浙江强基联盟2024年5月联考
高二数学参考答案
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B C A D C D C A
1．，所以选B．
2．，所以选C．
3．因为，所以选A．
4．因为，所以原式，即选D．
5．因为，所以．故选C．
6．上、下底面的半径分别为1和3，所以侧面积为，即选D．
7．充分性：若是等差数列，则．必要性：若，则，两式相减得，即，所以是等差数列．故选C．
8．首先是3的倍数的情况包括，所以概率为0.4．T是3的倍数的情况数为，所以概率为0.6．故选．
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
题号 9 10 11
答案 BCD BD ACD
9．设圆心到直线的距离为，则，且，即，所以选BCD．
10．取，排除，再取，排除，所以选BD．
11．A．，则，满足条件．
B．，则，不满足条件．
C．，显然成立．
D．，
，满足条件．故选ACD．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．40 13． 14．
12．
13．不妨设，所以，代入得，化简得．
14．因为，所以
．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．【解析】（1）函数，导函数，切点为，切线斜率为1，
所以切线方程为．………………………………………………………………………………4分
（2）函数，导函数，所以单调递增区间为，单调递减区间为，．
极大值为，极小值为．………………………………………………………………13分
16．【解析】（1）当且仅当前两次摸到2个黑球即可，于是………………………………5分
（2）因为，所以的分布列为
1 2 3
．………………………………………………………………………………15分
17．【解析】（1）连接，交于点，再连接EM（图略），则M为的中点．
因为，所以，同理可证．
又因为，所以平面，所以平面平面………………6分
（2）两个平面的一个法向量分别为和，所以所成二面角的大小为……15分
18．【解析】解法一：（1）设直线，
联立得，
所以．…………………………………………………………………3分
又因为是中点，所以，
………………………………………………………………………………6分
代入化简得，解得．
故抛物线的方程为．……………………………………………………………………………8分
（2）
，………………………………………………10分
因为
，………………………………………………………………12分
同理，…………………………………………………………………………14分
所以，
当且仅当时，等号成立，即所求最小值为12．……………………………………………………17分
解法二：（1）设直线AB的倾斜角为，再设A，B的坐标都为，
代入抛物线方程得，
化简得．
因为是AB的中点，所以，即．
又因为，
将代入化简得，
即，所以抛物线的方程为．………………………………………………………………8分
（2），
而，
所以CD的倾斜角为或，同理可求得，
即，
当且仅当或时，等号成立，即所求最小值为12．…………………………………………17分
19．【解析】（1），所以．……………………4分
（2）．…………………………………………………………………………7分
（3）（ⅰ）对任意正整数，总有，且一定存在，使得，此时有，即当时，．
因为，所以，
又，所以，所以．
因为．
若和的变换数列分别为和，且，数列满足，且当时，，数列满足，且当时，．
当时，，
则．
当时，若，
则．
若，
则，所以是增函数．
若，
则，与矛盾，所以这种情况不存在．
若，
则，
所以是增函数．…………………………………………………………………………………………12分
（ⅱ）若数列的变换数列为，数列的变换数列为，
即证．
数列满足，且当时，．
若，
则，
若，
则，
，
．
综上，．…………………………………………………………………………………………17分
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注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．本试卷主要考试内容：高考全部内容。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，则
A． B． C． D．
2．双曲线的渐近线方程为
A． B． C． D．
3．已知向量，若，则的值为
A．-4 B．4 C．-6 D．6
4．为虚数单位，则
A． B．i C．-1 D．1
5．已知正数x，y满足，则的取值范围是
A．[1，4] B．[0，4] C． D．
6．圆台的上底面面积为，下底面面积为，母线长为4，则圆台的侧面积为
A． B． C． D．
7．对于数列，设甲：为等差数列，乙：，则甲是乙的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
8．袋子中装有5张编号分别为1，2，3，4，5的卡片，从袋子中随机选择3张卡片，记抽到的3张卡片编号之和为，编号之积为，则下列说法正确的是
A．是3的倍数的概率为0.4 B．是3的倍数的概率为0.6
C．是3的倍数的概率为0.2 D．是3的倍数的概率为0.8
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．若直线与圆相交于A，B两点，则|AB|的长度可能等于
A．3 B．4 C．5 D．6
10．已知，则下列等式成立的是
A． B．
C． D．
11．下列定义在上的函数中，满足的有
A． B． C． D．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．的展开式中，含项的系数是______．
13．已知过椭圆的右顶点作直线交轴于点，交椭圆于点，若是等腰三角形，且，则椭圆的离心率为______．
14．若不等式对任意满足的正实数x，y，z均成立，则实数的最大值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）
已知函数．
（1）求函数在处的切线方程；
（2）求函数的单调区间和极值．
16．（15分）
已知盒中有2个黑球和2个白球，每次从盒中不放回地随机摸取1个球，只要摸到白球就停止摸球．
（1）求摸球三次后刚好停止摸球的概率；
（2）记摸球的次数为随机变量，求的分布列和期望．
17．（15分）
如图，在正三棱柱中，为侧棱的中点．
（1）求证：平面平面．
（2）若，求平面与平面所成二面角的大小．
18．（17分）
如图，抛物线是抛物线内一点，过点作两条斜率存在且互相垂直的动直线，设与抛物线相交于点与抛物线相交于点C，D，当恰好为线段AB的中点时，．
（1）求抛物线的方程；
（2）求的最小值．
19．（17分）
对于正整数m，n，存在唯一的自然数a，b，使得，其中，我们记．对任意正整数，定义的生成数列为，其中．
（1）求和．
（2）求的前3项．
（3）存在，使得，且对任意成立．考虑的值：
当时，
定义数列的变换数列的通项公式为
当时，
定义数列的变换数列的通项公式为
若数列和数列相同，则定义函数，其中函数的定义域为正整数集．
（ⅰ）求证：函数是增函数．
（ⅱ）求证：．
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