湖南省岳阳市华容县2023-2024学年高二上学期期末监测数学试题
1．（2024高二上·华容期末）数列是等比数列，，公比q=3，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】等比数列的通项公式
【解析】【解答】解：因为数列是等比数列，，公比，则.
故答案为：C.
【分析】本题考查等比数列的通项公式.根据等比数列的通项公式可得：，据此可求出公式q，再根据等比数列的通项公式可求出.
2．（2024高二上·华容期末）抛物线的焦点坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】抛物线的标准方程
【解析】【解答】解：对于抛物线，，则，，故该抛物线的焦点坐标为.
故答案为：C.
【分析】本题考查抛物线方程.先根据抛物线的标准方程求出p的值，代入焦点坐标公式可求出答案.
3．（2024高二上·华容期末）《孙子算经》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五等诸侯，共分橘子六十颗，人别加三颗．问：五人各得几何？”其大意为：有5个人分60个橘子，他们分得的橘子数成公差为3的等差数列，问5人各得多少个橘子？这个问题中，得到橘子最少的人所得的橘子个数是（ ）
A．3 B．6 C．9 D．12
【答案】B
【知识点】等差数列的前n项和
【解析】【解答】设橘子最少的人所得橘子个数为 ，则 ，解得： ，
即得到橘子最少的人所得的橘子个数是6个.
故答案为：B.
【分析】根据题意把实际问题转化为数学问题，由等差数列的前n项和公式代入数值计数首项的值，由此得出答案。
4．（2024高二上·华容期末）双曲线的渐近线方程是，则其离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：因为双曲线渐近线为，所以
故答案为：C..
【分析】本题考查双曲线的简单几何性质.先根据双曲线的渐近线方程可得：，再根据双曲线的离心率计算公式：，可求出双曲线的离心率.
5．（2024高二上·华容期末）已知函数的导函数是f'（x），f'（x）的图象如图所示，下列说法正确的是（ ）
A．函数在（-2， -1）上单调递减
B．函数在x＝3处取得极大值
C．函数在（-1， 1）上单调递减
D．函数共有4个极值点
【答案】C
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】解：由函数的导函数的图象，
可得，，，，
所以函数在，上单调递减，在，上单调递增．
所以函数在和处取得极小值，在处取得极大值，
结合选项可知，只有选项C正确．
故答案为：C.
【分析】本题考查利用导函数研究函数的单调性.直接利用导函数的图象的正负情况，可找出函数的单调递增和单调递减区间.根据极大值的：先增后减取得极大值，和极小值的定义：先减后增取得极小值，据此可判断B和D选项.
6．（2024高二上·华容期末）“”是“直线与直线垂直”的（ ）
A．充分必要条件 B．充分非必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；用斜率判定两直线垂直
【解析】【解答】解：因为直线与直线垂直，
则，即，解得或；
因此由“”能推出“直线与直线垂直”，反之不能推出，
所以“”是“直线与直线垂直”的充分非必要条件.
故答案为：B.
【分析】本题考查命题充分不必要条件的判定，两直线垂直斜率转化公式.根据两直线垂直可得方程，解方程可求出的值，再利用充分条件与必要条件的概念，可判断选项.
7．（2024高二上·华容期末）已知圆关于直线对称，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；圆的标准方程
【解析】【解答】解：圆的圆心为，依题意，点在直线上，
因此，即，
，
当且仅当，即时等号成立，
所以的最小值为.
故答案为：B.
【分析】本题考查圆的方程，利用基本不等式求最值.先找出圆心坐标，根据题意可得出点在直线上，进而推出：，利用1还原法，对所求式子先乘以1，再将1进行替换可得：原式，观察积为定值，利用基本不等式可求出最值.
8．（2024高二上·华容期末）已知在正方体中，点为棱的中点，则直线与体对角线所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．0
【答案】A
【知识点】用空间向量求直线间的夹角、距离
【解析】【解答】解：以点为坐标原点，建立如图空间直角坐标系，
不妨设正方体的棱长为1，
则，，，，
则，，
则，
所以直线与体对角线所成角的余弦值为.
故答案为：A.
【分析】本题考查利用空间向量求异面直线所成的角.建立空间直角坐标系，写出对应点的坐标，求出对应向量、，再利用空间向量的夹角计算公式可求出夹角的余弦值.
9．（2024高二上·华容期末）下列四个命题中错误的有（ ）
A．直线的倾斜角越大，其斜率越大
B．直线倾斜角的取值范围是
C．两条不同的直线平行的充要条件是它们的斜率相等
D．过点的直线平行于直线
【答案】A,C
【知识点】直线的倾斜角；直线的斜率；用斜率判定两直线平行
【解析】【解答】解：A、倾斜角为锐角对应的斜率为正数，倾斜角为钝角对应的斜率为负，所以锐角对应的斜率大于钝角对应的斜率，A错误；
B、直线的倾斜角的范围为，B正确；
C、两条不同的直线平行的充要条件是它们的斜率相等或斜率都不存在，C错误；
D、过点的直线方程为平行于直线，D正确.
故答案为：AC.
【分析】本题考查直线倾斜角的定义，直线斜率的定义，直线与直线平行的判定.根据直线的斜率与倾斜角的关系判断A，利用倾斜角的定义判断B，利用平行直线的充要条件判断C，先求出直线AB的方程，据此可判断D选项.
10．（2024高二上·华容期末）等差数列的前项和记为，若，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C．前项和最大 D．从第项开始，0
【答案】A,B,C
【知识点】等差数列的前n项和；等差数列的性质
【解析】【解答】解：依题意等差数列{an}满足a15>0，a16<0，
所以前15项为正数，第16项开始为负数，公差d为负数，前15项和S15最大，所以ABC选项正确．
， 所以D选项错误．
故答案为：ABC.
【分析】本题考查等差数列的性质，等差数列前项和公式.根据已知条件分析可知：前15项为正数，第16项开始为负数，公差d为负数，前15项和S15最大，据此判断A，B，C选项；利用等差数列前项和公式计算可得：，据此可判断D选项.
11．（2024高二上·华容期末）已知，则下列结论正确的是（ ）
A．
B． //
C．＜＞为钝角
D．在方向上的投影向量为
【答案】B,D
【知识点】空间向量的数量积运算；空间向量的数量积运算的坐标表示
【解析】【解答】解：A、因为，所以，不垂直，A错误，
B、因为，所以，B正确，
C、因为，所以，所以不是钝角，C错误，
D、因为在方向上的投影向量，D正确，
故答案为：BD.
【分析】本题考查空间向量的数量积运算.通过计算可得：，利用空间向量垂直关系可判断A选项，因为，利用空间向量的平行的坐标关系可判断B选项，根据向量夹角公式计算可得：，据此可判断C，根据投影向量和投影数量的关系：在方向上的投影向量，代入数据计算，可判断D选项.
12．（2024高二上·华容期末）已知椭圆的左，右焦点分别为，过点的直线交椭圆于和两点，若的最大值为，则下列说法中正确的是（ ）
A．椭圆的短轴长为
B．当最大时，
C．椭圆的离心率为
D．的最小值为
【答案】B,C,D
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：由题意可得：，
根据椭圆定义可得，
的最大值为5，
的最大值为5，
根据椭圆性质，当轴时，最小，此时最大，
此时直线的方程为，
将代入椭圆方程得：，即，则，则，，
A、短轴长为，A错误；
B、当最大时，，B正确；
C、，C正确；
D、最大值为5，则的最小值为3，D正确；
综上所述，选项BCD正确，
故答案为：BCD..
【分析】本题考查椭圆的简单几何性质.通过椭圆的定义得可得：，所以当轴时，最小，此时最大，进而求出，，利用椭圆的短轴长公式2b可求出A选项；根据椭圆的定义可判断B选项；利用椭圆的离心率公式可求出C选项；根据已知条件可求出的最小值为3，据此可判断D选项.
13．（2024高二上·华容期末）如果双曲线上一点到左焦点的距离等于，则点到另一个焦点的距离为 .
【答案】2
【知识点】双曲线的定义
【解析】【解答】解：由双曲线定义可得，
又为右支上一点，故，
即.
故答案为：2.
【分析】本题考查双曲线的定义.利用双曲线定义可得：，代入数据可求出答案.
14．（2024高二上·华容期末）在正方体中，点是的中点，且 ，则实数的值为
【答案】
【知识点】空间向量基本定理
【解析】【解答】解：如下图所示：
由题意可知，点为的中点，
则，
所以，，，则.
故答案为：.
【分析】本题考查空间向量的基本定理.先利用空间向量的基本定理可得出关于、、的表达式：，据此可求出、的值进而得出答案.
15．（2024高二上·华容期末）已知数列、为等差数列，其前n项和分别为Sn、Tn，且，则＝ .
【答案】2
【知识点】等差数列的性质
【解析】【解答】解：.
故答案为：.
【分析】本题考查等差的性质.根据等差数列的性质进行化简可得：，代入数据可求出答案.
16．（2024高二上·华容期末）已知抛物线，过焦点的直线与抛物线相交于两点，且，则 .
【答案】9
【知识点】抛物线的定义；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：由抛物线焦点坐标为，
设点，过焦点F的直线方程为，
由抛物线的定义有，
由，得，即.
所以有①，
又由 得： ，
所以，，②
由①②联立解得：.
又
故答案为：9
【分析】本题考查抛物线的定义，直线与抛物线的位置关系.求出抛物线的焦点坐标，直线方程为，联立直线方程和抛物线方程可得：，，根据已知条件化简可得：，联立后可求出m的值，利用焦半径公式可求出答案．
17．（2024高二上·华容期末）已知点P和点Q是曲线y＝x2-2x-3上的两点，且点P的横坐标是2，点Q的纵坐标是-4，求：
（1）割线PQ的斜率；
（2）在点P处的切线方程.
【答案】（1）解：当时，，即点，
令，可得，解得，即点，
因此，割线的斜率为.
（2）解：对函数求导得，
所以，曲线在点处切线的斜率为，
所以，曲线在点处的切线方程为，即.
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程；直线的斜率
【解析】【分析】 本题考查直线的斜率，曲线的切线方程.
（1）求出点、的坐标，利用斜率公式可求出割线的斜率；
（2）先求出导函数，再求出切线的斜率，再利用直线的点斜式，可求出所求切线的方程.
18．（2024高二上·华容期末）已知数列为公差不为零的等差数列，，记为其前项和，____.
给出下列三个条件：条件①；条件②成等比数列；条件③。试在这三个条件中任选一个，补充在上面的横线上，完成下列两问的解答：
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
【答案】（1）解：设等差数列的公差为，
选择①：因为，
所以.
选择②：因为成等比数列，所以，即，化简得，因为，所以.
选择③：因为，所以，所以.
（2）解：因为，
所以
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；数列的求和
【解析】【分析】本题考查等差数列的通项公式，等差数列的前n项和公式，裂项相消求数列的和.
（1）选择①：由求和公式得出，利用等差数列的通项公式可求出通项公式；选择②：由等比中项的性质可得：，利用等差数列的通项公式可求出，进而求出通项公式；选择③：由等差数列的定义得出，进而求出通项公式；
（2）通过计算可得，由裂项相消法可求出数列的和.
19．（2024高二上·华容期末）已知圆C：，直线：.
（1）求证：直线恒过定点；
（2）求直线被圆C截得的弦长最短时的值以及最短弦长.
【答案】（1）证明：直线l的方程可化为，
令解得，所以直线l恒过定点A（3，1）；
（2）解：由题意可知：圆的圆心为，半径，
因为，
可知点在圆内，直线与圆相交，
当直线时，直线被圆截得的弦长最短，
因为直线的斜率为，
故直线的斜率为，解得，
此时圆心到直线的距离为，所以最短弦长为.
【知识点】直线的一般式方程与直线的性质；直线与圆的位置关系
【解析】【分析】本题考查直线方程，直线与圆的位置关系，圆的弦长公式.
（1）由直线l的方程变形为，联立，解方程组可求出直线恒过的定点坐标；
（2）要使直线被圆C所截得的弦长最短，则，化圆C的方程为标准方程，求出圆心坐标，利用直线与直线垂直的转化公式可求出，再根据两直线垂直与斜率的关系可求出值，利用圆的弦长公式可求出弦长.
20．（2024高二上·华容期末）如图，在直三棱柱中，，点是线段的中点.
（1）求证：；
（2）试求二面角的余弦值.
【答案】（1）证明：该三棱柱是直三棱柱，且，
两两互相垂直，以为原点，以为坐标轴建立空间直角坐标系，如图所示，
则，，，.
（2）解：，
，
易知是平面的一个法向量，设平面的法向量为，
则，取，则，
故，，
二面角为锐二面角，二面角的余弦值为
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】本题考查异面直线垂直的判定，利用空间向量求出二面角.
（1）以为原点，建立空间直角坐标系，写出对应点的坐标，求出对应向量，通过计算可得：，据此可证明结论.
（2）求出平面的法向量，平面的法向量，利用空间向量的夹角计算公式可求出二面角
21．（2024高二上·华容期末）已知等差数列的前项和为，且，，设数列的前项和为Pn，且．
（1）求数列和的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
【答案】（1）解：设等差数列的公差为.
由已知可得，解得，
所以.由，令得，
当时，，两式相减得，显然也符合上式，
所以
（2）解：由（1）知.
，
，
两式作差得：，
所以Tn=（3n-4） 2n+1+8
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；等比数列的前n项和；数列的求和
【解析】【分析】本题考查等差数列的通项公式，数列通项公式与前n项和的关系，利用错位相减法求数列的和.
（1）利用等差数列的通项公式和前n项和公式可求出数列的首项和公差，由此可求出.写出利用可求出；
（2）由（1）可求得，写出与，利用错位相减法可求出.
22．（2024高二上·华容期末）椭圆的一个顶点为，离心率.
（1）求椭圆方程；
（2）若直线与椭圆交于不同的两点.若满足，求直线的方程。
【答案】（1）解：由一个顶点为，离心率，可得，解得， 即有椭圆方程为.
（2）解：由知点在线段的垂直平分线上，
由，消去得，
由，得方程的，即方程有两个不相等的实数根.
设、，线段的中点，
则，所以，
所以，即，
因为，所以直线的斜率为，
由，得，所以，解得：，
即有直线的方程为.
【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】本题考查椭圆方程，直线与椭圆的位置关系.
（1）先根据椭圆的一个顶点可以求出的值，再根据离心率可得到、的关系，根据椭圆的关系式可求出的值，进而写出b的值，据此看求出椭圆的方程；
（2）先联立直线与椭圆，结合韦达定理可得：，利用中点坐标公式可求出线段的中点的坐标，再根据，可得方程：，解方程可求出的值，进而写出直线的方程．
1 / 1湖南省岳阳市华容县2023-2024学年高二上学期期末监测数学试题
1．（2024高二上·华容期末）数列是等比数列，，公比q=3，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2024高二上·华容期末）抛物线的焦点坐标是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024高二上·华容期末）《孙子算经》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五等诸侯，共分橘子六十颗，人别加三颗．问：五人各得几何？”其大意为：有5个人分60个橘子，他们分得的橘子数成公差为3的等差数列，问5人各得多少个橘子？这个问题中，得到橘子最少的人所得的橘子个数是（ ）
A．3 B．6 C．9 D．12
4．（2024高二上·华容期末）双曲线的渐近线方程是，则其离心率为（ ）
A． B． C． D．
5．（2024高二上·华容期末）已知函数的导函数是f'（x），f'（x）的图象如图所示，下列说法正确的是（ ）
A．函数在（-2， -1）上单调递减
B．函数在x＝3处取得极大值
C．函数在（-1， 1）上单调递减
D．函数共有4个极值点
6．（2024高二上·华容期末）“”是“直线与直线垂直”的（ ）
A．充分必要条件 B．充分非必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
7．（2024高二上·华容期末）已知圆关于直线对称，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
8．（2024高二上·华容期末）已知在正方体中，点为棱的中点，则直线与体对角线所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．0
9．（2024高二上·华容期末）下列四个命题中错误的有（ ）
A．直线的倾斜角越大，其斜率越大
B．直线倾斜角的取值范围是
C．两条不同的直线平行的充要条件是它们的斜率相等
D．过点的直线平行于直线
10．（2024高二上·华容期末）等差数列的前项和记为，若，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C．前项和最大 D．从第项开始，0
11．（2024高二上·华容期末）已知，则下列结论正确的是（ ）
A．
B． //
C．＜＞为钝角
D．在方向上的投影向量为
12．（2024高二上·华容期末）已知椭圆的左，右焦点分别为，过点的直线交椭圆于和两点，若的最大值为，则下列说法中正确的是（ ）
A．椭圆的短轴长为
B．当最大时，
C．椭圆的离心率为
D．的最小值为
13．（2024高二上·华容期末）如果双曲线上一点到左焦点的距离等于，则点到另一个焦点的距离为 .
14．（2024高二上·华容期末）在正方体中，点是的中点，且 ，则实数的值为
15．（2024高二上·华容期末）已知数列、为等差数列，其前n项和分别为Sn、Tn，且，则＝ .
16．（2024高二上·华容期末）已知抛物线，过焦点的直线与抛物线相交于两点，且，则 .
17．（2024高二上·华容期末）已知点P和点Q是曲线y＝x2-2x-3上的两点，且点P的横坐标是2，点Q的纵坐标是-4，求：
（1）割线PQ的斜率；
（2）在点P处的切线方程.
18．（2024高二上·华容期末）已知数列为公差不为零的等差数列，，记为其前项和，____.
给出下列三个条件：条件①；条件②成等比数列；条件③。试在这三个条件中任选一个，补充在上面的横线上，完成下列两问的解答：
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
19．（2024高二上·华容期末）已知圆C：，直线：.
（1）求证：直线恒过定点；
（2）求直线被圆C截得的弦长最短时的值以及最短弦长.
20．（2024高二上·华容期末）如图，在直三棱柱中，，点是线段的中点.
（1）求证：；
（2）试求二面角的余弦值.
21．（2024高二上·华容期末）已知等差数列的前项和为，且，，设数列的前项和为Pn，且．
（1）求数列和的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
22．（2024高二上·华容期末）椭圆的一个顶点为，离心率.
（1）求椭圆方程；
（2）若直线与椭圆交于不同的两点.若满足，求直线的方程。
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】等比数列的通项公式
【解析】【解答】解：因为数列是等比数列，，公比，则.
故答案为：C.
【分析】本题考查等比数列的通项公式.根据等比数列的通项公式可得：，据此可求出公式q，再根据等比数列的通项公式可求出.
2．【答案】C
【知识点】抛物线的标准方程
【解析】【解答】解：对于抛物线，，则，，故该抛物线的焦点坐标为.
故答案为：C.
【分析】本题考查抛物线方程.先根据抛物线的标准方程求出p的值，代入焦点坐标公式可求出答案.
3．【答案】B
【知识点】等差数列的前n项和
【解析】【解答】设橘子最少的人所得橘子个数为 ，则 ，解得： ，
即得到橘子最少的人所得的橘子个数是6个.
故答案为：B.
【分析】根据题意把实际问题转化为数学问题，由等差数列的前n项和公式代入数值计数首项的值，由此得出答案。
4．【答案】D
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：因为双曲线渐近线为，所以
故答案为：C..
【分析】本题考查双曲线的简单几何性质.先根据双曲线的渐近线方程可得：，再根据双曲线的离心率计算公式：，可求出双曲线的离心率.
5．【答案】C
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】解：由函数的导函数的图象，
可得，，，，
所以函数在，上单调递减，在，上单调递增．
所以函数在和处取得极小值，在处取得极大值，
结合选项可知，只有选项C正确．
故答案为：C.
【分析】本题考查利用导函数研究函数的单调性.直接利用导函数的图象的正负情况，可找出函数的单调递增和单调递减区间.根据极大值的：先增后减取得极大值，和极小值的定义：先减后增取得极小值，据此可判断B和D选项.
6．【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；用斜率判定两直线垂直
【解析】【解答】解：因为直线与直线垂直，
则，即，解得或；
因此由“”能推出“直线与直线垂直”，反之不能推出，
所以“”是“直线与直线垂直”的充分非必要条件.
故答案为：B.
【分析】本题考查命题充分不必要条件的判定，两直线垂直斜率转化公式.根据两直线垂直可得方程，解方程可求出的值，再利用充分条件与必要条件的概念，可判断选项.
7．【答案】B
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；圆的标准方程
【解析】【解答】解：圆的圆心为，依题意，点在直线上，
因此，即，
，
当且仅当，即时等号成立，
所以的最小值为.
故答案为：B.
【分析】本题考查圆的方程，利用基本不等式求最值.先找出圆心坐标，根据题意可得出点在直线上，进而推出：，利用1还原法，对所求式子先乘以1，再将1进行替换可得：原式，观察积为定值，利用基本不等式可求出最值.
8．【答案】A
【知识点】用空间向量求直线间的夹角、距离
【解析】【解答】解：以点为坐标原点，建立如图空间直角坐标系，
不妨设正方体的棱长为1，
则，，，，
则，，
则，
所以直线与体对角线所成角的余弦值为.
故答案为：A.
【分析】本题考查利用空间向量求异面直线所成的角.建立空间直角坐标系，写出对应点的坐标，求出对应向量、，再利用空间向量的夹角计算公式可求出夹角的余弦值.
9．【答案】A,C
【知识点】直线的倾斜角；直线的斜率；用斜率判定两直线平行
【解析】【解答】解：A、倾斜角为锐角对应的斜率为正数，倾斜角为钝角对应的斜率为负，所以锐角对应的斜率大于钝角对应的斜率，A错误；
B、直线的倾斜角的范围为，B正确；
C、两条不同的直线平行的充要条件是它们的斜率相等或斜率都不存在，C错误；
D、过点的直线方程为平行于直线，D正确.
故答案为：AC.
【分析】本题考查直线倾斜角的定义，直线斜率的定义，直线与直线平行的判定.根据直线的斜率与倾斜角的关系判断A，利用倾斜角的定义判断B，利用平行直线的充要条件判断C，先求出直线AB的方程，据此可判断D选项.
10．【答案】A,B,C
【知识点】等差数列的前n项和；等差数列的性质
【解析】【解答】解：依题意等差数列{an}满足a15>0，a16<0，
所以前15项为正数，第16项开始为负数，公差d为负数，前15项和S15最大，所以ABC选项正确．
， 所以D选项错误．
故答案为：ABC.
【分析】本题考查等差数列的性质，等差数列前项和公式.根据已知条件分析可知：前15项为正数，第16项开始为负数，公差d为负数，前15项和S15最大，据此判断A，B，C选项；利用等差数列前项和公式计算可得：，据此可判断D选项.
11．【答案】B,D
【知识点】空间向量的数量积运算；空间向量的数量积运算的坐标表示
【解析】【解答】解：A、因为，所以，不垂直，A错误，
B、因为，所以，B正确，
C、因为，所以，所以不是钝角，C错误，
D、因为在方向上的投影向量，D正确，
故答案为：BD.
【分析】本题考查空间向量的数量积运算.通过计算可得：，利用空间向量垂直关系可判断A选项，因为，利用空间向量的平行的坐标关系可判断B选项，根据向量夹角公式计算可得：，据此可判断C，根据投影向量和投影数量的关系：在方向上的投影向量，代入数据计算，可判断D选项.
12．【答案】B,C,D
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：由题意可得：，
根据椭圆定义可得，
的最大值为5，
的最大值为5，
根据椭圆性质，当轴时，最小，此时最大，
此时直线的方程为，
将代入椭圆方程得：，即，则，则，，
A、短轴长为，A错误；
B、当最大时，，B正确；
C、，C正确；
D、最大值为5，则的最小值为3，D正确；
综上所述，选项BCD正确，
故答案为：BCD..
【分析】本题考查椭圆的简单几何性质.通过椭圆的定义得可得：，所以当轴时，最小，此时最大，进而求出，，利用椭圆的短轴长公式2b可求出A选项；根据椭圆的定义可判断B选项；利用椭圆的离心率公式可求出C选项；根据已知条件可求出的最小值为3，据此可判断D选项.
13．【答案】2
【知识点】双曲线的定义
【解析】【解答】解：由双曲线定义可得，
又为右支上一点，故，
即.
故答案为：2.
【分析】本题考查双曲线的定义.利用双曲线定义可得：，代入数据可求出答案.
14．【答案】
【知识点】空间向量基本定理
【解析】【解答】解：如下图所示：
由题意可知，点为的中点，
则，
所以，，，则.
故答案为：.
【分析】本题考查空间向量的基本定理.先利用空间向量的基本定理可得出关于、、的表达式：，据此可求出、的值进而得出答案.
15．【答案】2
【知识点】等差数列的性质
【解析】【解答】解：.
故答案为：.
【分析】本题考查等差的性质.根据等差数列的性质进行化简可得：，代入数据可求出答案.
16．【答案】9
【知识点】抛物线的定义；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：由抛物线焦点坐标为，
设点，过焦点F的直线方程为，
由抛物线的定义有，
由，得，即.
所以有①，
又由 得： ，
所以，，②
由①②联立解得：.
又
故答案为：9
【分析】本题考查抛物线的定义，直线与抛物线的位置关系.求出抛物线的焦点坐标，直线方程为，联立直线方程和抛物线方程可得：，，根据已知条件化简可得：，联立后可求出m的值，利用焦半径公式可求出答案．
17．【答案】（1）解：当时，，即点，
令，可得，解得，即点，
因此，割线的斜率为.
（2）解：对函数求导得，
所以，曲线在点处切线的斜率为，
所以，曲线在点处的切线方程为，即.
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程；直线的斜率
【解析】【分析】 本题考查直线的斜率，曲线的切线方程.
（1）求出点、的坐标，利用斜率公式可求出割线的斜率；
（2）先求出导函数，再求出切线的斜率，再利用直线的点斜式，可求出所求切线的方程.
18．【答案】（1）解：设等差数列的公差为，
选择①：因为，
所以.
选择②：因为成等比数列，所以，即，化简得，因为，所以.
选择③：因为，所以，所以.
（2）解：因为，
所以
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；数列的求和
【解析】【分析】本题考查等差数列的通项公式，等差数列的前n项和公式，裂项相消求数列的和.
（1）选择①：由求和公式得出，利用等差数列的通项公式可求出通项公式；选择②：由等比中项的性质可得：，利用等差数列的通项公式可求出，进而求出通项公式；选择③：由等差数列的定义得出，进而求出通项公式；
（2）通过计算可得，由裂项相消法可求出数列的和.
19．【答案】（1）证明：直线l的方程可化为，
令解得，所以直线l恒过定点A（3，1）；
（2）解：由题意可知：圆的圆心为，半径，
因为，
可知点在圆内，直线与圆相交，
当直线时，直线被圆截得的弦长最短，
因为直线的斜率为，
故直线的斜率为，解得，
此时圆心到直线的距离为，所以最短弦长为.
【知识点】直线的一般式方程与直线的性质；直线与圆的位置关系
【解析】【分析】本题考查直线方程，直线与圆的位置关系，圆的弦长公式.
（1）由直线l的方程变形为，联立，解方程组可求出直线恒过的定点坐标；
（2）要使直线被圆C所截得的弦长最短，则，化圆C的方程为标准方程，求出圆心坐标，利用直线与直线垂直的转化公式可求出，再根据两直线垂直与斜率的关系可求出值，利用圆的弦长公式可求出弦长.
20．【答案】（1）证明：该三棱柱是直三棱柱，且，
两两互相垂直，以为原点，以为坐标轴建立空间直角坐标系，如图所示，
则，，，.
（2）解：，
，
易知是平面的一个法向量，设平面的法向量为，
则，取，则，
故，，
二面角为锐二面角，二面角的余弦值为
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】本题考查异面直线垂直的判定，利用空间向量求出二面角.
（1）以为原点，建立空间直角坐标系，写出对应点的坐标，求出对应向量，通过计算可得：，据此可证明结论.
（2）求出平面的法向量，平面的法向量，利用空间向量的夹角计算公式可求出二面角
21．【答案】（1）解：设等差数列的公差为.
由已知可得，解得，
所以.由，令得，
当时，，两式相减得，显然也符合上式，
所以
（2）解：由（1）知.
，
，
两式作差得：，
所以Tn=（3n-4） 2n+1+8
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；等比数列的前n项和；数列的求和
【解析】【分析】本题考查等差数列的通项公式，数列通项公式与前n项和的关系，利用错位相减法求数列的和.
（1）利用等差数列的通项公式和前n项和公式可求出数列的首项和公差，由此可求出.写出利用可求出；
（2）由（1）可求得，写出与，利用错位相减法可求出.
22．【答案】（1）解：由一个顶点为，离心率，可得，解得， 即有椭圆方程为.
（2）解：由知点在线段的垂直平分线上，
由，消去得，
由，得方程的，即方程有两个不相等的实数根.
设、，线段的中点，
则，所以，
所以，即，
因为，所以直线的斜率为，
由，得，所以，解得：，
即有直线的方程为.
【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】本题考查椭圆方程，直线与椭圆的位置关系.
（1）先根据椭圆的一个顶点可以求出的值，再根据离心率可得到、的关系，根据椭圆的关系式可求出的值，进而写出b的值，据此看求出椭圆的方程；
（2）先联立直线与椭圆，结合韦达定理可得：，利用中点坐标公式可求出线段的中点的坐标，再根据，可得方程：，解方程可求出的值，进而写出直线的方程．
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