2023-2024学年内蒙古呼和浩特十四中高二（下）期中数学试卷（含解析）

2023-2024学年内蒙古呼和浩特十四中高二（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在等差数列中，，，则( )
A. B. C. D.
2.设两个正态分布和的密度函数图像如图所示则有( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
3.设随机变量，满足：，，若，则( )
A. B. C. D.
4.已知等差数列满足，则的值为( )
A. B. C. D.
5.设为等比数列的前项和，若，，则( )
A. B. C. D.
6.把一枚骰子连续抛掷两次，记事件为“两次所得点数均为奇数”，为“至少有一次点数是”，则( )
A. B. C. D.
7.设点是函数图像上的任意一点，点处切线的倾斜角为，则角的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.小华分期付款购买了一款元的手机，每期付款金额相同，每期为一月，购买后每月付款一次，共付次，购买手机时不需付款，从下个月这天开始付款已知月利率为，按复利计算，则小华每期付款金额约为参考数据：，，( )
A. 元 B. 元 C. 元 D. 元
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数的导函数的图像如图所示，则下列结论正确的是( )
A. 时，取得极大值 B. 时，取得最小值
C. D.
10.有四名男生，三名女生排队照相，七个人排成一排，则下列说法正确的有( )
A. 如果四名男生必须连排在一起，那么有种不同排法
B. 如果三名女生必须连排在一起，那么有种不同排法
C. 如果女生不能站在两端，那么有种不同排法
D. 如果三个女生中任何两个均不能排在一起，那么有种不同排法
11.有甲、乙两个班级共计人进行数学考试，按照大于等于分为优秀，分以下为非优秀统计成绩，得到如下所示的列联表：
优秀 非优秀
甲班
乙班
已知在全部人中随机抽取人，成绩优秀的概率为，则下列说法正确的是( )
附：，其中．
A. 列联表中的值为，的值为
B. 列联表中的值为，的值为
C. 若算得，依据的独立性检验，认为“成绩与班级有关系”
D. 若算得，依据的独立性检验，认为“成绩与班级没有关系”
12.设等差数列的前项和为，公差为已知，，，则下列结论正确的是( )
A.
B.
C.
D. 设的前项和为，则时，的最大值为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.在数列中，，，则数列的第项为______．
14.展开式中的常数项为______．
15.一袋中装有个红球和个黑球除颜色外无区别，任取球，记其中黑球数为，则 ______．
16.某电子设备厂所用的元件由甲、乙两家元件厂提供，根据以往的记录，这两个厂家的次品率分别为，，提供元件的份额分别为，设这两个厂家的产品在仓库里是均匀混合的，且无任何区分的标志，现从仓库中随机取出一个元件，取到的元件是次品的概率为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知函数．
求曲线在处的切线方程；
求在区间上的值域．
18.本小题分
体检时，为了确定体检人是否患有某种疾病，需要对其血液进行化验，若结果呈阳性，则患有该疾病；若结果呈阴性，则未患有该疾病已知每位体检人患有该疾病的概率均为，化验结果不会出错，而且各体检人是否患有该疾病相互独立现有位体检人的血液待检查，有以下两种化验方案：
方案甲：逐个检查每位体检人的血液；
方案乙：先将位体检人的血液混在一起化验一次，若呈阳性，则再逐个化验；若呈阴性，则说明每位体检人均未患有该疾病，化验结束．
哪种化验方案更好？
如果每次化验的费用为元，求方案乙的平均化验费用．
19.本小题分
已知数列是公差不为的等差数列，数列是公比为的等比数列，是，的等比中项，，．
求数列，的通项公式；
求数列的前项和．
20.本小题分
在某化学反应的中间阶段，压力保持不变，温度单位：与反应结果之间的关系如下表所示：
求化学反应结果与温度之间的相关系数精确到；
求关于的线性回归方程；
判断变量与之间是正相关还是负相关，并预测当温度达到时反应结果大约为多少．
附：对于一组数据，，，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，相关系数．
参考数据：．
21.本小题分
已知数列的前项和为，满足，．
证明数列是等差数列，并求数列的通项公式；
若数列满足，求数列的前项和．
22.本小题分
已知函数
讨论的单调性
当时，证明
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：因为等差数列中，，，
所以公差，
所以．
故选：．
根据等差数列的通项公式，求得数列的公差，结合，即可求解．
本题主要考查了等差数列的性质，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：根据正态分布函数的性质：
是正态分布曲线的对称轴；
反应的正态分布的离散程度，越大，越分散，曲线越“矮胖”，越小，越集中，曲线越“瘦高”，
由图象可得，．
故选：．
根据正态分布的性质即可得解．
本题主要考查正态分布曲线的特点，属于基础题．
3.【答案】
【解析】【分析】
本题考查离散型随机变量的方差的求法，考查二项分布、方差性质等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力．
由，，求出，从而，由此能求出，利用，能求出结果．
【解答】
解：随机变量，满足：，，，
，解得，
，
，
．
故选：．
4.【答案】
【解析】解：，
，解得．
设等差数列的公差为，
则．
故选：．
利用等差数列的通项公式及其性质即可得出．
本题考查了等差数列的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：因为等比数列中，，，
所以，
则．
故选：．
由已知结合等比数列的性质先求出公比，然后结合等比数列的求和公式可求．
本题主要考查了等比数列的求和公式的应用，属于基础题．
6.【答案】
【解析】【分析】
本题考查列举法求条件概率，在列举时要有一定的规律、顺序，必须做到不重不漏，属于基础题．
确定基本事件的个数，即可求出．
【解答】
解：事件为“两次所得点数均为奇数”，则事件为，，，，，，，，共种，
为“至少有一次点数是”，则事件为，，，，有种，
所以，
故选：．
7.【答案】
【解析】解析：，，，，
，，
点是曲线上的任意一点，点处切线的倾斜角为，，
，．
故选：．
在中令后可求，再根据导数的取值范围可得的范围，从而可得的取值范围．
本题考查了斜率和倾斜角的变化关系，属于中档题．
8.【答案】
【解析】解：设小华每期付款金额为元，第期付款后欠款为元，
则，
，
，
，
因为，所以，
即．
所以小华每期付款金额约为元．
故选：．
设小华每期付款金额为元，第期付款后欠款为元，根据已知条件，依次写出，，，，，结合及等比数列的前项和公式即可求解．
本题考查等比数列相关综合应用，属于中档题．
9.【答案】
【解析】【分析】
本题考查导数图象与原函数的关系，属于基础题．
结合导函数的图像得出函数的单调性，在上单增，在上单减，利用函数的单调性结合函数极值的定义，可以得解．
【解答】
解：结合导函数的图像可知，在上单增，
则，C正确；
在上单减，则，D正确；
由于，显然不是最小值，B错误；
又在上单增，上单减，则时，取得极大值，A正确．
故选：．
10.【答案】
【解析】【分析】
本题考查排列组合的应用，考查插空法和捆绑法，属于基础题．
根据排列组合的知识对每个选项分别求解即可求得结论．
【解答】
解：对于选项A，如果四名男生必须连排在一起，将这四名男生捆绑，形成一个“大元素”，此时，共有种不同的排法，故A错误
对于选项B，如果三名女生必须连排在一起，将这三名女生捆绑，形成一个“大元素”，此时，共有
种不同的排法种数，故B错误
对于选项C，如果女生不能站在两端，则两端安排男生，其他位置的安排没有限制，此时，共有
种不同的排法种数，故C正确
对于选项D，如果三个女生中任何两个均不能排在一起，将女生插入四名男生所形成的个空中，此时，共有种不同的排法种数，故D正确．
故选：．
11.【答案】
【解析】解：因为在人中随机抽取人，成绩优秀的概率为，
所以成绩优秀的人数为，
非优秀人数为，
所以，，错，B正确；
因为，
所以依据的独立性检验，能认为“成绩与班级有关系”，故C正确，D错误．
故选：．
由成绩优秀的概率求出成绩优秀的人数和非优秀人数，即可得出，的值，根据与附表中的数据对比，即可得解．
本题主要考查了独立性检验的应用，属于基础题．
12.【答案】
【解析】解：，，
，，
，，
，故A错误，
又，即，
，解得，故B正确，
，故C正确，
等差数列的前项和为，
，即，
由，
数列为等差数列，设，
当时，，当时，，
当时，，当时，，
，，
，
可能为正数，也可能为负数，故D错误．
故选：．
由已知求得，，解公差为的取值范围，利用等差数列的通项公式求和公式及其性质逐个选项判断正误即可．
本题主要考查等差数列的前项和，属于中档题．
13.【答案】
【解析】解：因为，，
所以，，，．
故答案为：．
根据及递推公式计算可得结果．
本题考查数列递推关系的运用，考查运算求解能力，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：展开式的通项公式，
令，可得，
所以展开式中的常数项为．
故答案为：．
求出二项展开式的通项公式，令的指数为，求出的值，即可求得常数项．
本题主要考查二项式定理，二项展开式的通项公式，特定项的求法，考查运算求解能力，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：由题意可知，黑球数服从参数，，的超几何分布，
则．
故答案为：．
利用超几何分布的期望公式求解．
本题主要考查了超几何分布的期望，是基础题．
16.【答案】
【解析】解：设事件表示“取到的是一只次品”，事件表示“所取到的产品是由第家工厂提供的”，
则，，，，
由全概率公式可得：
，
即在仓库中随机取一只元件，则它是次品的概率为．
故答案为：．
记事件表示“取到的是一只次品”，事件表示“所取到的产品是由第家工厂提供的”，利用全概率公式可求得结果；
本题主要考查全概率公式，属于基础题．
17.【答案】解：，
，
又，
所以曲线在处的切线方程为，即．
，
令得或，
所以在上，单调递增，
在上，单调递减，
在上，单调递增，
，，，，
所以值域为．
【解析】求导得，由导数的几何意义可得切线的斜率为，又，由点斜式，即可得出切线的方程．
求导并令，分析的符号，的单调性，进而可得函数的最大值和最小值．
本题考查导数的综合应用，解题中需要理清思路，属于中档题．
18.【答案】解：方案甲中，化验的次数一多为次．
方案乙中，若记化验次数为，则的可能取值为，．
因为人都不患病的概率为，
所以，
，
从而，
这也就是说，方案乙的平均检查次数不到次，因此方案乙更好；
若记方案乙中，检查费用为元，则，
从而可知，
即方案乙的平均化验费用为元．
【解析】根据题意，求得的取值，且人都不患病的概率为，由，即可求得，可得乙的平均检查次数不到次，方案乙更好；
由方案乙中，检查费用为元，则，因此，即可求得方案乙的平均化验费用．
本题考查概率的求法，离散型随机变量的分布列及期望，考查运算求解能力，属于中档题．
19.【答案】解：根据题意可得，
，解得，
，；
由知，
，
，
两式相减可得，
，
．
【解析】先根据题意建立方程组，从而解得，，，再根据等差数列与等比数列的通项公式即可求解；
根据错位相减法即可求解．
本题考查方程思想，等差数列与等比数列的通项公式的应用，错位相减法求和，属中档题．
20.【答案】解：由题意可得，，，，，
因为相关系数，
所以相关系数，
根据参考数据可得是：；
根据数据得，，
因此，回归直线方程为；
，与之间是正相关，
当时，，
当温度达到时反应结果大约为．
【解析】根据表中数据，利用相关系数公式求解；
利用最小二乘法求解；
根据的正负判断，再将代入回归直线方程求解．
本题考查了线性回归方程的应用，属于中档题．
21.【答案】证明：依题意，由，
可得，
即，
两边取倒数，可得，
即，
，
数列是以为首项，为公差的等差数列，
，
，．
解：由，可得，
则
．
【解析】先根据题干已知条件进行转化得到递推公式，再将递推公式进一步推导即可发现数列是以为首项，为公差的等差数列，通过计算数列的通项公式即可计算出数列的通项公式；
先根据第题的结果计算出数列的通项公式，再运用分组求和法，裂项相消法即可计算出前项和．
本题主要考查数列由递推公式推导出通项公式，以及数列求前项和问题．考查了转化与化归思想，整体思想，分组求和法，裂项相消法，以及逻辑推理能力和数学运算能力，属中档题．
22.【答案】解：，
，，
当时，恒成立，此时函数在上单调递增，
当时，令，解得，
当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
综上所述当时，函数在上单调递增，
当时，函数在上单调递增，在上单调递减；
证明：由可知，当时，函数在上单调递增，
在上单调递减，
，
从而要证，只要证，
令，则，问题转化为证明，
令，则，
当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
，即成立，
当时，成立．
【解析】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，考查不等式的证明，是一道综合题．
求出函数的导数，通过讨论的范围，求出函数的单调区间即可；
由求出函数的最大值，令，则，问题转化为证明，令，根据函数的单调性证明即可．
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