湖南省长沙市周南中学2024届高三下学期三模数学试题

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湖南省长沙市周南中学2024届高三下学期三模数学试题
注意事项：
1．本试卷满分150分，考试时间120分钟。
2．答题前，考生务必将姓名、考生号等个人信息填写在答题卡指定位置。
3．考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答。超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．若复数（i为虚数单位），则在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．设等差数列的前项和为，且，则的值是（ ）
A．11 B．50 C．55 D．60
3．给定整数，有个实数元素的集合，定义其相伴数集，如果，则称集合为一个元规范数集．（注：表示数集中的最小数）．对于集合，则（ ）
A．是规范数集，不是规范数集 B．是规范数集，是规范数集
C．不是规范数集，是规范数集 D．不是规范数集，不是规范数集
4．已知变量和的统计数据如表：
1 2 3 4 5
6 6 7 8 8
根据上表可得回归直线方程，据此可以预测当时，（ ）
A．8.5 B．9 C．9.5 D．10
5．若，则（ ）
A． B．7 C． D．
6．民间娱乐健身工具陀螺起源于我国，最早出土的石制陀螺在山西夏县的新石器时代遗址中发现．如图，是一个陀螺的立体结构图（上端是圆柱，下端是圆锥），已知底面圆的直径，圆柱体部分的高，圆锥体部分的高，则这个陀螺的表面积为（ ）
A． B． C． D．
7．过抛物线焦点的直线交该抛物线于点M，N，已知点M在第一象限，过M作该抛物线准线的垂线，垂足为Q，若直线QF的倾斜角为120°，则的长度为（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数的定义域为，是偶函数，当时，，则曲线在点处的切线斜率为（ ）
A． B． C．2 D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．下列说法正确的是（ ）
A．若，则 B．的最小值为2
C． D．的最小值为2
10．已知圆：，直线：，则（ ）
A．直线过定点
B．圆被轴截得的弦长为
C．当时，圆上恰有2个点到直线距离等于4
D．直线被圆截得的弦长最短时，的方程为
11．如图，在四面体中，，，，O为AC的中点，点M是棱BC的点，则（ ）
A．平面POB
B．四面体的体积为
C．四面体外接球的半径为
D．M为中点，直线PC与平面PAM所成角最大
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知二项式展开式中第三项的二项式系数为6，那么 ；展开式的第二项的系数为 ．
13．如图所示，已知满足，为所在平面内一点.定义点集.若存在点，使得对任意，满足恒成立，则的最大值为 .
14．已知函数，数列满足，，，则 ．
四、解答题：本题共5小题，第15小题13分，第16、17小题15分，第18、19小题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．记的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知．
(1)求的值；
(2)若外接圆的半径为，且为锐角，求面积的最大值．
16．某保险公司为了给年龄在20～70岁的民众提供某种疾病的医疗保障，设计了一款针对该疾病的保险，现从10000名参保人员中随机抽取100名进行分析，这100个样本按年龄段分成了五组，其频率分布直方图如下图所示，每人每年所交纳的保费与参保年龄如下表格所示.（保费：元）据统计，该公司每年为该项保险支出的各种费用为一百万元.
年龄
保费
(1)用样本的频率分布估计总体的概率分布，为使公司不亏本，则保费至少为多少元？（精确到整数）
(2)随着年龄的增加，该疾病患病的概率越来越大，经调查，年龄在的老人中每15人就有1人患该项疾病，年龄在的老人中每10人就有1人患该项疾病，现分别从年龄在和的老人中各随机选取1人，记表示选取的这2人中患该疾病的人数，求的数学期望.
17．如图，四棱锥中，四边形是菱形，，是正三角形，是的重心，点满足.
(1)求证：平面；
(2)若，求直线与平面所成角的正弦值.
18．已知正项数列的前项和为，且.
(1)求和的值，并求出数列的通项公式；
(2)证明：；
(3)设，求的值（其中表示不超过的最大整数）.
19．曲线的曲率是描述几何弯曲程度的量，曲率越大，曲线的弯曲程度越大．曲线在点M处的曲率（其中表示函数在点M处的导数，表示导函数在点M处的导数）．在曲线上点M处的法线（过该点且垂直于该点处的切线的直线为曲线在此处的法线）指向曲线凹的一侧上取一点D,使得，则称以D为圆心，以为半径的圆为曲线在M处的曲率圆，因为此曲率圆与曲线弧度密切程度非常好，且再没有圆能介于此圆与曲线之间而与曲线相切，所以又称此圆为曲线在此处的密切圆．

(1)求出曲线在点处的曲率，并在曲线的图象上找一个点E，使曲线在点E处的曲率与曲线在点处的曲率相同；
(2)若要在曲线上支凹侧放置圆使其能在处与曲线相切且半径最大，求圆的方程；
(3)在（2）的条件下，在圆上任取一点P，曲线上任取关于原点对称的两点A，B，求的最大值．
参考答案：
1．D
【分析】求出，化简复数，利用复数的几何意义可得出结论.
【详解】由题得，
，．
故选：D．
2．C
【分析】等差数列中，由求出，由求值即可.
【详解】由等差数列的性质，可得，
则.
故选：C
3．C
【分析】利用规范数集的定义，逐项判断即可得解.
【详解】集合中，，则，
即的相伴数集中的最小数不是1，因此不是规范数集；
集合，，
，
即的相伴数集中的最小数是1，因此是规范数集.
故选：C
4．D
【分析】计算出样本中心点的坐标，代入回归直线方程求得a的值，然后在回归直线方程中，令可求得结果.
【详解】，，
则，∴，∴，
∴时，预测.
故选：D
5．B
【分析】先根据已知及同角三角函数的平方关系弦化切，再根据正切的和角公式计算即可.
【详解】因为，
整理得，
所以，
又.
故选：B
6．B
【分析】根据已知求出圆锥的母线长，从而可求出圆锥的侧面积，再求出圆柱的侧面积和底面面积，进而可求出陀螺的表面积
【详解】由题意可得圆锥体的母线长为，
所以圆锥体的侧面积为，
圆柱体的侧面积为，圆柱的底面面积为，
所以此陀螺的表面积为（），
故选：B
7．C
【分析】由题设可求得点的纵坐标为，写出直线的方程，与抛物线方程联立，求得点的坐标，最后由抛物线的定义表达式可求出焦点弦的长.
【详解】
如图，，则,在中，，
故，
即点的纵坐标为，代入中，解得，
则，
因，则直线的斜率为，
于是，代入，整理得：，
解得或，即.
故.
故选：C.
8．C
【分析】根据函数对称性求出时的解析式，利用导数的几何意义求解.
【详解】因为是偶函数，所以函数的图象关于对称，则，
当时，，
，
，则，
，即曲线在点处切线的斜率为2.
故选：C.
9．AD
【分析】利用不等式的性质及基本不等式，以此判断选项即可.
【详解】对于A，若，则，A正确;
对于B，或，因为不知道和的大小关系，B错误；
对于C，若，则，而
，但是与的大小不能确定，故C错误；
对于D，，当且仅当，即取等号，D正确.
故选：AD
10．ACD
【分析】直线的方程变形为：，令的系数等于零，即可判断A；到轴的距离为，求出圆被轴截得的弦长可判断B；计算出当时，圆心到直线的距离即可判断C；当时，弦长最短，即可判断D.
【详解】对于A，直线的方程变形为：，
令，解得，
所以直线l恒过定点，故A正确；
对于B，圆的圆心，半径，
到轴的距离为，所以圆被轴截得的弦长为，故B错误；
对于C，当时，直线：，
此时圆心到直线的距离，
而，
所以当时，圆C上恰有2个点到直线l的距离等于4，故C正确.
对于D，当时，弦长最短，
此时，因为直线过定点，
所以的方程为：，化简为：，故D正确.
故选：ACD.
11．AC
【分析】利用到的距离相等说明平面，然后用线面垂直的性质和判定定理即可验证A；直接使用三棱锥体积计算公式即可验证B；设出外接球半径，列出并求解方程即可验证C；使用空间向量法即可验证D.
【详解】
由已知得是等腰直角三角形，
故斜边，且的外心为的中点，其满足.
而，故平面，且.
由于是的中点，，
故，而，在平面内交于点，故平面，故A正确；
我们有，故B错误；
设四面体的外接球球心为点，外接球半径为，
则，解得，故C正确；
以为原点，为轴正方向，建立空间直角坐标系.
则，，，，设，
则，故，.
若是平面的法向量，则.
这得到，从而可取.
而，故直线与平面所成角的正弦值等于
.
而在处最大，
所以当与点重合时，直线与平面所成角最大，D错误.
故选：AC.
【点睛】关键点点睛：本题的关键在于D选项将空间角与函数最值问题相结合，需对参数计算空间角.
12． 4
【分析】利用展开式中第三项的二项式系数可求得，进而利用展开式的通项公式可求第二项的系数.
【详解】二项式展开式的通项为，
则展开式中第三项的二项式系数为，解得．
展开式的第二项的系数为．
故答案为：；.
13．
【分析】延长到满足，取的靠近的三等分点，连接，由向量共线定理得三点共线，从而表示的边上的高，利用正弦定理求得的面积的最大值，从而可得结论．
【详解】延长到满足，取的靠近的三等分点，连接，如图，
，
所以三点共线，
又存在点，使得对任意，满足恒成立，则的长表示到直线的距离，即的边上的高，设，
由得，，公用，因此，
所以，
中，设，由正弦定理得，记为角，
所以，，，
所以
，
若不是钝角，则
，
又，所以，即，
所以，
设，则，，它是减函数，
所以时，，
若是钝角，则
，
设，则，，
令，则，
，
时，，递减，时，递增，
所以时，，，
综上，，
此时．
故答案为：3．
【点睛】方法点睛：本题考查向量的线性运算，考查三角形的面积，解题方法其一是根据向量共线定理得出点在一条直线，问题转化为求三角形高的最大值，从而求三角形面积的最大值，解题方法其二是利用正弦定理求三角形的面积，本题中注意在用平方关系转化时，需要根据是否为钝角分类讨论，才能正确求解（本题用海伦公式求三角形的面积方法较简便）．
14．2
【分析】根据函数性质分析可知：在上单调递增，且为奇函数，进而可得，结合数列周期性分析求解.
【详解】由题意可知：的定义域为，
且，即，
可知为定义在上的奇函数；
且，
因为在上单调递增，可知在上单调递增；
综上所述：在上单调递增，且为奇函数.
因为，则，
可得，即，
由可知：3为数列的周期，则，
且，所以.
故答案为：2.
【点睛】易错点睛：本题分析的奇偶性的同时，必须分析的单调性，若没有单调性，由无法得出.
15．(1)
(2)8
【分析】（1）结合正弦定理、两角和正弦公式化简题目已知条件即可求出a的边长.
（2）利用正弦定理以及先求出，再利用余弦定理和基本不等式求出的最大值即可求解.
【详解】（1）由题得．
所以．
所以，又，所以，
由正弦定理得，因为，所以.
（2）由正弦定理得，所以，
又为锐角．所以，
由余弦定理得，
所以，当且仅当时取等号，
所以的面积.
故面积的最大值为8.
16．(1)30元
(2)
【分析】（1）根据小矩形面积和为得到关于的方程，解出值，再列出不等式，解出即可；
（2）首先分析出的取值为0，1，2，再列出对应概率值，利用期望公式计算即可.
【详解】（1），解得，
保险公司每年收取的保费为：
，
所以要使公司不亏本，则，即，
解得，即保费元；
（2）由题意知的取值为0，1，2，
，
，
，
列表如下：
.
17．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据重心的性质可得，即可根据线线平行求证，
（2）根据线线垂直可得线面垂直，进而可得平面平面，根据余弦定理以及勾股定理求解长度，即可利用等体积法求解长度，利用线面角的几何法求解，或者建立空间直角坐标系，利用法向量与直线方向向量的夹角求解即可.
【详解】（1）如图，连接，交点为，则是的中点.因为是的重心，所以.又是的中点，所以.
由知在线段上，且，所以，
而平面，平面，所以平面.
（2）方法1：设，则.取中点，连接，则，，平面,
故平面，又平面，所以平面平面，交线为.
由，，则,
得.所以到平面的距离等于到直线的距离.
设到平面的距离为，由平面知到平面的距离也是.
由得，，，
从而.
在中，，，，由余弦定理得，
所以直线与平面所成角的正弦值是.
方法2：如图，以中点为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系.
设，则，，，，，，，所以,,,
设平面的法向量是，由
.
令，则，.
所以，，
从而直线与平面所成角的正弦值是.
18．(1)，，；
(2)证明见解析；
(3)88
【分析】（1）令，求出和的值；利用的关系式证得是等差数列，从而求出数列的通项公式；
（2）构造函数，利用导数证得，分别取，再利用累加法即可证明；
（3）利用裂项相消法与累加法证得，从而得解.
【详解】（1）由题意知当时，.
当时，.
因为，则当时，有.
两式相减，得：
，
又因为，所以.
故，，两式相减，
得.
因为，所以.
又因为，，所以对，有，
故是等差数列，因此.
（2）设，则，
所以在上单调递减，则，从而.
令，得，即，分别取，
则，……，，
累加得.
（3）由（2）知.
由知.
故，，，，
所以.
又由知，
故，，，，
所以.
故，即.
【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：
（1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数；
（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；
（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.
19．(1)，（答案不唯一，事实上亦可）
(2)
(3)
【分析】（1）直接用定义计算曲率，然后构造并验证即可；
（2）设圆的方程为，然后与联立，讨论使方程组具有唯一解的最大的即可；
（3）首先用向量计算证明，然后分别考虑的长度即可.
【详解】（1）曲线在点附近满足，进一步有，，故其曲率.
在处，，所以曲线在点处的曲率为.
考虑曲线上的点，曲线在该点附近满足，进一步有，，故其曲率.
在处，，所以曲线在点处的曲率亦为.
（2）设的方程为，，由条件知，由和组成的方程组只有一个解.
将其联立，得到，即，即.
若，则原方程组还有另一个解，矛盾.
而时，我们有，从而，，故，这表明原方程组只有一个解.
所以所求的半径最大的圆的方程为.
（3）首先有.
设，则我们又有，，故.
当，时，.
所以的最大值是.
【点睛】关键点点睛：本题的关键点在于第3小问中，需要将转化为两个线段的模长平方之差，然后各自考虑各自的取值范围，再合在一起讨论整体的最大值.
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