江苏省扬州市扬州中学教育集团树人学校2023-2024学年高一下学期第2次阶段检测（5月）数学试题（含解析）

江苏省扬州市扬州中学教育集团树人学校2023-2024学年高一下学期第2次阶段检测（5月）数学试题
2024.5
注意事项:
1.本试卷共4页，满分为150分，考试时间120分钟.
2.答题前，请务必将自己的学校、班级、姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡的规定位置.
3.作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满涂黑;作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上指定位置作答，在其他位置作答一律无效.
4、如需作图，必须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗.
一、单选题:本题共8小题，每小题5分,共40分.
1、已知复数,则的虚部为（ ）
A.2 B. C.-2 D.
2、如图是用斜二测画法画出的直观图,则的面积是（ ）
A.32 B.16 C.8 D.不同于ABC的答案
3、已知m,n为两条不同的直线,为两个不同的平面,则下列命题正确的是（ ）
A.若,则 B.若,则
C.若,则 D.若,则
4、已知,向量,且,则（ ）
A. B. C. D.
5、已知向量满足向量在向量上，投影向量为,且,则（ ）
A.-1 B.1 C.-2 D.2
6、已知,则（ ）
A. B. C. D.
7、在锐角三角形ABC中,角的对边分别为已知,则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
8、已知是平面向量,是单位向量,若非零向量与的夹角为,向量满足,则的最小值是（ ）
A. B. C. D.
二、多选题:本题共3小题，每小题6分，共18分.
9、在长方体中，直线与平面的交点为与交于点，则下列结论不正确的是（ ）
A.三点确定一个平面 B.三点共线 C.四点共面 D.四点共面
10、在，下列说法正确的是（ ）
A.若,则为等腰三角形 B.若,则必有两解
C.若是锐角三角形,则 D.若,则为锐角三角形
11、在锐角中,设分别表示角对边,,则下列选项正确的有（ ）
A. B.的取值范围是
C.当时的外接圆半径为
D.若当A,B变化时,存在最大值,则正数的取值范围为
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12、已知单位向量满足,则_____________.
13、已知是虚数单位,已知,写出一个满足条件的复数_____________.
14、如图,某景区有三条道路其中BA长为2千米,是正北方向,BC长为千米,是正东方向,某游客在道路AC上相对东偏北度的且距离为千米的位置,则_____________.
四、解答题:本题共5小题，共77分.
15、(本小题满分13分)
设复数，其中为虚数单位，.
(1)若是纯虚数,求实数的值;
(2)在复平面内表示复数的点位于第四象限,求实数的取值范围.
16、（本小题满分15分）
如图,在三棱柱中,点是AB的中点.
(1)求证:AC1//平面;
(2)若平面,求证:平面.
17、(木小题满分15分)
在中,角的对边分别是且.
(1)求角的大小;
(2)若,且,求的面积.
18、（本小题满分17分）
如图,正三棱柱中，分别为棱的中点.
(1)证明:平面ACG;
(2)在线段是否存在一点,使得平面平面 若存在,请指出并证明;若不存在,请说明理由.
19、（本小题满分17分）
如图,在四边形ABCD中,已知的面积为,记的面积为.
(1)求的大小;
(2)若,设,求的值.
参考答案
一、单选题:本题共8小题，每小题5分,共40分.
1.【答案】
【解析】复数的虚部为-2.
故选:C.
2.【答案】16
【解析】由斜二测法画图原则：横等纵半，的高为8,即.
故答案为:16.
3.【答案】B
【解析】A：若,则或m,n异面,故A错误;
B：因为,所以在平面内存在不同于的直线,使得,则,从而,故,故B正确；
若,则或相交，故错误；
D：若,则或,故D错误。
故选：B.
4.【答案】
【解析】由,可得,
因为,所以,解得:,所以,
所以,
所以.故选:B.
5.【答案】
【解析】因为向量在向量上的投影向量为，所以，
因为,所以.故选:C.
6.【答案】B
【解析】由得,解得,
故选:B.
7.【答案】C
【解析】因为,所以由正弦定理得:,即,所以,
即,又,所以,
因为锐角三角形ABC,所以,即,解得,
令,因为,所以,
则在単调递减,
所以.
故选:C.
8.【答案】A
【解析】设共起点,由,可得,
所以与垂直,如图:
由向量减法的几何意义可知,向量的终点落在图中的圆上,
由题意可知的终点在图中所示的射线上，所以的最小值是从圆上的点到射线上的点形成的向量,要求的最小值，只需求圆心到射线的距离减去圆的半径，
故的最小值为.
故选:A.
二、多选题:本题共3小题，每小题6分，共18分.
9.【答案】ACD
【解析】如下图所示,
根据题意,连接,则,
所以四点共面,所以面,
又,所以面,
又面,所以点在面与面的交线上面,
同理可得点在面与面的交线上面,
所以三点共线,故选项错误,选项正确;
由异面直线判定定理可知选项中为异面直线,故选项错误;
由异面直线判定定理可知D选项中为异面直线,故选项错误.
故选:B.
10.【答案】
【解析】对于A,由正弦定理可得,
或即为等腰或直角三角形,故A错误;
对于B,即必有两解，故B正确；对于是锐角三角形,，即，
由正弦函数性质结合诱导公式得,故正确;
对于,利用二倍角的余弦公式知,
即,即,即为锐角,
不能说明为锐角三角形,故错误.
故选:.
11.【答案】ACD
【解析】对于,且,即,
由正弦定理得:,
即或(舍去),
,故A正确;
对于B：由正弦定理,
则,
为锐角三角形,则,即,,听以,故B不正确；
对于C：且,所以,
由正弦定理,求得,即的外接圆半径为；故正确；
对于D：
,且,
,即;
要使得有最大值,即有最大值,
此时,当有最大值时,即时,
有最大值为,此时,
,又,
,
的取值范围为,故D正确.
故选:.
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.【答案】
【解析】因为,所以,
则，故，
所以,所以.
故答案为:.
13.【答案】(答案不唯一,满足均可）
【解析】设,
则,
因为,
所以,解得:,
所以,所以可以取.
故答案为:(答案不唯一,满足均可).
14.【答案】
【解析】千米,千米,
三角形ABC的面积,由面积和法得:,,两边平方可得：
解得:,由,
解得:.
四、解答题:本题共5小题，共77分.
15.解:(1)若是纯虚数,则，解得.
（2）由题意知,解得,所以实数取值范围为.
16.解：略
17.解:（1）因为,
所以根据正弦定理得,
因为,所以,
即,即，
因为,所以,因为,所以.
(2),
因为,所以①,
因为,
所以②,
联立①②可得,解得（负根舍去),
故的面积为.
18.解:(1)证明:取AC的中点,连接EM,GM,
在中,因为E、M分别为AB、AC的中点,
所以且,
又为的中点,,所以且,
即且
故四边形为平行四边形,所以,
又平面平面ACG,所以平面ACG.
(2)当为的中点时,平面平两,
证明:连接NE,NF,
因为N,F分别是和BC的中点,所以,
因为平面平面,所以平面,
因为,所以,
因为平面平面,所以平面,
又因为平面平面,
所以平面平面.
19.解:(1)在中,由余弦定理,,
故,
因为,
所以,
即,又因为,所以.
(2)设,则,
在中,由正弦定理,,即,
在中,由正弦定理,,即,
又,两式作商,得,
即,故,
即,即,
所以,即,
因为,所以,
故,解得,
则,
假设，所以,
又,则,解得.