云南省“3+3+3”2024届高三下学期高考备考诊断性联考卷（三）数学试卷(含解析)

云南省“3+3+3”2024届高三下学期高考备考诊断性联考卷（三）数学试卷
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1．已知集合,集合,则( )
A. B.R C. D.
2．若复数,则z的模为( )
A.2 B. C.3 D.
3．已知等差数列满足:,,为数列的前n项和,则( )
A.18 B.45 C.90 D.180
4．从2022年秋季学期起,云南省启动实施高考综合改革,从2025年起普通高考将实施“”模式,其中3是指语文、数学、外语3门统一高考科目,1是指从物理或历史科目中选择1门,2是指从思想政治、地理、化学、生物任选2门,小明将要在2025年参加高考,则小明参加考试的科目可能有( )种情况.
A.12 B.36 C.6 D.18
5．非零向量,,则是与所成角为钝角的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.既不充分也不必要条件 D.充要条件
6．若,则( )
A. B. C. D.
7．如图1,球面被平面截得的一部分叫做球冠,截得的圆面是底,圆的半径记为R,垂直于截面的直径被截得的一段叫做球冠的高,记为H,则球冠的曲面面积.球O是棱长为1的正方体的棱切球,则球O在正方体外面部分曲面的面积为( )
A. B. C. D.
8．已知函数,,且在区间上单调递增,则的最小值为( )
A.0 B. C. D.-1
二、多项选择题
9．已知函数,,,如图2,图象经过点,,则( )
A.
B.
C.是函数的一条对称轴
D.函数在区间上单调递增
10．已知棱长为1的正方体,点P是面对角线上的任一点,则的值可能是( )
A. B.2 C. D.
11．已知定义在R上的函数,对任意的x,y满足,下列说法正确的是( )
A.若为一次函数,则
B.若为一次函数,则
C.若不是一次函数且,则
D.若不是一次函数且,则
三、填空题
12．已知正数x,y满足,则的最小值为______.
13．已知在中,,且,,D是BC上的一点,且,则______.
14．现有标号依次为1,2,3的盒子,标号为1的盒子里面有2个红球和2个白球,其余盒子里都是1个红球和1个白球.现从1号盒子里面取出2个球放入2号盒子,再从2号盒子里面取出2个球放人3号盒子,则3号盒子里面是2个红球和2个白球的概率为______.
四、解答题
15．4月23日是联合国教科文组织确定的“世界读书日”.某高校为了了解全体师生阅读时间的分配情况,对全校师生进行抽样问卷调查日平均阅读时间(单位:小时),得到样本数据,并绘制如图3所示的频率分布直方图.
(1)求频率分布直方图中a的值;
(2)根据频率分布直方图估算全校师生日平均阅读时间;(每组数据用该组的区间中点值作代表)
(3)将(2)所得到的日平均阅读时间保留为整数,并根据频率分布直方图估算师生日平均阅读时间的方差.
16．已知数列,,,.
(1)求;
(2)令,为数列的前n项和,求.
17．如图4,已知在斜三棱柱中,,是边长为2的菱形,且,.
(1)求证:平面平面ABC;
(2)若,E是AC的中点,,求AP与平面所成线面角的正弦值.
18．已知函数.
(1)当时,求函数的最小值;
(2)讨论函数的单调性.
19．已知椭圆的离心率为,上、下顶点与其中一个焦点围成的三角形面积为,过点作椭圆C的两条切线,切点为A,B
(1)求椭圆C的过程；
(2)求AB所在直线方程；
(3)过点P作直线l交椭圆C于M,N两点,交直线AB于点Q,求的值.
参考答案
1．答案：C
解析：由题意知:,,所以,故选C.
2．答案：D
解析：由,所以,故选D.
3．答案：B
解析：由,所以,所以,所以,故选B.
4．答案：A
解析：由题意可知:小明共有种情况,故选A.
5．答案：B
解析：当与方向相反时,,所以是与所成角为钝角非充分条件:当与所成角为钝角时,由,故是与所成角为钝角的必要条件,故选B.
6．答案：A
解析：由,所以,故选A.
7．答案：D
解析：如图1,正方体与正方体的棱切球形成六个球冠,且,,所以所求曲面的面积为:,故选D,
8．答案：C
解析：由在区间上单调递增,所以在上恒成立,即在上恒成立,由图象的几何意义可知,对于任意的a要使得b取得最小值时,直线和函数的图象相切,对函数上的任意一点的切线为,即,令,,所以.令,所以,所以在上单调递减,在上单调递增,所以,所以的最小值为,故选C.
9．答案：AD
解析：由及,,所以,即,所以,故A正确;又,所以,,又,,所以,故B不正确;由,则,故C不正确;的单调递增区间为,,所以D正确,故选AD.
10．答案：BCD
解析：如图2,当点P在顶点B处时,,故B选项正确;当点P在线段的中点时,,故C选项正确：当点P为与AC的交点时,,故D选项正确:由题意可知为的最小值,故A选项不正确,故选BCD.
11．答案：BCD
解析：若为一次函数,令,所以得到:,所以,故而,,或者,,,所以当为一次函数时,或,所以A不正确;,所以B正确;令,则,由,令,所以,令,则,由,令,所以,故D正确,故选BCD.
12．答案：0
解析：由,所以,当且仅当时取等号.
13．答案：
解析：由,且,,所以,即,则,又,所以.
14．答案：
解析：设:从标号为1的盒子中取出的2个球中有i个红球,；B:3号盒子里面是2个红球和2个白球,所以,
15．答案：(1)0.01
(2)9.16
(3)13.28
解析：(1)由概率和为1得:,解得.
(2)由题意知,为全校师生日平均阅读时间,则
,
所以全校师生日平均阅读时间为(小时).
(3)将保留整数则,由题意知:
所以估算师生日平均阅读时间的方差为13.28.
16．答案：(1)
(2)
解析：(1)由,,
所以当时,有,两式相减得:,
即.
又有当,
所以是以为首项,公比为2的等比数列,所以.
(2)由(1)知:,所以,则,所以,所以.
17．答案：(1)证明见解析
(2)
解析：(1)证明:如图3,连接,取的中点Q,连接AQ,CQ,
由为菱形,所以.
又由,且,
所以平面,故而①.又由,所以为等边三角形,所以.由,所以,且,所以平面ACQ,所以②,由①②及,所以平面,故而平面平面ABC.
(2)如图4,取的中点F,连接AF,由(1)知,,,由F为的中点,则,即,由平面ABC,所以平面ABC,所以AB,AC,AF两两垂直,
建立如图所示的空间直角坐标系,由,
所以,,,,
所以,.
设,由,得:,
所以,,,所以.
令,则即令,则,,
所以,
令为AP与平面所成线面角,
所以,
所以AP与平面所成线面角的正弦值为.
18．答案：(1)
(2)若时,,所以为上的单调递减函数;若,,所以为上的单调递增函数
解析：(1)当时,由,所以,所以在上单调递减,在上单调递增,所以的最小值为.
(2)由,所以.
①当时,
若时,,所以为上的单调递减函数;若时,,所以为上的单调递增函数;
②当时,,
若时,,所以为上的单调递增函数;若时,,所以为上的单调递减函数;若时,,所以为上的单调递增函数;
③当时,,
对,,所以为R上的单调递增函数;
④当时,,若时,,所以为上的单调递增函数;
若时,,所以为上的单调递减函数;若,,所以为上的单调递增函数.
19．答案：(1)
(2)
(3)2
解析：(1)由题意可知:①,
又,所以②,
由①②及,所以,,
所以椭圆C的方程为:.
(2)设切点,,由题意可知:
切线PA的方程为:,
切线PB的方程为:,
所以:,,故直线AB的方程为.
(3)由题意可知直线l的斜率存在,且,设直线l的方程为:
联立椭圆C的方程,
得,
令,
所以,.
令,解方程组得.
又
,
所以.