第九章 不等式与不等式组 章节复习【2024春人教七下数学精品课件含动画】

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第九章 章节复习
第九章 不等式与不等式组
1.巩固运用不等式的性质; (重点)
2.会解简单的一元一次不等式(组)，并能在数轴上表示出解集;(重点)
3.能够根据具体问题中的数量关系，列出一元一次不等式(组)， 解决简单的实际问题. (难点)
像＜和x＞50这样用符号“＜”或“＞”表示大小关系的式子，叫做不等式.
(1)像a+2≠a-2这样用符号“≠”表示不等关系的式子也是不等式.
(2)不等式中可以含未知数，也可以不含未知数.例如：a+2＞5，4b＜6；
3＜4，-1＞-2.
(3)“≥”读作“大于或等于”或“不小于”
“≤”读作“小于或等于”或“不大于”
一、不等式的相关概念
使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解.
一般地，一个含有未知数的不等式的所有的解，组成这个不等式的解集.求不等式的解集的过程叫做解不等式.
不等式的解 不等式的解集
区别 定义
特点
形式
联系
满足一个不等式的未知数的某个值
满足一个不等式的未知数的所有值
个体
全体
如:x=3是2x-3<7的一个解
如:x<5是2x-3<7的解集
某个解定是解集中的一员
解集一定包括了某个解
不等式的解与不等式的解集的区别与联系
不等式的性质1：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变.
如果 a＞b，那么 a±c＞b±c.
不等式的性质2：不等式两边乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变.
如果 a＞b，c＞0，那么 ac＞bc (或＞ ).
不等式的性质3：不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变.
如果 a＞b，c＜0，那么 ac＜bc (或＜ ).
二、不等式的性质
类似于一元一次方程，含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式.
1.解一元一次方程，要根据等式的性质，将方程逐步化为x=a的形式；而解一元一次不等式，则要根据不等式的性质，将不等式逐步化为x＜a或x＞a的形式.
2.解一元一次不等式与解一元一次方程一样，都是通过“去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1”几个步骤确定答案.
3.如果未知数的系数为负数，那么在系数化为1时，要改变不等号的方向.
4.在数轴上表示不等式的解集，大于向右画线，小于向左画线，界点有等号画实心圆点，无等号画空心圆圈.
★解一元一次不等式的基本要求：
三、一元一次不等式及其解法
应用一元一次不等式解实际问题的步骤：
四、一元一次不等式的实际应用
五、一元一次不等式组及其解法
把这两个不等式合起来，组成一个一元一次不等式组.
①
②
一般地，几个不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组的解集.解不等式组就是求它的解集.
一元一次不等式组的解集图析(a＞b)
应用一元一次不等式组解实际问题的步骤：
六、一元一次不等式组的实际应用
01
不等式的相关概念与性质
例1.下列式子中，一元一次不等式有（ ）
① 3x-1≥4； ② 2+3x＞6； ③ 3-<5； ④ ＞0；
⑤ ； ⑥ x+xy≥y2； ⑦ x＞0.
A.5个 B.4个 C.6个 D.3个
A
例2.若，则下列不等式一定成立的是（ ）
A. B.C. D.
【分析】解：A.则，故该选项不成立，不符合题意；
B.，则，故该选项成立，符合题意；
C.，不能判断，故该选项不成立，不符合题意；
D.，当时，；当时，；故该选项不成立，不符合题意.
B
【1-1】设 a＞b，用“＞”或“＜”填空，并说出根据哪条性质.
(1) a+4___b+4；________________ (2) a-1___b-1；________________
(3) -3a___-3b； ________________ (4) ___； ________________
(5) 2a-5___2b-5； _____________________
(6) -3a+2___-3b+2；_____________________
(7) +1___ +1； _____________________
不等式基本性质1
不等式基本性质1
不等式基本性质3
不等式基本性质2
不等式基本性质2及1
不等式基本性质3及1
不等式基本性质2及1
>
<
>
>
>
<
>
【1-2】若，且，则的取值范围是_______．
【分析】∵不等式（a﹣3）xa﹣3的解集为x≤1，
∴，
解得：．
【1-3】下列说法中错误的是( )
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
C
【分析】解：若，则，正确，不合题意；
若，则，正确，不合题意；
若，当时，，错误，符合题意；
若，则，正确，不合题意．
例3.解下列不等式，并在数轴上表示解集：
(1) 5x+15＞4x-1 (2) 2(x+5)≤3(x-5) (3) (4)
解：(1)移项，得 5x-4x＞-1-15
合并同类项，得 x＞-16
解：(2)去括号，得 2x+10≤3x-15
移项，得 2x-3x≤-15-10
合并同类项，得 -x≤-25
系数化为1，得 x≥25
02
解一元一次不等式
例3.解下列不等式，并在数轴上表示解集：
(1) 5x+15＞4x-1 (2) 2(x+5)≤3(x-5) (3) (4)
解：(3)去分母，得 3(x-1)＜7(2x+5)
去括号，得 3x-3＜14x+35
移项，得 3x-14x＜35+3
合并同类项，得 -11x＜38
系数化为1，得 x＞-
解：(4)去分母，得 2(x+1)≥3(2x-5)+12
去括号，得 2x+2≥6x-15+12
移项，得 2x-6x≥-15+12-2
合并同类项，得 -4x≥-5
系数化为1，得 x≤
例4.若关于x，y的二元一次方程组的解满足，求m的取值范围．
解：，
由得：，
由得：，
，
，
解得．
【2-1】在解不等式当 - ≤1时，去分母正确的是( )
A. 2x-3x-3≤6 B.2x-3(x-1)≤6 C.2x-3x-3≤1 D.2x-3(x-1)≤1
【2-2】关于x的不等式3x-a≤0， 只有两个正整数解，则a的取值范围是___________.
B
6≤m＜9
【2-3】解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来．
(1)； (2)；
(1)解：去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
化系数为1得：；
(2)解：去分母得：，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
化系数为1得：；
【2-3】解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来．
(3)(4)
(3)解：移项得：，
合并同类项得：，
化系数为1得：；
(4)解：去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
化系数为1得：．
03
一元一次不等式的应用
例5.某工程队计划在10天内修路6km，施工前2天修完1.2km后，计划发生变化，准备提前2天完成修路任务，以后几天内平均每天至少要修路多少？
解：设以后几天内平均每天修路xkm.依题意得
(10-2-2)x+1.2≥6
解得 x≥0.8
答：以后几天内平均每天至少要修路0.8km.
例6.甲、乙两商场以同样价格出售同样的商品，并且又各自推出不同的优惠方案：在甲商场累计购物超过100元后，超出100元的部分按90%收费；在乙商场累计购物超过50元后，超出50元的部分按95%收费.顾客到哪家商场购物花费少？
例6.甲、乙两商场以同样价格出售同样的商品，并且又各自推出不同的优惠方案：在甲商场累计购物超过100元后，超出100元的部分按90%收费；在乙商场累计购物超过50元后，超出50元的部分按95%收费.顾客到哪家商场购物花费少？
分析：在甲商场购物超过100元后享受优惠，在乙商场购物超过50元后享受优惠.因此，我们需要分三种情况讨论：
(1)累计购物不超过50元；
(2)累计购物超过50元而不超过100元；
(3)累计购物超过100元.
例6.甲、乙两商场以同样价格出售同样的商品，并且又各自推出不同的优惠方案：在甲商场累计购物超过100元后，超出100元的部分按90%收费；在乙商场累计购物超过50元后，超出50元的部分按95%收费.顾客到哪家商场购物花费少？
解：(1)当累计购物不超过50元时，在甲、乙两商场购物都不享受优惠，且两商场以同样价格出售同样的商品，因此到两商场购物花费一样.
(2)当累计购物超过50元而不超过100元时，享受乙商场优惠，不享受甲商场优惠，因此到乙商场购物花费少.
例6.甲、乙两商场以同样价格出售同样的商品，并且又各自推出不同的优惠方案：在甲商场累计购物超过100元后，超出100元的部分按90%收费；在乙商场累计购物超过50元后，超出50元的部分按95%收费.顾客到哪家商场购物花费少？
(3)当累计购物超过100元时，设累计购物x元.(x＞100)依题意，得
①若到甲商场购物花费少，则
50+0.95(x-50)＞100+0.9(x-100)
解得 x＞150
这就是说，累计购物超过150元时，到甲商场购物花费少.
例6.甲、乙两商场以同样价格出售同样的商品，并且又各自推出不同的优惠方案：在甲商场累计购物超过100元后，超出100元的部分按90%收费；在乙商场累计购物超过50元后，超出50元的部分按95%收费.顾客到哪家商场购物花费少？
(3)当累计购物超过100元时，设累计购物x元.(x＞100)依题意，得
②若到乙商场购物花费少，则
50+0.95(x-50)＜100+0.9(x-100)
解得 x＜150
这就是说，累计购物超过100元而不到150元时，到乙商场购物花费少.
例6.甲、乙两商场以同样价格出售同样的商品，并且又各自推出不同的优惠方案：在甲商场累计购物超过100元后，超出100元的部分按90%收费；在乙商场累计购物超过50元后，超出50元的部分按95%收费.顾客到哪家商场购物花费少？
(3)当累计购物超过100元时，设累计购物x元.(x＞100)依题意，得
③若50+0.95(x-50)=100+0.9(x-100)
解得 x=150
这就是说，累计购物为150元时，到甲、乙商场购物花费一样.
【3-1】某种商品的进价为800元，出售时标价为1200元，后来由于该商品积压，商店准备打折出售，但要保持利润率不低于5%,则至多可打( )
A.6折 B.7折 C.8折 D.9折
【3-2】某种出租车的收费标准:起步价7元(即行驶距离不超过3千米都需付7元车费)，超过3千米后，每增加1千米，加收2. 4元(不足1千米按1千米计).某人乘这种出租车从甲地到乙地共付车费19元，那么甲地到乙地路程的最大值是( )
A. 5千米 B.7千米 C.8千米 D. 15千米
B
C
【3-3】学校为想购买计算器的学生联系了两家公司，两家公司的报价均为50元/个，并且质量和服务承诺相同，且都表示对学生优惠:甲公司表示每个计算器9折出售;乙公司表示购买100个以上，超过100个的部分按8折收费.假如你是校方，你该怎样选择这两家公司
解:设学校集体购买的计算器为x个，依题意得
(1)显然当x≤100时，选择甲公司合算.
(2)当x>100时, ①如果选甲公司合算，则有
0.9×50x<100×50+ (x-100) ×0.8×50
解得 x<200
∴当购买个数超过100而不超过200时，选甲公司合算.
【3-3】学校为想购买计算器的学生联系了两家公司，两家公司的报价均为50元/个，并且质量和服务承诺相同，且都表示对学生优惠:甲公司表示每个计算器9折出售;乙公司表示购买100个以上，超过100个的部分按8折收费.假如你是校方，你该怎样选择这两家公司
(2)当x>100时，
②如果选乙公司合算，则有
0.9×50x>100×50+ (x-100)×0. 8×50
解得 x>200
∴当购买个数超过200时，选乙公司合算.
【3-3】学校为想购买计算器的学生联系了两家公司，两家公司的报价均为50元/个，并且质量和服务承诺相同，且都表示对学生优惠:甲公司表示每个计算器9折出售;乙公司表示购买100个以上，超过100个的部分按8折收费.假如你是校方，你该怎样选择这两家公司
(2)当x>100时，
③如果甲、乙两家公司费用相同，则有
0.9×50x=100×50+ (x-100) × 0.8×50
解得 x=200
∴当购买个数为200时，选择甲、乙两公司都一样.
04
一元一次不等式组的解法
例7.解下列不等式组：
(1) (2) (3)
①
②
①
②
①
②
解：(1)解不等式①，得 x＞
解不等式②，得 x＞1
∴ 不等式组的解集是 x＞1.
解：(2)解不等式①，得 x＜-6
解不等式②，得 x＞2
∴ 不等式组无解.
例7.解下列不等式组：
(1) (2) (3)
①
②
①
②
①
②
解：(3)解不等式①，得 x＞-2.4
解不等式②，得 x≤3.5
∴ 不等式组的解集是 -2.4＜x≤3.5
解：解不等式组
解不等式①，得 x＞-
解不等式②，得 x≤4
∴ 不等式组的解集是 -＜x≤4
∴ x可取的整数值是-2，-1，0，1，2，3，4.
例8.x取哪些整数值时，不等式5x+2＞3(x-1)与x-1≤7-x都成立？
【4-1】不等式组的解集在数轴上表示出来如图所示:
则这个不等式组为( )
A. B. C.D.
C
【4-2】解下列不等式组：
(1) (2)
解：不等式①的解集： ，
不等式②的解集： ，
∴不等式组的解集为．
解：不等式①的解集：，
不等式②的解集：，
则不等式组的解集为．
【4-3】x取哪些正整数值时，不等式x+3＞6与2x-1＜10都成立？
解：解不等式组
解不等式①，得 x＞3
解不等式②，得 x＜5.5
∴ 不等式组的解集是 3＜x＜5.5
∴ x可取的正整数值是4，5.
例9.若关于x的不等式组只有4个整数解，求a的取值范围．
05
一元一次不等式组的解法典型应用
解：
解不等式①，得，
解不等式②，得，
∵此不等式组只有4个整数解，
例9.若关于x的不等式组只有4个整数解，求a的取值范围．
∴此不等式组的解集为，
∴它的4个整数解为20、19、18、17，
∴，
解得a的取值范围是：．
例10.若不等式组有解，求实数a的取值范围．
解：解不等式，得
解不等式，得
原不等式组有解，则
解得
例11.已知关于的不等式组解集为，求代数式的值．
解： ，由得，；由得，，
∴，
∵，
∴，，
例11.已知关于的不等式组解集为，求代数式的值．
∴，，
∴，
∴．
【5-1】已知不等式组无解，求m的取值范围．
解：，
由①得，x＞8，
∵不等式组无解，
∴8≥4m，
解得：m≤2，
∴m的取值范围是m≤2．
【5-2】已知方程组的解、满足，求的取值范围．
解： ，
得，，即，
，
，
解得．
【5-3】已知关于x的不等式组有四个整数解，求实数a的取值范围．
解：
解不等式①得：，
解不等式②得：
∴
∵不等式组有四个整数解，∴整数解是，，0，1，
∴∴
06
用一元一次不等式组解决实际问题
例12.某班有若干学生住宿，若每间住4人，则有20人没宿舍住；若每间住8人则有一间没有住满人，试求该班宿舍间数及住宿人数？
解：设有x间宿舍，则有（4x+20）人住宿，依题意可得
解得5< x<7
因为宿舍间数是整数；
所以x=6.
住宿人数：4x+20=44（人）
答：该班有6间宿舍及44人住宿.
例13.某超市计划同时购进一批甲、乙两种商品，若购进甲商品10件和乙商品8件，共需要资金880元；若购进甲商品2件和乙商品5件，共需要资金380元．
(1)求甲、乙两种商品每件的进价各是多少元？
(2)该超市计划购进这两种商品共50件，而可用于购买这两种商品的资金不超过2520元．根据市场行情，销售一件甲商品可获利10元，销售一件乙商品可获利15元．该超市希望销售完这两种商品所获利润不少于620元．则该超市有哪几种进货方案？
（1）解：设甲商品每件的进价是元，乙商品每件的进价是元，根据题意得，
解得：
答：甲商品每件的进价是元，乙商品每件的进价是元；
（2）解：设购进甲商品件，则购进乙商品件，根据题意得，
解得：
∵为正整数，故
∴有三种进货方案，
方案一：购进甲商品件，乙商品件；
方案二：购进甲商品件，乙商品件；
方案三：购进甲商品件，乙商品件.
【6-1】为了美化环境，张老师组织班级部分同学在操场植树，班级购买了若干树苗，若每人植棵，还剩棵，若每人植棵，最后一人有树植，但不足棵，这批树苗共有多少棵？
解：设共有人参与植树，则这批树苗共有棵，依题意得：
解得：．
又为正整数，
，
． 答：这批树苗共有棵．
【6-2】甲以5千米/时的速度进行有氧体育锻炼，2小时后，乙骑自行车从同一地出发沿同一条路追赶甲，根据他们两人的约定，乙最快不早于1小时追上甲，最慢不晚于1小时15分追上甲.那么乙骑车的速度应当控制在什么范围
解:设乙骑车的速度为x千米/时，依题意得
解这个不等式组，得13≤x≤15
答:乙骑车的速度应控制在13~15千米/时这个范围内.
【6-3】为了美化环境，园林部门决定利用现有的3490盆甲种花卉和2950盆乙种花卉搭配A、B两种园艺造型共50个摆放在迎宾大道两侧，已知搭配一个A种造型需甲种花卉80盆，乙种花卉40盆，搭配一个B种造型需甲种花卉50盆，乙种花卉90盆.
(1)某校七年级(1)班课外活动小组承接了这个园艺造型搭配方案的设计，问符合题意的搭配方案有几种 请你帮助设计出来.
(2)若搭配一个A种造型的成本是800元，搭配一个B种造型的成本是960元，试说明(1)中哪种方案成本最低 最低成本是多少元
解: (1) 设搭配A种造型x个，则B种造型为(50-x)个,依题意得
解这个不等式组得31≤x≤33
∵x是整数，
∴x可取31、32、 33
∴可设计三种搭配方案:
①A种园艺造型31个，B种园艺造型19个;
②A种园艺造型32个，B种园艺造型18个;
③A种园艺造型33个，B种园艺造型17个.
(2) 方案①需成本: 31×800+ 19×960=43040(元);
方案②需成本: 32×800+ 18×960=42880(元) ;
方案③需成本: 33×800+ 17×960=42720(元).
应选择方案③，成本最低,最低成本为42720元.
(2)若搭配一个A种造型的成本是800元，搭配一个B种造型的成本是960元，试说明(1)中哪种方案成本最低 最低成本是多少元
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