湖南省邵阳县第二高级中学2023-2024学年高一下学期数学期中考试试题
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2024高一下·邵阳期中）已知i为虚数单位，，则复数z的虚部为（ ）
A．-2 B．i C．2 D．
2．（2024高一下·邵阳期中）已知向量，，则（ ）
A． B． C． D．1
3．（2024高一下·邵阳期中）空间中垂直于同一个平面的两条直线（ ）
A．相交 B．异面 C．平行 D．垂直
4．（2024高一下·邵阳期中）下列几何体中为球的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2024高一下·邵阳期中）已知向量，满足，，，则（ ）
A． B． C． D．
6．（2024高一下·邵阳期中）在复平面内，复数对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
7．（2024高一下·邵阳期中）在正六边形ABCDEF中，（ ）
A． B． C． D．
8．（2024高一下·邵阳期中）在中，A，B，C的对边分别是a，b，c，若，则的形状是（ ）
A．等腰直角三角形 B．等腰三角形或直角三角形
C．直角三角形 D．等腰三角形
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．（2024高一下·邵阳期中）下列各组向量中，能作为基底的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
10．（2024高一下·邵阳期中）下列结论不正确的是（ ）
A．且是的充要条件
B．对于任意向量，都有
C．若，则与中至少有一个为
D．两个非零向量与夹角的范围是
11．（2024高一下·邵阳期中）已知角A，B，C是三角形ABC的三个内角，下列结论一定成立的有（ ）
A． B．
C．若，则 D．若，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．（2024高一下·邵阳期中）已知向量，，若，实数 ．
13．（2024高一下·邵阳期中）直径为的球的表面积为 ．
14．（2024高一下·邵阳期中）如图，一个水平放置的平面图形的直观图是个底角为45°的等腰梯形，已知直观图中，，，则该平面图形的面积为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（2024高一下·邵阳期中）当m为何实数时，复数分别是：
（1）实数；
（2）纯虚数．
16．（2024高一下·邵阳期中）已知圆锥母线长为5，底面圆半径长为3．
（1）求圆锥的体积；
（2）求圆锥的表面积．
17．（2024高一下·邵阳期中）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且
（1）求角A；
（2）若，，求的面积．
18．（2024高一下·邵阳期中）已知向量，且函数．在上的最大值为．
（1）求常数m的值；
（2）求函数的单调递增区间；
（3）求使成立的x的取值集合．
19．（2024高一下·邵阳期中）一艘海轮从A出发，沿北偏东75°的方向航行后到达海岛B，然后从B出发，沿北偏东15°的方向航行2n mile到达海岛C．
（1）求AC的长；
（2）如果下次航行直接从A出发到达C，应沿什么方向航行多少n mile？
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】复数的基本概念
【解析】【解答】解：复数，虚部为.
故答案为：A.
【分析】由题意，根据复数的概念判断即可.
2．【答案】B
【知识点】平面向量加、减运算的坐标表示
【解析】【解答】解：因为向量，，所以.
故答案为：B.
【分析】根据向量的坐标运算求解即可.
3．【答案】C
【知识点】直线与平面垂直的性质
【解析】【解答】解： 由线面垂直的性质可知：空间中垂直于同一个平面的两条直线平行.
故答案为：C.
【分析】根据线面垂直的性质判断即可.
4．【答案】C
【知识点】棱柱的结构特征；棱锥的结构特征；棱台的结构特征
【解析】【解答】解：A、几何体为圆柱，故A不符合；
B、几何体为圆锥，故B不符合；
C、几何体为球，故C符合；
D、几何体为三棱台，故D不符合.
故答案为：C.
【分析】根据球的特征判断即可.
5．【答案】A
【知识点】数量积表示两个向量的夹角
【解析】【解答】解：因为向量，满足，，， 所以.
故答案为：A.
【分析】由题意，根据向量的夹角公式求解即可.
6．【答案】D
【知识点】复数在复平面中的表示；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：复数，对应的点为，位于第四象限.
故答案为：D.
【分析】先根据复数的除法运算化简复数，再根据复数的几何意义判断即可.
7．【答案】D
【知识点】平面向量的线性运算
【解析】【解答】解：.
故答案为：D.
【分析】根据向量的线性运算化简即可.
8．【答案】B
【知识点】二倍角的正弦公式；正弦定理；三角形的形状判断
【解析】【解答】解：因为，所以，即，
则或，解得或，故为等腰三角形或直角三角形.
故答案为：B.
【分析】由题意，结合正弦定理、正弦的二倍角公式化简可得，即可判断的形状.
9．【答案】C,D
【知识点】平面向量的共线定理；平面向量的基本定理
【解析】【解答】解：A、因为为零向量，所以共线，故A不符合；
B、因为，所以共线，故B不符合；
C、因为，所以不共线，故C符合；
D、因为，所以不共线，故D符合.
故答案为：CD.
【分析】根据平面向量基本定理逐项判断即可.
10．【答案】A,C
【知识点】共线（平行）向量；平面向量的共线定理；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：A、 且 ，则或，故A错误；
B、零向量与任意向量平行，故B正确；
C、 若 ，则与中至少有一个为 或，故C错误；
D、 两个非零向量与夹角的范围是 ，故D正确.
故答案为：AC.
【分析】根据向量共线定理以及向量数量积性质和向量夹角的取值范围逐项分析判断即可.
11．【答案】A,C,D
【知识点】诱导公式；正弦定理
【解析】【解答】解：A、，故A正确；
B、，故B错误；
C、在中，由正弦定理可得，则，故C正确；
D、若，则，由正弦定理可得，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】根据三角形内角和定理结合正弦定理逐项判断即可.
12．【答案】12
【知识点】平面向量的坐标运算；平面向量垂直的坐标表示
【解析】【解答】解：因为向量，，且，所以，解得。
故答案为：12.
【分析】根据向量垂直的坐标表示列式求解即可.
13．【答案】
【知识点】球的体积和表面积
【解析】【解答】解：因为球的直径为，所以球的半径为，
则球的表面积为.
故答案为：.
【分析】根据球的表面积公式计算即可.
14．【答案】
【知识点】平面图形的直观图；斜二测画法直观图
【解析】【解答】解： 直观图 还原平面图形，如图所示：
，，
等腰梯形中，，则，
所以．
故答案为：D．
【分析】根据直观图得到平面图形，求出相应边长计算面积即可．
15．【答案】（1）解：复数为实数，则，解得.
（2）解：复数为纯虚数，则，解得.
【知识点】复数的基本概念
【解析】【分析】（1）根据复数的概念求解即可；
（2）根据复数的概念求解即可.
16．【答案】（1）解：由题意可得：，根据勾股定理可得，
则圆锥的体积为.
（2）解：，，则.
【知识点】旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征
【解析】【分析】（1）根据圆锥的体积公式求解即可；
(2)先求圆锥的底面积以及侧面积，相加即可得圆锥的表面积.
17．【答案】（1）解：由，可得，即，即，
因为，所以.
（2）解：因为，，，由余弦定理，可得，即，
故.
【知识点】正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】（1）由题意，结合余弦定理化简求解即可；
（2）由题意，结合（1）的结论，利用余弦定理求得a的值，最后利用面积公式求解即可.
18．【答案】（1）解：
，
因为在上的最大值为，所以，即.
（2）解：由（1）可知：，当，
解得，故的单调递增区间为，
（3）解：由，得，则，
解得，，
所以成立的取值集合为.
【知识点】平面向量的数量积运算；二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质；辅助角公式
【解析】【分析】（1）由题意，利用向量的数量积运算，结合正弦、余弦的二倍角公式、辅助角公式化简求得，再根据正弦型函数的性质求常数m的值即可；
（2）根据正弦型函数的性质，整体代入求值即可；
（3）整体代入，解不等式即可.
19．【答案】（1）解：在中，，，，
由余弦定理得：，
解得：.
（2）解：在中，由余弦定理得：，所以
因此应沿北偏东30°方向航行即可到达C处．
【知识点】解三角形的实际应用
【解析】【分析】（1）由题意，在中，利用余弦定理化简求解即可；
（2）在中，利用余弦定理求解即可.
1 / 1湖南省邵阳县第二高级中学2023-2024学年高一下学期数学期中考试试题
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2024高一下·邵阳期中）已知i为虚数单位，，则复数z的虚部为（ ）
A．-2 B．i C．2 D．
2．（2024高一下·邵阳期中）已知向量，，则（ ）
A． B． C． D．1
3．（2024高一下·邵阳期中）空间中垂直于同一个平面的两条直线（ ）
A．相交 B．异面 C．平行 D．垂直
4．（2024高一下·邵阳期中）下列几何体中为球的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2024高一下·邵阳期中）已知向量，满足，，，则（ ）
A． B． C． D．
6．（2024高一下·邵阳期中）在复平面内，复数对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
7．（2024高一下·邵阳期中）在正六边形ABCDEF中，（ ）
A． B． C． D．
8．（2024高一下·邵阳期中）在中，A，B，C的对边分别是a，b，c，若，则的形状是（ ）
A．等腰直角三角形 B．等腰三角形或直角三角形
C．直角三角形 D．等腰三角形
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．（2024高一下·邵阳期中）下列各组向量中，能作为基底的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
10．（2024高一下·邵阳期中）下列结论不正确的是（ ）
A．且是的充要条件
B．对于任意向量，都有
C．若，则与中至少有一个为
D．两个非零向量与夹角的范围是
11．（2024高一下·邵阳期中）已知角A，B，C是三角形ABC的三个内角，下列结论一定成立的有（ ）
A． B．
C．若，则 D．若，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．（2024高一下·邵阳期中）已知向量，，若，实数 ．
13．（2024高一下·邵阳期中）直径为的球的表面积为 ．
14．（2024高一下·邵阳期中）如图，一个水平放置的平面图形的直观图是个底角为45°的等腰梯形，已知直观图中，，，则该平面图形的面积为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（2024高一下·邵阳期中）当m为何实数时，复数分别是：
（1）实数；
（2）纯虚数．
16．（2024高一下·邵阳期中）已知圆锥母线长为5，底面圆半径长为3．
（1）求圆锥的体积；
（2）求圆锥的表面积．
17．（2024高一下·邵阳期中）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且
（1）求角A；
（2）若，，求的面积．
18．（2024高一下·邵阳期中）已知向量，且函数．在上的最大值为．
（1）求常数m的值；
（2）求函数的单调递增区间；
（3）求使成立的x的取值集合．
19．（2024高一下·邵阳期中）一艘海轮从A出发，沿北偏东75°的方向航行后到达海岛B，然后从B出发，沿北偏东15°的方向航行2n mile到达海岛C．
（1）求AC的长；
（2）如果下次航行直接从A出发到达C，应沿什么方向航行多少n mile？
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】复数的基本概念
【解析】【解答】解：复数，虚部为.
故答案为：A.
【分析】由题意，根据复数的概念判断即可.
2．【答案】B
【知识点】平面向量加、减运算的坐标表示
【解析】【解答】解：因为向量，，所以.
故答案为：B.
【分析】根据向量的坐标运算求解即可.
3．【答案】C
【知识点】直线与平面垂直的性质
【解析】【解答】解： 由线面垂直的性质可知：空间中垂直于同一个平面的两条直线平行.
故答案为：C.
【分析】根据线面垂直的性质判断即可.
4．【答案】C
【知识点】棱柱的结构特征；棱锥的结构特征；棱台的结构特征
【解析】【解答】解：A、几何体为圆柱，故A不符合；
B、几何体为圆锥，故B不符合；
C、几何体为球，故C符合；
D、几何体为三棱台，故D不符合.
故答案为：C.
【分析】根据球的特征判断即可.
5．【答案】A
【知识点】数量积表示两个向量的夹角
【解析】【解答】解：因为向量，满足，，， 所以.
故答案为：A.
【分析】由题意，根据向量的夹角公式求解即可.
6．【答案】D
【知识点】复数在复平面中的表示；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：复数，对应的点为，位于第四象限.
故答案为：D.
【分析】先根据复数的除法运算化简复数，再根据复数的几何意义判断即可.
7．【答案】D
【知识点】平面向量的线性运算
【解析】【解答】解：.
故答案为：D.
【分析】根据向量的线性运算化简即可.
8．【答案】B
【知识点】二倍角的正弦公式；正弦定理；三角形的形状判断
【解析】【解答】解：因为，所以，即，
则或，解得或，故为等腰三角形或直角三角形.
故答案为：B.
【分析】由题意，结合正弦定理、正弦的二倍角公式化简可得，即可判断的形状.
9．【答案】C,D
【知识点】平面向量的共线定理；平面向量的基本定理
【解析】【解答】解：A、因为为零向量，所以共线，故A不符合；
B、因为，所以共线，故B不符合；
C、因为，所以不共线，故C符合；
D、因为，所以不共线，故D符合.
故答案为：CD.
【分析】根据平面向量基本定理逐项判断即可.
10．【答案】A,C
【知识点】共线（平行）向量；平面向量的共线定理；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：A、 且 ，则或，故A错误；
B、零向量与任意向量平行，故B正确；
C、 若 ，则与中至少有一个为 或，故C错误；
D、 两个非零向量与夹角的范围是 ，故D正确.
故答案为：AC.
【分析】根据向量共线定理以及向量数量积性质和向量夹角的取值范围逐项分析判断即可.
11．【答案】A,C,D
【知识点】诱导公式；正弦定理
【解析】【解答】解：A、，故A正确；
B、，故B错误；
C、在中，由正弦定理可得，则，故C正确；
D、若，则，由正弦定理可得，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】根据三角形内角和定理结合正弦定理逐项判断即可.
12．【答案】12
【知识点】平面向量的坐标运算；平面向量垂直的坐标表示
【解析】【解答】解：因为向量，，且，所以，解得。
故答案为：12.
【分析】根据向量垂直的坐标表示列式求解即可.
13．【答案】
【知识点】球的体积和表面积
【解析】【解答】解：因为球的直径为，所以球的半径为，
则球的表面积为.
故答案为：.
【分析】根据球的表面积公式计算即可.
14．【答案】
【知识点】平面图形的直观图；斜二测画法直观图
【解析】【解答】解： 直观图 还原平面图形，如图所示：
，，
等腰梯形中，，则，
所以．
故答案为：D．
【分析】根据直观图得到平面图形，求出相应边长计算面积即可．
15．【答案】（1）解：复数为实数，则，解得.
（2）解：复数为纯虚数，则，解得.
【知识点】复数的基本概念
【解析】【分析】（1）根据复数的概念求解即可；
（2）根据复数的概念求解即可.
16．【答案】（1）解：由题意可得：，根据勾股定理可得，
则圆锥的体积为.
（2）解：，，则.
【知识点】旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征
【解析】【分析】（1）根据圆锥的体积公式求解即可；
(2)先求圆锥的底面积以及侧面积，相加即可得圆锥的表面积.
17．【答案】（1）解：由，可得，即，即，
因为，所以.
（2）解：因为，，，由余弦定理，可得，即，
故.
【知识点】正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】（1）由题意，结合余弦定理化简求解即可；
（2）由题意，结合（1）的结论，利用余弦定理求得a的值，最后利用面积公式求解即可.
18．【答案】（1）解：
，
因为在上的最大值为，所以，即.
（2）解：由（1）可知：，当，
解得，故的单调递增区间为，
（3）解：由，得，则，
解得，，
所以成立的取值集合为.
【知识点】平面向量的数量积运算；二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质；辅助角公式
【解析】【分析】（1）由题意，利用向量的数量积运算，结合正弦、余弦的二倍角公式、辅助角公式化简求得，再根据正弦型函数的性质求常数m的值即可；
（2）根据正弦型函数的性质，整体代入求值即可；
（3）整体代入，解不等式即可.
19．【答案】（1）解：在中，，，，
由余弦定理得：，
解得：.
（2）解：在中，由余弦定理得：，所以
因此应沿北偏东30°方向航行即可到达C处．
【知识点】解三角形的实际应用
【解析】【分析】（1）由题意，在中，利用余弦定理化简求解即可；
（2）在中，利用余弦定理求解即可.
1 / 1湖南省邵阳县第二高级中学2023-2024学年高一下学期数学期中考试试题
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2024高一下·邵阳期中）已知i为虚数单位，，则复数z的虚部为（ ）
A．-2 B．i C．2 D．
【答案】A
【知识点】复数的基本概念
【解析】【解答】解：复数，虚部为.
故答案为：A.
【分析】由题意，根据复数的概念判断即可.
2．（2024高一下·邵阳期中）已知向量，，则（ ）
A． B． C． D．1
【答案】B
【知识点】平面向量加、减运算的坐标表示
【解析】【解答】解：因为向量，，所以.
故答案为：B.
【分析】根据向量的坐标运算求解即可.
3．（2024高一下·邵阳期中）空间中垂直于同一个平面的两条直线（ ）
A．相交 B．异面 C．平行 D．垂直
【答案】C
【知识点】直线与平面垂直的性质
【解析】【解答】解： 由线面垂直的性质可知：空间中垂直于同一个平面的两条直线平行.
故答案为：C.
【分析】根据线面垂直的性质判断即可.
4．（2024高一下·邵阳期中）下列几何体中为球的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】棱柱的结构特征；棱锥的结构特征；棱台的结构特征
【解析】【解答】解：A、几何体为圆柱，故A不符合；
B、几何体为圆锥，故B不符合；
C、几何体为球，故C符合；
D、几何体为三棱台，故D不符合.
故答案为：C.
【分析】根据球的特征判断即可.
5．（2024高一下·邵阳期中）已知向量，满足，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】数量积表示两个向量的夹角
【解析】【解答】解：因为向量，满足，，， 所以.
故答案为：A.
【分析】由题意，根据向量的夹角公式求解即可.
6．（2024高一下·邵阳期中）在复平面内，复数对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【知识点】复数在复平面中的表示；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：复数，对应的点为，位于第四象限.
故答案为：D.
【分析】先根据复数的除法运算化简复数，再根据复数的几何意义判断即可.
7．（2024高一下·邵阳期中）在正六边形ABCDEF中，（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】平面向量的线性运算
【解析】【解答】解：.
故答案为：D.
【分析】根据向量的线性运算化简即可.
8．（2024高一下·邵阳期中）在中，A，B，C的对边分别是a，b，c，若，则的形状是（ ）
A．等腰直角三角形 B．等腰三角形或直角三角形
C．直角三角形 D．等腰三角形
【答案】B
【知识点】二倍角的正弦公式；正弦定理；三角形的形状判断
【解析】【解答】解：因为，所以，即，
则或，解得或，故为等腰三角形或直角三角形.
故答案为：B.
【分析】由题意，结合正弦定理、正弦的二倍角公式化简可得，即可判断的形状.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．（2024高一下·邵阳期中）下列各组向量中，能作为基底的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】C,D
【知识点】平面向量的共线定理；平面向量的基本定理
【解析】【解答】解：A、因为为零向量，所以共线，故A不符合；
B、因为，所以共线，故B不符合；
C、因为，所以不共线，故C符合；
D、因为，所以不共线，故D符合.
故答案为：CD.
【分析】根据平面向量基本定理逐项判断即可.
10．（2024高一下·邵阳期中）下列结论不正确的是（ ）
A．且是的充要条件
B．对于任意向量，都有
C．若，则与中至少有一个为
D．两个非零向量与夹角的范围是
【答案】A,C
【知识点】共线（平行）向量；平面向量的共线定理；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：A、 且 ，则或，故A错误；
B、零向量与任意向量平行，故B正确；
C、 若 ，则与中至少有一个为 或，故C错误；
D、 两个非零向量与夹角的范围是 ，故D正确.
故答案为：AC.
【分析】根据向量共线定理以及向量数量积性质和向量夹角的取值范围逐项分析判断即可.
11．（2024高一下·邵阳期中）已知角A，B，C是三角形ABC的三个内角，下列结论一定成立的有（ ）
A． B．
C．若，则 D．若，则
【答案】A,C,D
【知识点】诱导公式；正弦定理
【解析】【解答】解：A、，故A正确；
B、，故B错误；
C、在中，由正弦定理可得，则，故C正确；
D、若，则，由正弦定理可得，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】根据三角形内角和定理结合正弦定理逐项判断即可.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．（2024高一下·邵阳期中）已知向量，，若，实数 ．
【答案】12
【知识点】平面向量的坐标运算；平面向量垂直的坐标表示
【解析】【解答】解：因为向量，，且，所以，解得。
故答案为：12.
【分析】根据向量垂直的坐标表示列式求解即可.
13．（2024高一下·邵阳期中）直径为的球的表面积为 ．
【答案】
【知识点】球的体积和表面积
【解析】【解答】解：因为球的直径为，所以球的半径为，
则球的表面积为.
故答案为：.
【分析】根据球的表面积公式计算即可.
14．（2024高一下·邵阳期中）如图，一个水平放置的平面图形的直观图是个底角为45°的等腰梯形，已知直观图中，，，则该平面图形的面积为 ．
【答案】
【知识点】平面图形的直观图；斜二测画法直观图
【解析】【解答】解： 直观图 还原平面图形，如图所示：
，，
等腰梯形中，，则，
所以．
故答案为：D．
【分析】根据直观图得到平面图形，求出相应边长计算面积即可．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（2024高一下·邵阳期中）当m为何实数时，复数分别是：
（1）实数；
（2）纯虚数．
【答案】（1）解：复数为实数，则，解得.
（2）解：复数为纯虚数，则，解得.
【知识点】复数的基本概念
【解析】【分析】（1）根据复数的概念求解即可；
（2）根据复数的概念求解即可.
16．（2024高一下·邵阳期中）已知圆锥母线长为5，底面圆半径长为3．
（1）求圆锥的体积；
（2）求圆锥的表面积．
【答案】（1）解：由题意可得：，根据勾股定理可得，
则圆锥的体积为.
（2）解：，，则.
【知识点】旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征
【解析】【分析】（1）根据圆锥的体积公式求解即可；
(2)先求圆锥的底面积以及侧面积，相加即可得圆锥的表面积.
17．（2024高一下·邵阳期中）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且
（1）求角A；
（2）若，，求的面积．
【答案】（1）解：由，可得，即，即，
因为，所以.
（2）解：因为，，，由余弦定理，可得，即，
故.
【知识点】正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】（1）由题意，结合余弦定理化简求解即可；
（2）由题意，结合（1）的结论，利用余弦定理求得a的值，最后利用面积公式求解即可.
18．（2024高一下·邵阳期中）已知向量，且函数．在上的最大值为．
（1）求常数m的值；
（2）求函数的单调递增区间；
（3）求使成立的x的取值集合．
【答案】（1）解：
，
因为在上的最大值为，所以，即.
（2）解：由（1）可知：，当，
解得，故的单调递增区间为，
（3）解：由，得，则，
解得，，
所以成立的取值集合为.
【知识点】平面向量的数量积运算；二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质；辅助角公式
【解析】【分析】（1）由题意，利用向量的数量积运算，结合正弦、余弦的二倍角公式、辅助角公式化简求得，再根据正弦型函数的性质求常数m的值即可；
（2）根据正弦型函数的性质，整体代入求值即可；
（3）整体代入，解不等式即可.
19．（2024高一下·邵阳期中）一艘海轮从A出发，沿北偏东75°的方向航行后到达海岛B，然后从B出发，沿北偏东15°的方向航行2n mile到达海岛C．
（1）求AC的长；
（2）如果下次航行直接从A出发到达C，应沿什么方向航行多少n mile？
【答案】（1）解：在中，，，，
由余弦定理得：，
解得：.
（2）解：在中，由余弦定理得：，所以
因此应沿北偏东30°方向航行即可到达C处．
【知识点】解三角形的实际应用
【解析】【分析】（1）由题意，在中，利用余弦定理化简求解即可；
（2）在中，利用余弦定理求解即可.
1 / 1湖南省邵阳县第二高级中学2023-2024学年高一下学期数学期中考试试题
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2024高一下·邵阳期中）已知i为虚数单位，，则复数z的虚部为（ ）
A．-2 B．i C．2 D．
【答案】A
【知识点】复数的基本概念
【解析】【解答】解：复数，虚部为.
故答案为：A.
【分析】由题意，根据复数的概念判断即可.
2．（2024高一下·邵阳期中）已知向量，，则（ ）
A． B． C． D．1
【答案】B
【知识点】平面向量加、减运算的坐标表示
【解析】【解答】解：因为向量，，所以.
故答案为：B.
【分析】根据向量的坐标运算求解即可.
3．（2024高一下·邵阳期中）空间中垂直于同一个平面的两条直线（ ）
A．相交 B．异面 C．平行 D．垂直
【答案】C
【知识点】直线与平面垂直的性质
【解析】【解答】解： 由线面垂直的性质可知：空间中垂直于同一个平面的两条直线平行.
故答案为：C.
【分析】根据线面垂直的性质判断即可.
4．（2024高一下·邵阳期中）下列几何体中为球的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】棱柱的结构特征；棱锥的结构特征；棱台的结构特征
【解析】【解答】解：A、几何体为圆柱，故A不符合；
B、几何体为圆锥，故B不符合；
C、几何体为球，故C符合；
D、几何体为三棱台，故D不符合.
故答案为：C.
【分析】根据球的特征判断即可.
5．（2024高一下·邵阳期中）已知向量，满足，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】数量积表示两个向量的夹角
【解析】【解答】解：因为向量，满足，，， 所以.
故答案为：A.
【分析】由题意，根据向量的夹角公式求解即可.
6．（2024高一下·邵阳期中）在复平面内，复数对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【知识点】复数在复平面中的表示；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：复数，对应的点为，位于第四象限.
故答案为：D.
【分析】先根据复数的除法运算化简复数，再根据复数的几何意义判断即可.
7．（2024高一下·邵阳期中）在正六边形ABCDEF中，（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】平面向量的线性运算
【解析】【解答】解：.
故答案为：D.
【分析】根据向量的线性运算化简即可.
8．（2024高一下·邵阳期中）在中，A，B，C的对边分别是a，b，c，若，则的形状是（ ）
A．等腰直角三角形 B．等腰三角形或直角三角形
C．直角三角形 D．等腰三角形
【答案】B
【知识点】二倍角的正弦公式；正弦定理；三角形的形状判断
【解析】【解答】解：因为，所以，即，
则或，解得或，故为等腰三角形或直角三角形.
故答案为：B.
【分析】由题意，结合正弦定理、正弦的二倍角公式化简可得，即可判断的形状.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．（2024高一下·邵阳期中）下列各组向量中，能作为基底的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】C,D
【知识点】平面向量的共线定理；平面向量的基本定理
【解析】【解答】解：A、因为为零向量，所以共线，故A不符合；
B、因为，所以共线，故B不符合；
C、因为，所以不共线，故C符合；
D、因为，所以不共线，故D符合.
故答案为：CD.
【分析】根据平面向量基本定理逐项判断即可.
10．（2024高一下·邵阳期中）下列结论不正确的是（ ）
A．且是的充要条件
B．对于任意向量，都有
C．若，则与中至少有一个为
D．两个非零向量与夹角的范围是
【答案】A,C
【知识点】共线（平行）向量；平面向量的共线定理；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：A、 且 ，则或，故A错误；
B、零向量与任意向量平行，故B正确；
C、 若 ，则与中至少有一个为 或，故C错误；
D、 两个非零向量与夹角的范围是 ，故D正确.
故答案为：AC.
【分析】根据向量共线定理以及向量数量积性质和向量夹角的取值范围逐项分析判断即可.
11．（2024高一下·邵阳期中）已知角A，B，C是三角形ABC的三个内角，下列结论一定成立的有（ ）
A． B．
C．若，则 D．若，则
【答案】A,C,D
【知识点】诱导公式；正弦定理
【解析】【解答】解：A、，故A正确；
B、，故B错误；
C、在中，由正弦定理可得，则，故C正确；
D、若，则，由正弦定理可得，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】根据三角形内角和定理结合正弦定理逐项判断即可.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．（2024高一下·邵阳期中）已知向量，，若，实数 ．
【答案】12
【知识点】平面向量的坐标运算；平面向量垂直的坐标表示
【解析】【解答】解：因为向量，，且，所以，解得。
故答案为：12.
【分析】根据向量垂直的坐标表示列式求解即可.
13．（2024高一下·邵阳期中）直径为的球的表面积为 ．
【答案】
【知识点】球的体积和表面积
【解析】【解答】解：因为球的直径为，所以球的半径为，
则球的表面积为.
故答案为：.
【分析】根据球的表面积公式计算即可.
14．（2024高一下·邵阳期中）如图，一个水平放置的平面图形的直观图是个底角为45°的等腰梯形，已知直观图中，，，则该平面图形的面积为 ．
【答案】
【知识点】平面图形的直观图；斜二测画法直观图
【解析】【解答】解： 直观图 还原平面图形，如图所示：
，，
等腰梯形中，，则，
所以．
故答案为：D．
【分析】根据直观图得到平面图形，求出相应边长计算面积即可．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（2024高一下·邵阳期中）当m为何实数时，复数分别是：
（1）实数；
（2）纯虚数．
【答案】（1）解：复数为实数，则，解得.
（2）解：复数为纯虚数，则，解得.
【知识点】复数的基本概念
【解析】【分析】（1）根据复数的概念求解即可；
（2）根据复数的概念求解即可.
16．（2024高一下·邵阳期中）已知圆锥母线长为5，底面圆半径长为3．
（1）求圆锥的体积；
（2）求圆锥的表面积．
【答案】（1）解：由题意可得：，根据勾股定理可得，
则圆锥的体积为.
（2）解：，，则.
【知识点】旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征
【解析】【分析】（1）根据圆锥的体积公式求解即可；
(2)先求圆锥的底面积以及侧面积，相加即可得圆锥的表面积.
17．（2024高一下·邵阳期中）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且
（1）求角A；
（2）若，，求的面积．
【答案】（1）解：由，可得，即，即，
因为，所以.
（2）解：因为，，，由余弦定理，可得，即，
故.
【知识点】正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】（1）由题意，结合余弦定理化简求解即可；
（2）由题意，结合（1）的结论，利用余弦定理求得a的值，最后利用面积公式求解即可.
18．（2024高一下·邵阳期中）已知向量，且函数．在上的最大值为．
（1）求常数m的值；
（2）求函数的单调递增区间；
（3）求使成立的x的取值集合．
【答案】（1）解：
，
因为在上的最大值为，所以，即.
（2）解：由（1）可知：，当，
解得，故的单调递增区间为，
（3）解：由，得，则，
解得，，
所以成立的取值集合为.
【知识点】平面向量的数量积运算；二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质；辅助角公式
【解析】【分析】（1）由题意，利用向量的数量积运算，结合正弦、余弦的二倍角公式、辅助角公式化简求得，再根据正弦型函数的性质求常数m的值即可；
（2）根据正弦型函数的性质，整体代入求值即可；
（3）整体代入，解不等式即可.
19．（2024高一下·邵阳期中）一艘海轮从A出发，沿北偏东75°的方向航行后到达海岛B，然后从B出发，沿北偏东15°的方向航行2n mile到达海岛C．
（1）求AC的长；
（2）如果下次航行直接从A出发到达C，应沿什么方向航行多少n mile？
【答案】（1）解：在中，，，，
由余弦定理得：，
解得：.
（2）解：在中，由余弦定理得：，所以
因此应沿北偏东30°方向航行即可到达C处．
【知识点】解三角形的实际应用
【解析】【分析】（1）由题意，在中，利用余弦定理化简求解即可；
（2）在中，利用余弦定理求解即可.
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