黑龙江省大庆六十九中学2023-2024学年九年级下学期开学考试数学试题（含解析）

2023-2024学年黑龙江省大庆六十九中九年级（下）寒假验收数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．根据灯塔专业版实时数据显示，截至10月13日，电影《长津湖》累计票房达到43.28亿，位列中国影史票房榜第四位．将43.28亿用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
2．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．将抛物线向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到新抛物线的解析式为（ ）
A． B． C． D．
5．小明对本班40名同学的血型情况做了调查，结果如下：
血型 O型 A型 B型 AB型
人数（人） 16 10 10 4
下面的扇形统计图中，能反映该调查结果的是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在中，，，，以为圆心、3为半径作，为上一动点，连接、，则的最小值为（ ）
A．7 B． C． D．
7．如图，直角三角形的三个顶点，，均在抛物线上，并且斜边平行于轴，若斜边上的高为，则（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在边长为的等边中，分别取三边的中点，，，得；再分别取三边的中点，，，得；这样依次下去…，经过第2021次操作后得，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，菱形的顶点分别在反比例函数和的图象上，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
10．已知函数，则下列说法不正确的个数是（ ）
①若该函数图像与轴只有一个交点，则；
②方程至少有一个整数根；
③若，则的函数值都是负数；
④不存在实数，使得对任意实数都成立．
A．0 B．1 C．2 D．3
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
11．函数中自变量的取值范围是________．
12．某同学在数学实践活动中，制作了一个侧面积为，底面半径为6的圆锥模型（如图所示），则此圆锥的母线长为________．
13．袋中装有6个黑球和个白球，经过若干次试验，发现“若从袋中任摸出一个球，恰是黑球的概率为”，则这个袋中白球大约有________个．
14．函数在有最小值，则实数的值是________．
15．若关于的方程有正根，则的取值范围是________．
16．有大小两种货车，2辆大货车与3辆小货车一次可以运货15.5t，5辆大货车与6辆小货车一次可以运货35t，则3辆大货车与2辆小货车一次可以运货________t．
17．已知：如图，中，为的中点，是上一点，连接并延长交于，，且，，那么的长度为________．
18．若，是关于的一元二次方程的两根，且，则，，，的大小关系是________（用“＜”连接）．
三、计算题：本大题共1小题，共4分。
19．计算：．
四、解答题：本题共9小题，共62分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
20．（本小题6分）
如图，点、、、在同一条直线上，，，．
求证：（1）；
（2）四边形是平行四边形．
21．（本小题6分）
2022年冬奥会即将在北京召开，某网络经销商购进了一批以冬奥会为主题的文化衫进行销售，文化衫的进价为每件30元，当销售单价定价为70元时，每天可售出20件，每销售一件需缴纳网络平台管理费2元，为了扩大销售，增加盈利，决定采取适当的降价措施，经调查发现：销售单价每降低1元，则每天可多售出2件（销售单价不低于进价），若设这款文化衫的销售单价为（元），每天的销售量为（件）．
（1）求每天的销售量（件）与销售单价（元）之间的函数关系式；
（2）当销售单价为多少元时，销售这款文化衫每天所获得的利润最大，最大利润为多少元？
22．（本小题6分）
如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点、，与轴交于点，与轴交于点．过点作轴于点，，连接，已知的面积等于6，点的坐标为，点的坐标为．
（1）请直接写出一次函数的关系式为________，反比例函数的关系式为________；
（2）若点是点关于轴的对称点，求的面积；
（3）根据图象直接写出关于的不等式的解集是________．
23．（本小题5分）
在一次课外活动中，某数学兴趣小组测量一棵树的高度．如图所示，测得斜坡的坡度，坡底的长为8米，在处测得树顶部的仰角为，在处测得树顶部的仰角为，求树高．（结果保留根号）
24．（本小题7分）
如图，已知抛物线与轴交于、两点，过点的直线与抛物线交于点，其中点的坐标是，点坐标是．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在（1）中抛物线的对称轴上是否存在点，使的周长最小？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）若点是（1）中抛物线上的一个动点，且位于直线的下方，试求的最大面积及点的坐标．
25．（本小题6分）
如图，为的直径，直线与相切于点，，垂足为，交于点，连接．
（1）求证：；
（2）若，，求的半径．
26．（本小题8分）
为迎接“五一”小长假购物高潮，某品牌专卖店准备购进甲、乙两种祄衫，其中甲、乙两种祄衫的进价和售价如下表：
衬衫价格 甲 乙
进价（元/件）
售价（元/件） 260 180
若用3000元购进甲种祄衫的数量与用2700元购进乙种衬衫的数量相同．
（1）求甲、乙两种衬衫每件的进价；
（2）要使购进的甲、乙两种衬衫共300件的总利润不少于34000元，且不超过34700元，问该专卖店有几种进货方案；
（3）在（2）的条件下，专卖店准备对甲种祄衫进行优惠促销活动，决定对甲种祄衫每件优惠元（）出售，乙种祄衫售价不变，那么该专卖店要获得最大利润应如何进货？
27．（本小题8分）
如图，是的中线，点是上任一点，连接并延长，交于点．
（1）如图1，当时，求的值；
（2）如图2，当时，求的值．
28．（本小题10分）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点．
（1）求点的坐标及抛物线的对称轴；
（2）当时，的最小值是，求当时，的最大值；
（3）抛物线上的两点，，若对于，，都有，直接写出的取值范围．
答案和解析
1．【答案】B
【解析】解：43.28亿．
故选：B．
用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数，且比原来的整数位数少1．
此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，确定与的值是解题的关键．
2．【答案】C
【解析】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；
D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意．
故选：C．
根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行判断，即可得出答案．
本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；判断中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
3．【答案】D
【解析】解：，，，，故选项A是错误的，不符合题意；
，，故选项B是错误的，不符合题意；
，故选项C是错误的，不符合题意；
，，故选项D是正确的，符合题意．
故选：D．
根据数轴可知，，，然后判断各项即可．
本题考查的是数轴上的点的大小比较，解题的关键是熟练掌握实数的大小比较方法．
4．【答案】D
【解析】解：将抛物线向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的抛物线的函数表达式为：．
故选：D．
根据“左加右减，上加下减”的法则进行解答即可．
本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知二次函数图象平移的法则是解答此题的关键．
5．【答案】B
【解析】解：依题意可得，小明同学所在的班级四种血型的人数所在扇形圆心角的度数分别是：
型：，选项A不符合题意；
型：，选项C不符合题意；
型：，选项D不符合题意；
型：，选项A不符合题意；
故选：B．
分别求出小明同学所在的班级四种血型的人数所在扇形圆心角的度数，再根据四个选项即可求解．
本题考查了扇形统计图，制作扇形图的步骤：
①根据有关数据先算出各部分在总体中所占的百分数，再算出各部分圆心角的度数，公式是各部分扇形圆心角的度数＝部分占总体的百分比．
②按比例取适当半径画一个圆；按扇形圆心角的度数用量角器在圆内量出各个扇形的圆心角的度数．
③在各扇形内写上相应的名称及百分数，并用不同的标记把各扇形区分开来．
6．【答案】B
【解析】【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，两点之间线段最短的性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考常考题型．
如图，在上截取，使得，连接，，．利用相似三角形的性质证明，可得，利用勾股定理求出即可解决问题．
【解答】
解：如图，在上截取，使得，连接，，．
，，，，，
，，，
，，
，在中，，，，
，，
的最小值为．
故选：B．
7．【答案】B
【解析】解：由题，，均在抛物线上，并且斜边平行于轴，
知、两点关于轴对称，记斜边交轴于点，
可设，，，，
则斜边上的高为，故，
是直角三角形，由其性质直角三角形斜边中线等于斜边一半，
，，
方程两边平方得，即，
因为，所以，是个定值．
故选：B．
由抛物线表达式和三角形性质求出、、各点坐标，就可以求出或的范围．
此题考查二次函数的性质，观察图形的能力，要找到各点坐标之间的关系，巧妙地代换未知量．
8．【答案】D
【解析】解：点，分别为，的中点，，
点，分别为，的中点，，
，…，，
的面积，
故选：D．
先根据三角形中位线定理计算，再总结规律，根据规律解答即可．
本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．
9．【答案】D
【解析】解：连接、，
四边形是菱形，，
菱形的顶点分别在反比例函数和的图象上，
与、与关于原点对称，、经过点，
，，
，
作轴于、轴于，
，，
，，，
，，
故选：D．
连接、，根据菱形的性质和反比例函数的对称性，即可得出，，解直角三角形求得，作轴于，轴于，证得，得到，根据反比例函数系数的几何意义即可求得结果．
本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，菱形的性质，解直角三角形，三角形相似的判定和性质，反比例函数系数的几何意义，解题关键是熟练掌握反比例函数的性质与菱形的性质．
10．【答案】C
【解析】解：①当时，，此时函数图象与轴交点为，故①错误；
②当时，，解得；
当时，，解得或，故②正确；
③当时，函数图象开口向上，若，则；
当时，函数图象开口向下，若，则；故③错误；
④当时，，，
此时函数与至少有一个交点，
不能使对任意实数都成立；
当时，，不能使对任意实数都成立；故④正确；
故选：C．
①当时，函数图象与轴只有一个交点；②当时，，解得；③当时，函数图象开口向上，若，则；当时，函数图象开口向下，若，则；④当时，，，此时对任意实数都成立．
本题考查函数与方程的关系；由于是二次项系数，因此具有特殊性，则对的特殊的讨论是解题的关键．
11．【答案】且
【解析】【分析】
本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：
（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解．
【解答】
解：由题意得，且，解得且．
故答案为且．
12．【答案】10
【解析】解：设此圆锥的母线长为，
根据题意得，解得，
所以此圆锥的母线长为10．
故答案为10．
设此圆锥的母线长为，利用扇形的面积公式得到，然后解方程即可．
本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
13．【答案】2
【解析】解：袋中装有6个黑球和个白球，袋中一共有球个，
从中任摸一个球，恰好是黑球的概率为，
，解得：．
故答案为：2．
根据若从中任摸一个球，恰好是黑球的概率为，列出关于的方程，解方程即可．
此题考查了概率公式的应用．注意用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．注意方程思想的应用．
14．【答案】2
【解析】解：，
抛物线开口向上，对称轴为直线，
当时，则时，函数有最小值，
此时，解得（不合题意，舍去）；
当时，则时，函数有最小值，
此时，解得（不合题意，舍去）；
当时，则时，函数有最小值，
此时，解得，（舍去），
综上，实数的值是2，
故答案为：2．
先求得抛物线的开口方向和对称轴，然后分三种情况讨论得到关于的方程，解方程求得的值，看是否是满足条件的．
本题考查了二次函数的最值，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键，注意分类讨论思想的运用．
15．【答案】且
【解析】解：去分母得，，
去括号得，，移项得，，
合并同类项得，，
且，且，且，
故答案为且．
先解分式方程，再根据且，即可得出的取值范围．
本题考查了分式方程的解，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键．
16．【答案】17
【解析】解：设每辆大货车一次可以运货吨，每辆小货车一次可以运货吨，
由题意，得：，解得：，
则，
即3辆大货车与2辆小货车一次可以运货17t，
故答案为：17．
设每辆大货车一次可以运货吨，每辆小货车一次可以运货吨，由题意：2辆大货车与3辆小货车一次可以运货15.5t，5辆大货车与6辆小货车一次可以运货35t，列出方程组，解方程组，即可求解．
本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，列出二元一次方程组是解题的关键．
17．【答案】
【解析】【分析】
本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定与性质，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
延长到使，连接，证明，根据全等三角形的性质得到，，等量代换得到，由等腰三角形的性质得到，推出即可得解决问题．
【解答】
解：如图，延长到使，连接，
在与中，，，
，，，，
，，．
，，即，．
18．【答案】
【解析】解：如图：
，是关于的一元二次方程的两根，
、可以看作函数与直线的两个交点，
、可以看作函数与轴的两个交点，
由图象可知，，
故答案为．
、可以看作函数与直线的两个交点，、可以看作函数与轴的两个交点，由此画出函数图象，观察图象即可求解．
本题考查函数与方程思想，能将方程转化为函数与直线、轴的交点问题是解题的关键．
19．【答案】解：原式．
【解析】先分别化简绝对值，二次根式，负整数指数幂，零指数幂，代入特殊角三角函数，然后再计算．
本题考查实数的混合运算，理解，，熟记特殊角三角函数值是解题关键．
20．【答案】证明：（1），
，即，
，，
在与中，，；
（2）由（1）得：，
，，
，，
，，
四边形是平行四边形．
【解析】（1）由证明即可；
（2）由全等三角形的性质得，，则根据等角的补角相等可得，即，即可得出结论．
本题考查了平行四边形的判定、全等三角形的判定和性质、平行线的判定与性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定，证明是解题的关键．
21．【答案】解：（1）由题意可得：，
整理，得：，
销售单价不低于进价，为了扩大销售，增加盈利，决定采取适当的降价措施，
，
每天的销售量（件）与销售单价（元）之间的函数关系式为：．
（2）设销售所得利润为元，由题意可得：
，
整理，得：，
，抛物线开口向下，
当时，取最大值为1152，
当销售单价为56元时，销售这款文化衫每天所获得的利润最大，最大利润为1152元．
【解析】（1）根据“销售单价每降低1元，则每天可多售出2件”列函数关系式，注意自变量销售单价的取值范围应符合题意；
（2）根据总利润＝单件利润×销售量列出函数关系式，然后利用二次函数的性质分析其最值．
本题考查了二次函数及其应用问题，是中学数学中的重要基础知识之一，是运用数学知识解决现实中的最值问题的常用方法和经典模型；应牢固掌握二次函数的性质．
22．【答案】或
【解析】解：（1）轴于点，轴，
，，
，，，
连接，
轴，，，，
将代入，得，反比例函数解析式为；
点在比例函数解析式为的图象上，
，，，
将点，点代入，可得，
解得，一次函数解析式为，
故答案为：，；
（2）令，得，，
点是点关于轴的对称点，，，
；
（3）根据图象得：不等式，即的解集为或．
（1）依据，可得，将代入，得，即可得到反比例函数解析式为，进而求出的坐标，将点，的坐标代入，可得一次函数解析式为；
（2）由已知求得，可得，根据即可求出结论；
（3）根据图象得出不等式的解集即可．
本题考查的是反比例函数图象与一次函数图象的交点问题，轴对称的性质以及待定系数法的运用，灵活运用数形结合思想求出有关点的坐标和图象的解析式是解题的关键．
23．【答案】解：作于点，设米，
在中，，则（米），
斜坡的坡度，坡底的长为8米，米，
在直角中，米，
在直角中，，米．
，即．
解得：，则米．
答：的高度是米．
【解析】作于点，设米，在直角中利用三角函数用表示出的长，在直角中表示出的长，然后根据即可列方程求得的值，进而求得的长．
本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，坡度坡角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
24．【答案】解：（1）抛物线经过点，点，
，解得，
所以，抛物线的解析式为；
（2）点、关于对称轴对称，
点为与对称轴的交点时的周长最小，
设直线的解析式为，则，
解得，所以，直线的解析式为，
，抛物线的对称轴为直线，
当时，，
抛物线对称轴上存在点，使的周长最小；
（3）如图，
设过点与直线平行线的直线为，联立，
消掉得，，
，解得：，
即时，点到的距离最大，的面积最大，
此时，，点的坐标为，
设过点的直线与轴交点为，则，，
直线的解析式为，，
点到的距离为，
又，
的最大面积，此时点坐标为．
【解析】（1）利用待定系数法求二次函数解析式解答即可；
（2）利用待定系数法求出直线的解析式，然后根据轴对称确定最短路线问题，直线与对称轴的交点即为所求点；
（3）根据直线的解析式，设出过点与平行的直线，然后与抛物线解析式联立消掉得到关于的一元二次方程，利用根的判别式时，的面积最大，然后求出此时与平行的直线，然后求出点的坐标，并求出该直线与轴的交点的坐标，再求出，再根据直线与轴的夹角为求出两直线间的距离，再求出间的距离，然后利用三角形的面积公式列式计算即可得解．
本题考查了二次函数综合题型，主要考查了待定系数法求二次函数解析式，待定系数法求一次函数解析式，利用轴对称确定最短路线问题，联立两函数解析式求交点坐标，利用平行线确定点到直线的最大距离问题．
25．【答案】（1）证明：连接，为的切线，，
，，，
又，，
，即；
（2）解：连接，为的直径，，
，，
，，，
，，
，，
，，
设，，，，
，的半径为6．
方法二：，，连接，
是直径，，，，
半径为6
【解析】（1）连接，根据切线的性质求得，由平行线的性质和等腰三角形的性质可证得；
（2）连接，根据圆周角定理得到，推出，根据勾股定理得到，求得，根据三角函数的定义即可得到结论．
本题考查了切线的性质，勾股定理，三角函数的定义，圆周角定理，正确地作出辅助线是解题的关键．
26．【答案】解：（1）依题意得：，
整理，得：，解得：，
经检验，是原方程的根，
答：甲种祄衫每件进价100元，乙种祄衫每件进价90元；
（2）设购进甲种衬衫件，乙种祄衫件，
根据题意得：，
解得：，
为整数，，
答：共有11种进货方案；
（3）设总利润为，则，
①当时，，随的增大而增大，
当时，最大，
此时应购进甲种衬衫110件，乙种祄衫190件；
②当时，，，
（2）中所有方案获利都一样；
③当时，，随的增大而减小，
当时，最大，
此时应购进甲种祄衫100件，乙种衬衫200件．
综上：当时，应购进甲种祄衫110件，乙种衬衫190件；当时，（2）中所有方案获利都一样；当时，购进甲种衬衫100件，乙种衬衫200件．
【解析】本题考查了一次函数的应用，分式方程的应用，一元一次不等式组的应用，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的等量关系和不等关系，（3）要根据一次项系数的情况分情况讨论．
（1）用总价除以单价表示出购进祄衫的数量，根据两种祄衫的数量相等列出方程求解即可；
（2）设购进甲种衬衫件，表示出乙种衬衫件，然后根据总利润列出一元一次不等式，求出不等式组的解集后，再根据衬衫的件数是正整数解答；
（3）设总利润为，根据总利润等于两种衬衫的利润之和列式整理，然后根据一次函数的增减性分情况讨论求解即可．
27．【答案】解：（1）如图1，过作交于点．
，且是的中线．是的中位线，
．，，
，．
在和中，，
，，，
，；
（2）过作交于点，
，且是的中线．是的中位线，
．，，
，，，
，，，
．，．
【解析】（1）过作交于点，则是的中位线，利用中位线定理可得，证明，根据全等三角形的性质得，即可求解；
（2）过作交于点，则是的中位线，利用中位线定理可得，证明，根据相似三角形的性质得，即可求解．
本题考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形中位线定理，熟练掌握三角形中位线定理是解题的关键．
28．【答案】解：（1）令，得，点坐标为，
，
该二次函数图象的对称轴是直线；
（2），抛物线开口向上
对称轴为直线，且当时，的最小值是，
最小值在顶点处取得，即，解得，
二次函数表达式为，
抛物线开口向上时，离对称轴越远，函数值越大，
当时，有最大值，此时，
当时，的最大值为7；
（3）或．
【解析】【分析】
本题考查二次函数性质，二次函数图象上点的坐标特征，以及二次函数的最值．
（1）令可得的坐标，用配方法把解析式化为顶点式即可得抛物线对称轴；
（2）由可知抛物线开口向上，根据时，的最小值是，且对称轴，故最小值是顶点纵坐标，可求出的值及抛物线解析式，又抛物线开口向上时，离对称轴越远，函数值越大，可知时函数取最大值，即可得到答案；
（3）分两种情况讨论：①当时，需满足时的函数值不大于时的函数值；②当时，需满足的函数值不小于的函数值，分别列出不等式即可得到答案．
【解答】
解：（1）见答案；
（2）见答案；
（3）对于，，都有，分两种情况：
①当时，需满足时的函数值不大于时的函数值，如图：
，解得，
②当时，需满足的函数值不小于的函数值，如图：
，解得．
综上所述，对于，，都有，则或．