福建省泉州市2024届高中毕业班5月适应性练习数学试卷（含解析）

福建省泉州市2024届高中毕业班5月适应性练习
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.等比数列中，，，记为的前n项和，则( )
A. B. C. D. 0
2.已知集合，若则( )
A. B. C. 1 D. 3
3.已知圆的内接四边形ABCD中，，，，则( )
A. B. C. D. 3
4.已知复数z满足，，则( )
A. B. 2 C. D.
5.设双曲线E的中心为O，一个焦点为F，过F作E的两条渐近线的垂线，垂足分别为A、若，则E的离心率等于( )
A. B. C. D. 3
6.数学家泰勒给出如下公式：
，
，
这些公式被编入计算工具，计算工具计算足够多的项就可以确保显示值的精确性．若根据以上公式估算的值，则以下数值中最精确的是( )
A. B. C. D.
7.甲、乙、丙、丁四位同学报名参加4项不同的趣味运动项目，每人只能报一项，则在乙、丙、丁三位同学所报项目与甲同学所报项目不同的条件下，四位同学所报项目各不相同的概率等于( )
A. B. C. D.
8.函数在的最大值为m，在的最大值为n，则以下命题为假命题的是( )
A. ，且 B. ，且
C. ，且 D. ，且
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.已知，，且，则( )
A. B.
C. D.
10.中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，已知，的面积，则以下说法正确的是( )
A.
B. 的周长的最大值为6
C. 若，则为正三角形
D. 若AB边上的中线长等于，则
11.刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容．用曲率刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于与多面体在该点的面角和的差多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制已知正三棱台中，，棱AB，的中点分别为D，若该棱台顶点A，的曲率之差为，则( )
A.
B. 平面
C. 直线与平面所成角的正弦值等于
D. 多面体顶点D的曲率的余弦值等于
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.菱形ABCD中，，，则__________.
13.已知四面体有两个面是边长为2的正三角形，另外两个面是直角三角形，则该四面体的体积等于__________.
14.已知O为坐标原点，矩形OABC的顶点A，C在抛物线上，则顶点B的轨迹方程为__________.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题13分
某公司为了解年研发资金单位：亿元对年产值单位：亿元的影响，对公司近8年的年研发资金和年产值N，的数据对比分析中，选用了两个回归模型，并利用最小二乘法求得相应的y关于x的经验回归方程：
①；②
求的值；
已知①中的残差平方和，②中的残差平方和，请根据决定系数选择拟合效果更好的经验回归方程，并利用该经验回归方程预测年研发资金为20亿元时的年产值．
参考数据：，，，
参考公式：刻画回归模型拟合效果的决定系数
16.本小题15分
已知函数
当时，若直线与曲线相切，求b；
若直线与曲线恰有两个公共点，求
17.本小题15分
如图所示的几何体是由圆锥与圆柱组成的组合体，其中圆柱的轴截面ABCD是边长为2的正方形，圆锥的高，M为圆柱下底面圆周上异于A，B的点．
求证：平面MOC；
若，求直线AD与平面MOC所成角的正切值的取值范围．
18.本小题17分
设A，B为椭圆C：的短轴端点，P为椭圆上异于A，B的任意一点，D在直线上．
求直线PA，PB的斜率的乘积；
证明：；
过右焦点F作x轴的垂线l，E为l上异于F的任意一点，直线DF交C于M，N两点，记直线ED，EM，EN的斜率分别为，，，是否存在，，的某个排列，使得这三个数成等差数列？若存在，加以证明；若不存在，请说明理由．
19.本小题17分
将足够多的一批规格相同、质地均匀的长方体薄铁块叠放于水平桌面上，每个铁块总比其下层铁块向外伸出一定的长度，如下图，那么最上层的铁块最多可向桌缘外伸出多远而不掉下呢？这就是著名的“里拉斜塔”问题．将铁块从上往下依次标记为第1块、第2块、第3块、……、第n块，将前…，块铁块视为整体，若这部分的重心在第块的上方，且全部铁块整体的重心在桌面的上方，整批铁块就保持不倒．设这批铁块的长度均为1，若记第n块比第块向桌缘外多伸出的部分的最大长度为，则根据力学原理，可得，且为等差数列．
求的通项公式；
记数列的前n项和为
ⅰ比较与的大小；
ⅱ对于无穷数列，如果存在常数A，对任意的正数，总存在正整数，使得，，则称数列收敛于A，也称数列的极限为A，记为；反之，则称不收敛．请根据数列收敛的定义判断是否收敛？并据此回答“里拉斜塔”问题．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查等比数列的通项公式和前n项和，属于基础题.
求出首项和公比，即可求
【解答】
解：设等比数列公比为q，
则，
因为，则，
又，
故，
则
2.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查含参数的交集运算问题，属于基础题.
化简A，B，由求出a，b，即可求
【解答】
解：，，
若
则，，
故
3.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查两角和差三角函数的应用，属于基础题.
根据题意可得，在中，，在中，，利用两角和的正切公式即可求解.
【解答】
解：圆的内接四边形 ABCD中，，则，
在中，，
在中，，
所以
4.【答案】B
【解析】【分析】
本题主要考查复数的模及共轭复数，属于基础题.
设复数，a，，根据题意得出 ，得出a，b的值，进而即可求解.
【解答】
解：设复数，a，，
由，
得 ，
解得，，
，
故选：
5.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查双曲线的渐近线与离心率，属于一般题.
设双曲线的方程为，且，设直线的倾斜角为，根据≌，可得，即，从而可求解.
【解答】
解：设双曲线的方程为，且，
则E的两条渐近线方程分别为，
设直线的倾斜角为，则，
易得≌，所以，且，
从而，
所以，故，即，
整理，得，
故E的离心率等于
6.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查对新定义的理解应用能力，属于基础题．
根据新定义直接求即可.
【解答】
解：
故选项为C
7.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查古典概型的计算，属于中档题.
由题意，可知所求事件概率在乙、丙、丁三位同学所报项目与甲同学所报项目不同的条件下，于是可求出四位同学所报项目各不相同的所有可能，即可求出所求事件的概率.
【解答】
解：乙、丙、丁三位同学所报项目与甲同学所报项目不同有种可能.
四位同学所报项目各不相同有种可能.
在乙、丙、丁三位同学所报项目与甲同学所报项目不同的条件下，四位同学所报项目各不相同的概率，
选项为
8.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查余弦函数的性质，属于较难题.
分别代入、与，利用排除法即可求解.
【解答】
解：当时，函数在的最大值为，在上的最大值为，
此时，，故，且，故B为真命题；
当时，函数在的最大值为，在上的最大值为，
此时，，故，且，故C为真命题；
当时，函数在的最大值为，在上的最大值为1，
此时，，故，且，故D为真命题.
故选
9.【答案】AD
【解析】【分析】
本题考查不等式的性质，考查基本不等式及指数幂的运算，属于基础题.
根据不等式的性质可判断A；取，可判断BC；根据基本不等式可判断
【解答】
解：由题意，得，，，
对于选项A，，故A正确;
对于选项B，取，，则，故B错误;
对于选项C，取，，则，故C错误;
对于选项D，，当且仅当时等号成立，故D正确.
10.【答案】BC
【解析】【分析】
本题考查解三角形正余弦定理以及面积公式的应用，是中档题.
根据条件对数量积进行表示同时表示面积即可求出角A，由余弦定理结合基本不等式即可判断B，C，利用中线公式结合余弦定理与三角形面积公式计算即可判断
【解答】
对于A，，
即可得到，又，所以，故A项错误.
对于B，由余弦定理，
利用基本不等式可知
所以，此时周长最大值为6，故B项正确.
对于C，由B项可知当时，
则，故为正三角形，故 C项正确.
对于D，设AB边上的中线为CD，
设，在中，
在中，
联立可解得，
则，故D项错误.
11.【答案】BC
【解析】【分析】
本题考查了线线垂直的向量表示，直线与平面所成角的向量求法，线面垂直的判定，属于较难题.
延长，相交于P，O为的中心，棱BC的中点为E，以过O且平行于BC的直线为x轴，直线OE为y轴，直线OP为z轴，建立空间直角坐标系，利用线线垂直的向量表示，判断A；利用线面垂直的判定，判断B；利用直线与平面所成角的向量求法，判断C；利用向量与向量的夹角，判断
【解答】
解：正三棱台中，棱AB，的中点分别为D，，
延长，相交于P，设O为的中心，棱BC的中点为E，
以过O且平行于BC的直线为x轴，直线OE为y轴，
直线OP为z轴，建立空间直角坐标系，如图所示，
正三棱台的顶点 A，的曲率之差为，
，
则，
又，
，
令，则，
，，
对于A，，
，
与不垂直，故A错误；
对于B，，，则，同理，，
又，PA、平面PAC，
平面PAC，即平面，故B正确；
对于C，
令平面PAB，即平面的法向量为，
则，
取，得，
令直线与平面所成角为，
，故C正确；
对于D，，
，
又多面体顶点D的曲率
，
，故D错误.
故选：
12.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了平面向量的数量积坐标运算问题，是基础题．
根据菱形的对角线互相垂直，向量的数量积为0，列方程求出t的值．
【解答】
解：菱形ABCD中，
可得，
，，
所以 ，
解得
故答案为：
13.【答案】
【解析】【分析】
本题考查棱锥的体积，考查线面垂直的判断，属于一般题.
由题意作图，其中，，取AC的中点E，连结EB，ED，可得平面BDE，又可得，根据即可求解.
【解答】
解：由题意，可知如图，三棱锥中，，
，
取AC的中点E，连结EB，ED，
则，
又平面BDE，平面BDE，，
所以平面
故AE，CE分别是三棱锥和三棱锥的高，
从而
又，，所以，故
所以
14.【答案】
【解析】【分析】
本题考查抛物线的标准方程，轨迹问题，向量垂直的充要条件，属于中档题.
设，，则，再由，可得，进而可得答案.
【解答】
解：如图，
设，，则，
依题意，四边形OABC为矩形，则，即，
所以，即，
则，
所以顶点B的轨迹方程为，
故答案为
15.【答案】解：因为，，，
则，，令
因为直线过点，
所以；
①中的决定系数为，
②中的决定系数为，
因为越大拟合效果越好，且，
所以②的拟合效果更好，
所以当时，年研发资金为20亿元时的年产值为亿元.
所以预测当年研发资金为20亿元时，年产值大约为亿元.
【解析】本题考查回归直线方程，非线性回归分析，决定系数，属于中档题.
先求得，，代入，即可得到答案；
分别计算决定系数，得到效果更好的经验回归方程，即可得到答案.
16.【答案】解：当时，，，
因为直线与曲线相切，设切点为，
则，所以或，
因此，或
因为直线与曲线恰有两个公共点，
所以方程，即方程有两个不等实根，
因为是方程的一个根；
当时，方程可化为，
依题意，方程有不等于的唯一根，
因为，若，则即，，满足条件；
若，则由，解得：
综上所述，或
【解析】本题考查导数的几何意义，已知切线斜率求参，考查函数与方程的解的个数问题，属于中档题.
此类问题，通过设切点坐标，求导数，利用切点处的导数等于切线斜率，以及切点在切线上也在曲线上，解联立方程组即可；
由已知问题等价于方程，即方程有两个不等实根，显然是方程的一个根，所以当时，方程可化为，它还有不等于的唯一根，根据一元二次方程的根的性质即可解决问题.
17.【答案】解：连结SO，DC，
设圆锥的底面所在平面为，则，，
所以S，，O三点共线.
从而，所以点S，D，C，O共面.
又因为，，
所以四边形SDOC为平行四边形，
故，
因为M为圆柱下底面圆周上异于A，B的点，
所以平面MOC，又平面MOC，
所以平面
如图，以O为原点，分别以的方向为x轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系Oxyz，
则，，，设，
则，即，且，
则，，，
设平面MOC的法向量，
则即整理得
令，则
因为，所以，从而，
所以
设直线AD与平面MOC所成角为，
则，
故
因为，所以，
从而，解得，
所以直线AD与平面MOC所成角的正切值的取值范围为
【解析】本题考查线面平行的判定，考查向量法求直线与平面所成角，考查同角三角函数的基本关系，属于较难题.
证明即可；
以O为原点，分别以的方向为x轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系Oxyz，设，直线AD与平面MOC所成角为，可得，根据同角三角函数的基本关系即可求解.
18.【答案】解：不妨设，，设，
则直线PA，PB的斜率分别为，，
所以
又因为，所以，
故，
即直线PA，PB的斜率的乘积为
由椭圆的对称性，不妨设P位于第一象限或长轴右端点，
设直线PA，PB的倾斜角分别为，，
则
由知，，故，
从而，
当且仅当时等号成立，此时P为C的右顶点.
因为
，
又因为，且，
所以
设，
①当D在x轴上时，，不妨设，，
，，，从而
②当D不在x轴上时，设，，直线，
由得，所以
由消去x，得，
因为直线MN过点F，则，
从而，，
又
将式代入上式，得
综上，可得，即，，或，，成等差数列.
【解析】本题考查直线与椭圆的位置关系，考查斜率公式，考查基本不等式，考查等差数列的判断，属于难题.
根据斜率公式结合点P在椭圆上即可求解；
由椭圆的对称性，不妨设P位于第一象限或长轴右端点，设直线PA，PB的倾斜角分别为，，则，结合及基本不等式可得，根据正切函数的单调性即可证明；
设，①当D在x轴上时，可得②当D不在x轴上时，设，，直线，与椭圆方程联立，证明即可.
19.【答案】解：第1块比第2块向桌缘外多伸出的部分的最大长度为
又，所以等差数列 首项为2，公差为2，
，
ⅰ
设，
， 在上递增，，
所以时，，即，
由函数可知，
所以
ⅱ由可知
所以
时，，
即时，，即的极限不存在，所以不收敛.
【解析】本题是新定义题型，属于难题；
由，，为等差数列．可求的通项公式；
构造函数，，利用函数单调性可得，从而得到，
可判断，，可判断不收敛.