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2024年新课标高考数学新增知识点专训1
一、单选题(本题共3个小题，每小题5分，共15分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的)
1．在棱长为2的正方体中，，分别为棱，的中点，为棱上的一点，且，则点到平面的距离为（ ）
A． B． C． D．
2．计算：（ ）
A． B． C． D．
3．从甲队60人、乙队40人中，按照分层抽样的方法从两队共抽取10人，进行一轮答题．相关统计情况如下：甲队答对题目的平均数为1，方差为1；乙队答对题目的平均数为1.5，方差为0.4，则这10人答对题目的方差为（ ）
A．0.8 B．0.675 C．0.74 D．0.82
二、多选题（本题共4个小题，每小题6分，共24分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
4．若平面向量则下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C．与的夹角为 D．在上的投影向量的坐标为
5．“体育强则中国强，国运兴则体育兴”.为备战2024年巴黎奥运会，运动员们都在积极参加集训，已知某跳水运动员在一次集训中7位裁判给出的分数分别为：9.1，9.3，9.4，9.6，9.8，10，10，则这组数据的（ ）
A．平均数为9.6 B．众数为10
C．第80百分位数为9.8 D．方差为
6．现有编号为1，2，3的三个口袋，其中1号口袋内装有两个1号球，一个2号球和一个3号球；2号口袋内装有两个1号球，一个3号球；3号口袋内装有三个1号球，两个2号球；第一次先从1号口袋内随机抽取1个球，将取出的球放入与球同编号的口袋中，第二次从该口袋中任取一个球，下列说法正确的是（ ）
A．在第一次抽到3号球的条件下，第二次抽到1号球的概率是
B．第二次取到1号球的概率
C．如果第二次取到1号球，则它来自1号口袋的概率最大
D．如果将5个不同小球放入这3个口袋内，每个口袋至少放1个，则不同的分配方法有150种
7．若数列满足，，，则称数列为斐波那契数列，又称黄金分割数列．在现代物理、准晶体结构、化学等领域，斐波那契数列都有直接的应用．则下列结论成立的是（ ）
A． B．
C． D．
三、解答题（本题共1小题，共17分 .解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
8．已知定点，定直线，动点在曲线上.
(1)设曲线的离心率为，点到直线的距离为，求证：；
(2)设过定点的动直线与曲线相交于两点，过点与直线垂直的直线与相交于点，直线是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由.
参考答案：
1．D
【分析】建立空间直角坐标系，由点到平面的距离公式计算即可．
【详解】以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
所以，，．
设平面的法向量为，则，
取，得，
所以点到平面的距离为，
故选：D．
2．C
【分析】根据和差角公式以及积化和差公式即可求解.
【详解】
，
故选：C
3．D
【分析】根据分层抽样的均值与方差公式计算即可.
【详解】根据题意，按照分层抽样的方法从甲队中抽取人，
从乙队中抽取人，
这人答对题目的平均数为，
所以这人答对题目的方差为.
故选：D.
4．ACD
【分析】根据向量模的坐标表示判断A，根据向量共线的坐标表示判断B，根据数量积的坐标表示判断C，求出，再根据投影向量的定义判断D.
【详解】因为，，
所以，，所以，故A正确；
又，所以与不共线，故B错误；
因为，所以，即与的夹角为，故C正确；
因为，，
所以在上的投影向量的坐标为，故D正确.
故选：ACD
5．ABD
【分析】根据平均数、众数、百分位数和方差的定义求解.
【详解】对于A，平均数，故A正确；
对于B，出现次数最多的数为10，故B正确；
对于C，7×0.8=5.6，第80百分位数为第6位，即10，故C错误；
对于D，方差为，故D正确.
故选：ABD.
6．ACD
【分析】对于A选项利用条件概率公式求解；对于B选项利用全概率公式求解，对于C选项利用贝叶斯公式求解，对于D选项，不同元素的分配问题，先分份再分配即可求解.
【详解】对于A选项，记事件分别表示第一次、第二次取到号球, ,则第一次抽到号球的条件下，第二次抽到号球的概率，故A正确;
对于B选项，记事件分别表示第一次、第二次取到号球, , 依题意 两两互斥, 其和为, 并且，
，
，
，
应用全概率公式, 有，故B错误;
对于C选项，依题设知, 第二次的球取自口袋的编号与第一次取的球上的号数相同,
则,
,
,
故在第二次取到1号球的条件下, 它取自编号为1的口袋的概率最大,故C正确;
对于D选项，先将5个不同的小球分成1，1，3或2，2，1三份，再放入三个不同的口袋，
则不同的分配方法有，故D正确.
故选:ACD.
7．AB
【分析】根据数列的递推公式即可判断AC；利用数列的性质，结合斐波那契数列的前项和即可判断BD.
【详解】对于A，因为，，，
所以，，，
，，故A正确；
对于B，设数列的前项和为，
，
，
故，故B正确；
对于C，由A可知，
，C错误；
对于D，
，
，
故，故D错误.
故选：AB.
【点睛】关键点点睛：本题考查斐波那契数列的递推公式，以及其偶数项和奇数项的和的求解，处理问题的关键是通过递推公式，找到相邻项的和与差的关系.
8．(1)证明见解析；
(2)直线过定点，定点的坐标为.
【分析】（1）根据条件直接求出及，代入化简即可证明结果；
（2）设出直线的方程及点的坐标，联立直线与曲线的方程，再求出的方程，再利用曲线的对称性并结合韦达定理求解作答，即可求出结果.
【详解】（1）由题意，曲线的离心率，
显然，，即，又因为，
所以，
所到，即.
（2）设点的坐标分别为，
由题意，当直线的斜率不为0时，设直线的方程为，
联立方程组，消去并整理得，
由韦达定理知，
由已知，点的坐标为，
则直线的方程为，
根据椭圆的对称性可知，如果直线过定点，则此定点一定在轴上，
令，可得，
而，所以
，
此时，为定值，
当直线的斜率为0时，直线与直线重合，必然过点，
综上，直线过定点，定点的坐标为.
【点睛】方法点晴：求定点问题常见的方法有两种：（1）从特殊入手，求出定点，再证明这个点坐标与变量无关；（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定点．
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2024年新课标高考数学新增知识点专训2
一、单选题(本题共4个小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的)
1．下列说法不正确的是（ ）
A．一组数据1，4，14，6，13，10，17，19的25％分位数为5
B．一组数据，3，2，5，7的中位数为3，则的取值范围是
C．若随机变量，则方差
D．若随机变量，且，则
2．函数的最大值是（ ）
A．2 B．1 C． D．
3．斐波那契数列又称“黄金分割数列”，因数学家莱昂纳多斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”.此数列在现代物理、准晶体结构、化学等领域都有着广泛的应用.斐波那契数列可以用如下方法定义：.若此数列各项除以4的余数依次构成一个新数列，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．5
4．设某批产品中，由甲、乙、丙三个车间生产的产品分别占，，，已知甲、乙车间生产的产品的次品率分别为，.现从该批产品中任取一件，若取到的是次品的概率为，则推测丙车间的次品率为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（本题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
5．某学校为了解学生身高（单位：cm）情况，采用分层随机抽样的方法从4000名学生（该校男女生人数之比为）中抽取了一个容量为100的样本.其中，男生平均身高为175，方差为184，女生平均身高为160，方差为179.则下列说法正确的是参考公式：总体分为2层，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：，，，，，.记总的样本平均数为，样本方差为，则（ ）
参考公式：
A．抽取的样本里男生有60人
B．每一位学生被抽中的可能性为
C．估计该学校学生身高的平均值为170
D．估计该学校学生身高的方差为236
6．下列说法正确的是（ ）
A．在平行四边形中，与共线
B．若均为非零向量，且，则
C．若为三条中线的交点，则
D．若，则在方向上的投影向量的坐标为
7．如图，在直四棱柱中，四边形是矩形，，，，点P是棱的中点，点M是侧面内的一点，则下列说法正确的是（ ）
A．直线与直线所成角的余弦值为
B．存在点，使得
C．若点是棱上的一点，则点M到直线的距离的最小值为
D．若点到平面的距离与到点的距离相等，则点M的轨迹是抛物线的一部分
三、解答题（本题共1小题，共13分 .解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
8．请阅读下列材料，并解决问题：
圆锥曲线的第二定义
二次曲线，即圆锥曲线，是由一平面截二次锥面得到的曲线，包括椭圆，抛物线，双曲线等.2000多年前，古希腊数学家最先开始研究二次曲线，并获得了大量的成果.古希腊数学家阿波罗尼斯采用平面切割圆锥的方法来研究二次曲线.阿波罗尼斯曾把椭圆叫“亏曲线”把双曲线叫做“超曲线”，把抛物线叫做“齐曲线”，事实上，二次曲线由很多统一的定义、统一的二级结论等等.比如：平面内的动点到一个定点的距离和到定直线的距离的比是常数，则动点的轨迹就是圆锥曲线（这个圆锥曲线的第二定义）.其中定点称为其焦点，定直线称为其准线（其中椭圆与双曲线的准线方程为，抛物线准线方程为），正常数称为其离心率.当时，轨迹为椭圆；当时，轨迹为抛物线；当时，轨迹为双曲线.
(1)已知平面内的动点到一个定点的距离和到定直线的距离的比是常数，则动点的轨迹方程为 （直接写出结果，无需过程）.
(2)在（1）所求的曲线中是否存在一点，使得该点到直线的距离最小？最小距离是多少？
参考答案：
1．C
【分析】对于A，先把数据从小到大排列，利用百分位定义计算即可；对于B，根据中位数的定义讨论即可；对于C，根据二项分布的方差公式计算即可；对于D，根据正态分布的对称性求解.
【详解】对于A，该组数据共8个，且，所以25％分位数为从小到大排列后第2个数和第3个数的平均数，即为，故A正确；
对于B，若，则这组数据由小到大排列依次为2，3，5，，7或2，3，5，7，，中位数为5，不合题意；
若，则这组数据由小到大排列依次为2，3，，5，7，中位数为，不合题意；
若，则这组数据由小到大排列依次为2，，3，5，7或，2，3，5，7，中位数为3，故实数的取值范围是，故B正确；
对于C，若随机变量，则，所以，故C错误；
对于D，若随机变量，且，则，故D正确．
故选：C．
2．B
【分析】根据和差化积公式化简，利用正弦函数的值域即可得解.
【详解】因为，
所以的最大值为1.
故选：B
3．A
【解析】根据，递推得到数列，然后再得到数列是以6为周期的周期数列求解.
【详解】因为，
所以数列为1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，…
此数列各项除以4的余数依次构成的数列为：1，1，2，3，1，0，1，1，2，3，0，…
是以6为周期的周期数列，
所以，
故选：A
4．A
【分析】设事件表示取到的是次品，，，表示取到的产品是甲、乙、丙三个车间生产的，由全概率公式求.
【详解】设事件表示取到的是次品，，，表示取到的产品是甲、乙、丙三个车间生产的，
则，，,,，.
由全概率公式：.
即，.
故选：A
5．ABD
【分析】根据分层抽样的公式，以及利用每层样本的平均数和方差公式，代入总体的均值和方差公式，即可判断选项.
【详解】对于项，抽取的样本里男生有人，所以A项正确；
对于B项，由题可知，每一位学生被抽中的可能性为，所以B项正确；
对于C项，估计该学校学生身高的平均值为，所以C项错误；
对于D，估计该学校学生身高的方差为，所以D项正确.
故选：ABD
6．AC
【分析】根据共线向量的定义判断A，根据数量积的定义判断B，根据重心的性质及平面向量线性运算法则判断C，根据投影向量的定义判断D.
【详解】对于A：在平行四边形中，，所以与共线，故A正确；
对于B：若均为非零向量，且，则，
所以，无法得到，故B错误；
对于C：若为三条中线的交点，则为的重心，
所以，所以，
所以，故C正确；
对于D：因为，，
所以，，
所以在方向上的投影向量为，故D错误.
故选：AC
7．ACD
【分析】以点A为坐标原点，建立空间直角坐标系，由空间向量的位置关系、线面角的向量公式，点到直线的向量公式和抛物线的定义对选项一一判断即可得出答案.
【详解】以点A为坐标原点，分别以、、所在的直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，如图所示.
所以，，，，，，
所以，，
所以，，
所以直线与直线所成角的余弦值为，故A正确；
由题意，设，
则，又，
若，则，解得，
所以不存在点M，使得，故B错误；
设，所以，
所以点到直线的距离
，
所以，此时，
所以点M到直线的距离的最小值为，故C正确；
设，
则点M到平面的距离为z，点M到点的距离为.
因为点M到平面的距离与到点的距离相等，所以，
整理得（其中，），
即点M的轨迹方程为，是抛物线的一部分，故D正确.
故选：ACD.
8．(1)
(2)存在，最小距离为.
【分析】（1）根据给定条件，列出方程化简即得.
（2）利用三角换元法结合点到直线距离公式和辅助角公式即可.
【详解】（1）依题意，，化简并整理得，
所以点的轨迹方程为.
（2）假设存在这样的点到直线的距离最小，
设，其中，则点到直线的距离，其中，
则当时，.
所以存在这样的点，使得该点到直线的距离最小，距离最小为.
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