1.8有理数的乘法
基础巩固JICHU GONGGU
1．若ab＝|ab|，必有( )
A．ab≥0 B．ab＜0 C．a＜0，b＜0 D．a和b符号相同
2．下列说法正确的个数有( )
(1)同号两数相乘得正
(2)1乘任何有理数都等于这个数本身
(3)0乘任何数都得0
(4)－1乘任何有理数都等于这个数的相反数
A．1 B． 2 C．3 D．4
3．若数a，b互为负倒数，则下列等式中恒成立的是( )
A．a－b＝0 B．a＋b＝0 C．ab＝1 D．ab＝－1
4．若abc＞0，a＋b＋c＞0，则a，b，c不可能( )
A．都为正数 B．都为负数
C．一个正数，两个负数 D．以上都不对
5．计算(1－2)(2－3)(3－4)…(2011－2012)(2012－2013)(2013－2014)的结果是__________．
6．计算：
(1)×(－17)×0×2004×(－39)；
(2)×××；
(3)×(－36)；
(4)(－42.75)×(－27.36)－(－72.64)×(＋42.75)．
能力提升NENGLI TISHENG
7．观察下列顺序排列的等式：
9×0＋1＝1，9×1＋2＝11，9× ( http: / / www.21cnjy.com )2＋3＝21，9×3＋4＝31，9×4＋5＝41，…，猜想：第n个等式(n为正整数)应为________．
8．汽车每小时向东走40km(向东为正)，3h走了________km，如果速度不变，再向西走4h走了________km.
9．把－1，＋2，－3，＋4，－5，＋6，－7，＋8，－9填入如图的方框中，使得每行、每列、每一条对角线上的三个数都满足：
( http: / / www.21cnjy.com )
(1)三个数的乘积都是负数；
(2)三个数的绝对值的和都相等．
10．定义：a是不为1的有理数， ( http: / / www.21cnjy.com )我们把称为a的差倒数．如：2的差倒数是＝－1，－1的差倒数是＝.已知a1＝－，a2是a1的差倒数，a3是a2的差倒数，a4是a3的差倒数……依此类推，求a2013的值．
参考答案
1．A 点拨：因为ab＝|ab|，|ab|≥0，所以ab≥0.
2．D 点拨：本题关键是对有理数乘法法则的理解和对相反数的定义的理解；(1)(2)(3)都是有理数的乘法法则的定义，(4)是相反数的定义，所以(1)(2)(3)(4)是正确的．
3．D 点拨：因为互为倒数的两个数的积为1，又因为a，b互为负倒数，所以ab＝－1.
4．B 点拨：由题意知a，b，c三个数有可能全为正数或一正两负，不可能全为负数．
5．－1 点拨：原式＝(－1)×(－1)×(－1)×…×(－1)2011个(－1)＝－1.
6．解：(1)×(－17)×0×2004×(－39)＝0；
(2)×××
＝－×××＝－；
(3)×(－36)
＝×(－36)－3×(－36)＋×(－36)－×(－36)＝－18＋108－30＋21＝81；
(4)(－42.75)× ( http: / / www.21cnjy.com )(－27.36)－(－72.64)×(＋42.75)＝42.75×(27.36＋72.64)＝42.75×100＝4275.
7．9(n－1)＋n＝10n－9
8．＋120 －160 点拨：向东走为正，3h走了3×40＝120(km)；向西走为负，4h走了4×(－40)＝－160(km)．
9．解：如图所示．
( http: / / www.21cnjy.com )
10．解：a1＝－，a2＝＝＝，a3＝＝＝4，a4＝＝＝－，…
因为a1，a2，a3，…的值分别以－，，4的值为循环，2013＝3×671，所以a2013＝a3＝4.1.11-11.2
综合点1以新定义运算为背景的混合运算
应用概述以新定义运算为背景，转化为熟悉的有理数的混合运算
【例1】现规定一种新的运算“*”：a*b＝ab，如3*2＝32＝9，则计算：
(1)*3；
(2)*(－2＋4)．
分析：将新定义运算转化为常规运算，然后再计算．
解：(1)*3＝＝；
(2)*(－2＋4)
＝*2
＝(－3)*2＝(－3)2＝9.
规律方法准确把握题中所定义的运算转化为相应的数学算式是解决此类问题的关键．实际上我们规定的一些新运算，不一定有什么实际意义，只不过是人们根据需要所确定的某种程序或规则而已．注意：新运算并不一定满足运算律．
迁移训练
定义a*b＝a2－b，则(1*2)*3＝__________.
解析：(1*2)*3＝(12－2)*3
＝(－1)*3＝(－1)2－3＝－2.
答案：－2
综合点2利用计算器探究数字变化规律
应用概述计算器是我们学习的好帮手，它不仅可以帮助我们进行复杂的计算，还可以帮助我们进行有关数值问题的探索．
【例2】用计算器计算下列各式：
(1)6×7，66×67，666×667，6666×6667，66666×66667，….
(2)观察上述结果，你发现了什么规律？能尝试说明理由吗？
分析：运用计算器对各式进行计算后，从中发现存在的规律，特别针对各数字之间的变化引起结果的变化．
解：(1)6×7＝42，
66×67＝4422，
666×667＝444222，
6666×6667＝44442222，
66666×66667＝4444422222，….
(2)规律：×＝.
理由：6×7＝2×3×7＝2×21＝42，
66×67＝2×3×11×67＝22×201＝4422，
666×667＝2×3×111×667＝222×2001＝444222，
×7＝2×3××7＝×＝.
规律方法1.选取有规律的前几组数，利用计算器进行运算．
2．观察计算的结果，猜想其结果的规律性．
3．运用所得出的规律，解决问题．
迁移训练
1．(1)用计算器计算下列各式：
1×1＝________；11×11＝________；
111×111＝________；1111×1111＝________.
(2)不用计算器，根据你发现的规律直接写出．
111111111×111111111的结果：________.
2．(1)利用计算器计算下列各式，将结果填在横线上．
992＝__________；9992＝__________；
99992＝__________；999992＝__________.
(2)你发现了什么规律？
(3)不用计算器，直接写出99999992的计算结果．
分析解答
1．答案：(1)1 121 12321 1234321
(2)12345678987654321
2．解：(1)9801；998001；99980001；9999800001；
(2)规律：＝(－1)×10n＋1.
(3)99999992＝99999980000001.
易错点1混淆运算顺序
易错指津在进行有理数的混合运算时，要先进行高级运算，再进行低级运算，同级运算按从左到右的顺序进行．
【例1】计算：21－(－7)÷×2.
常见错解1：21－(－7)÷×2＝21－(－7)÷1＝21－(－7)＝28.
常见错解2：21－(－7)÷×2＝28÷×2＝28×2×2＝112.
正确解答：原式＝21－(－7)×2×2＝21－(－28)＝21＋28＝49.
误区分析错解1没有按照同级运算从左到右的运算顺序进行计算；错解2没有按照先算乘除，后算加减的运算顺序进行计算．
易错点2用计算器进行运算时忽略括号
易错指津用计算器计算时，要注意按键顺序．
【例2】用计算器计算：(2÷5－1÷5)×5.
常见错解：按键顺序是，显示结果为－0.6.
正确解答：按键顺序是，显示结果为1，即(2÷5－1÷5)×5＝1.
误区分析错误的原因是输入 (2÷5－1÷5)时未加括号，这样运算顺序发生了变化，导致结果出错．1.3 绝对值与相反数
能力点1求相反数
题型导引有理数a的相反数是－a.这里a除可以表示一个正数、0或负数外，还可以表示一个式子．
【例1】(1)－3的相反数是________；
(2)x－5的相反数是________．
解析：数a的相反数是－a.
答案：(1)3 (2)－(x－5)
规律方法1.求一个数的相反数，只要在这个数的前面添上“－”号，就表示这个数的相反数．
2．在表示“和、差”形式的代数式的相反数时，要先用括号括起来，再在括号前面添上“－”号．
变式训练
写出下列各数的相反数：
(1)－3.25； (2)m－1； (3)－(－a)； (4)－a－b.
分析：要求一个数的相反数，只要在这个数的前面添上“－”号就可以．如m－1的相反数表示为－ (m－1)．
解：(1)－(－3.25)＝3.25；
(2)－(m－1)；
(3)－[－(－a)]＝－a；
(4)－(－a－b)．
能力点2多重符号的化简
题型导引利用相反数的意义进行数的化简．
【例2】化简下列各数：
(1)－；(2)－(＋3.5)；(3)＋(－1)；
(4)－[＋(－7)]；(5)－{－[－(＋5)]}．
分析：－表示－的相反数，是；－(＋3.5)表示＋3.5的相反数，是－3.5；一个数前面加上“＋”号，所得数不变，一个数前面加上“－”号，表示求这个数的相反数．
解：(1)－＝；(2)－(＋3.5)＝－3.5；
(3)＋(－1)＝－1；(4)－[＋(－7)]＝7；
(5)－{－[－(＋5)]}＝[－(＋5)]＝－5.
规律方法化简双重符号原则是同号得“＋”，异号得“－”．对于多重符号，可以根据“－”号的个数按“奇负偶正”来化简．
变式训练
化简下列各数的符号：
(1)－{－[＋(－10)]}；
(2)－[－(＋5)]；
(3)＋.
分析：第(1)题中，有3个负号，结果为负，即为－10；第(2)题中，有2个负号，结果为正，即为5；第(3)题中，全为正号结果为正，即为.
解：(1)－{－[＋(－10)]}＝－10；
(2)－[－(＋5)]＝5；
(3)＋＝.
能力点3绝对值的求法
题型导引根据绝对值的代数意义求一个数的绝对值．
【例3】填空：
(1)|a－b|＝－(a－b)，则a，b的大小关系是________．
(2)的相反数是________．
(3)＋的绝对值是________；－的绝对值是________；0的绝对值是________．
解析：题(1)由绝对值的意义可知：一个数的绝对值是它的相反数，那么这个数是负数或0.
题(2)有两层含义，先求＝，再求的相反数．
答案：(1)a≤b (2)－ (3) 0
规律方法1.绝对值的求法可总 ( http: / / www.21cnjy.com )结为：“一判二求”，“一判”是指先判断该数是正数、负数、还是零；“二求”是指由绝对值的意义确定去掉绝对值符号后的结果是它本身，还是它的相反数，还是零，从而求得该数的绝对值．
2．由绝对值的意义可知，正数和零的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数．
变式训练
1．化简：|－3|，|－(－8)|，|0|，－，－|＋(－6)|.
2．若|x|＝2，|y|＝3，且x的符号为“－”，y的符号为“＋”，则在数轴上表示这两个数的点之间的距离是多少？
分析解答
1．分析：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0，去括号时，应考虑相反数的意义．
解：|－3|＝3，|－(－8)|＝|＋8|＝8，|0|＝0，
－＝－1，
－|＋(－6)|＝－|－6|＝－6.
2．分析：首先应明确x，y这两个数分别是多少．
解：因为|x|＝2，且x的符号为“－”，所以x＝－2.
因为|y|＝3，且y的符号为“＋”，所以y＝3.
因此在数轴上表示－2与3的点之间的距离是5个单位长度．
如图所示：
能力点4绝对值的非负性
题型导引无论是绝对值的几何定义还是绝对值的代数定义，都揭示了绝对值的一个重要性质——非负性．
【例4】若|a|＋|b|＝0，求a，b的值．
分析：由绝对值的非负性，可知|a|≥0，|b|≥0.因为正数＋正数＝正数，正数＋零＝正数，零＋零＝零，所以只有|a|和|b|都等于0时，它们的和才等于0，否则，它们的和就大于0.
解：因为|a|≥0，|b|≥0，又因为|a|＋|b|＝0，所以|a|＝0，|b|＝0.所以a＝0，b＝0.
规律方法1.任何一个数的绝对值都是一个非负数，即|a|≥0；因此，绝对值最小的数是零．
2．绝对值是正数的数有两个，且它们互为相反数．
3．两个互为相反数的数的绝对值相等；反之，绝对值相等的两个数相等或互为相反数．
4．几个非负数的和为零，那么这几个非负数都为零．
变式训练
已知|a－1|＋|b＋2|＝0，求a，b的值．
分析：等式右边是0，等式左边是两 ( http: / / www.21cnjy.com )个绝对值的和，由绝对值的非负性可知：|a－1|≥0，|b＋2|≥0，所以只有当|a－1|和|b＋2|都等于0时，它们的和才等于0，否则它们的和将大于0.
解：因为|a－1|≥0，|b＋2|≥0，
又|a－1|＋|b＋2|＝0，
所以|a－1|＝0，|b＋2|＝0，
所以a－1＝0，b＋2＝0，所以a＝1，b＝－2.1.9 有理数的除法
能力点1有理数的乘除混合运算
题型导引有理数除法运算常与乘法运算综合在一起考查．
【例1】计算(－1)÷5×的结果是( )
A．－1 B．1 C. D．25
解析：(－1)÷5×
＝(－1)××＝1××＝.
答案：C
规律方法有理数乘除法运算的顺序：
(1)从左到右依次进行．
(2)有括号的要先算括号里面的．
变式训练
1．用“＜”“＞”或“＝”填空：
(1)÷÷______0；
(2)(－0.2)÷4×(－1.7)______0；
(3)0÷(－3)÷(－8)______0.
2．计算：
(1)3÷÷；
(2)(－3.5)÷×.
1．解析：判断商与0的大小关系，也就是判断商的符号．
(1)有三个负数，商为负数，故小于0；
(2)有两个负数，商为正数，故大于0；
(3)的被除数是0，故商等于0.
答案：(1)＜ (2)＞ (3)＝
2．解：(1)3÷÷
＝××
＝××＝1.
(2)(－3.5)÷×＝××＝××＝3.
能力点2有理数的加减乘除混合运算
题型导引应用四则混合运算的顺序进行有理数的加减乘除混合运算．
【例2】计算： ×÷÷.
分析：本题是有理数的加减乘除混合运算，可按四则混合运算的顺序进行计算，有括号的要先算括号里面的或运用运算律简化运算．
解：(方法1)原式＝－××(－20)×(－3)＝－×＝－.
(方法2)原式＝××(－20)×(－3)＝××20×3＝×＝×(5＋4)＝－×9＝－.
规律方法有理数的加减乘除混合运算顺序：先算乘除，后算加减，有括号的先算括号里面的．
有些运算用运算律或逆用运算律改变运算顺序能简化运算，较为简便．
变式训练
计算：
×＋×＋÷5－÷5.
解：(方法1)原式＝×＋×＋×－×
＝－－－－＝－－
＝－＝－58.
(方法2)原式＝×＋×＋×－×
＝
×
＝×＝×
＝－－＝－58.1.10 有理数的乘方
基础巩固
1．下列各组数中相等的是( )
A．(－3)2和－32 B．(－3)3和－33
C．23和32 D．(－1)2n和(－1)2n＋1(n为正整数)
2．下列各数互为相反数的是( )
A．32与－23 B．32与(－3)2 C．32与－32 D．－32与(－2)3
3．现规定一种新的运算“*”，a*b＝ab－1，如3*2＝32－1＝8，则*3等于( )
A．－ B．－1 C．－2 D．－
4．(－1)2013的底数是________；指数是________；幂是________．
5．计算(－3)3所得结果是________．
6．计算：
(1)(－1)3－(－1)2－14；
(2)(－3)2×(－2)3＋(－6)2×；
(3)(－1)2×5＋(－1)×52－12×5＋(－1×5)2.
能力提升NENGLI TISHENG
7．为了求1＋2＋22＋23＋…＋22014的值，可令S＝1＋2＋22＋23＋…＋22014，则2S＝2＋22＋23＋…＋22015，因此2S－S＝22015－1，所以1＋2＋22＋23＋…＋22014＝22015－1.仿照以上推理计算出1＋9＋92＋93＋…＋92015的值是( )
A．92015－1 B．92016－1 C． D．
8．已知a，b互为相反数，c，d互为倒数，求(a＋b)2013＋(cd)2013的值．
9．观察下列各式：
31＝3，32＝9，33＝27，34＝81，35＝243，36＝729，…
(1)你发现它们的个位数字有什么规律吗？
(2)根据你发现的规律，试判断32014的个位数字是几？
10．某种细胞每30分钟便由1个分裂成2个，经过5小时，这种细胞由一个能分裂成多少个？
参考答案
1．B 2.C
3．B 点拨：*3＝－1＝－××－1＝－－1＝－1.
4．－1 2013 －1 5.－27
6．解：(1)(－1)3－(－1)2－14
＝－1－1－1＝－3.
(2)(－3)2×(－2)3＋(－6)2×
＝9×(－8)＋36×
＝－72－4＝－76.
(3)(－1)2×5＋(－1)×52－12×5＋(－1×5)2＝5－25－5＋25＝0.
7．D 点拨：令S＝1＋9＋92＋93＋…＋92015，则9S＝9＋92＋93＋…＋92016，
所以9S－S＝92016－1，即S＝.
8．解：因为a，b互为相反数，所以a＋b＝0.
又因为c，d互为倒数，所以cd＝1.
所以(a＋b)2013＋(cd)2013
＝02013＋12013＝0＋1＝1.
9．解：(1)个位数字按3，9，7，1循环；
(2)32014的个位数字是9.
10．解：30分钟＝0.5小时，5÷0.5＝10，210＝1024(个)．1.7 有理数的加减混合运算
能力点1运用多种方法进行有理数的加减混合运算
题型导引解题时，从不同角度、不同出发点去观察、分析，往往能得到不同的解题方法，这对开发智力、培养发散思维、提高自己的解题能力大有裨益．
【例1】计算：－(＋0.5)－－(－3.75)＋.
解：(方法1：正数和负数分别相加)
原式＝－0.5＋3＋3.75－8
＝＋
＝－9＋7＝－2.
(方法2：小数和分数分别相加)
原式＝－0.5＋3＋3.75－8
＝(－0.5＋3.75)＋
＝3.25－5＝－2.
(方法3：统一成分数再相加)
原式＝－＋3＋3－8
＝＋
＝－9＋7＝－2.
(方法4：统一成小数再相加)
原式＝－0.5＋3.25＋3.75－8.5＝(－0.5－8.5)＋(3.25＋3.75)＝－9＋7＝－2.
(方法5：加数拆成整数与小数(或分数)的和再相加)
原式＝－0.5＋3＋3.75－8＝(3＋3－8)＋＝－2＋0＝－2.
规律方法对于既含有小数又含有分数的加减混合运算，解题规律有：
(1)将小数统一化成分数再相加；
(2)把分数统一化成小数再相加；
(3)将小数与分数分别结合相加；
(4)把各数的整数部分与小数部分分成两部分再分别相加．
所以在计算时要灵活选用方法，以最简为原则，怎样简单就怎样做．
变式训练
做游戏，解答问题：从－56起，逐次加1，得到一连串整数，－55，－54，－53，－52，….
(1)第100个整数是什么？
(2)求这100个整数的和．
分析：在求和时，先找出并计算互为相反数的数，再计算出其余数的和，能用简便算法的尽量用简便算法．此题中从－56起，逐次加1，一直加到100得到－55，－54，－53，－52，…，－1，0，1，2，…，44.(1)第100个整数是－56＋100＝44.(2)这100个数的和是－55＋(－54)＋(－53)＋…＋(－45)＋(－44)＋(－43)＋…＋(－2)＋(－1)＋0＋1＋2＋3＋…＋43＋44＝－55＋(－54)＋(－53)＋…＋(－45)＋(－44＋44)＋(－43＋43)＋(－42＋42)＋…＋(－1＋1)＋0，在计算过程中，互为相反数的数相加得0，所以这100个数的和为－55－54－53－52－51－50－49－48－47－46－45.
解：(1)－56＋100＝44；
(2)－55＋(－54)＋(－53)＋…＋(－45)＋(－44)＋(－43)＋…＋(－2)＋(－1)＋0＋1＋2＋…＋43＋44＝－55＋(－54)＋(－53)＋…＋(－45)＋(－44＋44)＋(－43＋43)＋…＋(－1＋1)＋0＝－55－54－53－52－51－50－49－48－47－46－45＝(－55－45)＋(－54－46)＋(－53－47)＋(－52－48)＋(－51－49)＋(－50)＝－100－100－100－100－100－50＝－550.
能力点2绝对值、相反数与有理数的加减混合运算
题型导引有理数的混合运算常与绝对值、相反数综合在一起．
【例2】计算：－－＋＋.
分析：算式中含有绝对值和相反数的，先求出绝对值和相反数，再按有理数的加减混合运算进行计算．
解：－－＋＋＝6－5－1＋4
＝＋
＝10－7＝3.
规律方法含有绝对值、相反数的有理数的加减混合运算的方法：
(1)先化简绝对值、求相反数；
(2)把减法转化为加法，即把加减混合运算统一为加法运算；
(3)按加法法则和运算律计算．
变式训练
已知|a|＝3，|b|＝1，c的相反数是5，且|a＋b|＝a＋b，求a－b＋c的值．
分析：先根据条件求出a，b，c的值，再进行混合运算．
解：因为|a|＝3，|b|＝1，c的相反数是5，
所以a＝±3，b＝±1，c＝－5.
又因为|a＋b|＝a＋b，
所以a＋b是非负数，
所以a＝3，b＝±1.
所以当a＝3，b＝1，c＝－5时，a－b＋c＝3－1＋(－5)＝－3；
当a＝3，b＝－1，c＝－5时，a－b＋c＝3－(－1)＋(－5)＝－1.
故a－b＋c的值为－3或－1.1.11-11.2
基础巩固JICHU GONGGU
1．下列各式运算的结果为正数的是( )
A．－24×5 B．(1－2)4×5 C．(1－24)×5 D．1－(3×5)4
2．计算－22－(－2)3×(－1)2－(－1)3的结果为( )
A．－30 B．－1 C．24 D．5
3．按键顺序对应下面算式( )
A．(1－3)2÷2×3 B．1－32÷2×3 C．1－32÷2×3 D．(1－3)2÷2×3
4．若a，b互为负倒数，a，c互为相反数，且|d|＝2，则代数式d2－d的值为( )
A．3 B．4 C．3或4 D．3或4
5．根据如图所示的程序计算，若输入的x的值为1，则输出的y值为__________．
( http: / / www.21cnjy.com )
6．在有理数的原有运算法则中，我们补充新运算法则“*”如下：当a≥b时，a*b＝b2；当a＜b时，a*b＝a.则当x＝2时，(1*x)·x－(3*x)＝________(“·”和“－”仍为有理数运算中的乘号和减号)．
7．计算：
(1)－14－(1－0.5)××[2－(－3)2]；
(2)1÷(－1)＋0÷4－(－4)×(－1)；
(3)－3－；
(4)(－3)2－×－6÷.
能力提升NENGLI TISHENG
8．已知119×21＝2499，则119×213－2498×212等于( )
A．431 B．441 C．451 D．461
9．(1)用计算器计算，并填空
1÷11＝( )，
2÷11＝( )，
3÷11＝( )，
4÷11＝( )，
…
(2)仔细观察上述运算和结果，你会发现什么规律？
(3)你能很快算出8÷11，9÷11的值吗？
10．某种细胞开始有2个，1h后分裂成4个并死去1个，2h后分裂成6个并死去1个，3h后分裂成10个并死去1个……，6h后细胞存活的个数是多少个？
参考答案
1．B 2.D 3.B
4．C 点拨：因为a，b互为负倒数，
所以ab＝－1.
因为a，c互为相反数，
所以a＋c＝0.
因为|d|＝2，
所以d＝±2.
当d＝2时，原式＝4－2×
＝4－2×＝4＋＝4；
当d＝－2时，原式＝4－(－2)×＝4－(－2)×＝4－＝3.故选C.
5．4 点拨：根据题意，得算式为2x2－4，当x＝1时，2×12－4＝－2＜0；当x＝－2时，2×(－2)2－4＝4＞0.
故输出4.
6．－2 点拨：由题意可知，当x＝2时，(1*x)·x－(3*x)＝1×2－22＝2－4＝－2.
7．解：(1)原式＝－1－××(－7)＝；
(2)原式＝－1－4＝－5；
(3)原式＝－3－
＝－3－＝－3＋
＝＝2；
(4)原式＝9－－6×＝－12.
8．B 点拨：119×213－2498×212
＝119×21×212－2498×212
＝2499×212－2498×212
＝212×(2499－2498)
＝212×1＝441.
9．解：(1) 0.09 0.18
0．27 0.36
(2)商都是循环小数，循环节是被除数的9倍．
(3)0.72，0.81.
10．解：开始细胞有2个，1h后有2×2－1＝22－1(个)，2h后有2×(22－1)－1＝23－2－1个，3h后有2×(23－2－1)－1＝24－22－2－1(个)……，故6h后应有27－25－24－23－22－2－1＝65(个)．1.4 有理数的大小
基础巩固JICHU GONGGU
1．绝对值小于3的整数有( )
A．2个 B．3个 C．5个 D．7个
2．下列两个数比较大小正确的是( )
A．－＜－ B．－＞－
C．＜ D．－＝
3．下面三个数的大小排序中，正确的是( )
A．－＞0＞－ B．－＜－＜0 C．－＜－＜0 D．－＞－＞0
4．一个数的相反数小于它本身，这个数是________．
5．在有理数中，最小的自然数是________，最大的负整数是________．
6．已知有理数a，b，且a＜－1＜b，则－a，1，－b的大小关系是________．
能力提升NENGLI TISHENG
7．下列说法中，正确的有( )
①没有最小的有理数
②没有最大的有理数
③有最小的正有理数
④有最大的负有理数
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
8．下列说法中，正确的是( )
A．两个有理数，绝对值较大的数就大
B．两个有理数，绝对值较小的数就大
C．两个有理数，绝对值相等则两数相等
D．两个有理数，两数相等则绝对值相等
9．如图，数轴的单位长度是1，数轴上的点A表示的数是－4，则－b与c的大小关系是________．
10．已知a＞0，b＜0，|b|＞|a|，试把a，－a，b，－b四个数用“＜”连接起来．
参考答案
1．C 点拨：绝对值小于3的整数有±2，±1，0，共5个．
2．A 点拨：－＝－，两个负数，绝对值大的反而小，所以－＜－，故选A.
3．C 点拨：两个负数，绝对值大的反而小，所以－＜－，又因0大于一切负数，所以－＜－＜0.
4．正数 点拨：正数的相反数是负数，正数大于一切负数．
5．0 －1
6．－b＜1＜－a 点拨：由a＜－1＜b知，a＜0，且|a|＞|－1|，所以－a＞1，而b取正数、负数或0时，－b都小于1.
7．A 点拨：因为数轴是一条直线，可向两方无限延长，可以想到既没有最大的有理数，也没有最小的有理数；也不存在最小的正有理数和最大的负有理数．故应选A.
8．D 点拨：两个正数，绝对值大的数大，而两个负数，绝对值大的反而小；绝对值相等的两数不一定相等，还有可能互为相反数，故应选D.
9．－b＞c 点拨：点A为－4，则b为－2，c为1，所以－b为2，故－b＞c.
10．解：因为a＞0，b＜0，所以－a＜0，－b＞0.
又因为|b|＞|a|，所以－b＞a，－a＞b.
故b＜－a＜a＜－b.1.4 有理数的大小
能力点 有理数大小的比较方法
题型导引有理数的大小比较主要有两种方法：(1)根据有理数在数轴上的位置关系进行比较；(2)根据有理数大小比较的法则进行比较．
【例题】如果a是有理数，试比较|a|与－2a的大小．
分析：可把有理数分成正数、零和负数三种情况加以讨论．
解：(1)当a＞0时，|a|＝a，根据正数大于负数可得|a|＞－2a；
(2)当a＝0时，|a|＝0，－2a＝0，
所以|a|＝－2a；
(3)当a＜0时，|a|＝－a＞0，－2a＞0，显然－a＜－2a，即|a|＜－2a.
规律方法1.解题时，要根据具体问题，选择适当的方法．此外，熟练掌握“互为相反数的两数的绝对值相等”等结论，对解题思路有很大的启发作用．
2．有理数大小比较的其他方法有：
(1)作差法：a，b是两个有理数，①若a－b＞0，则a＞b；②若a－b＝0，则a＝b；③若a－b＜0，则a＜b.
(2)作商法：适用于同号两数比较大小：
①若a＞0，b＞0，当＞1时，则a＞b；当＝1时，则a＝b；当＜1时，则a＜b.
②若a＜0，b＜0，它们的绝对值的商：当＞1时，则a＜b；当＝1时，则a＝b；当＜1时，则a＞b.
变式训练
已知有理数a，b在数轴上的位置如图(1)所示，试比较a，b，－a，－b的大小，并用“＞”把它们连接起来．
图(1)
分析：除利用法则比较大小外，还可以由相反数的定义，在数轴上把－a，－b表示出来，再利用数轴就可以比较它们的大小，如图(2)所示．相对来说，本题选择数轴的方法比较简单．
图(2)
解：(方法1)如图(2)，由数a，b，－a，－b在数轴上的位置关系，可知b＞－a＞a＞－b.
(方法2)根据有理数大小比较的法则进行比较：由图(1)可知a＜0，b＞0，且|a|＜|b|.
因为－a，－ b分别是a，b的相反数，
所以－a＞0，－b＜0.
在a，b，－a，－b四个数中，a和－b是负数，－a和b是正数．
对于两个负数a和－b，|－b|＝b，
因为|a|＜|－b|，所以a＞－b.
对于两个正数－a和b，|－a|＝a，
因为|a|＜|b|，所以b＞－a.
所以b＞－a＞a＞－b.1.7 有理数的加减混合运算
基础巩固JICHU GONGGU
1．将6－(＋3)－(－7)＋(－2)中的减法改成加法并写成省略加号的和的形式是( )
A．－6－3＋7－2 B．6－3－7－2
C．6－3＋7－2 D．6＋3－7－2
2．下列等式正确的是( )
A．－3＋4－2＝(－3)＋(＋4)－(－2)
B．(＋9)－(－10)－(＋6)＝9－10－6
C．(－8)－(－3)＋(－5)＝－8＋3－5
D．－3＋5＋6＝6－(3＋5)
3．一个水利勘察队沿河向上游走了5km，又继续向上游走了5km，然后又向下游走了4km，接着又向下游走了5km，这时勘察队在出发点的( )
A．上游1km B．下游1km
C．上游km D．下游km
4．“负8、正15、负20、负8、正12的和”用算式表示为__________．
5．某天的气温早晨8时是5℃，中午1 ( http: / / www.21cnjy.com )2时上升了3℃，到下午16时又上升了2℃，至晚上20时时，下降了8℃，晚上20时的气温是________．
6．若|a＋2|＋|b＋4|＋|c－4|＝0，则a＋b－c＝__________.
7．计算：
(1)－－＋(－1.75)．
(2)＋－－.
能力提升NENGLI TISHENG
8．计算：1－2－3＋4＋5－6－7＋8＋9－10－11＋…＋2009－2010－2011＋2012＋2013－2014＝__________.
9．已知a＝－3，b＝＋2.5，c＝＋3，d＝－1，求(a＋b)＋(c＋d)的值．
10．如图，一口水井，水面比井口低3m，一只蜗牛从水面沿井壁往井口爬，第一次往上爬0.5m后，又往下滑了0.1m；第二次往上爬了0.47m后，又往下滑了0.15m；第三次往上爬了0.6m，又往下滑了0.15m，第四次往上爬了0.8m，又往下滑了0.1m；第五次往上爬了0.55m没有下滑．
( http: / / www.21cnjy.com )
问：它能爬出井口吗？如果不能，那么第六次它至少要往上爬多少？
参考答案
1．C 2.C
3．C 点拨：设向上为正，向下为负，据题意列式5＋5＋＋＝，所以在上游km处．
4．－8＋15－20－8＋12
5．2℃ 点拨：5＋3＋2－8＝2℃.
6．－10 点拨：根据绝对值的非负性和互为相反数的两个数和为0，得a＋2＝0，b＋4＝0，c－4＝0，解得a＝－2，b＝－4，c＝4，所以a＋b－c＝(－2)＋(－4)－4＝－2－4－4＝－10.
7．解：(1)
原式＝－3＋＋－1
＝－3＋2＋1－1
＝＋
＝－2＋1＝－1.
(2)原式＝＋＋＋＝－－－＋＝＋＝－1＝－.
8．－1 点拨：1－2－3＋4＝0， ( http: / / www.21cnjy.com )5－6－7＋8＝0，9－10－11＋12＝0，…，2009－2010－2011＋2012＝0，所以原式＝0＋2013－2014＝－1.
9．解：(a＋b)＋(c＋d)＝＋
＝－1＋1＝.
10．解：因为0.5－0.1＋0.47－0.15＋0.6－0.15＋0.8－0.1＋0.55＝2.92－0.5＝2.42＜3，所以它不能爬出井口，第六次它至少要往上爬3－2.42＝0.58(m)．1.6 有理数的减法
基础巩固JICHU GONGGU
1．月球某日表面的温度，中午是101℃，半夜是－153℃，中午比半夜高( )
A．52℃ B．－52℃ C．254℃ D．－254℃
2．有理数a，b在数轴上的位置如图，则a－b的结果是( )
A．正数 B．负数 C．非正数 D．非负数
3．两个非0有理数的和的绝对值等于这两个有理数绝对值的和，那么这两个有理数( )
A．都是正数 B．都是负数 C．异号 D．同号
4．计算：
(1)(－3)－6＝________；
(2)－(－0.25)＝________；
(3)24－(－24)＝________；
(4)0－(－21)＝________.
5．比0小6的数是________；比0小－6的数是________．
6．亚洲西部地中海旁有一个死海湖，它的最低海拔是－392m，珠穆朗玛峰海拔是8844.43m．珠穆朗玛峰比死海湖的最低点高______m.
能力提升NENGLI TISHENG
7．－5和－7的差比它们的和大( )
A．14 B．－10 C．－14 D．10
8．某天广州的平均气温是28℃，同一天我国北方的哈尔滨的平均气温是－22℃，这天广州比哈尔滨的平均气温高________℃.
9．若数轴上A，B两点表示的数分别是4.5和－3.5，则A，B两点间的距离是________．
10．某中学七年级(2)班学生的平均身高是161cm.
(1)把下表中缺少的数据(单位：cm)补充完整：
姓名 李明 赵刚 王燕 刘明 李琳
身高 159 165
与平均身高的差 ＋4 0 －4
(2)这五名同学谁最高？谁最矮？最高的同学比最矮的同学高多少？
参考答案
1．C 点拨：温差＝高温－低温，即101－(－153)＝101＋153＝254(℃)．
2．A 点拨：由a，b在数轴上的位置可知a＜0，b＜0，且|a|＜|b|.a－b＝a＋(－b)，－b＞0.
所以a＋(－b)＞0，即a－b＞0.
3．D 点拨：若|a＋b|＝|a|＋|b|，则a，b同为正，或同为负均可，故选D.
4．(1)－9 (2)－ (3)48 (4)21
点拨：根据有理数的减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数．
5．－6 6 点拨：比0小6即0－6＝0＋(－6)＝－6；比0小－6即0－(－6)＝0＋6＝6.
6．9236.43 点拨：8844.43－(－392)＝8844.43＋392＝9236.43(m)．
7．A 点拨：－5和－7的差为－5－(－7)＝－5＋7＝2，－5和－7的和为－5＋(－7)＝－(5＋7)＝－12，2－(－12)＝2＋12＝14.
8．50 点拨：高温－低温＝28－(－22)＝28＋22＝50(℃)．
9．8 点拨：4.5－(－3.5)＝4.5＋3.5＝8.
10．解：(1)自左至右依次为：－2，165，161，＋4，157.
(2)赵刚和刘明最高，李琳最矮．最高同学比最矮同学高165－157＝8(cm)．1.2 数轴
基础巩固JICHU GONGGU
1．表示数－a的点在数轴上的位置是( )
A．原点 B．原点的左边 C．原点的右边 D．以上都有可能
2．在数轴上到原点的距离小于3的所有整数有( )
A．2，1 B．2，1，0 C．±2，±1，0 D．±2，±1
3．已知数轴上的A点到原点的距离是2，那么数轴上到A点距离是3的点所表示的数有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．位于数轴上表示－5的点的右边、表示－3的点的左边的整数是________．
5．位于数轴上原点的左边，且与原点距离为6个单位长度的数是________．
能力提升NENGLI TISHENG
6．如图，数轴上的点A表示的数为a，则等于( )
A．－B.C．－2D．2
7．(1)点A在数轴上表示的数是－2，将A向右移动3个单位长度，那么A表示的新数是________；
(2)点B在数轴上表示的数是3，将B先向右移动5个单位长度，再向左移动4个单位，则点B表示的新数是________．
8．如图，长方形ABCD的顶点A，B在数轴上，CD＝6，点A对应的数为－1，则点B所对应的数为________．
9．如图：
(1)指出数轴上点A，B所表示的数分别是多少？
(2)在数轴上找出到点A，B距离相等的点C的位置，并说明点C到点A的距离是多少？
10．已知数轴上与表示－1的点之间的距 ( http: / / www.21cnjy.com )离为2的点为M，与表示数2的点之间的距离为3的点为N，试在数轴上找出点M，N，探索点M，N之间的距离是多少？
参考答案
1．D 点拨：当a为正数时，－a为负数，在原点左边；
当a为0时，－a也为0，在原点；
当a为负数时，－a为正数，在原点右边．
2．C 点拨：原点左边到原点的距离小于3的整数有－2，－1；原点右边到原点的距离小于3的整数有1，2；原点表示的数0到原点距离最小，为0.
3．D 点拨：根据题意，点A表示的数为±2.当点A表示＋2时，所求的数为5或－1；当点A表示－2时，所求的数为－5或1，因此答案应该有四种情况：±1，±5，故选D.
4．－4 点拨：画出数轴，通过观察可知－5，－3之间的整数为－4.
5．－6 点拨：与原点距离为6个单位长度的数为±6，又因在原点左边，故应为－6.
6．B 点拨：观察数轴可知a为2，则为，故选B.
7．(1)1 (2)4 点拨：画出规范的数轴，按要求移动便可求出新数．
8．5 点拨：长方形ABCD的边CD＝6，所以AB的长度也为6，在点A右侧离点A6个单位长度的有理数是5.
9．解：(1)－5，3.
(2)点C表示的数是－1，点C到点A的距离为4.
10．解：如图所示：
M点可位于－3或1处，N点可位于－1或5处，所以M，N之间的距离是2或4或8.1.10 有理数的乘方
能力点 乘方非负性的应用
题型导引利用乘方的非负性求未知字母或代数式的值．
【例题】已知(a－2)2＋|b－5|＝0，求(a＋b)2的值．
分析：先由非负性求出a，b的值，再把a，b的值代入求出式子的值．
解：由题意得，(a－2)2≥0，且|b－5|≥0，
所以a－2＝0，b－5＝0，
所以a＝2，b＝5.
把a＝2，b＝5代入，得(a＋b)2＝(2＋5)2＝49.
规律方法1.正数的任何次方都是正数，0的任何非零次方都是0，负数的偶次方是正数，故an≥0(n为正偶数)．
2．非负性的应用通常是几个非负数的和为0，则这几个非负数都为0.
变式训练
1．若|m－3|＋(n＋2)2＝0，则m＋2n的值为( )
A．－4 B．－1 C．0 D． 4
2．若|a－2|＋(b＋3)2＝0，求(a＋b)2014＋的值．
分析解答
1．解析：因为|m－3|≥0，且(n＋2)2≥0，|m－3|＋(n＋2)2＝0，
所以m－3＝0，n＋2＝0.
所以m＝3，n＝－2.
所以m＋2n＝3＋2×(－2)＝－1.
答案：B
2．解：因为|a－2|＋(b＋3)2＝0，
所以a－2＝0，b＋3＝0，
即a＝2，b＝－3.
原式＝(2－3)2014＋
＝1－1＝0.1.5 有理数的加法
能力点1有理数的加法运算
题型导引利用有理数的加法法则进行含字母加数的加法运算．
【例1－1】若|a|＝3，|b|＝2，则|a＋b|等于( )
A．5 B．1 C．5或1 D．±5或±1
解析：因为|a|＝3，|b|＝2，
所以a＝±3，b＝±2，分类讨论如下：
①当a＝3，b＝2时，a＋b＝5，|a＋b|＝5；
②当a＝3，b＝－2时，a＋b＝1，|a＋b|＝1；
③当a＝－3，b＝2时，a＋b＝－1，|a＋b|＝1；
④当a＝－3，b＝－2时，a＋b＝－5，|a＋b|＝5.
由以上可得|a＋b|＝5或1.一个数的绝对值一定是非负数，不要错选D.
答案：C
【例1－2】若m，n互为相反数，则|m－2014＋n|＝________.
解析：互为相反数的两数和为0，
即|m－2014＋n|＝|0－2014|＝2014.
答案：2014
规律方法(1)运用有理数加法法则，进行有理数加法运算要遵循的一般步骤为“一观察，二确定，三求和”，即第一步先观察两个数的符号是同号还是异号，有没有零；第二步确定用哪条法则；第三步求出结果．(2)互为相反数的两个数相加得0.
变式训练
1．有理数a，b在数轴上的位置如图所示，则a＋b的值______0.(填 “大于”“小于”或“等于”)
2．若|x－3|与|y＋2|互为相反数，求x＋y＋3的值．
分析解答
1．解析：a＜0，b＞0，|a|＜|b|，所以a＋b取b的符号正号，所以a＋b＞0.
答案：大于
2．分析：由加法法则可知，互为相反数的两数和为0，即|x－3|＋|y＋2|＝0，根据绝对值的非负性，便可求出x，y的值．
解：因为|x－3|与|y＋2|互为相反数，
所以|x－3|＋|y＋2|＝0.
所以|x－3|＝0，|y＋2|＝0.
所以x－3＝0，y＋2＝0，即x＝3，y＝－2.
所以x＋y＋3＝3＋(－2)＋3＝4.
能力点2运用加法的运算律简化运算
题型导引几个有理数相加，适当地运用运算律从而达到简化运算的目的．
【例2】计算：
(1)(－41)＋(＋12)＋(－59)＋(＋78)；
(2)＋＋(－3.2)＋.
分析：若从左往右依次相加则非常烦琐，我们可以通过运用加法的运算律，(1)中把同号两数先分别相加，(2)中把同分母分数先分别相加，且同时达到了“凑整”的效果，简捷明快．
解：(1)原式＝[(－41)＋(－59)]＋[(＋12)＋(＋78)]＝－100＋90＝－10；
(2)原式＝＋
＝4.2＋(－4.2)＝0.
规律方法运用运算律时，一定要根据需要灵活运用，以达到简化运算的目的，通常有以下规律：
(1)符号相同的数可以先相加——“同号结合法”．
(2)互为相反数的两数，可以先相加——“相反数结合法”．
(3)分母相同或易通分的加数可以先相加——“同分母结合法”．
(4)几个数相加能得到整数可以先相加——“凑整法”．
(5)整数与整数，小数与小数相加——“同形结合法”．
变式训练
计算下列各题：
(1)5＋1＋3＋2＋6＋4＋；
(2)(＋17)＋(－23)＋(－18)＋(＋34)＋(－5)；
(3)(－32.76)＋＋(＋32.76)＋；
(4)－＋(－0.25)＋(＋0.5)＋＋1.
分析：观察特点，灵活运用加法运算律进行简化运算．
(1)题把5，2和4结合易于通分，把1和6，3和同分母分数结合易于计算；
(2)把正数和负数分别运算；
(3)题中－32.76和32.76，－3和3互为相反数，分别结合起来凑0计算；
(4)题是小数和分数的混合计算，可以把 ( http: / / www.21cnjy.com )小数统一化成分数(或把分数统一化成小数)后再计算，另外不难发现－和－0.25结合可以化成整数－1，＋0.5和－互为相反数，故也先结合．
解：(1)5＋1＋3＋2＋6＋4＋＝＋＋
＝12＋8＋4＝24；
(2)(＋17)＋(－23)＋(－18) ( http: / / www.21cnjy.com )＋(＋34)＋(－5)＝[(＋17)＋(＋34)]＋[(－23)＋(－18)＋(－5)]＝(＋51)＋(－46)＝5；
(3)(－32.76)＋＋(＋32.76)＋＝(－32.76＋32.76)＋
＝0；
(4)－＋(－0.25)＋(＋0.5)＋＋1＝＋
＋1＝－1＋0＋1＝0.1.1 正数和负数
基础巩固JICHU GONGGU
1．－7是( )
A．自然数 B．分数 C．非负数 D．负整数
2．下列各项的两个量中，不具有相反意义的是( )
A．升高3m与降低3m B．弹簧伸长2m与缩短3m
C．节约5t水与浪费8t水 D．向前走5步和向左走5步
3．某工厂计划每月生产800t产品，一月份生产了700t，将超额记为“＋”，那么它超额完成计划的吨数是( )
A．－100 B．100 C．10 D．1500
4．某粮店出售的三种品牌的面粉袋上，分别 ( http: / / www.21cnjy.com )标有质量为(25±0.1)kg，(25±0.2)kg，(25±0.3)kg的字样，从中任意拿出两袋，它们的质量最多相差( )
A．0.8kg B．0.6kg C．0.5kg D．0.4kg
5．在－，π，0，0.333四个数中，有理数的个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
6．在下列各数－3，15，－0.4，0，，9.5，＋1，－20%中，正数有________，负数有________．
7．如果海平面的高度记作0m，一潜水艇在海面下方30m深处，记作________，一飞机在海面上空1000m的高度记作________．
8．将下列各数分别填入相应的圈内：
－1，3，6.2，－0.03，0，－14.01，1，π.
( http: / / www.21cnjy.com )
能力提升NENGLI TISHENG
9．观察下列数：－1，2，－3，4，－5， 6，－7，…将这一列数排成下列形式：
－1
2 －3 4
－5 6 －7 8 －9
10 －11 12－1314 －15 16
……
按照上述规律排下去，那么第10行从左数第9个数是________．
10．新华中学七年级(1)班学生的平均身高为150cm(超过部分为正)，下表是该班5名同学身高情况：
姓名 刘超 李强 张明 刘丽 赵薇
超出 ＋2 －3 0 ＋5 －1
指出以上5名同学谁最高？谁最矮？最高与最矮相差多少？
参考答案
1．D 点拨：自然数是指正整数和0.
2．D
3．A 点拨：将超额记为“＋”，差是100t，故为A.
4．B 点拨：最高质量为(25＋0.3) kg，最低质量为(25－0.3)kg，所以它们的质量最多相差0.6kg.
5．C 点拨：π不是有理数．
6．15，，9.5，＋1 －3，－0.4，－20%
点拨：正数前面的“＋”通常会省略．
7．－30m ＋1000m 点拨：高于海平面记为正，低于海平面记为负．
8．解：
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
点拨：根据有理数的两种分类解题．
9．90 点拨：前9行的数字个数为1＋3＋ ( http: / / www.21cnjy.com )5＋7＋9＋11＋13＋15＋17＝81，再把第10行从左数9个数字，数字为90.再由奇数为负、偶数为正的符号规律可知，这个数为＋90.
10．解：刘丽最高，李强最矮，相差8cm.
点拨：几名同学的身高分别是：150＋2＝152(cm)；150＋(－3)＝150－3＝147(cm)；150＋0＝150(cm)；150＋5＝155(cm)；150＋(－1)＝150－1＝149(cm).1.5 有理数的加法
基础巩固JICHU GONGGU
1．下列结论中，不正确的是( )
A．若a＞0，b＞0，则a＋b＞0
B．若a＜b，b＜0，则a＋b＜0
C．若a＞b，b＜0，且|a|＞|b|，则a＋b＞0
D．若a＜0，b＞0，且|a|＞|b|，则a＋b＞0
2．－3＋5的相反数是( )
A．2 B．－2 C．－8 D．8
3．若|a|＝1，|b|＝2，且a＜b，则a＋b＝( )
A．－3或－1 B．3或－3 C．±3或±1 D．3或1
4．一口水井，水面比井口低3m，一只蜗牛从水面沿井壁往井口爬，每一次爬行情况如下：白天往上爬1m，晚上下滑0.5m，每天如此，则蜗牛爬出井口需要( )
A．4天 B．5天 C．6天 D．爬不出井口
5．早上水位上升了8cm，中午下降了4cm，傍晚又下降了2cm后的水位变化结果是________．
6．请你列出一个至少有加数是正整数且和为－5的算式：________.
能力提升NENGLI TISHENG
7．若a是最小的正整数，b是最大的负整数，c是绝对值最小的有理数，则a，b，c三个数的和是( )
A．－1 B．0 C．1 D．2
8．有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，则a＋b＋c的值( )
A．大于0 B．小于0 C．等于0 D．不确定
9．计算：
(1)－2＋(－3)＋(－8)；
(2)(－3.5)＋＋＋4＋0.
10．十一黄金周期间，某风景区在7天假期中，每天旅游的人数变化如下表(正数表示比前一天多的人数，负数表示比前一天少的人数，单位：万人)：
日期 1日 2日 3日 4日 5日 6日 7日
变化 1.6 0.8 0.4 －0.4 －0.8 0.2 －1.2
(1)请判断七天内游客人数最多的是哪天？最少的是哪天？
(2)若9月30日的游客人数为2万人，问这7天的游客总人数是多少万人？
参考答案
1．D 点拨：因为a，b异号，且|a|＞|b|，所以a＋b的结果应取a的符号，因为a＜0，所以a＋b＜0.
2．B 点拨：本题考查有理数的加法运算和相反数的概念．－3＋5＝2，2的相反数是－2，故选B.
3．D 点拨：由|a|＝1，|b|＝2，可知a＝±1，b＝±2，
又因为a＜b，
所以a＝±1，b＝2.
当a＝1，b＝2时，a＋b＝3；
当a＝－1，b＝2时，a＋b＝1.
所以a＋b＝3或1.
4．B 点拨：比井口低3m表示为－3m.
由题意得－3＋1－0.5＋1－0.5＋1－0.5＋1－0.5＋1＝0，所以蜗牛爬出井口需要5天．
5．上升了2cm 点拨：(＋8)＋(－4)＋(－2)＝＋2，所以水位上升了2cm.
6．3＋(－8)＝－5或2＋(－7)＝－5
点拨：答案不唯一．如还可以列式为：3＋2＋(－10)＝－5.
7．B 点拨：由题知a＝1，b＝－1，c＝0，
所以a＋b＋c＝1＋(－1)＋0＝0.
8．B 点拨：由a，b，c在数轴上的位置可知，b＜0，c＜0，a＞0，且|b|＞|a|.
所以b＋a＜0，故a＋b＋c＜0.
9．解：(1)(－2)＋(－3)＋(－8)
＝－(2＋3＋8)＝－13.
(2)(－3.5)＋＋＋4＋0
＝＋
＝－5＋4
＝－＝－.
10．解：(1)人数最多的一天是10月3日；人数最少的一天是10月7日．
(2)(2＋1.6)＋(2＋1.6＋0.8)＋(2＋1.6＋0.8＋0.4)＋(2＋1.6＋0.8＋0.4－0.4)＋(2＋1.6＋0. 8＋0.4－0.4－0.8)＋(2＋1.6＋0.8＋0.4－0.4－0.8＋0. 2)＋(2＋1.6＋0.8＋0.4－0.4－0.8＋0.2－1.2)＝27.2(万人)．
答：总人数为27.2万人．1.6 有理数的减法
能力点1有理数减法法则的运用
题型导引运用有理数减法法则判断式子的正负．
【例1】已知a＜0，b＜0，且|a|＞|b|，试判断a－b的符号．
分析：直接从形式上判断a－b的符号比较难，可以把它们转化成加法a－b＝a＋(－b)，利用加法法则来判断其符号．
解：因为a＜0，b＜0，所以－b＞0.
又因为a－b＝a＋(－b)，所以a与－b是异号两数相加，那么它们的和的符号由绝对值较大的加数的符号决定．
因为|a|＞|b|，即|a|＞|－b|，所以取a的符号．而a＜0，因此a－b的符号为负号．
规律方法判断正负性是中考常考的内容，若此类题是选择题，可以用“特殊值”法进行判断；若是解答题，则可通过运算法则来解．
变式训练
a，b，c在数轴上的位置如图所示，则a－b______0，b－c______0，－b－c______0，a－(－b)______0.
解析：由图可知：a＞0，b＜0，c＜0，且|c|＞|b|＞|a|，所以a－b＝a＋(－b)＞0；b－c＝b＋(－c)，取－c的符号，
因为c＜0，所以－c＞0，b－c＞0；
－b－c＝－b＋(－c)，－b和－c同号，都为正，所以－b－c＞0；
a－(－b)＝a＋b，a，b异号，且|b|＞|a|，所以取b的符号，即a－(－b)＜0.
答案：＞ ＞ ＞ ＜
能力点2有理数减法的实际应用
题型导引利用有理数的减法解决温差、时差、高度差等问题．
【例2】小聪连续记录了一周内每天气温的变化，气温高低情况如下表：(单位：℃)
星期 一 二 三 四 五 六 日
最高气温 －3 6 8 －2 5 3 11
最低气温 －9 －4 －3 －13 －4 －6 －1
(1)本周内气温最高是多少？
(2)本周内气温最低是多少？
(3)哪天的温度差最大？是多少？
(4)本周内温度差是多少？
分析：温度差最大的一天是指这一天的温度差的绝对值最大的一天，本周内的温度差是本周内最高气温与最低气温的差．
解：(1)11℃；(2)－13℃；
(3)周日温度差最大，差是11－(－1)＝12(℃)；
(4)本周内温度差是11－(－13)＝24(℃)．
规律方法应用有理数的减法解决温差、时差等实际问题时，一般是两个量比较，求一个量比另一个量多多少，列减法算式即可．
变式训练
1．北京与纽约的时差为－13(负号表示同一时刻纽约时间比北京晚)．若现在是北京时间15：00，那么纽约时间是__________．
2．已知甲地海拔高度为150m，乙地海拔高度为－30m，那么甲地比乙地高________m.
分析解答
1．解析：同一时刻纽约时间比北京时间晚13小时，15－13＝2，所以纽约时间为2：00.
答案：2：00
2．解析：两地高度差为：150－(－30)＝180(m)．
答案：1801.1 正数和负数
能力点1“0”的意义
题型导引引入负数后，“0”的意义就变得丰富多了，它不仅仅表示“没有”，它还是正、负数的分界点，是唯一的中性数．是 “基准”，具有“初始位置”的意义．
【例1】下列说法错误的有( )
A．0是自然数
B．0不仅仅表示没有
C．0是奇数
D．低于海平面50m，用－50m表示，则海平面用0m来表示
解析：零是偶数而不是奇数．
答案：C
规律方法引进负数后，数的范围扩大，熟悉和理解数的分类，特别是掌握与0有关的概念是正确解答此类问题的关键．
变式训练
下列说法正确的有( )
①零是正数；
②零是整数；
③不是正数的数一定是负数；
④零是非负数；
⑤零是偶数．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
解析：零既不是正数也不是负数，所以①不对；不是正数的数不一定是负数，还有可能是0，所以③不对；非负数是指0或正数，所以④是正确的；此外零既是整数，也是偶数，所以②⑤也是正确的．
答案：C
能力点2探究数字规律
题型导引探究数字规律，就要认清各列数的特征，从一般到特殊，再从特殊到一般发现数字变化规律，是解决此类题的关键．
【例2】按规律在空格处填入适当的数．
(1)2，0，－2，0，2，0，______，______，2，…；
(2)1，－，，______，，….
解析：观察数的排列规律是解 ( http: / / www.21cnjy.com )决此题的关键．(1)中的规律是2，0，－2，0循环出现，按此规律可知填写－2，0；(2)中偶数项是负数，而且分母逐次加1，分子不变，故填写－.
答案：(1)－2 0 (2)－
规律方法探究数字规律，要认真观察比较，找出其内在特点，才能正确解答．
变式训练
观察下面一组数据，探求其规律：
－，，－，，－，，…
(1)写出第7，8，9项的三个数；
(2)第2014个数是什么？
(3)如果这一组数据无限排列下去，与哪两个数越来越接近？
分析：经观察比较我们会发现，这一组数据的分母分别为2，3，4，…，分子相应地为1，2，3，…，并且奇数项为负，偶数项为正．
解：(1)－，，－；
(2)；
(3)－1和1.数轴
能力点1利用数轴上的点表示或确定有理数
题型导引数轴形象地反映了数与点之间的关系，实现了“数”与“形”的结合．
【例1】指出图中数轴上A，B，C，D，E各点分别表示什么数．
分析：根据各点距离原点多少个单位长度，在原点的左边为负数，在原点的右边为正数，在原点的是0来读出(或标出)．
解：点A表示3，点B表示，点C表示0，点D表示－3，点E表示－4.
规律方法正有理数可以用原点右边的点表示，负有理数可以用原点左边的点表示.0用原点表示．
变式训练
在数轴上表示－1，－1.
分析：要确定－1，－1的具体位置，可由1与1来确定，1表示距离原点1个单位长度，1表示距离原点1个单位长度，只不过－1，－1均在原点左侧－1与－2之间，它们分别为将这一单位长度三等分后的两个等分点，－1在右，－1在左．
解：如图．
能力点2利用数轴探究问题
题型导引有理数都可以用数轴上的点来表示，利用数轴可以解决与有理数有关的问题．
【例2】如图，在数轴上从－1到1有3个整数，它们分别是－1，0，1；从－2到2有5个整数，它们分别是－2，－1，0， 1，2，…，则从－100到100有________个整数．
解析：原点左边和右边各有100个整数，加上原点表示的0，共有201个整数．
答案：201
规律方法借助数轴加深对有理数的理解，例题主要考查有理数的分类，一是可分为正有理数、0、负有理数；二是可分为整数、分数．此题只要找出－100～100之间的整数个数即可．特别注意0是整数．
变式训练
1．数轴上的点A、点B之间的距离为4，且这两点到表示1的点的距离相等，则这两个点所表示的数是________．
2．有几滴墨水滴在数轴上，根据图中标出的数值，写出墨迹盖住的整数．
分析解答
1．解析：点A、点B之间的距离为4，且这两点到表示1的点的距离相等，故这两点在表示1的点的两侧，且到这点的距离均为2，所以这两个点所表示的数分别是－1和3.
答案：－1和3
2．分析：从图中可见墨迹盖住两段，一段是在－8～－3之间，另一段在4～9之间．
解：被墨迹盖住的整数有－7，－6，－5，－4，5，6，7，8.1.3 绝对值与相反数
基础巩固JICHU GONGGU
1．任何有理数的绝对值都是( )
A．正数 B．负数 C．非正数 D．非负数
2．绝对值与相反数都等于它本身的数有( )
A．1个 B．2个 C．无数个 D．不存在
3．绝对值小于4的非正整数有( )
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
4．下列各组数中，互为相反数的一组是( )
A.与 B.与 C.与－ D.与－
5．－5的绝对值是________；绝对值是5的数是________．
6．绝对值最小的数是________；绝对值小于或等于2的整数有________．
能力提升NENGLI TISHENG
7．绝对值相等的两个数在数轴上对应点的距离是6，则这两个数分别是( )
A．－2，4 B．4，－2 C．3，3 D．3，－3
8．如图，数轴上的点A表示的有理数是a，则点A到原点的距离是________．
9．小倩在解答题目“已知|a|＝|b|＝6.5，则a与b的关系是________．”时，她是这样思考的：因为|a|＝|b|＝6.5，所以a＝6.5或－6.5，b＝6.5或－6.5.当a＝6.5，b＝6.5时，得a＝b；当a＝－6.5，b＝－6.5时，得a＝b.因此a与b的关系是a＝b.
请判断小倩的思考过程是否严密，若有问题，请予以补充或纠正，写出正确的答案．
10．在数轴上表示有理数a，b，c三个数的点的位置如图所示，写出你通过观察就能得到的关于这三个数的3条信息．
参考答案
1．D 点拨：绝对值即数轴上的点离原点的距离，不会是负数，而是正数或0.
2．A 点拨：绝对值与相反数都等于它本身的数是0.
3．C 点拨：非正整数即负整数和0.绝对值小于4的非正整数有－3，－2，－1，0.
4．C 点拨：＝，与－互为相反数．
5．5 5或－5
6．0 ±2，±1，0 点拨：绝对值最小即离原点最近的数是0；绝对值为2的数是±2，小于2的数是±1，0.
7． D 点拨：绝对值相等，说明两数在数轴上对应点到原点的距离相等，由两点距离为6，可知每点到原点的距离为3，所以应为3，－3，如图所示．
8．－a 点拨：点A表示的数a在原点左侧，即a＜0，负数的绝对值是它的相反数，故点A到原点的距离为－a.
9．解：不严密，正确答案为a＝b或a＝－b.
点拨：因为|a|＝|b|＝6.5，所以a＝6.5或－6.5，b＝6.5或－6.5.当a＝6.5，b＝6.5时，a＝b；当a＝6.5，b＝－6.5时， a＝－b；当a＝－6.5，b＝－6.5时，a＝b；当a＝－6.5，b＝6.5时，a＝－b.
综上所述，a与b的关系是a＝b或a＝－b.
10．解：(1)a＞0，b＞0，c＜0；
(2)|a|＝a，|b|＝b；
(3)|c|＝－c.1.8有理数的乘法
能力点1与绝对值、相反数、倒数有关的混合运算
题型导引根据已知的与绝对值、相反数、倒数有关的条件，进行有关的综合计算．
【例1】已知a与b互为倒数，c与d互为相反数，m的绝对值是4，求m×(c＋d)＋a×b－3×m的值．
分析：互为倒数的两个数的积为1，互为相反数的两个数的和是0，绝对值是4的数为±4，所以要分情况计算．
解：因为a与b互为倒数，所以ab＝1.
因为c与d互为相反数，所以c＋d＝0.
因为m的绝对值是4，所以m＝±4.
当m＝4时，m×(c＋d)＋a×b－3×m＝4×0＋1－3×4＝－11；
当m＝－4时，m×(c＋d)＋a×b－3×m＝(－4)×0＋1－3×(－4)＝13.
规律方法1.互为倒数的两数之积为1，互为负倒数的两数之积为－1.
2．互为相反数的两数之和为0.
3．互为相反数的两个数的绝对值相同．
变式训练
1．一个有理数和它的相反数的积一定是( )
A．正数 B．负数 C．非正数 D．非负数
2．若|a|＝5，b＝－2，且ab＞0，则a＋b＝__________.
3．已知a，b互为相反数，c，d互为负倒数，|x|是最小的正整数，求x－(a＋b＋cd)x＋ (－cd)的值．
分析解答
1．解析：由相反数的定义知，互为相反数的两个数异号或都为0，故它们的乘积是非正数．
答案：C
2．解析：由|a|＝5知a＝±5.
又ab＞0，b＝－2＜0，所以a＝－5.
所以a＋b＝－5＋(－2)＝－7.
答案：－7
3．解：因为a，b互为相反数，所以a＋b＝0.
因为c，d互为负倒数，所以cd＝－1.
因为|x|是最小的正整数，所以|x|＝1，
所以x＝±1.
当x＝1时，x－(a＋b＋cd)x＋(－cd)
＝1－(0－1)×1＋[－(－1)]
＝1＋1＋1＝3.
当x＝－1时，x－(a＋b＋cd)x＋(－cd)
＝(－1)－(0－1)×(－1)＋[－(－1)]
＝(－1)－1＋1＝－1.
能力点2巧妙运用乘法运算律进行简化运算
题型导引在解有理数计算题时，合理运用乘法的交换律、结合律可以使运算比较简便．
【例2】计算：
(1)×(－24)；
(2)1×－2×－3×.
分析：(1)先运用乘法分配律，再按乘法法则进行计算；(2)因为1×＝－1×，因此各因数中都含有，所以可以逆向运用乘法分配律．
解：(1)原式
＝×(－24)＋×(－24)＋×(－24)＋×(－24)
＝6＋(－4)＋3＋(－2)＝3.
(2)原式＝－1×－2×－3×
＝×
＝－7×＝－×＝－5.
规律方法1.当两个数相乘是整十、整百时，或两分数相乘积是整数时，可利用乘法的交换律交换因数的位置，再运用乘法结合律计算．
2．灵活运用或逆向运用乘法分配律，将会提高运算速度，简化解题过程．
变式训练
1．(－6)×＝－＋10－，这步运算运用了( )
A．加法结合律 B．乘法结合律 C．乘法交换律 D．分配律
2．算式×4可以化为( )
A．－3×4－×4 B．－3×4＋×4
C．－3×3－3 D．－3－×4
3．用简便方法计算：
－3.14×35.2＋6. 28×(－23.3)－1.57×36.4.
分析解答
1．答案：D
2．解析：把－3拆成－3－，再运用分配律可知正确答案为A.
答案：A
3．分析：通过观察，可以发现6.28，3.14，1.57之间成倍数关系，故可以将式子进行变形，使式子里每一项中都含有1.57，再逆用乘法对加法的分配律，可避免复杂的计算．
解：－3.14×35.2＋6.28×(－23.3)－1.57×36.4＝－1.57×2×35.2＋1.57×4×(－23.3)－1.57×36.4＝1.57×[－2×35.2＋4×(－23.3)－36.4]＝1.57×(－70.4－93.2－36.4)＝1.57×(－200)＝－314.1.9 有理数的除法
基础巩固JICHU GONGGU
1．－÷2的值是( )
A．－ B. C. D．－
2．下列计算正确的是( )
A．－0.15÷3＝－0.5 B．0.2÷0.1＝0.2
C.÷2＝ D.÷2＝
3.÷×3＝__________.
4．20÷×＝__________.
5．观察下列一组数据：－3，－6，－12，－24，__________，－96，…，你发现了什么规律？按你发现的规律在横线上填上适当的数．
6．已知C＝＝3，C＝＝10，C＝＝15，…，观察上面的计算过程，寻找规律并计算C＝__________.
7．计算：
(1)(－378)÷(－7)÷(－9)；
(2)(－0.75)÷÷(－0.3)；
(3)(－3)÷；
(4)－3÷.
能力提升NENGLI TISHENG
8．已知＝＝＝1，求÷的值．
9．王老师将甲、乙两种股票同时卖出，其 ( http: / / www.21cnjy.com )中甲种股票卖价1200元，盈利20%，乙种股票卖价也是1200元，但亏损20%，问王老师两种股票合计是盈利还是亏损？盈利或亏损多少？
10．若定义一种新的运算为a*b＝，计算[(3*2)]*.
参考答案
1．A 2.D
3. 点拨：原式＝×(－3)×3＝.
4．30 点拨：原式＝20×5×＝100×＝100×－100×＝50－20＝30.
5．－ 48 点拨：规律：相邻两个数，后面的数除以前面的数，商为2.
6．210 点拨：由题意可知，
C＝＝210.
7．解：(1)(－378)÷(－7)÷(－9)＝－6；
(2)(－0.75)÷÷(－0.3)
＝××＝2；
(3)(－3)÷
＝(－3)÷＝(－3)×20＝－60.
(4)－3÷
＝－3÷
＝－3÷＝－3×＝－.
8．解：由＝＝＝1，可知|a|＝a，|b|＝b，|c|＝c，即a，b，c均为正数．
所以÷＝1÷＝1.
9．解：甲种股票的买入价为：1200÷(1＋20%)＝1000(元)；
乙种股票的买入价为：1200÷(1－20%)＝1500(元)，1200×2－(1200＋1500)＝－100(元)．
所以王老师两种股票合计亏损了100元．
点拨：甲种股票的买入价为：1200÷(1＋20%)，乙种股票的买入价为：1200÷(1－20%)，比较总买入价与总卖出价，作出判断．
10．解：因为a*b＝，
所以[(3*2)]*＝*
＝*＝
＝＝－.
