③＝；④＝.
其中正确的是( )
A．①② B．③④ C．①②③ D．②③④
3．如图，四边形ABCD是平行四边形，则图中与△DEF相似的三角形共有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
( http: / / www.21cnjy.com )
(第2题图)
( http: / / www.21cnjy.com )
(第3题图)
4．如图，△ABC∽△ADE，若AE＝3，EC＝5，DE＝3.6，则BC的长为__________．
5．如图，△AOB∽△COD，∠A＝25°，∠AOB＝110°，则∠D的度数为__________．
( http: / / www.21cnjy.com )
(第4题图)
( http: / / www.21cnjy.com )
(第5题图)
6．如图，△ABC∽△CBD，∠A＝30°，∠B＝45°，求∠ACD的度数．
( http: / / www.21cnjy.com )
能力提升NENGLI TISHENG
7．一个铝质三角形框架三条边长分别为24cm，30cm，36cm，要做一个与它相似的铝质三角形框架，现有长为27cm，45cm的两根铝材，要求以其中的一根为一边，从另一根上截下两段(允许有余料)作为另外两边．截法有( )
A．0种 B．1种 C．2种 D．3种
8．已知△ABC中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，若△ABC∽△A1B1C1，且△A1B1C1的最大边长是15，求△A1B1C1的面积．
9．如图，点P在平行四边形ABCD的CD边上，连接BP并延长与AD的延长线交于点Q.
( http: / / www.21cnjy.com )
(1)求证：△DQP∽△CBP；
(2)当△DQP≌△CBP，且AB＝8时，求DP的长．
参考答案
1．B 点拨：因为△ABC∽△A′B′C′相似，所以＝，而△A′B′C′与△ABC的相似比为＝.
2．A 点拨：根据相似三角形的对应边成比例判断比例式是否成立，由△APC∽△ACB得＝＝，将比例式进行适当变形可知①，②是正确的；③，④是错误的．
3．B 点拨：由四边形ABCD是平行四边形，我们可以知道AD∥BC，所以△EDF∽△ECB.同时AB∥CD，故△DEF∽△ABF.
综上所述，图中与△DEF相似的三角形共有2个．
4．9.6 点拨：由已知得AC＝AE＋EC＝8，
因为△ABC∽△ADE，
所以＝，即＝，所以BC＝9.6.
5．45° 点拨：由三角形内角和180°可知∠B＝45°，因为△AOB∽△COD，
所以∠D＝∠B＝45°.
6．分析：在△ABC中，已知∠ ( http: / / www.21cnjy.com )A和∠B，根据三角形内角和求出∠ACB的度数，由相似三角形对应角相等可以知道∠BCD的度数，利用∠ACB，∠BCD两角之差的关系计算∠ACD的度数即可．
解：因为∠A＝30°，∠B＝45°，
所以∠ACB＝105°.
因为△ABC∽△CBD，
所以∠BCD＝∠A＝30°.
所以∠ACD＝∠ACB－∠BCD＝105°－30°＝75°.
7．B 点拨：分类讨论，假设以27cm为一边，把45cm截成两段，设这两段分别为xcm，ycm(x＜y)．
则可得：＝＝①或＝＝②(注：27cm不可能是最小边)，
由①解得x＝18，y＝22.5，符合题意；
由②解得x＝，y＝，x＋y＝＋＝＝54＞45，不合题意，舍去；
假设以45cm为一边，把27cm截成两段，设这两段分别为xcm，ycm(x＜y)．
则可得：＝＝(注：只能是45是最大边)，解得x＝30，y＝，x＋y＝30＋37.5＝67. 5＞27，不合题意，舍去．
8．分析：根据勾股定理的逆定理判断三角形的形状，再利用相似列比例式计算有关边长(直角边的长)，最后计算三角形的面积．
解：因为32＋42＝52，
所以△ABC是直角三角形，且∠C＝90°.
因为△ABC∽△A1B1C1，
所以△A1B1C1也是直角三角形，A1C1与B1C1垂直，A1B1＝15，＝＝，
所以A1C1＝·AC＝9，B1C1＝·BC＝12.
所以S△A1B1C1＝A1C1·B1C1＝×9×12＝54.
9．分析：(1)在平行四边形ABCD中 ( http: / / www.21cnjy.com )，AD平行于BC，根据平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所截的三角形与原三角形相似，所以△DQP与△CBP相似；
(2)△DQP≌△CBP，DP＝CP＝CD，AB＝CD＝8，即可得出答案．
(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AQ∥BC，∴△DQP∽△CBP.
(2)解：∵△DQP≌△CBP，
∴DP＝CP＝CD.
∵AB＝CD＝8，∴DP＝4.25.2 平行线分线段成比例
自我小测
基础巩固JICHU GONGGU
1．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，DE∥BC，已知AE＝6，＝，则EC的长是( )
A．4.5 B．8 C．10.5 D．14
2．如图，直线AB∥CD∥EF，若AC＝3，CE＝4，则的值是 ( )
A． B． C． D.
( http: / / www.21cnjy.com )
(第1题图)
( http: / / www.21cnjy.com )
(第2题图)
3．已知线段a，b，c，求作第四比例线段x，下列作图正确的是( )
( http: / / www.21cnjy.com )
4．如图所示，一条河的两岸有一段是 ( http: / / www.21cnjy.com )平行的，在河的南岸边每隔5m有一棵树，在北岸边每隔50m有一根电线杆．小丽站在离南岸边15m的点P处看北岸，发现北岸相邻的两根电线杆恰好被南岸的两棵树遮住，并且在这两棵树之间还有三棵树，则河宽为__________m.
( http: / / www.21cnjy.com )
5．如图，路灯距离地面8m，身高1.6m的小明站在距离灯的底部(点O)20m的A处，则小明的影子AM长为________m.
( http: / / www.21cnjy.com )
6．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，DE∥BC交AB于点E，DE＝4，BC＝6，AD＝5.求DC与AE的长．
( http: / / www.21cnjy.com )
能力提升NENGLI TISHENG
7．如图，△ABC为等边三角形，点E在BA的延长线上，点D在BC边上，且ED＝EC.若△ABC的边长为4，AE＝2，则BD的长为( )
( http: / / www.21cnjy.com )
A．2 B．3 C． D．＋1
8．已知 ABCD中，E是BA边延长线上一点，CE交对角线DB于点G，交AD边于点F，
求证：CG2＝GF·GE.
( http: / / www.21cnjy.com )
参考答案
1．B 点拨：根据平行线分线段成比例的基本事实列式进行计算即可得解．
2．C 点拨：已知直线AB∥CD∥EF，根据平行线分线段成比例的基本事实列出比例式即可求解．
3．D 点拨：本题运用排除法解答，根据第四比例线段的定义列出比例式，再根据平行线分线段成比例定理对各选项图形列出比例式即可得解．
∵线段x为线段a，b，c的第四比例线段，
∴＝.
A选项，作出的为＝，故本选项错误；
B、C选项，线段x无法先作出，故本选项错误；
D选项，作出的为＝，故本选项正确．
4．22.5 点拨：根据题意，河两岸平行，故可根据平行线分线段成比例来解决问题，列出方程，求解即可．
5．5 点拨：根据题意，易知AB∥OC，
则＝，可得＝，
即＝，解得AM＝5.
故小明的影长为5m.
( http: / / www.21cnjy.com )
6．分析：根据平行线分线段成比例， ( http: / / www.21cnjy.com )可得＝，求出AC，从而得到DC的长．根据等腰三角形的性质得到DE＝BE＝4，再由平行线分线段成比例，可得＝＝，得到AE的长．
解：∵DE∥BC，∴＝.
又DE＝4，BC＝6，AD＝5，
∴＝.∴AC＝.
∴DC＝AC－AD＝.
∵DE∥BC，∴＝.
∴∠DBC＝∠EDB.
∵BD平分∠ABC，∴∠EBD＝∠DBC.
∴∠EBD＝∠EDB.
∴DE＝BE＝4，＝＝.∴AE＝8.
7．A 点拨：延长BC至F点，使得CF＝BD，∵ED＝EC，∴∠EDC＝∠ECD.
∴∠EDB＝∠ECF.
在△EBD和△EFC中，
∴△EBD≌△EFC(SAS)．∴∠B＝∠F.
∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝∠ACB.
∴∠ACB＝∠F.∴AC∥EF.∴＝.
∵BA＝BC，∴CF＝AE＝2.∴BD＝CF＝2.
( http: / / www.21cnjy.com )
8．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC∥AB，AD∥BC.
∵DC∥AB，∴＝.
∵AD∥BC，∴＝.
∴＝，即CG2＝GF·GE.25.5 相似三角形的性质
能力点1相似三角形性质的应用
题型导引利用相似三角形的性质进行推理计算，如求角和面积等．
【例1】如图， ABCD中，E是CD的延长线上一点，BE与AD交于点F，DE＝CD.
( http: / / www.21cnjy.com )
(1)求证：△ABF∽△CEB；
(2)若△DEF的面积为2，求 ABCD的面积．
分析：(1)由 ABCD的性质可得到∠A＝∠C，∠ABF＝∠CEB，容易证出△ABF∽△CEB；
(2)观察图形可知S四边形ABCD＝S四边形BCDF＋S△ABF，而S四边形BCDF＝S△BCE－S△DEF，因此可以S△DEF＝2为切入点，结合△DEF∽△CEB，△DEF∽△ABF，利用相似三角形面积的比等于相似比的平方，及条件DE＝CD，求出S△ABF，S△BCE，从而求出S四边形BCDF.
(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A＝∠C，AB∥CD.
∴∠ABF＝∠CEB.
∴△ABF∽△CEB.
(2)解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB綉CD.
∴△DEF∽△CEB，△DEF∽△ABF.
∵DE＝CD，
∴＝＝，＝＝.
∵S△DEF＝2，∴S△CEB＝18，S△ABF＝8.
∴S四边形BCDF＝S△BCE－S△DEF＝16.
∴S四边形ABCD＝S四边形BCDF＋S△ABF＝16＋8＝24.
规律总结利用相似三角形的性质求图形的面积时，可以适当的把图形分割转化为三角形，然后根据“相似三角形面积的比等于相似比的平方”求解．
变式训练
如图，△ABC是一张锐角三角形的硬纸片，AD是边BC上的高， BC＝40cm，AD＝30cm，从这张硬纸片上剪下一个长HG是宽HE的2倍的矩形EFGH，使它的一边EF在BC上，顶点G，H分别在AC，AB上，AD与HG的交点为M.
( http: / / www.21cnjy.com )
(1)求证：＝；
(2)求这个矩形EFGH的周长．
分析解答
分析：(1)利用相似三角形对应边上 ( http: / / www.21cnjy.com )的高之比等于相似比即可求证，当然，也可以找到两组比，利用等边传递相似比；(2)设元，利用合适的相似比列出方程，解方程即可．
解：(1)方法一：
证明：∵四边形EFGH为矩形，∴EF∥GH.
∴△AHG∽△ABC.
又∵AD⊥BC，∴AM⊥HG.∴＝.
方法二：
证明：∵四边形EFGH为矩形，∴EF∥GH.
∴△AHG∽△ABC，△AHM∽△ABD.
∴＝，＝.∴＝.
(2)由(1)得＝；
设HE＝x，则HG＝2x，
∵AD⊥BC，∴DM＝HE.
∴AM＝AD－DM＝AD－HE＝30－x.
可得＝，解得，x＝12，2x＝24.
所以矩形EFGH的周长为2×(12＋24)＝72(cm)．
能力点2利用相似三角形的判定与性质证明等积式
题型导引利用相似三角形的性质，证明线段的比例式或等积式，进行比例式和乘积式之间的互化．
【例2】如图，等腰梯形ABCD中，DC∥AB，对角线AC与BD交于点O，AD＝DC，AC＝BD＝AB.求证：OB2＝OD·BD.
( http: / / www.21cnjy.com )
分析：可证OB＝BC＝CD，所以要证OB2＝OD·BD只需要CD2＝OD·BD即可，即只需要证明△COD相似于△BCD即可．
证明：∵DC∥AB，∴∠BDC＝∠ABD.
又∵四边形ABCD是等腰梯形，∴AD＝BC.
∵AD＝DC，∴BC＝CD.
∴∠BDC＝∠DBC.
∴∠BDC＝∠ABD＝∠DBC＝α.
又∵AC＝BD＝AB，∴∠ABC＝∠ACB＝2α.
∵∠COB＝2α＝∠ACB，
∴OB＝BC＝CD.
在△COD和△BCD中，∠BDC＝∠BDC，∠DCA＝∠CAB＝∠DBC＝α，
∴△COD∽△BCD，∴＝.
又OB＝BC＝CD，∴OB2＝OD·BD.
规律总结在利用相似三角形证明线段的比例式或等积式时，注意它们之间的相互转化，弄清等积式或比例式所涉及的四条线段是在哪两个三角形中，然后依据已知条件结合图形证明这两个三角形相似．
变式训练
已知，如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠BCD＝90°，对角线AC，BD相交于点E，且AC⊥BD.
( http: / / www.21cnjy.com )
(1)求证：CD2＝BC·AD；
(2)点F是边BC上一点，连接AF，与BD相交于点G，如果∠BAF＝∠DBF，求证：＝.
证明：(1)∵AD∥BC，∠BCD＝90°，
∴∠ADC＝∠BCD＝90°.
又∵AC⊥BD，∴∠ACD＋∠ACB＝∠CBD＋∠ACB＝90°.
∴∠ACD＝∠CBD.
∴△ACD∽△DBC.
∴＝，即CD2＝BC·AD.
(2)∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠DBF.
∵∠BAF＝∠DBF，∴∠ADB＝∠BAF.
∵∠ABG＝∠DBA，
∴△ABG∽△DBA.
∴＝＝.
∵△ABG与△DBA等高，
∴＝，∴＝.25.6 相似三角形的应用
基础巩固JICHU GONGGU
1．如图，为了测量一池塘的宽DE，在岸边找到一点C，测得CD＝30m，在DC的延长线上找一点A，测得AC＝5m，过点A作AB∥DE交EC的延长线于B，测出AB＝6m，则池塘的宽DE为( )
( http: / / www.21cnjy.com )
A．25m B．30m C．36m D．40m
2．如图，小亮同学在晚上由路灯A走向 ( http: / / www.21cnjy.com )路灯B，当他走到点P时，发现他的身影顶部正好接触路灯B的底部，这时他离路灯A25米，离路灯B5米，如果小亮的身高为1.6米，那么路灯高度为( )
( http: / / www.21cnjy.com )
A．6.4米 B．8米 C．9.6米 D．11.2米
3．如图，A，B两处被池塘隔开，为了测量A，B两处的距离，在AB外选一适当的点C，连结AC，BC，并分别取线段AC，BC的中点E，F，测得EF＝20m，则AB＝__________m.
( http: / / www.21cnjy.com )
4．赵亮同学想利用影长测量学校旗杆的高度，如图，他在某一时刻立1米长的标杆测得其影长为1.2米，同时旗杆的投影一部分在地面上，另一部分在某一建筑的墙上，分别测得其长度为9.6米和2米，则学校旗杆的高度为__________米．
( http: / / www.21cnjy.com )
5．如图所示，是一种测量 ( http: / / www.21cnjy.com )工件内径的仪器，长度相等的两脚AC，BD交叉于点O，且有OA＝4OC，OB＝4OD.使用时只要将长脚端(AB)伸入工件后，两脚张开，使A，B与内径充分接触，此时量出CD的距离，就可知道该工件内径的大小．请你说明其中包含的道理，并给出具体的合理数值加以验证．
( http: / / www.21cnjy.com )
6．如图，平面上一幢建筑 ( http: / / www.21cnjy.com )物AB与铁塔CD相距60米，另一幢建筑物EF与铁塔相距20米，某人发现AB的顶端A与建筑物EF的顶端E、铁塔的顶端C恰好在一条直线上．已知AB高为15米，EF高为25米，求铁塔的高．
( http: / / www.21cnjy.com )
能力提升NENGLI TISHENG
7．如图，丁轩同学在晚上由路灯AC走向路灯BD，当他走到点P时，发现身后他影子的顶部刚好接触到路灯AC的底部，当他向前再步行20m到达Q点时，发现身前他影子的顶部刚好接触到路灯BD的底部，已知丁轩同学的身高是1.5m，两个路灯的高度都是9m，则两路灯之间的距离是( )
( http: / / www.21cnjy.com )
A．24m B．25m C．28m D．30m
8．如图所示，CD是一个平面镜，光线 ( http: / / www.21cnjy.com )从A点射出经CD上的E点反射后照射到B点，设入射角为α(入射角等于反射角)，AC⊥CD，BD⊥CD，垂足分别为C，D.若AC＝3，CE＝4，ED＝8，则BD＝________.
( http: / / www.21cnjy.com )
9．马戏团让狮子和公鸡表演跷跷板节目．跷跷板支柱AB的高度为1.2米．
( http: / / www.21cnjy.com )
(1)若吊环高度为2米，支点A为跷跷板PQ的中点，狮子能否将公鸡送到吊环上？为什么？
(2)若吊环高度为3.6米，在不改变其他条件的前提下移动支柱，当支点A移到跷跷板PQ的什么位置时，狮子刚好能将公鸡送到吊环上？
10．一块直角三角形木板的一条直角边A ( http: / / www.21cnjy.com )B长为1.5m，面积为1.5m2，工人师傅要把它加工成一个面积最大的正方形桌面，请甲、乙两位同学设计加工方案，甲设计方案如图(1)，乙设计方案如图(2)．你认为哪位同学设计的方案较好？试说明理由(加工损耗忽略不计，计算结果可保留分数)．
( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com )
(1) (2)
参考答案
1．C 2.C 3. 40 4.10
5．解：∵OA＝4OC，OB＝4OD，
∴＝，且∠AOB＝∠COD.
∴△AOB∽△COD.
∴＝＝.
若CD＝2，则AB＝8(不唯一)．
6．解：过点A作AM⊥CD于点M，交EF于点N，则EN＝25－15＝10，AN＝60－20＝40，AM＝60，由题可得△AEN∽△ACM，
∴＝，即＝，∴CM＝15，
∴CD＝CM＋MD＝15＋15＝30(米)．
答：铁塔的高度为30米．
7．D 点拨：设丁轩同学的头部交BC于点E，则△BEQ∽△BCA，所以＝，
设BQ＝x，则＝，
( http: / / www.21cnjy.com )
解得x＝5.所以AB＝30m.
8．6
9．解：(1)狮子能将公鸡送到吊环上．
当狮子将跷跷板P端按到底时可得到Rt△PHQ(图1)，
∵AB∥QH.∴＝.
∵PA＝AQ，∴AB＝×QH，
又∵AB＝1.2米，∴QH＝2.4＞2.
( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com )
图1 图2
(2)支点A移到跷跷板PQ的三分之一处，狮子刚好能将公鸡送到吊环上．
如图2，△PAB∽△PQH，＝＝，
∴QH＝3AB＝3.6(米)．
10．解：由AB＝1.5m，S△ABC＝1.5m2，可得BC＝2m.
由图(1)，若设甲设计的正方形桌面边长为xm.
由DE∥AB，得Rt△CDE∽Rt△CBA，
所以＝，
即＝，
所以x＝m.
由图(2)，过点B作Rt△ABC斜边上的高BH交DE于P，交AC于H.
由AB＝1.5，BC＝2，
得AC＝＝＝2.5 (m)．
由AC·BH＝AB·BC，可得
BH＝＝＝1.2 (m)．
设乙设计的桌面的边长为ym.
因为DE∥AC，Rt△BDE∽Rt△BAC，
所以＝.
即＝，解得y＝m.
因为＝＞，所以x2＞y2.
故甲同学设计的方案较好．
( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com )
(1) (2)25.2 平行线分线段成比例
课堂探究
能力点 利用平行线分线段成比例基本事实及推论求线段的长度
题型导引利用平行线分线段成比例的基本事实，得到线段比例式，根据比例式求某些线段的长．
【例题】如图，直线l1，l2，l3分别交直线l4于点A，B，C，交直线l5于点D，E，F，且l1∥l2∥l3，已知EF∶DF＝5∶8，AC＝24.
( http: / / www.21cnjy.com )
(1)求AB的长；
(2)当AD＝4，BE＝1时，求CF的长．
分析：(1)根据l1∥l2∥l3，推出＝＝，代入求出BC即可求出AB；(2)根据l1∥l2∥l3，得出＝＝，求出OB，进而求出OC，根据平行线分线段成比例基本事实得出＝＝，代入求出即可．
解：(1)∵l1∥l2∥l3，EF∶DF＝5∶8， AC＝24，
∴＝＝，＝.
∴BC＝15.
∴AB＝AC－BC＝24－15＝9.
(2)∵l1∥l2，
∴＝＝.
∴＝.
∴OB＝3.
∴OC＝BC－OB＝15－3＝12.
∵l2∥l3，∴＝＝.
∴＝.∴CF＝4.
规律总结在运用平行线分线段成比例时，我们要结合图形，找准对应的线段，熟练地写出对应的比例式．
变式训练
如图所示，已知AB∥EF∥CD，若AB＝6cm，CD＝9cm，求EF.
( http: / / www.21cnjy.com )
分析：由于BC是△ABC与△DBC的公共边，且AB∥EF∥CD，利用平行线分线段成比例的基本事实，可求EF.为了方便计算，我们可以把EF作为一个未知数来使用．
解：在△ABC中，因为EF∥AB，
所以＝.①
同样，在△DBC中有＝，②
①＋②，得＋＝＋＝1.③
设EF＝xcm，又已知AB＝6cm，CD＝9cm，
代入③得＋＝1，
解得x＝.
故EF＝cm.25.7 相似多边形和图形的位似
基础巩固JICHU GONGGU
1．下列说法中，正确的是( )
A．两个菱形一定相似 B．两个正五边形一定相似
C．两个梯形一定相似 D．两个等腰梯形一定相似
2．若如图所示的两个四边形相似，则∠α的度数是( )
( http: / / www.21cnjy.com )
A．87° B．60° C．75° D．120°
3．若五边形ABCDE∽五边 ( http: / / www.21cnjy.com )形A′B′C′D′E′，且AB＝20cm，A′B′＝16cm，则五边形ABCDE与五边形A′B′C′D′E′的周长比为__________．
4．如图，△ABC与△DFE是位似图形，位似比为2∶3，已知AB＝4，则DF的长为__________．
( http: / / www.21cnjy.com )
5．已知两个相似六边形一组对应边的比是3∶5，如果它们的面积之差为80cm2，则较大的六边形的面积是__________．
6．如图所示，正方形OEFG和正方形ABCD是位似图形，点F的坐标为(－1，1)，点C的坐标为(－4，2)，则这两个正方形位似中心的坐标是__________．
7．如图，在△ABC内任意取一点O，连接OA，OB，OC，在OA，OB，OC上分别取点A′，B′，C′，使得A′B′∥AB，B′C′∥BC，A′C′∥AC，则△A′B′C′与△ABC是位似图形吗？为什么？
( http: / / www.21cnjy.com )
(第6题图)
( http: / / www.21cnjy.com )
(第7题图)
能力提升NENGLI TISHENG
8．我们知道：如果两个三角形不仅 ( http: / / www.21cnjy.com )是相似三角形，而且每对对应点所在的直线都经过同一个点，那么这两个三角形叫做位似三角形，它们的相似比又称为位似比，这个点叫做位似中心．利用三角形的位似可以将一个三角形缩小或放大．
(1)选择：如图，点O是等边三角形P ( http: / / www.21cnjy.com )QR的中心，P′，Q′，R′分别是OP，OQ，OR的中点，则△P′Q′R′与△PQR是位似三角形．此时△P′Q′R′与△PQR的位似比、位似中心分别为( )
( http: / / www.21cnjy.com )
A．2，点P B．，点P C．2，点O D．，点O
(2)如图，用下面的方法可以画△AOB的内接等边三角形．阅读后证明相应问题．
( http: / / www.21cnjy.com )
画法：
①在△AOB内画等边三角形CDE，使点C在OA上，点D在OB上；
②连接OE并延长，交AB于点E′，过点E′作E′C′∥EC，交OA于点C′，作E′D′∥ED，交OB于点D′；
③连接C′D′，则△C′D′E′是△AOB的内接等边三角形．
求证：△C′D′E′是等边三角形．
9．如图：已知A(0，－2)，B(－2，1)，C(3，2)．
( http: / / www.21cnjy.com )
(1)求线段AB，BC，AC的长．
(2)把A，B，C三点的横坐标，纵坐标都乘以2，得到A′，B′，C′的坐标，求A′B′，B′C′，A′C′的长．
(3)△ABC与△A′B′C′的形状相同吗？
(4)△ABC与△A′B′C′是位似图形吗？若是，请指出位似中心和位似比．
参考答案
1．B 点拨：对应角相等，对应边成比 ( http: / / www.21cnjy.com )例的两个多边形是相似多边形，对于菱形，各边对应成比例，但各角不一定对应相等，所以两个菱形不一定相似；对于两个梯形或两个等腰梯形，它们的各角不一定相等，各边也不一定成比例，所以选项C，D错误；只有正五边形同时满足这两个条件．
2．A 点拨：相似多边形的对应角相等．
3．5∶4 点拨：相似多边形的周长比就是对应边的比．
4．6 点拨：位似图形的对应线段的比等于位似比，＝，DF＝6.
5．125cm2 点拨：因为两个相似六边形的相似比是3∶5，所以其面积比为9∶25，设较大的六边形面积为xcm2，较小的六边形面积为(x－80)cm2，列比例式解答即可．
6．(2，0)或 点拨：(1)当两个位似图形在位似中心O′同旁时，位似中心就是CF与x轴的交点，
设直线CF解析式为y＝kx＋b，将C(－4，2)，F(－1，1)代入，得
解得即y＝－x＋.
令y＝0，得x＝2，∴O′坐标是(2，0)．
②当位似中心O′在两个正方形之间时，可求直线OC解析式为y＝－x，直线DE解析式为y＝x＋1，联立
解得即O′.
7．分析：△A′B′C′与△ABC是位似图形要满足两个条件：对应顶点所在直线交于一点，两三角形相似．
解：∵A′B′∥AB，∴∠A′B′O＝∠ABO.
∵B′C′∥BC，∴∠OB′C′＝∠OBC.
∴∠A′B′C′＝∠ABC.
同理，∠A′C′B′＝∠ACB，
∴△A′B′C′∽△ABC.
又∵直线AA′，BB′，CC′都经过点O，
∴△A′B′C′与△ABC是位似图形．
8．分析：(1)根据中位线定理，可知△P′Q′R′∽△PQR，且相似比是1∶2，所以位似比是1∶2，位似中心为点O.
∵△P′Q′R′∽△PQR，且相似比是1∶2，
∴位似比是1∶2，位似中心为点O.故选D.
(2)根据作法，可知E′C′∥EC，E′D′∥ED，可证得△OCE∽△OC′E′，△ODE∽△OD′E′，根据相似可证对应边的比相等，对应角相等，即可根据对应边的比成比例且夹角相等的三角形相似，可证得△CDE∽△C′D′E′，即可得结果．
解：(1)D
(2)因为EC∥E′C′，所以∠CEO＝∠C′E′O.
又∠COE＝∠C′OE′，所以△OCE∽△OC′E′.
所以＝.
因为ED∥E′D′，所以∠OED＝∠OE′D′.
又∠DOE＝∠D′OE′，
所以△ODE∽△OD′E′.所以＝.
所以＝，∠CED＝∠C′E′D′.
因为△CDE是等边三角形，
所以CE＝ED，∠CED＝60°.
所以C′E′＝E′D′，∠C′E′D′＝60°.
所以△C′E′D′是等边三角形．
9．解：(1)AB＝，BC＝，AC＝5，
(2)A′(0，－4)，B′(－4，2)，C′(6，4)，
A′B′＝2，B′C′＝2，A′C′＝10.
(3)∵＝＝＝，∴△ABC∽△A′B′C′，即此两个三角形形状相同．
(4)△ABC与△A′B′C′是位似图形，位似中心为点O，位似比为.
( http: / / www.21cnjy.com )25.5 相似三角形的性质
基础巩固JICHU GONGGU
1．已知△ABC∽△DEF，且AB∶DE＝1∶2，则△ABC的面积与△DEF的面积之比为( )
A．1∶2 B．1∶4 C．2∶1 D．4∶1
2．若△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF的相似比为1∶2，则△ABC与△DEF的周长比为__________．
3．已知△ABC∽△A′B′C′且S△ABC∶S△A′B′C′＝1∶2，则AB∶A′B′＝__________.
4．如图，已知梯形ABCD，AD∥BC，对角线AC，BD相交于点O，△AOD与△BOC的面积之比为1∶9，若AD＝1，则BC的长是__________．
5．已知：如图，D是△ABC的AB边上的一点，＝＝.
(1)试说明△BCD∽△BAC；
(2)若△BCD的周长是32cm，求△ABC的周长．
( http: / / www.21cnjy.com )
(第4题图)
( http: / / www.21cnjy.com )
(第5题图)
能力提升NENGLI TISHENG
6．在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC，BD相交于点O，若S△AOD∶S△BOC＝1∶4，则S△AOD∶S△ACD等于( )
A．1∶6 B．1∶3 C．1∶4 D．1∶5
7．如图，已知D，E分别是△ABC的边AB，AC上的点，DE∥BC，且S△ADE∶S四边形DBCE＝1∶8，那么AE∶AC等于( )
( http: / / www.21cnjy.com )
A．1∶9 B．1∶3 C．1∶8 D．1∶2
8．两个相似三角形的一对对应边长分别是24cm和12cm.
(1)若它们的周长之和是120cm，则这两个三角形的周长分别为______和______；
(2)若它们的面积差是420cm2，则这两个三角形的面积分别为______和______．
9．如图是一张简易的活动小餐桌，现 ( http: / / www.21cnjy.com )测得OA＝OB＝30cm，OC＝OD＝50cm，桌面离地面的高度是40cm，求两条桌腿的张角∠COD的度数．
( http: / / www.21cnjy.com )
10．如图，在△ABC中，BC＞AC，点D在BC上，且DC＝AC，∠ACB的平分线CF交AD于点F，点E是AB的中点，连接EF.
( http: / / www.21cnjy.com )
(1)求证：EF∥BC；
(2)若四边形BDFE的面积为6，求△ABD的面积．
参考答案
1．B 2.1∶2
3．1∶
4．3 点拨：∵AD∥BC，∴△AOD∽△COB且△AOD与△BOC的面积之比为1∶9，
∴AD∶BC＝1∶3.
∵AD＝1，∴BC＝3.
5．解：(1)∵＝，∠B是公共角，
∴△BCD∽△BAC.
(2)∵△BCD∽△BAC，∴＝.
又∵△BCD的周长是32cm，
∴△BAC的周长是56cm.
6．B 点拨：由AD∥BC，可知△AOD∽△COB，由S△AOD∶S△BOC＝1∶4，
可知＝，所以＝.
∵△AOD和△ACD等高，
∴＝＝.
7．B 点拨：由S△ADE∶S四边形DBCE＝1∶8，可求出S△ADE∶S△ABC＝1∶9，
所以AE∶AC＝1∶3.
8．(1)80cm 40cm (2)560cm2 140cm2
点拨：(1)设较小的三角形的周长为xcm，则较大的三角形的周长为(120－x) cm，
∴＝，解得x＝40，
∴120－x＝80.
(2)设较小的三角形的面积为xcm2，则较大的三角形的面积为(420＋x) cm2，
∴＝，解得x＝140，
∴420＋x＝560.
9．120° 点拨：如图，过点O作OF⊥CD，延长FO交AB于点E，
( http: / / www.21cnjy.com )
∵OA＝OB＝30cm，OC＝OD＝50cm，
∴＝＝.
∵∠AOB＝∠DOC，∴△AOB∽△DOC.
∴＝＝.
∴＝.∴OF＝25cm.
∴OF＝OD.∴∠ODF＝30°.
∴∠DOF＝60°.
∴∠COD＝2∠DOF＝120°.
10．(1)证明：∵CF平分∠ACB，
∴∠ACF＝∠DCF.
又∵DC＝AC，∴CF是△ACD的中线．
∴点F是AD的中点．
∵点E是AB的中点，
∴EF∥BD，即EF∥BC.
(2)解：由(1)知，EF∥BD，
∴△AEF∽△ABD.
∴＝.
又∵AE＝AB，S△AEF＝S△ABD－S四边形BDFE
＝S△ABD－6，∴＝，
∴S△ABD＝8，即△ABD的面积为8.25.3 相似三角形
能力点 确定相似三角形的对应边和对应角
题型导引寻找相似三角形的对应边和对应角的方法：对应角对的边是对应边，两对应角所夹的边是对应边，大边对大边，大角对大角．
【例题】如图，△ADE∽△ACB，其中∠AED＝∠B，那么能成立的比例式是( )
( http: / / www.21cnjy.com )
A．＝＝ B．＝＝
C．＝＝ D．＝＝
解析：因为△ADE∽△ACB，且∠AED ( http: / / www.21cnjy.com )＝∠B，即两个相似三角形中的对应顶点分别是点A与点A，点B与点E，点C与点D，由对应顶点确定对应边，选项B，C，D，可逐一排除．
答案：A
规律总结在相似三角形中找对应线段或对应角时，一定要结合图形来分辨．本题采用了数形结合法，通过图形寻找相似三角形的对应边．
变式训练
如图，△ABC∽△ACD，请写出两个三角形的对应角和对应边的比例式．
( http: / / www.21cnjy.com )
分析：根据相似三角形的对应边和对应角的寻找方法，我们可以发现∠A＝∠A，∠B＝∠ACD，∠ACB＝∠ADC，根据对应角寻找对应边．
解：对应角有：∠ A＝∠A，∠B＝∠ACD，∠ACB＝∠ADC，＝＝.25.1 比例线段
基础巩固JICHU GONGGU
1．已知A，B两地的实际距离AB＝5km，画在图上的距离A′B′＝2cm，则图上的距离与实际距离的比是( )
A．2∶5 B．1∶2500 C．250000∶1 D．1∶250000
2．线段a，b，c，d成比例的是( )
A．a＝2，b＝4，c＝6，d＝8 B．a＝3，b＝4，c＝9，d＝12
C．a＝2，b＝6，c＝8，d＝9 D．a＝6，b＝9，c＝10，d＝12
3．已知线段AB＝2cm，CD＝18cm，则线段AB，CD的比例中项的长度为__________cm.
4． (1)若4a＝5b，则a∶b＝__________；
(2)已知＝，则＝__________.
5．已知四条线段a，b，c，d的长度，试判断它们是否成比例？
(1) a＝16cm，b＝8cm，c＝5cm，d＝10cm；
(2)a＝8cm，b＝5cm，c＝6cm，d＝10cm.
能力提升NENGLI TISHENG
6．若点C是线段AB的黄金分割点，且AB＝2，则AC＝ ( )
A．－1 B．3－ C． D．－1或3－
7．已知线段x＝12cm，y＝4cm.线段x和y的比例中项为a，则a＝________cm.
8．已知三条线段的长度分别为1cm，cm，2cm，请你再给出一条线段，使得这四条线段能够组成一个比例式．
9．已知＝＝≠0.
(1)若a＋b＋c＝24，求a，b，c的值；
(2)求的值．
10．如图，已知线段AB.
( http: / / www.21cnjy.com )
(1)经过点B作BD⊥AB，使BD＝AB.
(2)连结AD，在DA上截取DE＝DB.
(3)在AB上截取AC＝AE.
请你根据以上作法，证明点C是线段AB的黄金分割点．
参考答案
1．D 2.B
3．6
4．(1)5∶4 (2)
5．解：(1)＝2，＝2，则＝，所以a，b，d，c成比例；
(2)由已知得ab≠cd，ac≠bd，ad≠bc，所以a，b，c，d不成比例．
6．D 点拨：由于点C是线段AB的黄金分 ( http: / / www.21cnjy.com )割点，这样的点在线段上有两个，一个点在中间偏左，另一个点在中间偏右，因此＝或＝，所以AC＝－1或AC＝3－.
7．4
8．解：设所给的线段长为xcm，则有
①＝，x＝；②＝，x＝；
③＝，x＝2.
故再给出的一条线段长应为cm或cm或2cm.
9．解：(1)设＝＝＝k(k≠0)，
则a＝3k，b＝4k，c＝5k，
所以a＋b＋c＝3k＋4k＋5k＝12k＝24，
解得k＝2.
所以a＝3k＝6，b＝4k＝8，c＝5k＝10.
(2)由(1)得a＝3k，b＝4k，c＝5k，
所以＝＝－.
10．证明：设AB＝2x，则BD＝DE＝x，根据勾股定理，得AD＝＝＝x，
则AC＝AE＝x－x＝(－1)x.
∵＝，
∴点C是线段AB的黄金分割点．
25．2 平行线分线段
