2023-2024学年山西省阳泉一中高一（下）期中数学试卷（含解析）

2023-2024学年山西省阳泉一中高一（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.复数是虚数单位在复平面上所对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2.已知向量，，若，则( )
A. B. C. D.
3.以下说法正确的是( )
棱柱的侧面是平行四边形；
长方体是平行六面体；
长方体是直棱柱；
底面是正多边形的棱锥是正棱锥；
直四棱柱是长方体；
四棱柱、五棱锥都是六面体．
A. B. C. D.
4.底面半径为的圆锥的侧面展开扇形面积是它的底面积的两倍，则母线长为( )
A. B. C. D.
5.已知是虚数单位，是关于的方程的一个根，则( )
A. B. C. D.
6.中，已知，且，则是( )
A. 三边互不相等的三角形 B. 等边三角形
C. 等腰直角三角形 D. 顶角为钝角的等腰三角形
7.已知点，，，，则在方向上的投影向量为( )
A. B. C. D.
8.已知，是不共线的向量，且，，，则( )
A. ，，三点共线 B. ，，三点共线
C. ，，三点共线 D. ，，三点共线
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.在中，角，，的对边分别为，，，则( )
A. 若，，，则恰有解
B. 若，则为直角三角形
C. 若，则为锐角三角形
D. 若，则
10.已知三个内角，，的对应边分别为，，，且，，则下列结论正确的有( )
A. 面积的最大值为
B.
C. 周长的最大值为
D. 的取值范围为
11.“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论奔驰定理与三角形四心重心、内心、外心、垂心有着神秘的关联它的具体内容是：已知是内一点，，，的面积分别为，，，且以下命题正确的有( )
A. 若：：：：，则为的重心
B. 若为的内心，则
C. 若，，为的外心，则
D. 若为的垂心，，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.如图，若斜边长为的等腰直角与重合是水平放置的的直观图，则的面积为______．
13.已知，分别为的边、上的点，线段和相交于点，若，且，其中，则的最小值为______．
14.若的内角，，的对边分别为，，，，，点在边上，且的面积为，则 ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知圆台的上、下底面半径分别是和，高是求：
圆台的表面积；
圆台的体积．
16.本小题分
已知，，与的夹角为．
求；
当为何值时，？
17.本小题分
如图，已知四棱锥中，底面为平行四边形，点，，分别是，，的中点．
求证：平面；
求证：平面平面．
18.本小题分
设内角，，的对边分别为，，，已知，．
求角的大小；
若，求的面积．
19.本小题分
设为坐标原点，定义非零向量的“相伴函数”为，向量称为函数的“相伴向量”．
设函数，求的“相伴向量”；
记的“相伴函数”为，若函数，与直线有且仅有四个不同的交点，求实数的取值范围；
已知点满足，向量的“相伴函数”在处取得最大值当点运动时，求的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：复数；
复数 是虚数单位在复平面上所对应的点位于第一象限．
故选：．
复数的分子与分母同乘分母的共轭复数，化简复数为的形式，即可得到复数在复平面上所对应的点位于的象限．
本题考查复数的代数形式的混合运算，考查计算能力．
2.【答案】
【解析】【分析】
本题考查平面向量共线的坐标运算，是基础题．
直接利用向量共线的坐标运算列式求解．
【解答】
解：，，且，
，即．
故选：．
3.【答案】
【解析】解：棱柱的两个底面平行且侧棱两两相互平行，故侧面是平行四边形，故正确；
平行六面体是各面都为平行四边形的六面体，而长方体是各面都为矩形的平行六面体，故正确；
直棱柱是侧棱与底面垂直的棱柱，显然长方体的侧棱与底面都垂直，故为直棱柱，故正确；
底面是正多边形且各侧面为全等的等腰三角形的棱锥是正棱锥，故错误；
底面为长方形的直四棱柱是长方体，故错误；
四棱柱、五棱锥均有六个面，都是六面体，正确．
故选：．
根据棱柱直棱柱、平行六面体、多面体、棱锥正棱锥的结构特征判断各项的正误．
本题主要考查了棱柱直棱柱、平行六面体、多面体、棱锥正棱锥的结构特征，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：设圆锥的母线长为，
因为圆锥的底面圆的半径为，所以底面积为，
由题意，圆锥的侧面展开扇形面积是它的底面积的两倍，
所以圆锥的侧面积为，
所以，
解得，即圆锥的母线长为．
故选：．
设圆锥的母线长为，根据底面圆的半径为以及圆锥的侧面展开扇形面积是它的底面积的两倍，列出关于母线的方程，求解即可．
本题考查了圆锥的侧面积计算和扇形的面积公式的应用，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：是关于的方程的一个根，
根据实系数一元二次方程的虚根成对原理，可得：也是原方程的一个虚根．
，，
解得：，．
则．
故选：．
根据实系数一元二次方程的虚根成对原理，可得：也是原方程的一个虚根．再利用根与系数的关系即可得出．
本题考查了实系数一元二次方程的虚根成对原理、根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
6.【答案】
【解析】【分析】
本题考查三角形形状的判断，考查角平分线、向量的数量积等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
根据表示的向量在的角平分线上，同时利用，推断出的角平分线垂直于边，进而可推断出三角形为等腰三角形，同时根据向量积公式及，可求得的值，由此可推断出三角形的形状．
【解答】
解：表示边的单位向量，表示边的单位向量，
表示的向量在的角平分线上，
，
的角平分线垂直于边，
是以角为顶角的等腰三角形，
，
，
，
是等腰直角三角形．
故选：．
7.【答案】
【解析】解：由点，，，，
则，，
则，，
则在方向上的投影向量为，
故选：．
先求出向量，，再结合投影向量的运算求解即可．
本题考查了平面向量数量积的坐标运算，重点考查了投影向量的运算，属基础题．
8.【答案】
【解析】解：因为，，，
所以，，，
若，，三点共线，则，即，不存在，故A错误；
若，，三点共线，则，即，不存在，故B错误；
若，，三点共线，则，即，解得，故C正确；
若，，三点共线，则，即，不存在，故D错误．
故选：．
利用平面向量共线定理求解．
本题主要考查了向量共线定理的应用，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：对，，，，因为，所以有两解，故A错误；
对，因为，所以，即，，故，故B正确；
对，由可得，
则，所以，故C为钝角，故C错误；
对，，所以，
所以，所以，
所以，，所以，即，故D正确．
故选：．
对，由正弦定理可判断出它的真假；对，化简可得可判断出它的真假；对，由正弦定理化角为边，再由余弦定理可判断出它的；对，由正弦定理结合余弦定理可判断出它的真假．
本题考查正弦定理，余弦定理的应用，属于中档题．
10.【答案】
【解析】解：对选项，，，，
当且仅当时，取得等号，
，，选项正确；
对选项，
，选项错误；
对选项，由选项的分析知，
，且仅当时，取得等号，
，，又，
周长，选项正确；
对选项，，，
，
又，，
，选项错误．
故选：．
根据余弦定理，重要不等式，均值不等式，三角函数的性质即可求解．
本题考查余弦定理，重要不等式，均值不等式，三角函数的性质，属中档题．
11.【答案】
【解析】解：对于，取的中点，连接，，
由：：：：，则，
所以，
所以，，三点共线，且，
设，分别为，的中点，同理可得，，
所以为的重心，故A正确；
对于，由为的内心，则可设内切圆半径为，
则有，，，
所以，
即，故B正确；
对于，由为的外心，则可设的外接圆半径为，
因为，，
则有，，，
所以，，，
所以，故C错误；
对于，如图，延长交于点，延长交于点，延长交于点，
由为的垂心，，则：：：：，
又，则，，
设，，则，，
所以，即，
所以，所以，故D正确；
故选：．
对，取的中点，连接，，结合奔驰定理可得到，进而即可判断；对，设内切圆半径为，从而可用表示出，，，再结合奔驰定理即可判断；对，设的外接圆半径为，根据圆的性质结合题意可得，，，从而可用表示出，，，进而即可判断；对，延长交于点，延长交于点，延长交于点，根据题意结合奔驰定理可得到，，从而可设，，则，，代入即可求解，进而即可判断．
本题主要考查了平面向量的数量积运算，考查了三角形的重心、内心、外心和垂心的性质，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：根据题意，直观图为斜边长为的等腰直角三角形，则其直角边边长为，
故直观图的面积，
故原图的面积．
故答案为：．
根据题意，求出直观图的面积，由原图与直观图的面积关系分析可得答案．
本题考查平面图形的直观图，涉及斜二测画法，属于基础题．
13.【答案】
【解析】解：因为
，
因为、、三点共线，
所以，
所以，
即，
所以，当且仅当，即，时取等号．
故答案为：．
由已知结合向量的线性表示及共线定理可得，然后结合基本不等式即可求解．
本题主要考查了向量的线性运算，共线定理的应用，还考查了基本不等式求解最值，属于中档题．
14.【答案】
【解析】解：因为，所以，
所以，所以，
即，所以，
因为，所以，
因为，
所以，
又，所以，
因为点在边上，，所以，
因为，，所以，
所以，
所以，得，
在中，，
由余弦定理可得，
得．
故答案为：．
先根据，结合两角和的正余弦公式求出，再利用正弦定理求出，再根据的面积求出边，再在中，利用余弦定理即可得解．
本题考查正弦定理，余弦定理的应用，三角形面积公式的应用，属于中档题．
15.【答案】解：如图，圆台是大圆锥上面截掉小圆锥得到的几何体，
则，分别为圆台上、下底面的圆心，连接，则，，．
易得∽，则，得，
即，，，则．
圆台的表面积
圆台的体积．
【解析】根据相似可求解长度，即可由表面积公式求解，
根据锥体体积公式即可求解．
本题考查了几何体的表面积与体积计算问题，是基础题．
16.【答案】解：，
，
．
，
则，解得．
【解析】根据向量数量积定义和运算律可求得，进而得到；
由向量垂直可得，根据向量数量积定义和运算律可构造方程求得结果．
本题主要考查平面向量垂直的性质，考查转化能力，属于中档题．
17.【答案】证明：由题意：四棱锥的底面为平行四边形，
点，，分别是，，的中点，
是的中点，
，
又平面，平面，
平面．
由，知，
，分别是，的中点，
，
又平面，平面，，
平面，平面，，
平面平面．
【解析】推导出四棱锥的底面为平行四边形，，由此能证明平面．
推导出，，由此能证明平面平面．
本题考查线面平行、面面平行的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
18.【答案】解：因为，
由正弦定理可得，即，则，
又，
所以；
因为，，，
由，得，即，
又，所以，则，
所以，
所以．
【解析】利用正弦定理将角化边，再由余弦定理计算可得；
由正弦定理求出，即可得到，再由两角和的正弦公式求出，最后由面积公式计算可得．
本题主要考查解三角形，考查转化能力，属于中档题．
19.【答案】解：，
所以函数的“相伴向量”．
由题知：．
可求得在单调递增，单调递减，单调递增，单调递减，
且，，，，，
图象与有且仅有四个不同的交点，
，
所以，实数的取值范围为；
，
其中，，，
当，即时，取得最大值．
此时，
令，则由知：，解得，
，因为在上单调递增，
所以在上单调递减，从而
【解析】由两角和差的三角函数公式可得，进而可得函数的相伴向量．
根据题意可得，作出分段函数的图象，得出函数与有四个交点时，实数的取值范围．
根据题意可得，其中，当时，取得最大值，令，则，解得的取值范围，再求出的取值范围．
本题主要考查向量和三角函数相结合的新定义问题，属于较难题
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