6.3 三角形的中位线 导学案（含答案）2023-2024学年度北师大版数学八年级下册

3 三角形的中位线
【学习目标】
1、了解三角形中位线的概念。
2、探索并掌握三角形中位线的性质，并能应用其性质解决有关问题。
【学习策略】
利用制作的多媒体课件，让学生通过课件进行探究活动，使他们直观、具体、形象地感知知识，进而达到化解难点、突破重点的目的。
【学习过程】
一、情境导入：
1．怎样将一张三角形纸片剪成两部分，使分成的两部分能拼成一个平行四边形？
操作：（1）如图，剪一个三角形，记为△ABC；（2）分别取AB,AC中点D,E，连接DE；（3） 沿DE将△ABC剪成两部分，并将△ABC绕点E旋转180°，得四边形BCFD.
2.思考：四边形ABCD是平行四边形吗？
3.探索新结论：若四边形ABCD是平行四边形，那么DE与BC有什么位置和数量关系呢？
二.新课学习：
如果连接三角形每两边的中点，能得到四个全等的三角形吗？
※定义：连接三角形 的 叫做三角形的中位线。
1、你能猜想出三角形的中位线与第三边有怎样的关系
※定理：三角形的中位线 与第三边，且 第三边的 。
2、请写出已知、求证，并证明：
已知：如图，DE是△ABC的中位线.
求证:DE∥BC,DE=BC
证明:如图,延长DE到F,使DE=EF,连接CF.
在△ADE和△CFE中，
∵AE=CE,∠1=∠2,DE=FE，
∴△ADE≌△CFE，
∴∠A=∠ECF,AD=CF，
∴CF∥AB，
∵BD=AD，
∴BD=CF，
∴四边形DBCF是平行四边形，
∴DF∥BC,DF=BC，
∴DE∥BC,DE=BC，
3.在四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，如图4-94．求证：四边形EFGH是平行四边形．
已知四条线段的中点，可设法应用三角形中位线定理，找到四边形EFGH的边之间的关系．而四边形ABCD的对角线可以把四边形分成两个三角形，所以添加辅助线，连结AC或BD，构造“三角形的中位线”的基本图形．
三.尝试应用：
1、三角形的中位线平行于__________，且等于__________的一半.
2、连接任意四边形的四边中点，所得到的四边形是__________.
3、一个三角形的三边长分别为4，5，6，则连接各边中点所得三角形的周长为__________.
4、三角形三条中位线将其分成__________个全等三角形.
5、如图所示，△ABC中，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，AB=10 cm，AC=6 cm，则四边形ADEF的周长为_________.
四、课堂小结
定义：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线
性质：三角形的中位线平行于第三边，等于第三边的一半.
五.达标测试
1．如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC的中点．若DE=2，则BC=（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
2．如图，在等边△ABC中，点D、E分别为边AB、AC的中点，则∠DEC的度数为（　　）
A．30° B．60° C．120° D．150°
3．如图，在△ABC中，点D、E分别是边AB，BC的中点．若△DBE的周长是6，则△ABC的周长是（　　）
A．8 B．10 C．12 D．14
第1题图 第2题图 第3题图
二．填空题（共3小题）
4．如图，在矩形ABCD中，M、N分别是边AD、BC的中点，E、F分别是线段BM、CM的中点．若AB=8，AD=12，则四边形ENFM的周长为　 　．
5．如图，H是△ABC的边BC的中点，AG平分∠BAC，点D是AC上一点，且AG⊥BD于点G．已知AB=12，BC=15，GH=5，则△ABC的周长为　 　．
6．如图，在△A1B1C1中，已知A1B1=7，B1C1=4，A1C1=5，依次连接△A1B1C1三边中点，得△A2B2C2，再依次连接△A2B2C2的三边中点得△A3B3C3，…，则△A5B5C5的周长为　 　．
第4题图 第5题图 第6题图
三．解答题（共3小题）
7．如图，等边△ABC的边长是2，D、E分别为AB、AC的中点，延长BC至点F，使CF=BC，连接CD和EF．
（1）求证：DE=CF；
（2）求EF的长．
8．如图，在 ABCD中，E，F分别是AD、BC上的点，且DE=CF，BE和AF的交点为M，CE和DF的交点为N，求证：MN∥AD，MN=AD．
9．如图，在△ABC中，点D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，AH是边BC上的高．
（1）求证：四边形ADEF是平行四边形；
（2）求证：∠DHF=∠DEF．
参考答案
达标测试答案：
一．选择题
1．【解析】选C．∵D，E分别是边AB，AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴BC=2DE=2×2=4．
2．【解析】选C．由等边△ABC得∠C=60°，由三角形中位线的性质得DE∥BC，∴∠DEC=180°﹣∠C=180°﹣60°=120°，
3．【解析】选C．∵点D、E分别是边AB，BC的中点，∴DE是三角形BC的中位线，AB=2BD，BC=2BE，∴DE∥BC且DE=AC，又∵AB=2BD，BC=2BE，∴AB+BC+AC=2（BD+BE+DE），即△ABC的周长是△DBE的周长的2倍，∵△DBE的周长是6，∴△ABC的周长是6×2=12．
二．填空题
4．【解析】∵M、N分别是边AD、BC的中点，AB=8，AD=12，∴AM=DM=6，
∵四边形ABCD为矩形，∴∠A=∠D=90°，∴BM=CM=10，
∵E、F分别是线段BM、CM的中点，∴EM=FM=5，∴EN，FN都是△BCM的中位线，
∴EN=FN=5，∴四边形ENFM的周长为5+5+5+5=20，
5．【解析】∵AG平分∠BAC，AG⊥BD，∴△ABD是等腰三角形，∴AB=AD，BG=DG，
又∵H是△ABC的边BC的中点，∴出GH是△BCD的中位线，∴CD=2GH=2×5=10，
∴△ABC的周长=12+15+（12+10）=49．
6．【解析】∵A2B2、B2C2、C2A2分别等于A1B1、B1C1、C1A1的一半，∴以此类推：△A5B5C5的周长为△A1B1C1的周长的，∴则△A5B5C5的周长为（7+4+5）÷16=1．
三．解析题
7．（1）证明：∵D、E分别为AB、AC的中点，
∴DE为△ABC的中位线，
∴DEBC，
∵延长BC至点F，使CF=BC，
∴DE=FC；
（2）解：∵DEFC，
∴四边形DEFC是平行四边形，
∴DC=EF，
∵D为AB的中点，等边△ABC的边长是2，
∴AD=BD=1，CD⊥AB，BC=2，
∴DC=EF=．
8．证明：如图，连接EF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC．
∵DE=CF，
∴AE=BF．
∴四边形ABFE和四边形CDEF都是平行四边形．
∴BM=ME，CN=NE．
∴MN是△BCE的中位线．
∴MN∥AD，MN=AD．
9．证明：（1）∵点D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，
∴DE、EF都是△ABC的中位线，
∴EF∥AB，DE∥AC，
∴四边形ADEF是平行四边形；
（2）∵四边形ADEF是平行四边形，
∴∠DEF=∠BAC，
∵D，F分别是AB，CA的中点，AH是边BC上的高，
∴DH=AD，FH=AF，
∴∠DAH=∠DHA，∠FAH=∠FHA，
∵∠DAH+∠FAH=∠BAC，∠DHA+∠FHA=∠DHF，
∴∠DHF=∠BAC，
∴∠DHF=∠DEF．
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