广东省深圳市罗湖区2023-2024学年高二上学期期末质量检测数学试题
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（2024高二上·罗湖期末）抛物线的焦点坐标为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024高二上·罗湖期末）已知直线l的方向向量为，则l的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024高二上·罗湖期末）设平面和的法向量分别为．若，则（ ）
A．4 B． C．10 D．
4．（2023高二上·罗湖期末）已知等差数列的前项和为，若，则（ ）
A． B． C． D．
5．（2024高二上·罗湖期末）双曲线名的离心率为，则其渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
6．（2024高二上·罗湖期末）正方体中，M是中点，则异面直线CM与所成角的余弦值是（ ）
A． B． C． D．
7．（2024高二上·罗湖期末）已知椭圆的左，右焦点分别为，点P为E的上顶点，点Q在E上且满足，则E的离心率为（ ）
A． B． C． D．
8．（2023高二上·罗湖期末）已知是公比不为的等比数列的前项和，则“，，成等差数列”是“对任意，，，成等差数列”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．（2024高二上·罗湖期末）在棱长为2的正四面体ABCD中，E，F，G分别是棱AB，AD，DC的中点．则下列各式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
10．（2024高二上·罗湖期末）已知直线与圆交于A，B两点，则（ ）
A．圆D的面积为 B．l过定点
C．面积的最大值为 D．
11．（2024高二上·罗湖期末）已知等差数列的前n项和为，若，则（ ）
A． B．
C．的最小值为 D．的最小值为
12．（2024高二上·罗湖期末）过抛物线上一点作两条相互垂直的直线，与E的另外两个交点分别为A，B，则（ ）
A．E的准线方程为
B．过点M与E相切的直线方程为
C．直线AB过定点
D．的最小值为
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
13．（2024高二上·罗湖期末）若直线与直线平行，则 ．
14．（2024高二上·罗湖期末）圆与圆的公共弦的长为 ．
15．（2023高二上·罗湖期末）已知数满足，，则数列的通项公式 ．
16．（2024高二上·罗湖期末）已知分别是双曲线的左右焦点，过的直线l与C只有一个公共点P，且，则C的离心率为 ．
四、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17．（2023高二上·罗湖期末）已知公差不为零的等差数列的前项和为，且，．
（1）求数列的通项公式；
（2）令，求数列的前项和．
18．（2024高二上·罗湖期末）如图，正方体的棱长为2，O为的中点，点E在棱上，且．
（1）证明：平面ABCD；
（2）求直线与平面所成角的余弦值．
19．（2024高二上·罗湖期末）已知动点P到直线的距离比到点距离多2个单位长度，设动点P的轨迹为E．
（1）求E的方程；
（2）已知过点的直线l交E于A，B两点，且（O为坐标原点）的面积为32，求l的方程．
20．（2024高二上·罗湖期末）已知数列的前n项和为，满足，且．
（1）求的通项公式；
（2）若，求数列的前n项和．
21．（2024高二上·罗湖期末）如图，在三棱柱中，底面侧面．
（1）证明：平面；
（2）若三棱锥的体积为为锐角，求平面与平面，的夹角的余弦值．
22．（2023高二上·罗湖期末）已知椭圆的短轴长，离心率为．
（1）求的标准方程；
（2）过点的直线与交于，两点，关于轴对称的点为，求面积的最大值．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】抛物线的简单性质
【解析】【解答】解：由，得，
所以抛物线的焦点在轴的正半轴上，且，
所以，，
所以焦点坐标为，
故选：D
【分析】本题考查抛物线的简单几何性质.先将抛物线方程化为标准方程，进而求出p的值，代入焦点坐标公式可求出焦点坐标.
2．【答案】B
【知识点】直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系
【解析】【解答】解：直线的一个方向向量为，则直线斜率为，
所以直线的倾斜角为.
故选：B.
【分析】本题考查直线的斜率和倾斜角之间的关系.先根据方向向量求出直线斜率，再根据直线倾斜角与斜率之间的关系，可求出倾斜角.
3．【答案】C
【知识点】用空间向量研究平面与平面的位置关系
【解析】【解答】解：因为，
所以，解得.
故选：C
【分析】本题考查平面与平面的位置关系.根据，可得：，进而列出方程可求出k的值..
4．【答案】C
【知识点】等差数列的前n项和；等差数列的性质
【解析】【解答】解：设等差数列的公差为，因为，所以，
所以.
故答案为：C.
【分析】设等差数列的公差为，由题意得，再根据等差数列求和公式求值即可.
5．【答案】C
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：因为双曲线的离心率为，
所以，解得，
且焦点在x轴上，
所以其渐近线方程为，
故选：C
【分析】本题考查双曲线的简单几何性质.根据已知条件利用双曲线离心率计算公式，可求出，进而求出其渐近线方程..
6．【答案】D
【知识点】用空间向量求直线间的夹角、距离
【解析】【解答】解：
建立如图空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，
则，
得，
所以，
即直线与所成角的余弦值为.
故选：D
【分析】本题考查利用空间向量求异面直线所成的角.先建立如图空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，写出点的坐标，写出对应向量，利用空间向量的夹角公式，代入数据可求出答案.
7．【答案】A
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：由题意，其中.
设，由，得，即，
代入椭圆得，解得离心率.
故选：A
【分析】本题考查椭圆的简单几何性质.先写出的坐标，根据已知条件，可求出点的Q坐标，将点Q坐标代入椭圆方程通过化简可求出离心率.
8．【答案】D
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；等差数列的前n项和；等差数列的性质；等比数列的性质
【解析】【解答】解：设等比数列的公比为，且，，
若，，成等差数列，则，即，可得，即，因为，所以，即，
所以 ，，成等差数列等价于；
由，，成等差数列，即，
所以，
化简，可得，即，因为，
所以，所以成等差数列，等价于；
因为是的既不充分也不必要条件，
所以“成等差数列”是“对任意，，，成等差数列”的 既不充分也不必要条件 .
故答案为：D.
【分析】利用等差、等比数列的性质及充分、必要条件即可判断.
9．【答案】A,C
【知识点】空间向量的加减法；空间向量的数量积运算
【解析】【解答】解：棱长为2的正四面体ABCD中，E，F，G分别是棱AB，AD，DC的中点，
则两两夹角为，，
所以，
A，，A正确；
B，因为，所以，B错误；
C，因为，所以，
所以，C正确；
D，因为，
所以，D错误.
故选：AC
【分析】本题考查空间向量的线性运算，空间向量的数量积公式.根据向量的中线公式可得：，，代入A和C的计算式进行化简可求出答案；根据空间向量的线性运算可得：，代入B选项的计算式可求出答案；根据空间向量的线性运算可得：，进而判断D选项.
10．【答案】A,B,D
【知识点】恒过定点的直线；圆的标准方程；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：对于A：圆即的圆心为，
半径，故圆D的面积为，正确；
对于B：将直线整理为：，
令，解得，即直线过定点，正确；
对于C：定点到圆心的距离，
设点到直线的距离为，则，
则，
当且仅当，即时，等号成立，
故的面积的最大值为，错误；
对于D：当直线与垂直时，弦的长度最小，
当直线过圆心时，弦的长度最大，
所以可得，正确.
故选：ABD
【分析】本题考查直线方程，圆的方程，直线与与圆的位置关系.先将圆的方程化为成标准方程，找出圆心和半径，可求出圆面积判断A；将直线整理成关于的方程，令其系数为0可得到方程组，解方程组可求出直线过的定点，判断B；由，结合弦长公式化简可得：，观察可得和为定值，利用基本不等式可求出面积的最值，即可判断C；利用弦长公式分别求出过点的弦长的最大值和最小值，可判断D选项.
11．【答案】A,C,D
【知识点】等差数列的前n项和
【解析】【解答】解：由，得，即，
由，得，即，所以.
A：由，可知，故A正确；
B：由，可知数列的公差，故B错误；
C：，由知随的增大而增大，
则，所以的最小值为，故C正确；
D：当时，；当时，；
当时，；当时，，
所以当时，；当时，；当时，，
又，，
所以，，
所以，即，
所以的最小值为，故D正确；
故选：ACD
【分析】本题考查等差数列的前n项和公式.利用等差数列的前n项和公式由可得：，由可得：，据此可推出、，可判断AB；根据数列的单调性可得：。据此可判断C选项；通过计算可得：，，进一步推断出：，据此可判断D选项.
12．【答案】B,D
【知识点】抛物线的标准方程；抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：A，因为点在抛物线上，
所以，则，
抛物线方程为，
则其准线方程为，A错误；
B，联立，消元得，
则，故直线与抛物线相切，
又点在直线上，
则过点M与E相切的直线方程为，B正确；
C，依题知，直线的斜率存在且不为零，
设直线的方程为，
联立，消元得，
设，
则，
，
，
又，
则
，
则，
即，
所以，或者，
当时，直线方程为，
化为，则过定点，
当时，直线方程为，
即，过定点，此时不符合题意，C错误；
D，设直线，
联立，消元得，
设，
则，则，
所以，
因为，
用替换得，，
所以
（利用了权方和不等式：，当且仅当时，等号成立），
当且仅当即，时等号成立，D正确，
故选：BD.
【分析】本题考查抛物线方程，抛物线的简单几何性质，直线与抛物线的位置关系.对于A，根据点在抛物线上，可先求出的值，进而求出抛物线方程，即可写出抛物线的准线方程；对于B，联立直线方程和抛物线方程可得，进而求出，再结合图形可判断B选项；对于C，设出AB的方程为：，联立后利用，可得方程：，解方程可得：以，或者，反代回直线方程通过化简可求出定点坐标；对于D，设直线的方程为：，联立后求得弦的长，再利用垂直关系可求得的长，，利用权方和不等式可求出最值.
13．【答案】-2
【知识点】直线的一般式方程与直线的平行关系
【解析】【解答】解：因为直线与直线平行，则，解得.
故答案为：.
【分析】本题考查直线与直线平行的转化.根据直线平行可列出方程组：，解方程组可求出实数的值.
14．【答案】
【知识点】圆与圆的位置关系及其判定
【解析】【解答】解：由，得，
即两圆公共弦所在直线的方程为，
圆，圆心为，半径为，
则圆心到直线的距离为，
所以公共弦长为.
故答案为：
【分析】本题考查圆与圆的位置关系.先将两圆的方程相减可得公共弦所在直线的方程，再利用点到直线的距离公式求出圆心到公共弦所在直线的距离，利用圆的弦长公式可求出公共弦长.
15．【答案】
【知识点】等比数列概念与表示；等比数列的通项公式；数列的递推公式
【解析】【解答】解：由数列满足，，可得，
因为，所以，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
所以，即.
故答案为：.
【分析】由题意可得，推出数列是以为首项，为公比的等比数列，利用等比数列的通项公式求解即可.
16．【答案】
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：由题意可知：，
若过的直线l与C只有一个公共点P，可知直线l与双曲线C的一条渐近线平行，
且，可知为锐角，
不妨设直线l的斜率，即，
联立，解得，
且，可得，
又因为，即，可得，
所以C的离心率为.
故答案为：.
【分析】本题考查双曲线的简单几何性质.根据题意分析可知直线l与双曲线C的渐近线平行，不妨设直线l的斜率，利用余弦定理可求出，根据双曲线定义：，可求出a和b的关系，进而求出双曲线的离心率.
17．【答案】（1）解：由题意，设等差数列的公差为，
则由，，
可得，
解得，
．
（2）解：由，可得，
则数列的前项和为：
【知识点】对数的性质与运算法则；等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；数列的前n项和
【解析】【分析】（1）设等差数列的公差为，利用等差数列的通项公式以及求和公式即可求得等差数列的通项公式；
（2）由，可得，利用对数函数的运算性质即可求得数列的前n项和.
18．【答案】（1）（法一）证：为的中点，，
为等腰三角形，且，
又，
，
．
取中点为F，则，
又平面ABCD，平面ABCD，
平面ABCD，
为的中点，F为中点，
，
平面ABCD，平面ABCD，
平面ABCD．
．平面OEF，
平面平面ABCD，
平面OEF，
平面ABCD．
（法二）证：设，以D为原点，DA，DC，的方向分别为x，y，z三轴的正方向建立空间直角坐标系，如图
．
，
，可得，
，
平面ABCD，
为平面ABCD的法向量，
，
平面ABCD，
又平面ABCD，
平面ABCD．
（2）解：以D为原点，DA，DC，的方向分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系如图，
，
，
设平面的法向量为，
则，即，
令，可得，
设直线与平面所成角为，
，
直线与平面所成角的余弦值为．
【知识点】平面与平面平行的判定；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】本题考查直线与平面平行的判定，利用空间向量求直线与平面所成的角.
（1）利用三角形全等可推出．取中点为F，利用三角形的中位线定理可证明：平面ABCD，平面ABCD，进而推出平面平面ABCD，利用平面与平面平行的性质可证明结论.
（2）建立空间直角坐标系，写出对应点的坐标，求出对应向量，求出平面的法向量，利用直线与平面所成角的向量公式可求出夹角的正弦值，进而利用同角三角函数的基本关系可求出夹角的余弦值.
19．【答案】（1）解：因为动点P到直线的距离比到点距离多2个单位长度，
所以动点P到直线的距离和到点距离相等，
曲线E是以为焦点，直线为准线的抛物线，
所以曲线E的方程为．
（2）解：设，
设直线l的方程为，
联立，消去x得，，
所以，
，
解得
所以直线l的方程为或．
【知识点】抛物线的定义；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】本题考查抛物线的定义，直线与抛物线的位置关系.
（1）根据题意分析可知：动点P到直线的距离和到点距离相等，根据抛物线的定义找出焦点坐标和准线方程，求出p的值，进而求出曲线E的方程；
（2）设直线l的方程为，联立抛物线方程消去x，再利用韦达定理可得：，利用弦长公式再结合面积公式可得：，解方程可求出t的值，进而求出直线l的方程.
20．【答案】（1）解：由可得，当时，，
以上两式相减可得，
当时，，满足，
所以数列是以4为首项，3为公比的等比数列，
故．
（2）解：，
，
，
两式相减，得
所以．
【知识点】数列的求和；数列的递推公式
【解析】【分析】本题考查数列的关系，错位相减求数列的和.
（1）根据的关系求递推公式写出，两式相减化简后可判断数列为等比数列，利用等比数列的通项公式可求出数列的通项公式；
（2）先求出，再写出的式子，利用错位相减可求出数列的和.
21．【答案】（1）证明：平面平面，平面平面，
平面，
平面，
，
，
，
四边形为菱形，
，
平面，
平面．
（2）解：平面ABC，
，
，可得，
又，
，
为锐角，
以C为原点，CA，CB及平面ABC过点C的垂线分别为x，y，z，轴，建立空间直角坐标系，
，
平面，
即为平面的法向量，
设平面的法向量为，
则，即，
令，可得，
，
∴平面与平面的夹角的余弦值为．
【知识点】直线与平面垂直的判定；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】本题考查直线与平面垂直的判定，利用空间向量求平面与平面所成的角.
（1）利用平面与平面垂直的性质定理先证明平面，进而推出，再利用菱形的性质可推出，利用直线与平面垂直的判定定理可证明结论；
（2）以C为原点，CA，CB及平面ABC过点C的垂线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，写出点的坐标，求出对应向量，求出平面的法向量和平面的法向量，利用空间向量的夹角公式可求出答案.
22．【答案】（1）解：因为椭圆的短轴长，离心率为，
所以，
解得，，
则椭圆的标准方程为
（2）解：不妨设直线的方程为，，，
联立，消去并整理得，
因为，
解得，
由韦达定理得，
所以
，
当且仅当，即时，等号成立．
故面积的最大值为．
【知识点】基本不等式；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）由题意，结合离心率公式、短轴长以及平方关系列方程组求解即可；
（2）由题意直线斜率存在且不为0，将三角形面积表示成两个三角形面积之差即，进一步结合韦达定理表示成的函数，利用基本不等式求解即可.
1 / 1广东省深圳市罗湖区2023-2024学年高二上学期期末质量检测数学试题
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（2024高二上·罗湖期末）抛物线的焦点坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】抛物线的简单性质
【解析】【解答】解：由，得，
所以抛物线的焦点在轴的正半轴上，且，
所以，，
所以焦点坐标为，
故选：D
【分析】本题考查抛物线的简单几何性质.先将抛物线方程化为标准方程，进而求出p的值，代入焦点坐标公式可求出焦点坐标.
2．（2024高二上·罗湖期末）已知直线l的方向向量为，则l的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系
【解析】【解答】解：直线的一个方向向量为，则直线斜率为，
所以直线的倾斜角为.
故选：B.
【分析】本题考查直线的斜率和倾斜角之间的关系.先根据方向向量求出直线斜率，再根据直线倾斜角与斜率之间的关系，可求出倾斜角.
3．（2024高二上·罗湖期末）设平面和的法向量分别为．若，则（ ）
A．4 B． C．10 D．
【答案】C
【知识点】用空间向量研究平面与平面的位置关系
【解析】【解答】解：因为，
所以，解得.
故选：C
【分析】本题考查平面与平面的位置关系.根据，可得：，进而列出方程可求出k的值..
4．（2023高二上·罗湖期末）已知等差数列的前项和为，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】等差数列的前n项和；等差数列的性质
【解析】【解答】解：设等差数列的公差为，因为，所以，
所以.
故答案为：C.
【分析】设等差数列的公差为，由题意得，再根据等差数列求和公式求值即可.
5．（2024高二上·罗湖期末）双曲线名的离心率为，则其渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：因为双曲线的离心率为，
所以，解得，
且焦点在x轴上，
所以其渐近线方程为，
故选：C
【分析】本题考查双曲线的简单几何性质.根据已知条件利用双曲线离心率计算公式，可求出，进而求出其渐近线方程..
6．（2024高二上·罗湖期末）正方体中，M是中点，则异面直线CM与所成角的余弦值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】用空间向量求直线间的夹角、距离
【解析】【解答】解：
建立如图空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，
则，
得，
所以，
即直线与所成角的余弦值为.
故选：D
【分析】本题考查利用空间向量求异面直线所成的角.先建立如图空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，写出点的坐标，写出对应向量，利用空间向量的夹角公式，代入数据可求出答案.
7．（2024高二上·罗湖期末）已知椭圆的左，右焦点分别为，点P为E的上顶点，点Q在E上且满足，则E的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：由题意，其中.
设，由，得，即，
代入椭圆得，解得离心率.
故选：A
【分析】本题考查椭圆的简单几何性质.先写出的坐标，根据已知条件，可求出点的Q坐标，将点Q坐标代入椭圆方程通过化简可求出离心率.
8．（2023高二上·罗湖期末）已知是公比不为的等比数列的前项和，则“，，成等差数列”是“对任意，，，成等差数列”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；等差数列的前n项和；等差数列的性质；等比数列的性质
【解析】【解答】解：设等比数列的公比为，且，，
若，，成等差数列，则，即，可得，即，因为，所以，即，
所以 ，，成等差数列等价于；
由，，成等差数列，即，
所以，
化简，可得，即，因为，
所以，所以成等差数列，等价于；
因为是的既不充分也不必要条件，
所以“成等差数列”是“对任意，，，成等差数列”的 既不充分也不必要条件 .
故答案为：D.
【分析】利用等差、等比数列的性质及充分、必要条件即可判断.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．（2024高二上·罗湖期末）在棱长为2的正四面体ABCD中，E，F，G分别是棱AB，AD，DC的中点．则下列各式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A,C
【知识点】空间向量的加减法；空间向量的数量积运算
【解析】【解答】解：棱长为2的正四面体ABCD中，E，F，G分别是棱AB，AD，DC的中点，
则两两夹角为，，
所以，
A，，A正确；
B，因为，所以，B错误；
C，因为，所以，
所以，C正确；
D，因为，
所以，D错误.
故选：AC
【分析】本题考查空间向量的线性运算，空间向量的数量积公式.根据向量的中线公式可得：，，代入A和C的计算式进行化简可求出答案；根据空间向量的线性运算可得：，代入B选项的计算式可求出答案；根据空间向量的线性运算可得：，进而判断D选项.
10．（2024高二上·罗湖期末）已知直线与圆交于A，B两点，则（ ）
A．圆D的面积为 B．l过定点
C．面积的最大值为 D．
【答案】A,B,D
【知识点】恒过定点的直线；圆的标准方程；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：对于A：圆即的圆心为，
半径，故圆D的面积为，正确；
对于B：将直线整理为：，
令，解得，即直线过定点，正确；
对于C：定点到圆心的距离，
设点到直线的距离为，则，
则，
当且仅当，即时，等号成立，
故的面积的最大值为，错误；
对于D：当直线与垂直时，弦的长度最小，
当直线过圆心时，弦的长度最大，
所以可得，正确.
故选：ABD
【分析】本题考查直线方程，圆的方程，直线与与圆的位置关系.先将圆的方程化为成标准方程，找出圆心和半径，可求出圆面积判断A；将直线整理成关于的方程，令其系数为0可得到方程组，解方程组可求出直线过的定点，判断B；由，结合弦长公式化简可得：，观察可得和为定值，利用基本不等式可求出面积的最值，即可判断C；利用弦长公式分别求出过点的弦长的最大值和最小值，可判断D选项.
11．（2024高二上·罗湖期末）已知等差数列的前n项和为，若，则（ ）
A． B．
C．的最小值为 D．的最小值为
【答案】A,C,D
【知识点】等差数列的前n项和
【解析】【解答】解：由，得，即，
由，得，即，所以.
A：由，可知，故A正确；
B：由，可知数列的公差，故B错误；
C：，由知随的增大而增大，
则，所以的最小值为，故C正确；
D：当时，；当时，；
当时，；当时，，
所以当时，；当时，；当时，，
又，，
所以，，
所以，即，
所以的最小值为，故D正确；
故选：ACD
【分析】本题考查等差数列的前n项和公式.利用等差数列的前n项和公式由可得：，由可得：，据此可推出、，可判断AB；根据数列的单调性可得：。据此可判断C选项；通过计算可得：，，进一步推断出：，据此可判断D选项.
12．（2024高二上·罗湖期末）过抛物线上一点作两条相互垂直的直线，与E的另外两个交点分别为A，B，则（ ）
A．E的准线方程为
B．过点M与E相切的直线方程为
C．直线AB过定点
D．的最小值为
【答案】B,D
【知识点】抛物线的标准方程；抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：A，因为点在抛物线上，
所以，则，
抛物线方程为，
则其准线方程为，A错误；
B，联立，消元得，
则，故直线与抛物线相切，
又点在直线上，
则过点M与E相切的直线方程为，B正确；
C，依题知，直线的斜率存在且不为零，
设直线的方程为，
联立，消元得，
设，
则，
，
，
又，
则
，
则，
即，
所以，或者，
当时，直线方程为，
化为，则过定点，
当时，直线方程为，
即，过定点，此时不符合题意，C错误；
D，设直线，
联立，消元得，
设，
则，则，
所以，
因为，
用替换得，，
所以
（利用了权方和不等式：，当且仅当时，等号成立），
当且仅当即，时等号成立，D正确，
故选：BD.
【分析】本题考查抛物线方程，抛物线的简单几何性质，直线与抛物线的位置关系.对于A，根据点在抛物线上，可先求出的值，进而求出抛物线方程，即可写出抛物线的准线方程；对于B，联立直线方程和抛物线方程可得，进而求出，再结合图形可判断B选项；对于C，设出AB的方程为：，联立后利用，可得方程：，解方程可得：以，或者，反代回直线方程通过化简可求出定点坐标；对于D，设直线的方程为：，联立后求得弦的长，再利用垂直关系可求得的长，，利用权方和不等式可求出最值.
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
13．（2024高二上·罗湖期末）若直线与直线平行，则 ．
【答案】-2
【知识点】直线的一般式方程与直线的平行关系
【解析】【解答】解：因为直线与直线平行，则，解得.
故答案为：.
【分析】本题考查直线与直线平行的转化.根据直线平行可列出方程组：，解方程组可求出实数的值.
14．（2024高二上·罗湖期末）圆与圆的公共弦的长为 ．
【答案】
【知识点】圆与圆的位置关系及其判定
【解析】【解答】解：由，得，
即两圆公共弦所在直线的方程为，
圆，圆心为，半径为，
则圆心到直线的距离为，
所以公共弦长为.
故答案为：
【分析】本题考查圆与圆的位置关系.先将两圆的方程相减可得公共弦所在直线的方程，再利用点到直线的距离公式求出圆心到公共弦所在直线的距离，利用圆的弦长公式可求出公共弦长.
15．（2023高二上·罗湖期末）已知数满足，，则数列的通项公式 ．
【答案】
【知识点】等比数列概念与表示；等比数列的通项公式；数列的递推公式
【解析】【解答】解：由数列满足，，可得，
因为，所以，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
所以，即.
故答案为：.
【分析】由题意可得，推出数列是以为首项，为公比的等比数列，利用等比数列的通项公式求解即可.
16．（2024高二上·罗湖期末）已知分别是双曲线的左右焦点，过的直线l与C只有一个公共点P，且，则C的离心率为 ．
【答案】
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：由题意可知：，
若过的直线l与C只有一个公共点P，可知直线l与双曲线C的一条渐近线平行，
且，可知为锐角，
不妨设直线l的斜率，即，
联立，解得，
且，可得，
又因为，即，可得，
所以C的离心率为.
故答案为：.
【分析】本题考查双曲线的简单几何性质.根据题意分析可知直线l与双曲线C的渐近线平行，不妨设直线l的斜率，利用余弦定理可求出，根据双曲线定义：，可求出a和b的关系，进而求出双曲线的离心率.
四、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17．（2023高二上·罗湖期末）已知公差不为零的等差数列的前项和为，且，．
（1）求数列的通项公式；
（2）令，求数列的前项和．
【答案】（1）解：由题意，设等差数列的公差为，
则由，，
可得，
解得，
．
（2）解：由，可得，
则数列的前项和为：
【知识点】对数的性质与运算法则；等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；数列的前n项和
【解析】【分析】（1）设等差数列的公差为，利用等差数列的通项公式以及求和公式即可求得等差数列的通项公式；
（2）由，可得，利用对数函数的运算性质即可求得数列的前n项和.
18．（2024高二上·罗湖期末）如图，正方体的棱长为2，O为的中点，点E在棱上，且．
（1）证明：平面ABCD；
（2）求直线与平面所成角的余弦值．
【答案】（1）（法一）证：为的中点，，
为等腰三角形，且，
又，
，
．
取中点为F，则，
又平面ABCD，平面ABCD，
平面ABCD，
为的中点，F为中点，
，
平面ABCD，平面ABCD，
平面ABCD．
．平面OEF，
平面平面ABCD，
平面OEF，
平面ABCD．
（法二）证：设，以D为原点，DA，DC，的方向分别为x，y，z三轴的正方向建立空间直角坐标系，如图
．
，
，可得，
，
平面ABCD，
为平面ABCD的法向量，
，
平面ABCD，
又平面ABCD，
平面ABCD．
（2）解：以D为原点，DA，DC，的方向分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系如图，
，
，
设平面的法向量为，
则，即，
令，可得，
设直线与平面所成角为，
，
直线与平面所成角的余弦值为．
【知识点】平面与平面平行的判定；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】本题考查直线与平面平行的判定，利用空间向量求直线与平面所成的角.
（1）利用三角形全等可推出．取中点为F，利用三角形的中位线定理可证明：平面ABCD，平面ABCD，进而推出平面平面ABCD，利用平面与平面平行的性质可证明结论.
（2）建立空间直角坐标系，写出对应点的坐标，求出对应向量，求出平面的法向量，利用直线与平面所成角的向量公式可求出夹角的正弦值，进而利用同角三角函数的基本关系可求出夹角的余弦值.
19．（2024高二上·罗湖期末）已知动点P到直线的距离比到点距离多2个单位长度，设动点P的轨迹为E．
（1）求E的方程；
（2）已知过点的直线l交E于A，B两点，且（O为坐标原点）的面积为32，求l的方程．
【答案】（1）解：因为动点P到直线的距离比到点距离多2个单位长度，
所以动点P到直线的距离和到点距离相等，
曲线E是以为焦点，直线为准线的抛物线，
所以曲线E的方程为．
（2）解：设，
设直线l的方程为，
联立，消去x得，，
所以，
，
解得
所以直线l的方程为或．
【知识点】抛物线的定义；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】本题考查抛物线的定义，直线与抛物线的位置关系.
（1）根据题意分析可知：动点P到直线的距离和到点距离相等，根据抛物线的定义找出焦点坐标和准线方程，求出p的值，进而求出曲线E的方程；
（2）设直线l的方程为，联立抛物线方程消去x，再利用韦达定理可得：，利用弦长公式再结合面积公式可得：，解方程可求出t的值，进而求出直线l的方程.
20．（2024高二上·罗湖期末）已知数列的前n项和为，满足，且．
（1）求的通项公式；
（2）若，求数列的前n项和．
【答案】（1）解：由可得，当时，，
以上两式相减可得，
当时，，满足，
所以数列是以4为首项，3为公比的等比数列，
故．
（2）解：，
，
，
两式相减，得
所以．
【知识点】数列的求和；数列的递推公式
【解析】【分析】本题考查数列的关系，错位相减求数列的和.
（1）根据的关系求递推公式写出，两式相减化简后可判断数列为等比数列，利用等比数列的通项公式可求出数列的通项公式；
（2）先求出，再写出的式子，利用错位相减可求出数列的和.
21．（2024高二上·罗湖期末）如图，在三棱柱中，底面侧面．
（1）证明：平面；
（2）若三棱锥的体积为为锐角，求平面与平面，的夹角的余弦值．
【答案】（1）证明：平面平面，平面平面，
平面，
平面，
，
，
，
四边形为菱形，
，
平面，
平面．
（2）解：平面ABC，
，
，可得，
又，
，
为锐角，
以C为原点，CA，CB及平面ABC过点C的垂线分别为x，y，z，轴，建立空间直角坐标系，
，
平面，
即为平面的法向量，
设平面的法向量为，
则，即，
令，可得，
，
∴平面与平面的夹角的余弦值为．
【知识点】直线与平面垂直的判定；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】本题考查直线与平面垂直的判定，利用空间向量求平面与平面所成的角.
（1）利用平面与平面垂直的性质定理先证明平面，进而推出，再利用菱形的性质可推出，利用直线与平面垂直的判定定理可证明结论；
（2）以C为原点，CA，CB及平面ABC过点C的垂线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，写出点的坐标，求出对应向量，求出平面的法向量和平面的法向量，利用空间向量的夹角公式可求出答案.
22．（2023高二上·罗湖期末）已知椭圆的短轴长，离心率为．
（1）求的标准方程；
（2）过点的直线与交于，两点，关于轴对称的点为，求面积的最大值．
【答案】（1）解：因为椭圆的短轴长，离心率为，
所以，
解得，，
则椭圆的标准方程为
（2）解：不妨设直线的方程为，，，
联立，消去并整理得，
因为，
解得，
由韦达定理得，
所以
，
当且仅当，即时，等号成立．
故面积的最大值为．
【知识点】基本不等式；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）由题意，结合离心率公式、短轴长以及平方关系列方程组求解即可；
（2）由题意直线斜率存在且不为0，将三角形面积表示成两个三角形面积之差即，进一步结合韦达定理表示成的函数，利用基本不等式求解即可.
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