2023-2024学年广东省江门市鹤山市鹤华中学高一（下）期中数学试卷（含解析）

2023-2024学年广东省江门市鹤山市鹤华中学高一（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知，其中为虚数单位，则( )
A. B. C. D.
2.已知向量，若，则( )
A. B. C. D.
3.在中，若，，，则角的大小为( )
A. B. C. D. 或
4.把一个铁制的底面半径为，侧面积为的实心圆柱熔化后铸成一个球，则这个铁球的半径为( )
A. B. C. D.
5.在中，为的中点，为边上的点，且，则( )
A. B. C. D.
6.已知、为锐角，且，，则的值为( )
A. B. C. D.
7.把函数的图象向右平移个单位长度，所得的图象关于轴对称，则的最小值为( )
A. B. C. D.
8.如图，所有棱长都等于的三棱柱的所有顶点都在球上，球的体积为( )
A.
B.
C.
D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知复数，则( )
A. 复数在复平面内对应的点在第三象限 B. 复数的实部为
C. D. 复数的虚部为
10.已知下列四个命题为真命题的是( )
A. 已知非零向量，，，若，，则
B. 若四边形中有，则四边形为平行四边形
C. 已知，，，可以作为平面向量的一组基底
D. 已知向量，，则在方向上的投影向量的模为
11.在中，角，，所对的边分别为，，，下列说法中正确的是( )
A. 若，则
B. 若，则为一定是等腰三角形
C.
D. 若为锐角三角形，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.如图是四边形的水平放置的直观图，则原四边形的面积是______．
13.如图，在矩形中，，，点为的中点，点在边上，若，则的值是 ．
14.函数在上恰有个零点，则的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知向量，，若，．
求与的夹角；
求；
当为何值时，向量与向量互相垂直？
16.本小题分
在中，角、、的对边分别为、、，且．
求角的大小；
若，的面积，求的周长．
17.本小题分
如图，在四边形中，，，，为等边三角形，是的中点设，．
用，表示，；
求的余弦值．
18.本小题分
已知函数的部分图象如图所示．
求的解析式；
求的单调递增区间；
若将的图象向右平移个单位，再向上平移个单位得到的图象，当时，求的值域．
19.本小题分
已知函数．
求函数的最小正周期及对称轴；
在锐角中，设角，，所对的边分别是，，，若且，求的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：，
则，
故．
故选：．
根据已知条件，结合复数的四则运算，以及复数模公式，即可求解．
本题主要考查复数的四则运算，以及复数模公式，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：，且，
，解得，
故，．
故选：．
由向量平行易得，解之可得向量的坐标，由向量的坐标运算可得答案．
本题考查向量的坐标运算以及向量平行的充要条件，属基础题．
3.【答案】
【解析】解：由正弦定理得，
或
，
，
故选B．
先根据正弦定理将题中所给数值代入求出的值，进而求出，再由角的范围确定最终答案．
本题主要考查了正弦定理的应用．属基础题．正弦定理在解三角形中有着广泛的应用，要熟练掌握．
4.【答案】
【解析】解：因为实心圆柱的底面半径为，侧面积为，
所以圆柱的高为，
则圆柱的体积为，
设球的半径为，则，
故选：．
先求出圆柱的高，由圆柱和球的体积关系即可得出半径．
本题考查圆柱和球的体积计算，考查运算求解能力，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：如图，
，，
为边的中点，，
．
故选：．
可画出图形，根据条件可得出，然后代入进行向量的数乘运算即可．
本题考查了向量数乘、向量减法和加法的几何意义，向量的数乘运算，考查了计算能力，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：、锐角，且，，
，为钝角，，
则，
故选：．
由题意，利用同角三角函数的基本关系式，两角和与差的三角函数公式，计算求得结果．
本题主要考查同角三角函数的基本关系式，两角和与差的三角函数公式的应用，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：将函数的图象向右平移个单位，
所得图象对应的函数解析式为关于轴对称，
则，，即，，
故的最小正值为：．
故选：．
根据函数的图象变换规律，可得所得图象对应的函数解析式为，再根据所得图象关于轴对称可得，，由此求得的最小正值．
本题主要考查函数的图象变换规律，余弦函数的图象的对称性，属于中档题．
8.【答案】
【解析】解：如图，三棱柱外接球的球心在上下底面三角形中心连线的中点处，
设，分别是等边三角形和的中心，
则点是线段的中点，即外接球的球心，
又，，
球的体积．
故选：．
首先判断几何体外接球的球心位置，再根据几何关系求外接球的半径，即可计算球的体积．
本题考查三棱柱的外接球问题，球的体积公式，属基础题．
9.【答案】
【解析】解：，
故复数在复平面内对应的点为，在第四象限，故A选项错误；
易知复数的实部为，故B选项正确；
因为，所以，故C选项正确；
因为，
所以复数的虚部为，故D选项错误．
故选：．
求解复数，根据复数的性质，依次判断各项正误．
本题主要考查复数的四则运算，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：对于选项A，对于非零向量，，，由，，且为非零向量，可知，即选项A正确；
对于选项B，四边形中有，所以且，由平行四边形判定定理可得，四边形为平行四边形，即选项B正确；
对于选项C，，，则，即，则，不能作为平面向量的一组基底，即选项C错误；
对于选项D，，，则，，则向量在向量上的投影为，
所以在向量上方向上的投影向量的模为，即选项D正确，
故选：．
由平面向量基本定理结合投影向量的运算逐一判断即可．
本题考查了平面向量基本定理、相等向量的定义、共线向量的定义及一个向量在另一个向量上的投影向量，属于基础题．
11.【答案】
【解析】解：选项A，若，则，
由正弦定理知，，所以，即选项A正确；
选项B，由正弦定理及知，，
所以，所以或，即或，
所以为等腰或直角三角形，即选项B错误；
选项C，由正弦定理知，，
所以，，
左边，右边左边，即选项C正确；
选项D，若为锐角三角形，则，所以，
因为，，所以，
又函数在上单调递增，所以，即选项D正确．
故选：．
选项A，结合“大角对大边”与正弦定理，即可判断；
选项B，利用正弦定理化边为角，再由二倍角公式，即可得解；
选项C，直接利用正弦定理化简即可；
选项D，结合，正弦函数的单调性与诱导公式，可判断．
本题考查解三角形，熟练掌握正弦定理，二倍角公式，正弦函数的单调性是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：根据题意，直观图为梯形，其面积，
则原图的面积．
故答案为：．
根据题意，求出直观图的面积，由原图面积与直观图面积的关系分析可得答案．
本题考查平面图形的直观图，注意原图面积与直观图面积的关系，属于基础题．
13.【答案】
【解析】【分析】
本题考查平面向量的数量积的运算，属中档题．
根据所给的图形，结合向量加法法则，把所给向量转化成共线向量或垂直向量的数量积，从而得到结果．
【解答】解：，
，
，，
，
故答案为：．
14.【答案】
【解析】解：因为，
化简得，
又，得，
因在上恰有个零点，
所以，解得．
故答案为：
先利用辅助角公式进行化简，然后结合正弦函数的性质可求．
本题主要考查了正弦函数性质的应用，属于基础题．
15.【答案】解：，，
，
，
．
．
向量与向量互相垂直，
，即，即，解得．
【解析】根据已知条件，结合平面向量的夹角公式，即可求解．
根据已知条件，将平方再开根号，即可求解．
本题主要考查平面向量的数量积公式，考查转化能力，属于中档题．
16.【答案】解：因为，
由正弦定理得，
因为，
所以，即，
因为，
所以．
，
所以，
由余弦定理得，
所以的周长为．
【解析】利用正弦定理即可求解；
根据三角形的面积公式和余弦定理即可求解．
本题考查解三角形，考查运算求解能力，属于基础题．
17.【答案】解：，，，，．
，，
为的中点，
．
根据题意，，，，
，
，
，
．
【解析】根据向量的线性运算求解即可．
利用向量的数量积运算可求出，进而可求出，的值，从而根据向量夹角的余弦公式即可求解．
本题考查了向量的线性运算，向量数量积的运算，向量夹角的余弦公式，向量长度的求法，考查了计算能力，属于中档题．
18.【答案】解：由图象可知：，解得：，，
又由于，可得：，所以，
由图象知，，又因为，
所以，所以．
由，，得，．
函数的单调递增区间是，．
依题可得，因为，
则，所以，
即的值域为．
【解析】利用函数图象列出，解得，，结合函数的周期，求解，利用函数的最大值求解，然后得到函数的解析式；
利用正弦函数的单调性求解函数的单调区间即可；
求出，通过的范围，求解相位的范围，结合正弦函数的值域求解即可．
本题主要考查三角函数的图像变换，考查正弦函数的性质，属于中档题．
19.【答案】解：，
所以函数的最小正周期．
函数的对称轴方程满足：，，得，．
所以函数的对称轴为直线，．
由及，故，
由正弦定理可知，
所以，，
由，为锐角三角形可得，
可得，
所以，
因为，所以，
所以，
所以．
【解析】利用二倍角公式以及两角和与差的三角函数化简函数的解析式，然后求解函数周期，利用正弦函数的对称性求解函数的对称轴即可；
求出，结合正弦定理转化求解的范围即可．
本题考查辅助角公式的应用及锐角三角形的性质的应用，正弦定理的应用，属于中档题．
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