江苏省无锡市辅仁高级中学2024届高三下学期高考前适应性练习数学试题（含解析）

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江苏省无锡市辅仁高级中学2024届高三下学期高考前适应性练习数学试题
注意事项：
1．本试卷满分150分，考试时间120分钟。
2．答题前，考生务必将姓名、考生号等个人信息填写在答题卡指定位置。
3．考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答。超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．在复平面内，，其中是虚数单位，是的共轭复数，则复数的对应点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
3．已知函数的定义域为，，则（ ）
A． B．
C．为偶函数 D．为奇函数
4．中国戏曲中人物角色的行当分类，可以有生、旦、净、末、丑五大行当．现有3名男生和2名女生，每人要扮演某戏曲中的一个角色，五个行当均有人扮演，且生行、净行由男生扮演，旦行由女生扮演，则不同的人物角色扮演方式共有（ ）
A．6种 B．12种 C．24种 D．48种
5．如图，复数对应的向量为，且，则向量在向量上的投影向量的坐标为（ ）

A． B． C． D．
6．已知三棱柱的侧棱垂直于底面，且，，，，若该三棱柱的各顶点都在同一球面上，则此球的表面积等于（ ）．
A． B． C． D．
7．已知均是锐角，设的最大值为，则=（ ）
A． B． C．1 D．
8．双曲线的离心率e的可能取值为（ ）
A． B． C． D．3
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知，，则（ ）
A． B．
C． D．
10．已知函数的图像关于点中心对称，则（ ）
A．在区间单调递减
B．在区间有两个极值点
C．直线是曲线的对称轴
D．直线是曲线在处的切线
11．已知无穷数列中，是以10为首项，以为公差的等差数列，是以为首项，以为公式的等比数列，对一切正整数，都有.设数列的前项和为，则（ ）
A．当时， B．当时，
C．当时， D．不存在，使得成立
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．甲、乙两名足球运动员进行射门比赛，约定每人射门3次，射进的次数多者赢，一样多则为平局．若甲每次射门射进的概率均为，乙每次射门射进的概率均为，且每人每次射门相互独立．现已知甲第一次射门未射进，则乙赢的概率为 ．
13．已知函数的图象关于点对称，若，则的最小值为 ．
14．已知双曲线的左 右焦点分别为，过的直线与的两条渐近线分别交于轴上方的两点，为原点，若直线垂直平分，则 .
四、解答题
15．已知函数.
(1)讨论的最值；
(2)若，且，求的取值范围.
16．近年来，我国众多新能源汽车制造企业迅速崛起．某企业着力推进技术革新，利润稳步提高．统计该企业2019年至2023年的利润（单位：亿元），得到如图所示的散点图．其中2019年至2023年对应的年份代码依次为1，2，3，4，5．
(1)根据散点图判断，和哪一个适宜作为企业利润y（单位：亿元）关于年份代码x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）
(2)根据（1）中的判断结果，建立y关于x的回归方程；
(3)根据（2）的结果，估计2024年的企业利润．
参考公式及数据；
，，
，，，，
17．如图，在三棱台中，平面平面，，，．

(1)求三棱台的高；
(2)若直线与平面所成角的正弦值为，求．
18．定义1：若数列满足①，②，则称为“两点数列”；定义2：对于给定的数列，若数列满足①，②，则称为的“生成数列”.已知为“两点数列”，为的“生成数列”.
(1)若，求的前项和；
(2)设为常数列，为等比数列，从充分性和必要性上判断是的什么条件；
(3)求的最大值，并写出使得取到最大值的的一个通项公式.
19．已知圆和点，点是圆上任意一点，线段的垂直平分线与线段相交于点，记点的轨迹为曲线.
(1)求曲线的方程；
(2)点在直线上运动，过点的动直线与曲线相交于点.
（ⅰ）若线段上一点，满足，求证：当的坐标为时，点在定直线上；
（ⅱ）过点作轴的垂线，垂足为，设直线的斜率分别为，当直线过点时，是否存在实数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
参考答案：
1．A
【分析】先利用指数函数的单调性解集合得：，再利用求根式函数定义域解集合得：，最后利用并集求出结果即可.
【详解】因为，，
所以，
故选：A.
2．D
【分析】利用复数的四则运算化简以及共轭复数的定义，结合复数的几何意义可得出结论.
【详解】设，则共轭复数为，
所以，
所以，
所以，解得，
所以，故复数对应的点位于第四象限.
故选：D.
3．D
【分析】令，或，分类讨论可求，判断A；法一：令，可得，进而可求，判断B；法二：令，可求，判断B；
法一：由B可得，可判断CD；法二 令，可得，判断CD.
【详解】 A：令，得，即，所以或．
当时，不恒成立，故，A错误．
B：解法一 令，得，又，所以，
故，B错误．
解法二 令，得，又，所以，B错误．
C：解法一 由B选项的解法一可知，则，所以为奇函数，C错误，D正确．
解法二 令，得，又，所以，
所以，结合选项得C错误，D正确．
综上可知，选D．
故选：D.
4．C
【分析】根据“特殊元素（位置）优先法”，先安排生行、净行和旦行，再安排其他行即可.
【详解】由题意，生行、净行由男生扮演，则从3名男生中选2人，再全排列，有种扮演方式；
旦行由女生扮演，则从2名女生中选1人，有种扮演方式；
剩下的2人有种扮演方式，
故共有（种）不同的人物角色扮演方式．
故选：C
5．D
【分析】首先根据复数的几何意义设出复数，再根据复数模的公式，即可求解，再代入向量的投影公式，即可求解.
【详解】由题图可知，，则，
解得（舍去），
所以，，则向量在向量上的投影向量为，
所以其坐标为．
故选：D
6．A
【分析】根据余弦定理求，结合正弦定理求解外接圆半径，再根据三棱柱的外接球球半径与三棱柱的高以及外接圆半径的关系得出结果.
【详解】如图所示，在中，，，，
由余弦定理可得，所以，
由正弦定理可得外接圆半径，
设此圆圆心为，球心为，在中，，易得球半径，
故此球的表面积为．
故选：A．
7．B
【分析】根据三角恒等变换结合基本不等式求最值可得，然后由求解即可
【详解】由基本不等式可得，，，
三式相加，可得，
当且仅当均为时等号成立，
所以，
则．
故选：B
8．D
【分析】根据曲线为双曲线，由求得a的范围求解.
【详解】由，得到或，
当时，，
当，双曲线，，
所以，
故选：D．
9．ABCD
【分析】对于A，由换底公式即可判断；对于BC，由基本不等式即可判断；对于D，构造函数，利用导数可证得，由此即可判断.
【详解】对于A，，故A正确；
对于B，，在这里，所以严格来说有，故B正确；
对于C，，在这里，所以严格来说有，故C正确；
对于D，，而，
定义，则，
从而单调递增，所以，
所以，故D正确.
故选：ABCD.
10．ABD
【分析】由条件求出，即得.对于A,B两项，只需将看成整体角，利用正弦函数的图象即可判断，对于C，只需将代入解析式，根据函数值即可检验，对于D，利用导数的几何意义即可求出切线方程进行判断.
【详解】由题意可得，，则，因，则，于是.
对于A，令，由可得，，因在上单调递减，故在区间单调递减，即A正确；
对于B，令，由可得，，因在上有两个极值点，故B正确；
对于C，当时，，因，故直线不是曲线的对称轴，即C错误；
对于D，由求导得，，则，又，
故曲线在处的切线方程为，即，故D正确.
故选：ABD.
11．ABD
【分析】由等差等比数列的通项和数列为周期数列，当时，求值判断选项A；和4是等差数列中的项，求出项数n，根据数列为周期数列，周期为，解出m的值判断选项BC；若，有，设， ，由， ，可得结论判断选项D.
【详解】等差数列通项公式：，且，
等比数列通项公式：，且，
对一切正整数，都有，∴数列为周期数列，周期为，
当时，，A选项正确；
当时，由题意知，是等差数列中的项，在等差数列中，令，得，
对一切正整数，都有，则有，
解得，B选项正确；
当时，由题意知，是等差数列中的项，在等差数列中，令，得，
对一切正整数，都有，则有，
得，方程有多组解，如等等，C选项错误；
，
若，
则有，
令，函数图象抛物线对称轴，
所以在或时取最大值，
令，则 ，
所以不可能成立，
即不存在，使得，D选项正确.
故选：ABD.
【点睛】关键点点睛：数列中涉及到的的递推思想、函数思想、分类讨论思想以及数列求和、求通项公式的各种方法和技巧贯穿与整个高中数学之中，本题的关键条件是：数列为周期数列，周期为，其中前项构成等差数列，通项公式，第项到第项构成等比数列，通项公式为，而和4是等差数列中的项.
12．
【分析】利用独立事件的乘法公式可得答案.
【详解】若乙射进1次，则他赢的概率为；
若乙射进2次，则他赢的概率为；
若乙射进3次，则他赢的概率为；
故乙赢的概率为.
故答案为：.
13．19
【分析】根据辅助角公式和对称性得到函数的解析式，要使得取得最小，则让取最值，结合图象即可求解.
【详解】由的图象关于点对称可得，得，即，
所以，且，
所以的最大值为2b，最小值为－2b．
如图所示，作出的大致图象，令，，
则的对称轴方程为，，
则由可得，
当最小时，，，
且是在轴右侧连续的最值点，
故的最小值为．

【点睛】关键点点睛：本题解决的关键在于，分析出当最小时， 的取值情况，从而结合三角函数的性质即可得解.
14．
【分析】由题意作出图象，结合图形的结构特征即可计算.
【详解】

因为垂直平分，
所以，又，
所以，
故，
因为分别为，的中点，
所以，所以，
所以.
故答案为：.
15．(1)最小值为，无最大值.
(2).
【分析】（1）求得，结合导数的符号，求得函数的单调区间，进而求得其最值；
（2）把不等式转化为，令，利用导数求得函数的单调性与最值，进而求得的取值范围.
【详解】（1）.解：因为的定义域为，可得.
当时，令，可得；
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
故当时，取得极小值，也是最小值，且最小值为，无最大值.
（2）解：当时，由，可得，
整理得，即，
令，
则，
由（1）知，当时，的最小值为，即恒成立，
所以当时，，单调递增；
当时，，单调递减.
故当时，取得最大值，即，
故的取值范围为.
【点睛】方法技巧：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：
1、合理转化，根据题意转化为两个函数的最值之间的比较，列出不等式关系式求解；
2、构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；
3、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
4、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．
16．(1)适宜作为企业利润y（单位：亿元）关于年份代码x的回归方程类型
(2)
(3)估计2024年的企业利润为93.3亿元
【分析】（1）利用散点图的变化趋势，即可得出答案；
（2）利用最小二乘法求出即可得解；
（3）令即可得解.
【详解】（1）由散点图的变化趋势，知适宜作为企业利润y（单位：亿元）关于年份代码x的回归方程类型；
（2）由题意得：，，
，
，
所以；
（3）令，，
估计2024年的企业利润为99.25亿元．
17．(1)
(2)
【分析】（1）作于点O，利用面面垂直的性质得即为三棱台的高，再利用线面垂直的判定定理和性质定理可得答案；
（2）以O为原点，在面内，作，以，，所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，设，利用线面角的空间向量求法可得答案．
【详解】（1）作于点O，因为平面平面，
平面平面，平面，，
所以平面，即为三棱台的高，
又因为平面，所以，连接，
因为，，所以，
，平面，所以平面，
又平面，所以，，，
所以，，所以三棱台的高为；
（2）以O为原点，在面内，作，以，，所在的直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，，
设平面的法向量为，则，可取，
设，则，
设直线与平面所成角为，，
化简得，解得，或（舍去，因为，则，所以），
所以．
18．(1)
(2)是的充要条件.
(3)的最大值为，
【分析】（1）根据所给新定义，分n为奇偶讨论，分别求出前n项和；
（2）分别结合等比数列的定义，研究充分性、必要性即可得证；
（3）分析的取值，可得的关系，得出，据此可求出的最大值.
【详解】（1）依题意
故
因为，所以，
当为奇数时，，
当为偶数时，，即的奇数项，偶数项分别成等比数列.
故当为偶数时，
.
当为奇数时，.
综上所述，
（2）充分性：因为，所以，
所以，
又因为，所以是以1为首项，1为公比的等比数列，
故是的充分条件.
必要性：假设为等比数列，而不为常数列，
则中存在等于0的项，设项数最小的等于0的项为，其中，
所以，
则等比数列的公比为.
又，得等比数列的公比为，与式矛盾，
所以假设不成立，所以当为等比数列时，为常数列，
故是的必要条件.
综上，可知是的充要条件.
（3）当时，，当时，，
当时，，当时，.
综上所述，或或（上述四种情形每种中或1）.
又由题意可知，所以，
所以，故的最大值为，
此时的通项公式可以是
【点睛】关键点点睛：本题的关键一方面在于对新定义的理解，运用，另一方面是能够对分类讨论，证明数列为等比数列，再由等比数列的通项公式，求和公式得解.
19．(1)
(2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）
【分析】（1）根据中垂线的性质可得，由椭圆的定义可知动点的轨迹是以为焦点，长轴长为的椭圆，从而求出轨迹方程；
（2）（ⅰ）设直线的方程为，设，与椭圆联立韦达定理，把线段长度比转化为坐标比，代入韦达定理化简即可得点在定直线上；
（ⅱ）利用坐标表示两个斜率，然后作商，将韦达定理代入即可判断.
【详解】（1）由题意知圆心，半径为4，且，，则，所以点的轨迹为以为焦点的椭圆，
设曲线的方程为，则，解得，
所以，
所以曲线的方程为；

（2）（ⅰ）因为直线的斜率一定存在，设直线的方程为，
因为在上，所以，
由得，
，设，
则，由得，
化简得，则，
化简得，又因为，所以，
所以点在定直线上.
（ⅱ）因为直线过，所以，直线方程为，
从而得，，
由（ⅰ）知，，，
所以
，
所以存在实数，使得.

【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：
（1）设直线方程，设交点坐标为、；
（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算；
（3）列出韦达定理；
（4）将所求问题或题中的关系转化为、的形式；
（5）代入韦达定理求解.
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