将军饮马模型（分层练习）（培优练）（含解析）

将军饮马模型（分层练习）（培优练）
一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．如图，已知O ，点 P 为其内一定点，分别在O 的两边上找点 A 、 B ，使△ PAB 周长最小的是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，在中，，P是上一定点，M、N分别是上的动点，当的周长最小时，的度数为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，∠B＝32°，在边AB，BC上分别找一点E，F使△DEF的周长最小，此时∠EDF＝（　　）
A．110° B．112° C．114° D．116°
4．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，点D为AB上一点，DE∥CB，交AC于点E，点P是EC上的一个动点，要使PD+PB最小，则点P应该满足（　　）
A．PB＝PD B．PC＝PE C．∠BPD＝90° D．∠CPB＝∠DPE
5．如图，∠AOB＝45°，点E、F分别在射线OA、OB上，EF＝8，S△OEF＝24，点P是直线EF上的一个动点，点P关于OA的对称的点为P1，点P关于OB的对称点为P2，当点P在直线EF上运动时，的最小值为（　　）
A．8 B．16 C．18 D．36
6．如图，∠AOB＝30°，点P为∠AOB内一点，OP＝8．点M、N分别在OA、OB上．当△PMN周长最小时，下列结论：①∠MPN等于120°；②∠MPN等于100°；③△PMN周长最小值为4；④△PMN周长最小值为8，其中正确的是（　　）
A．①③ B．②③ C．①④ D．②④
7．如图，在中，，点P、Q分别是边上的动点，则的最小值等于（ ）

A．4 B． C．5 D．
8．如图所示，在等边△ABC中，E是AC边的中点，AD是BC边上的中线，P是AD上的动点，若AD=3，则EP＋CP的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
9．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，D，E，F分别是AB，BC，AC边上的动点，则△DEF的周长的最小值是（ ）
A．2.5 B．3.5 C．4.8 D．6
10．如图，在锐角△ABC中，∠ACB＝50°；边AB上有一定点P，M、N分别是AC和BC边上的动点，当△PMN的周长最小时，∠MPN的度数是（　　）
A．50° B．60° C．70° D．80°
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．如图，在四边形中，∠BAD=108°，∠B=∠D=90°，在上分别找一点，使的周长最小，此时的度数为 °.
12．如图，在四边形中，，，在、上分别取一点、，使的周长最小，则 °．
13．如图，已知梯形，，，，点在上，，是中点，在上找一点使的值最小，此时其最小值等于 ．

14．如图，在四边形中，，， （填“能”或“不能”）在找一点E，在上找一点F，使的周长最小，如果不能，在横线上说明理由： ．如果能，在图中画出点E，F，并求的度数为 ．

15．如图，ABC中，AD垂直BC于点D，且AD = BC，BC上方有一动点P满足，则点P到B、C两点距离之和最小时，∠PBC的度数为 ．
16．如图，，平分，点为上一定点，为上的一动点，为上一动点，当最小时，则的度数为 ．
17．如图①，在扇形纸片中，平分．如图②，把扇形纸片对折成扇形（与重合），从点O引一条射线，使 再沿把扇形剪开，若剪开后得到的3个扇形中，圆心角最大为，则= ．

18．如图，中， ， 点是边上一点，在边上各找一点，当周长最短时，的度数是 ．
三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（8分）如图，P为内一定点，M、N分别是射线OA、OB上的点，
（1）当周长最小时，在图中画出（保留作图痕迹）；
（2）在（1）的条件下，已知，求的度数．

20．（8分）在四边形中，，， ，，在、上分别找一点、，使得的周长最小，求周长的最小值．

21．（10分）已知点P在内．

(1)如图①，点P关于射线的对称点分别是G、H，连接．
①若，则是什么特殊三角形？为什么？
②若，试判断与的数量关系，并说明理由；
(2)如图②，若， A、B分别是射线上的点，于点B，点P、Q分别为上的两个定点，且，，在上有一动点E，试求的最小值．
22．（10分）古希腊有一个著名的“将军饮马问题”，大致内容如下：古希腊一位将军，每天都要巡查河岸同侧的两个军营A，B．他总是先去A营，再到河边饮马，之后，再巡查B营．他时常想，怎么走，才能使他每天走的路程之和最短呢？

大数学家海伦曾用轴对称的方法巧妙地解决了这个问题．
如图2，作B关于直线l的对称点，连结与直线l交于点C，点C就是所求的位置．请你在下列阅读、应用的过程中，完成解答：

(1)证明：如图3，在直线l上另取任一点，连结，，，

∵直线l是点B，的对称轴，点C，在l上，
∴ ， ，
∴ ．
在中，
∵，
∴．
∴，即最小．
本问题实际上是利用轴对称变换的思想，把A，B在直线同侧的问题转化为在直线的两侧，从而可利用“两点之间线段最短”，即“三角形两边之和大于第三边”的问题加以解决（在连接A，两点的线中，线段最短）．本问题可归纳为求定直线上一动点与直线外两定点的距离和的最小值的问题的数学模型．
(2)问题解决
如图，将军牵马从军营P处出发，到河流饮马，再到草地吃草，最后回到P处，试分别在边和上各找一点E、F，使得走过的路程，即的周长最小．（保留画图痕迹，辅助线用虚线，最短路径用实线）

23．（10分）如图，已知≌，将沿所在的直线折叠至的位置，点B的对应点为，连结．
(1)直接填空：与的位置关系是__________；
(2)点P、Q分别是线段、上的两个动点（不与点A、B、C重合），已知的面积为36，，求的最小值；
(3)试探索：的内角满足什么条件时，是直角三角形？
24．（12分）阅读理解：如图1，在ABC中，D是BC边上一点，且，试说明．
解：过点A作BC边上的高AH，
∵，，
∴，
又∵，
∴．
根据以上结论解决下列问题：如图2，在ABC中，D是AB边上一点，且CD⊥AB，将ACD沿直线AC翻折得到ACE，点D的对应点为E，AE，BC的延长线交于点F，AB＝12，AF＝10．
（1）若CD＝4，求ACF的面积；
（2）设△ABF的面积为m，点P，M分别在线段AC，AF上．
①求PF+PM的最小值（用含m的代数式表示）；
②已知，当PF+PM取得最小值时，求四边形PCFM的面积（用含m的代数式表示）．
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试卷第1页，共3页
参考答案：
1．D
【分析】根据轴对称图形与三角形的周长定义即可求解.
【详解】D图中，三角形的周长=AP+BP+AB=P1A+AB+BP2=P1P2,为一条线段，故为最小，其他三个选项均不是最小周长.
故选D.
【点拨】此题主要考查轴对称的性质与周长的定义，解题的关键是熟知轴对称的性质.
2．B
【分析】过点P作于点E，延长到点D，使得，过点P作于点F，延长到点G，使得，连接分别交于点M、N，连接，得到，由此解答即可．此题考查最短路径问题，根据题意首先作出对称点，连接对称点得到符合题意的三角形，再根据轴对称的性质解答，正确掌握最短路径问题的解答思路是解题的关键.
【详解】解：过点P作于点E，延长到点D，使得，过点P作于点F，延长到点G，使得，连接分别交于点M、N，连接，
由轴对称的性质可知，，
∴根据两点之间线段最短可知，的周长最小值为的长，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
由对称可知：，
∴，
∴，
故选：B．
3．D
【分析】如图，作点D关于BA的对称点P，点D关于BC的对称点Q，连接PQ，交AB于E′，交BC于F′，则点E′，F′即为所求，结合四边形的内角和即可得出答案．
【详解】解：如图，作点D关于BA的对称点P，点D关于BC的对称点Q，连接PQ，交AB于E′，交BC于F′，则点E′，F′即为所求．
∵四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，∠B＝32°，
∴∠ADC＝180°﹣32°，
由轴对称知，∠ADE′＝∠P，∠CDF′＝∠Q，
在△PDQ中，∠P+∠Q＝180°﹣∠ADC
＝180°﹣（180°﹣32°）
＝32°，
∴∠ADE′+∠CDF′＝∠P+∠Q＝32°，
∴∠E′DF′＝∠ADC﹣（∠ADE′+∠CDF′）
＝180°﹣32°-32°
＝116°．
故选：D．
【点拨】本题考查的是轴对称-最短路线问题，涉及到平面内最短线路问题求法以及四边形的内角和定理等知识，根据已知得出E，F的位置是解题的关键．
4．D
【分析】如图，作点P关于直线AC的对称点D′，连接BD′交AC于P，此时DP+PB的值最小．
【详解】解：如图，作点D关于直线AC的对称点D′，连接BD′交AC于P，此时DP+PB的值最小．
由对称性可知：∠APD＝∠APD′，
∵∠CPB＝∠APD′，
∴∠CPB＝∠DPE，
∴DP+PB最小时，点P应该满足∠CPB＝∠DPE，
故选D．
【点拨】本题考查轴对称最短问题、平行线的性质等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，属于中考常考题型．
5．C
【分析】连接OP，过点O作交EF的延长线于点H，先用三角形面积公式求出OH，再证明是等腰直角三角形，当OP最小时，的面积最小．
【详解】解：如图所示，连接OP，过点O作交EF的延长线于点H，
∵EF=8，，
∴OH=6，
∵点P关于OA对称的点，点P关于OB对称点为，
∴，，，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴最小时，的面积最小，
根据垂线段最短可知，OP的最小值为6，
∴的面积最小值为：，
故选C．
【点拨】本题考查了轴对称的性质，解题的关键是构造出三角形OEF的高，掌握轴对称的性质和垂线段最短．
6．C
【分析】分别作点P关于OA、OB的对称点P1、P2，连P1、P2，交OA于M，交OB于N，△PMN的周长＝P1P2，然后证明△OP1P2是等边三角形，即可求解．
【详解】分别作点P关于OA、OB的对称点P1、P2，连P1、P2，交OA于M，交OB于N，
则OP1＝OP＝OP2，∠P1OA＝∠POA，∠POB＝∠P2OB，
MP＝P1M，PN＝P2N，则△PMN的周长的最小值＝P1P2
∴∠P1OP2＝2∠AOB＝60°，
∴△OP1P2是等边三角形，
∴∠MPN＝∠OPM+∠OPN＝∠OP1M+∠OP2N＝120°
△PMN的周长＝P1P2，
∴P1P2＝OP1＝OP2＝OP＝8，
∴①④正确，
故选C．
【点拨】此题考查轴对称-最短路线问题，正确正确作出辅助线，证明△OP1P2是等边三角形是关键．
7．D
【分析】由勾股定理可得，作A关于的对称点，过点作，交于点，交于点，根据对称可得：，得到当三点共线时，最小，再根据垂线段最短，得到时，最小，据此求解即可．
【详解】解：在中，，
∴
作A关于的对称点，过点作，交于点，交于点，

∵，
∴当三点共线时，最小，
∵垂线段最短，
∴时，最小，
连接，
∵关于对称，
∴，
∴，
∵，
∴，即：，
∴．
故选D．
【点拨】本题主要考查利用轴对称求线段和最小问题．熟练掌握通过构造轴对称解决线段和最小是解题的关键．
8．B
【详解】由等边三角形的性质得，点B，C关于AD对称，连接BE交AD于点P，则EP+CP=BE最小，又BE=AD，所以EP+CP的最小值是3.
故选B.
点拨：本题主要考查了等边三角形的性质和轴对称的性质，求一条定直线上的一个动点到定直线的同旁的两个定点的距离的最小值，常用的方法是，①确定两个定点中的一个关于定直线的对称点；②连接另一个定点与对称点，与定直线的交点就是两线段和的值最小时，动点的位置.
9．C
【分析】如图作D关于直线AC的对称点M，作D关于直线BC的对称点N，连接CM，CN，CD，EN，FM，DN，DM．由∠MCA=∠DCA，∠BCN=∠BCD，∠ACD+∠BCD=90°，推出∠MCD+∠NCD=180°，可得M、B、N共线，由DF+DE+EF=FM+EN+EF，FM+EN+EF≥MN，可知当M、F、E、N共线时，且CD⊥AB时，DE+EF+FD的值最小，最小值=2CD，求出CD的值即可解决问题．
【详解】解：如图，作D关于直线AC的对称点M，作D关于直线BC的对称点N，连接CM，CN，CD，EN，FM，DN，DM．
∴DF=FM，DE=EN，CD=CM，CD=CN，
∴CD=CM=CN，
∵∠MCA=∠DCA，∠BCN=∠BCD，∠ACD+∠BCD=90°，
∴∠MCD+∠NCD=180°，
∴M、C、N共线，
∵DF+DE+EF=FM+EN+EF，
∵FM+EN+EF≥MN，
∴当M、F、E、N共线时，且CD⊥AB时，DE+EF+FD的值最小，
最小值为MN=2CD，
∵CD⊥AB，
∴ AB CD= AB AC，
∴CD===2.4，
∴DE+EF+FD的最小值为4.8．
故选：C．
【点拨】本题考查了轴对称-最短问题、两点之间线段最短、垂线段最短等知识，解题的关键是灵活运用轴对称以及垂线段最短解决最短问题，属于中考选择题中的压轴题．
10．D
【分析】根据轴对称的性质作PD⊥AC于点E，PG⊥BC于点F，连接DG交AC、BC于点M、N，连接MP、NP，得到△PMN，由此解答.
【详解】解：过点P作PD⊥AC于点E，PG⊥BC于点F，连接DG交AC、BC于点M、N，连接MP、NP，
∵PD⊥AC，PG⊥BC，
∴∠PEC＝∠PFC＝90°，
∴∠C+∠EPF＝180°，
∵∠C＝50°，
∵∠D+∠G+∠EPF＝180°，
∴∠D+∠G＝50°，
由对称可知：∠G＝∠GPN，∠D＝∠DPM，
∴∠GPN+∠DPM＝50°，
∴∠MPN＝130°﹣50°＝80°，
故选：D．
【点拨】此题考查最短路径问题，根据题意首先作出对称点，连接对称点得到符合题意的三角形，再根据轴对称的性质解答，正确掌握最短路径问题的解答思路是解题的关键.
11．144
【详解】试题解析：作A关于BC和CD的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于M，交CD于N，则A′A″即为△AMN的周长最小值．作DA延长线AH，
∵∠DAB=100°，
∴∠HAA′=80°，
∴∠AA′M+∠A″=∠HAA′=80°，
∵∠MA′A=∠MAA′，∠NAD=∠A″，且∠MA′A+∠MAA′=∠AMN，∠NAD+∠A″=∠ANM，
∴∠AMN+∠ANM=∠MA′A+∠MAA′+∠NAD+∠A″=2（∠AA′M+∠A″）=2×80°=160°
考点：轴对称-最短路线问题．
12．100
【分析】作点A关于BC的对称点A′，关于CD的对称点A″，根据轴对称确定最短路线问题，连接A′A″与BC、CD的交点即为所求的点M、N，利用三角形的内角和定理列式求出∠A′+∠A″，再根据轴对称的性质和三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠AMN+∠ANM=2（∠A′+∠A″），然后计算即可得解．
【详解】解：如图，作点A关于BC的对称点A′，关于CD的对称点A″，
连接A′A″与BC、CD的交点即为所求的点M、N，
此时，AM+AN+MN= A′M+A″N+MN= A′A″，即周长最小值即为A′A″，
∵∠BAD=130°，∠B=∠D=90°，
∴∠A′+∠A″=180°-∠130°=50°，
由轴对称的性质得：∠A′=∠A′AM，∠A″=∠A″AN，
∴∠AMN+∠ANM=2（∠A′+∠A″）=2×50°=100°．
故答案为：100．
【点拨】本题考查了轴对称确定最短路线问题，轴对称的性质，三角形的内角和定理，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，确定出点M、N的位置是解题的关键，要注意整体思想的利用．
13．
【分析】首先找关于的对称点，然后根据轴对称的性质进行计算．
【详解】解：∵，，
∴，
∴平分，
作点关于的对称点，，如图，
则为中点，所以，
连交于点，
∴，
∴．
故答案为．

【点拨】本题考查轴对称最短路线的问题，熟练找到对称点是解题的关键．
14． 能 无 /80度
【分析】作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接交于点，交于点，当、、、共线时，的周长最小，先求，则．
【详解】解：如答图①，分别作点关于直线，的对称点，，

则，．
的周长，
当，，，四点共线（如答图②）时，的周长取到最小值．
，，
．
根据轴对称的性质可得，．
又由三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和，可得，
又
，
，
，
，
．
故答案为：能，无，．
【点拨】本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握轴对称求最短的方法，灵活应用三角形、四边形内角和是解题的关键．
15．45°
【分析】由三角形面积关系得出P在与BC平行，且到BC的距离为AD的直线l上，l∥BC，作点B关于直线l的对称点B'，连接B'C交l于P，则BB'⊥l，PB＝PB'，此时点P到B、C两点距离之和最小，作PM⊥BC于M，则BB'＝2PM＝AD，证明△BB'C是等腰直角三角形，得出∠B'＝45°，求出∠PBB'＝∠B'＝45°，即可得出答案．
【详解】∵S△PBC＝S△ABC，
∴P在与BC平行，且到BC的距离为AD的直线l上，
∴l∥BC，
作点B关于直线l的对称点B'，连接B'C交l于P，如图所示：
则BB'⊥l，PB＝PB'，此时点P到B、C两点距离之和最小，
作PM⊥BC于M，则BB'＝2PM＝AD，
∵AD⊥BC，AD＝BC，
∴BB'＝BC，BB'⊥BC，
∴△BB'C是等腰直角三角形，
∴∠B'＝45°，
∵PB＝PB'，
∴∠PBB'＝∠B'＝45°，
∴∠PBC＝90° 45°＝45°；
故答案为：45°．
【点拨】本题考查了轴对称 最短路线问题、等腰直角三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、三角形面积等知识；熟练掌握轴对称的性质是解题的关键．
16．
【分析】找到点M关于对称点，过点作于点N，交干点P，则此时的值最小．
【详解】解：如图，作点M关于对称点，
∵平分，
∴点一定在上，
过点作于点，交干点P，则此时的值最小
∵，
∴此时，
∵点M与点关于对称，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为．
【点拨】本题考查了利用轴对称的知识寻找最短路径的知识，涉及到两点之间线段最短、垂线段最短的知识，有一定难度，正确确定点P及点N的位置是关键．
17．/114度
【分析】由折叠的性质得，， ，最大的一个角为，可知，再由 ，， 可求出、的度数，进而求出的度数．
【详解】如图，

由折叠的性质得，， ．
∵，
∴，
∵ ，，
∴，
∴，
故答案为 114．
【点拨】本题考查了折叠的性质和角的和差倍分的计算，由折叠的性质得， 是解答本题的关键．
18．/80度
【分析】本题考查利用轴对称确定线段和的最小值．作点关于的对称点，连接，交于点，此时的周长最短，进行求解即可．
【详解】解：作点关于的对称点， 则：，，
∴，
∵的周长为，
∴当四点共线时，的周长最短，
连接，交于点，此时的周长最短，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
19．（1）见解析，（2）35°
【分析】（1）作P关于OA，OB的对称点P1，P2．连接OP1，OP2．则当M，N是P1P2与OA，OB的交点时，△PMN的周长最短，于是得到结论；
（2）根据对称的性质可以证得∠OPN+∠OPM＝∠OP2N+∠OP1M＝110°，∠P1OP2＝2∠AOB，根据三角形内角和即可求解．
【详解】解：（1）作P关于OA，OB的对称点P1，P2．连接OP1，OP2．分别交OA、OB于点M、N，△PMN的周长为P1 P2长，此时周长最短；

（2）连接P1O、P2O，
∵PP1关于OA对称，
∴∠P1OP＝2∠MOP，∠OP1M＝∠OPM，
同理，∠P2OP＝2∠NOP，∠OP2N＝∠OPN，
∴∠P1OP2＝2∠AOB，
∵∠OPN+∠OPM＝∠OP2N+∠OP1M＝110°，
∴∠P1OP2＝180°﹣110°＝70°，
∴∠AOB＝35°．
【点拨】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，正确作出图形，利用对称得出角之间的关系是解题的关键．
20．
【分析】本题考查对称的性质和勾股定理，根据两点间线段最短找到的周长最小的情况是本题解题的关键．作关于的对称点，关于的对称点，连接、，与、分别交于、，找到的周长最小的情况．再过作延长线的垂线，交延长线于点，利用勾股定理求出，即的周长的最小值．
【详解】如图所示，作关于的对称点，关于的对称点，连接、，与、分别交于、，则此时的周长最小．

证明如下：作关于的对称点，关于的对称点，
，，
，
两点之间线段最短
的周长最小，．
作延长线的垂线，交延长线于点，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
在中，，
．
21．(1)①是等边三角形，理由见解析；②，理由见解析
(2)的最小值为5．
【分析】（1）①由轴对称的性质可得，，．根据“有一个角是的等腰三角形是等边三角形”即可得出是等边三角形；②当时，，G、O、H在同一直线上，由此可得与的数量关系；
（2）过Q作的对称点，连接，交于点E，连接，则的最小值为，由已知条件可得，易得，，由此可得是等边三角形，即可得的长，即的最小值．
【详解】（1）解：①是等边三角形，
∵点P关于对称的点为G，
∴，，
同理，，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形．
②，
当时，，
∴G、O、H在同一直线上，．
∵，
∴；
（2）解：过Q作的对称点，连接，交于点E，连接，

∴ 最小值为．
∵，，
∴．
∵，，
∴，
∴，
∴．
∵点Q与关于对称，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
即的最小值为5．
【点拨】本题主要考查了轴对称--最短路线问题，轴对称的性质和等边三角形的判定和性质．熟练掌握轴对称的性质及等边三角形的判定和性质，熟悉“将军饮马”模型是解题的关键．
22．(1)，，
(2)见解析
【分析】（1）根据对称轴的性质以及三角形三边关系进行作答即可；
（2）分别过P作和的对称点，分别为和，然后连接分别交和于一点，即为点E和点F，则有，，那么的周长为，即三点共线，线段最短即可使得走过的路程，即的周长最小．
【详解】（1）解：由题意可知，
∵直线l是点B，的对称轴，点C，在l上，
∴，，
∴，
在中，
∵，
∴．
∴，即最小．
（2）解：分别过P作和的对称点，分别为和，然后连接分别交和于一点，即为点E和点F，如图所示：

∵是点P，的对称轴，是点P，的对称轴，
所以，，
那么的周长为，
所以三点共线，
即两点之间，线段最短，那么的周长最小．
【点拨】本题主要考查的是对称轴的性质以及两点之间，线段最短等知识，正确掌握两点之间，线段最短是解题的关键．
23．(1)
(2)9
(3)当时，；当时，
【分析】（1）根据轴对称的性质即可判断；
（2）根据对称的性质，在上取点，使得，结合对称性质推出，确定三点共线且垂直于时，取得最小值，结合面积进行计算即可；
（3）分和两种情况，根据翻折变换的性质和平行线的性质解答．
【详解】（1）解：∵沿所在的直线折叠至的位置，点B的对应点为，
∴，
故答案为：；
（2）解：如图所示，在上取点，使得，连接，
根据对称的性质，，

∴，
要求的最小值，求的最小值即可，
∴当B、P、M三点共线，且时，取得最小值，
此时，如图所示，

由对称的性质，，
∵取得最小值时，，
∴，
即：，解得：，
∴的最小值为9；
（3）解：①当时，；
∵由翻折变换的性质可知，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
②由翻折的性质，当时，．
【点拨】本题考查全等三角形的性质、翻折变换的性质、轴对称-最短路径问题、等腰三角形的性质等，熟知折叠是一种对称变换，属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解题关键．
24．（1）20；（2）①m；②m
【分析】（1）根据已知条件，由三角形的面积公式直接求△ACF的面积；
（2）①作点M关于直线AC的对称点N，连接PN、FN，可得当点P落在FN上且FN⊥AB时，PF+PM的值最小，为此时FN的长，根据△ABF的面积为m，将FN用含m的式子表示即可；
②先将△AFC的面积用m表示，再由求出AM的长，得AN＝AM＝4，可得S△AFN＝m，由S△APM＝S△APN，，求出S△APM，由S四边形PCFM＝S△AFC﹣S△APM即可求出S四边形PCFM．
【详解】解：（1）∵CD⊥AB，
∴∠ADC＝90°，
由翻折得，CE＝CD＝4，∠AEC＝∠ADC＝90°，
∴CE⊥AF，
∵AF＝10，
∴S△ACF＝AF CE＝×10×4＝20．
（2）①如图2，作MN⊥AC于点O，交AB于点N，连接FN、PN，
，
由翻折得，∠OAM＝∠OAN，
∵AO＝AO，∠AOM＝∠AON＝90°，
∴△AOM≌△AON（ASA），
∴OM＝ON，AM＝AN，
∴AC垂直平分MN，
∴PM＝PN，
∴PF+PM＝PF+PN≥FN，
∴当点P落在FN上且FN⊥AB时，PF+PM的值最小，为此时FN的长；
如图3，FN⊥AB于点N，交AC于点P，PM⊥AF，
由S△ABF＝AB FN＝m，得×12FN＝m，
解得，FN＝m，
此时PF+PM＝FN＝m，
∴PF+PM的最小值为m．
②如图4，当PF+PM取最小值时，FN⊥AB于点N，交AC于点P，PM⊥AF，
设CD＝CE＝a，PM＝PN＝x，
∵AB＝12，AF＝10，
∴，
∴S△AFC＝S△ABF＝m；
∵，
∴AM＝AF＝×10＝4，
∴AN＝AM＝4，
∴BN＝12＝4＝8，
∴，
∴S△AFN＝S△ABF＝m，
由S△APM＝×4x，S△APN＝×4x，得S△APM＝S△APN，
设S△APM＝S△APN＝2n，
∵，
∴S△FPM＝3n，
由S△APN+S△APM+S△FPM＝S△AFN＝m，
得2n+2n+3n＝m，
∴n＝m，
∴S△APM＝2n＝m，
∴S四边形PCFM＝m-m＝m．
【点拨】此题重点考查用面积的方法求线段的比、全等三角形的判定与性质、轴对称的性质及以求线段的和的最小值问题等知识与方法，解题的关键是正确地理解和运用“阅读理解”中介绍的方法和结论，此题属于考试压轴题．