2023-2024学年海南省海口市农垦中学高二（下）期中数学试卷（含解析）

2023-2024学年海南省海口市农垦中学高二（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.函数在点处的切线斜率为( )
A. B. C. D.
2.在等差数列中，若，，则公差( )
A. B. C. D.
3.设，是一个随机试验中的两个事件，且，，，则( )
A. B. C. D.
4.某人组成兴趣小组，其中有名团员．从这人中任选人参加某项活动，用表示人中的团员人数，则( )
A. B. C. D.
5.为了研究某班学生的脚长单位厘米和身高单位厘米的关系，从该班随机抽取名学生，根据测量数据的散点图可以看出与之间有线性相关关系，设其回归直线方程为已知，，该班某学生的脚长为，据此估计其身高为( )
A. B. C. D.
6.某日、两个沿海城市受台风袭击的概率相同，已知市或市受台风袭击的概率为，若用表示这一天受台风袭击的城市个数，则( )
A. B. C. D.
7.某次联欢会要安排个歌舞类节目，个小品类节目和个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是( )
A. B. C. D.
8.已知函数，若恒成立，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.在新高考方案中，选择性考试科目有：物理、化学、生物、政治、历史、地理门学生根据高校的要求，结合自身特长兴趣，首先在物理、历史门科目中选择门，再从政治、地理、化学、生物门科目中选择门，考试成绩计入考生总分，作为统一高考招生录取的依据某学生想在物理、化学、生物、政治、历史、地理这门课程中选三门作为选考科目，下列说法正确的是( )
A. 若任意选科，选法总数为
B. 若化学必选，选法总数为
C. 若政治和地理至少选一门，选法总数为
D. 若物理必选，化学、生物至少选一门，选法总数为
10.下列说法正确的是( )
A. 若样本数据，，，的方差为，则数据，，，的方差为
B. 若随机变量服从正态分布，，则
C. 若随机变量服从二项分布：，则
D. 在线性回归分析中相关指数用来刻画回归效果，若值越小，则模型拟合效果越好
11.设等比数列的公比为，前项积为，下列说法正确的是( )
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，且为数列的唯一最大项，则
D. 若，且，则使得成立的的最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.二项式的展开式中的常数项为______用数字作答
13.一个盒子中装有张卡片，卡片上分别写有数字、、、，现从盒子中随机抽取卡片，若第一次抽取一张卡片，放回后再抽取张卡片，则两次抽取的卡片数字之和大于的概率是______．
14.定义方程的实数根叫做函数的“新驻点”．
设，则在上的“新驻点”为 ．
如果函数与的“新驻点”分别为、，那么和的大小关系是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
某地区名高三学生在某次模拟考试中的总分服从正态分布
求；
试估计该地区名高三学生中，总分落在区间的人数．
参考数据：，，．
16.本小题分
已知递增的等比数列满足，且，，成等差数列．
求的通项公式：
设，求数列的前项和．
17.本小题分
已知函数，其中，且函数的最大值．
求实数的值；
若函数有两个零点，求实数的取值范围．
18.本小题分
某芯片制造企业采用流水线的方式生产芯片原有生产线生产某型号的芯片需要经过三道工序，这三道工序互不影响已知三道工序产生不合格产品的概率分别为，，，三道工序均合格的产品成为正品，否则成为次品．
求该企业原有生产线的次品率；
为了提高产量，该企业又引进一条新生产线加工同一型号的芯片，两条生产线生产出的芯片随机混放在一起已知新生产线的次品率为，且新生产线的产量是原生产线产量的两倍从混放的芯片中任取一个，计算它是次品的概率．
19.本小题分
这个冬季，哈尔滨文旅持续火爆，喜迎大批游客，冬天里哈尔滨雪花纷飞，成为无数南方人向往的旅游胜地，这里的美景，美食，文化和人情都让人流连忘返，严寒冰雪与热情服务碰撞出火花，吸引海内外游客纷至沓来据统计，年元旦假期，哈尔滨市累计接待游客万人次，实现旅游总收入亿元，游客接待量与旅游总收入达到历史峰值现对某一时间段冰雪大世界的部分游客做问卷调查，其中的游客计划只游览冰雪大世界，另外的游客计划既游览冰雪大世界又参观群力音乐公园大雪人每位游客若只游览冰雪大世界，则得到份文旅纪念品；若既游览冰雪大世界又参观群力音乐公园大雪人，则获得份文旅纪念品假设每位来冰雪大世界景区游览的游客与是否参观群力音乐公园大雪人是相互独立的，用频率估计概率．
从冰雪大世界的游客中随机抽取人，记这人获得文旅纪念品的总个数为，求的分布列及数学期望；
记个游客得到文旅纪念品的总个数恰为个的概率为，求的前项和；
从冰雪大世界的游客中随机抽取人，这些游客得到纪念品的总个数恰为个的概率为，当取最大值时，求的值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：根据题意，函数，，
当时，，
所以函数在点处的切线斜率为．
故选：．
根据题意，求出函数的导数，将代入，由导数的几何意义分析可得答案．
本题考查导数的计算，涉及导数的几何意义，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：在等差数列中，，，
，
解得，，
则公差．
故选：．
利用等差数列的性质列方程组能求出结果．
本题考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
3.【答案】
【解析】解：根据题意，，，，则，
则有，则事件、相互独立，
则有，
则．
故选：．
根据题意，由概率的性质可得，由此可得，则事件、相互独立，进而求出的值，由条件概率公式计算可答案．
本题考查概率的应用，涉及条件概率的计算，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：．
故选：．
利用古典概型的概率计算公式求解．
本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用．
5.【答案】
【解析】解：，，
，
则，取，得．
故选：．
由已知求得样本点的中心的坐标，代入线性回归方程求得，再取求得值即可．
本题考查线性回归方程的应用，明确线性回归方程恒过样本点的中心是关键，是基础题．
6.【答案】
【解析】解：令
解得，
由题意知，，，
，
，
．
．
故选：．
由已知条件推导出，由题意知，，，分别求出相应的概率能求出．
本题考查离散型随机变量的数学期限，是中档题，在历年高考中考都是必考题型．
7.【答案】
【解析】解：分步进行分析：
、先将个歌舞类节目全排列，有种情况，排好后，有个空位，
、因为个歌舞类节目不能相邻，则中间个空位必须安排个节目，
分种情况讨论：
将中间个空位安排个小品类节目和个相声类节目，有种情况，
排好后，最后个小品类节目放在端，有种情况，
此时同类节目不相邻的排法种数是种；
将中间个空位安排个小品类节目，有种情况，
排好后，有个空位，相声类节目有个空位可选，即有种情况，
此时同类节目不相邻的排法种数是种；
则同类节目不相邻的排法种数是，
故选：．
根据题意，分步进行分析：、先将个歌舞类节目全排列，、因为个歌舞类节目不能相邻，则分种情况讨论中间个空位安排情况，由分步计数原理计算每一步的情况数目，进而由分类计数原理计算可得答案．
本题考查计数原理的运用，注意分步方法的运用，既要满足题意的要求，还要计算或分类简便．
8.【答案】
【解析】解：等价于．
令函数，则，故是增函数．
等价于，即．
令函数，则．
当时，，单调递增：当时，，单调递减．
．
故实数的取值范围为．
故选：．
依题意可得，进而可得在上恒成立，构造函数，利用导数研究函数的单调性以及最值，即可求出参数的取值范围．
本题考查利用导数研究函数的单调性以及最值，考查学生的运算能力，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：选项A：若任意选科，选法总数为，故A错误；
选项B：若化学必选，则选法总数为，故B正确；
选项C：若政治和地理至少选一门，则选法总数为，故C错误；
选项D：若物理必选，化学，生物至少选一门，选法总数为，故D正确．
故选：．
根据排列组合的简单计数问题对应各个选项逐个计数即可．
本题考查了排列组合的简单计数问题，涉及到分类以及分步完成的问题，考查了学生的运算分析问题的能力，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：对于，因为样本数据，，，的方差为，
由方差的性质可得，数据，，，的方差为，故A错误；
对于，因为随机变量服从正态分布，，
所以，故B正确；
对于，因为，所以，
所以，故C正确；
对于，值越小，则模型拟合效果越差，故D错误．
故选：．
利用方差的关系即可判断；利用正态分布的性质即可判断；利用二项分布的性质及随机变量期望的关系即可判断；利用线性回归分析中相关指数与拟合效果的关系即可判断．
本题考查了概率与统计知识的相关应用，属于中档题．
11.【答案】
【解析】解：对于，若，则有，
结合，可得，故A不正确；
对于，若，则有，
可知，B正确；
对于，若，且为数列的唯一最大项，
则公比，且，即，解得，故C正确；
对于，若，且，
则，且，即，，可知，
由此得到，，当时，均小于．
综上所述，使得成立的的最大值为，故D正确．
故选：．
根据题意利用等比数列的通项与性质，对各项中的结论依次进行验证，即可得到本题的答案．
本题考查等比数列的通项公式与等比数列的性质，考查了计算能力，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：展开式的通项为：，
令，解得，
此时，即常数项为．
故答案为：．
先求展开式的通项，再令的次数为进而求出常数项．
本题考查二项式定理的应用，属于中档题．
13.【答案】
【解析】解：两次抽取的试验的样本空间，共个，
两次抽取的卡片数字之和大于的事件，共个，
所以两次抽取的卡片数字之和大于的概率是．
故答案为：．
根据给定条件，利用列举法求出古典概率即可．
本题主要考查了古典概型的概率公式，属于基础题．
14.【答案】
【解析】【分析】
本题以新定义为载体，主要考查了导数知识的综合应用，属于较难题．
先对函数求导，结合已知定义及三角函数性质即可求解；
分别对函数，求导，然后结合已知，利用导数分析相应函数的性质即可求解．
【解答】
解：，，
令，即，
因为，
故；
，，
由题意可得，，即，
设，
，
所以在单调递减且，，
所以在区间上有一零点，
故，
，，
由，故，
所以．
故答案为：；．
15.【答案】解：由已知，，则，，
所以．
，，
所以，
，
该地区名高三学生中，总分落在区间的人数约为．
【解析】利用原则可求得的值；
利用原则计算出，乘以可得结果．
本题考查正态分布曲线的意义，属于基础题．
16.【答案】解：因为，，成等差数列，
所以，
所以，即，
又，所以，
解得，或，，
因为数列为递增数列，
所以，，
所以通项公式为；
由可知，
所以
．
【解析】由已知结合等差数列的性质及等比数列的通项公式即可求解；
先求出，然后利用分组求和，结合等差数列与等比数列的求和公式即可求解．
本题主要考查了等差数列的性质，等比数列的通项公式及求和公式，还考查了分组求和，属于中档题．
17.【答案】解：函数的定义域为，又，
因为，所以当时，，即在上单调递增；
当时，，即在上单调递减；
所以在处取得极大值即最大值，
即，解得．
由知，则，
则的定义域为，
所以，
所以当时，当时，
所以在单调递增，在上单调递减，所以，
因为函数有两个零点，
又当时，当时，
所以，解得，
所以实数的取值范围是．
【解析】求出函数的导函数，即可得到函数的单调性，从而由函数的最大值求出的值
依题意可得，利用导数说明函数的单调性，即可求出函数的最大值，依题意只需，即可求出的取值范围．
本题主要考查了导数与单调性及最值关系的应用，还考查了由函数零点个数求解参数范围，属于中档题．
18.【答案】解：因为三道工序产生不合格产品的概率分别为，，，
则三道工序产生合格产品的概率分别为，，，
则该企业原有生产线的次品率；
根据题意，新生产线的次品率为，且新生产线的产量是原生产线产量的两倍，
则可设原生产线产量为，则新生产线的产量为，
则原生产线的次品为，新生产线的次品产量为，
则从混放的芯片中任取一个，是次品的概率为．
【解析】根据相互独立事件的概率乘法公式可解．
利用古典概型相关知识可解．
本题考查古典概型以及相互独立事件的概率乘法公式相关知识，属于中档题．
19.【答案】解：据题意，每位游客只游览冰雪大世界的概率为，得到份文旅纪念品，
既游览冰雪大世界又参观群力音乐公园大雪人的概率为，获得份文旅纪念品，
则的可能取值为，，，，
其中，
所以的分布列为：
；
因为个游客得到文旅纪念品的总个数恰为个，
则只有人既游览冰雪大世界又参观群力音乐公园大雪人，
于是，
则，
于是，
两式相减，得
，
所以；
设只游览冰雪大世界的人数为，
则既游览冰雪大世界又参观群力音乐公园大雪人的人数为，
因此游客得到纪念品的总个数，此时，
假定取最大值，必有，于是，即，
整理得，解得，而，则，
所以当取最大值时，．
【解析】根据给定信息可得的取值，再求出各个值对应的概率，得的分布列及数学期望；
根据给定条件，求出，再利用错位相减法求和；
设抽取的人中只游览冰雪大世界的人数为，再求出，结合组合数的计算公式求出最大时的即可得解．
本题主要考查离散型随机变量的分布列、方差和错位相减求和，属于中档题．
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