12.2 分式的乘除
基础自测
1.计算的结果为( )
A. B.x2y C.－x2y D.－xy
2.计算等于( )
A. B. C. D.xy2
3.计算等于( )
A.a2 B. C. D.其他结果
4.计算:_______________.
5.化简的结果是___________.
6.计算的结果为_______________.
7.计算:(1)；(2).
8.先化简,然后请你选择一个合适的x的值代入求值:.
9.先化简再求值:,其中a满足a2－a＝0.
能力提升
10.已知m米布料能做n件上衣,2m米布料能做3n条裤子,则一件上衣用料是一条裤子用料的多少倍
创新应用
11.A玉米试验田是边长为a米的正方形减去边长为1米的正方形蓄水池后余下部分；B玉米试验田是边长为(a－1)米的正方形,两块试验田的玉米都收获了500千克.
(1)哪种玉米田的单位面积产量高？
(2)高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍？
参考答案
1答案:C
2答案:C
3解析:先将算式中的除式的分子、分母颠倒位置或理解成除以一个数等于乘以这个数的倒数,统一成乘法,再计算结果,即
.
答案:B
4解析：.
答案:
5答案:－x－1
6解析:.
答案:－a
7解:( 1)
.
(2).
8解:,
当x＝1时,原式.
9解:原式,
由a2－a＝0得原式＝0－2＝－2.
10解:由题意得.
答:一件上衣用料是一条裤子用料的倍.
11解:(1)A玉米试验田面积是(a2－1)米2,单位面积产量是千克／米2；
B玉米试验田面积是(a－1)2米2,单位面积产量是千克／米2,
因为a2－1－(a－1)2＝2(a－1),a－1＞0,
所以0＜(a－1)2＜a2－1.
所以.
所以B玉米的单位面积产量高.
(2).
所以高的单位面积产量是低的单位面积产量的倍.12.5 分式方程的应用
基础自测
1汽车以每小时20公里的速度从A到B，又以每小时60公里的速度从B沿原路线返回A，则来回的平均速度是( )
A．40公里/小时 B．30公里/小时
C．45公里/小时 D．35公里/小时
2有两块面积相同的小麦试验田，分别收获小麦9 000 kg和15 000 kg.已知第一块试验田每公顷的产量比第二块少3 000 kg，若设第一块试验田每公顷的产量为x kg，根据题意，可得方程( )
A.＝ B.＝
C.＝ D.＝
3为响应承办“绿色奥运”的号召，九年级(1)班全体师生义务植树300棵．原计划每小时植树x棵，但由于参加植树的全体师生植树的积极性高涨，实际工作效率提高为原计划的1.2倍，结果提前20分钟完成任务．则下面所列方程中，正确的是( )
A.－＝ B.－＝20
C.－＝ D.＝－
4A，B两地相距48公里，某人实 ( http: / / www.21cnjy.com )际行走速度比原计划快，故从A到B提前2小时到达，求实际行走速度．解：设原计划每小时行走x公里，则实际每小时行走________公里，依题意可列方程：________.
5已知甲做125个，乙做95个同样 ( http: / / www.21cnjy.com )零件所用时间相同，且甲每小时比乙多做6个，若设甲每小时做x个，根据题意，可得方程是______；若设乙每小时做y个，则得出的方程是________．
6太华商场买进一批运动衣用 ( http: / / www.21cnjy.com )了10 000元，每件按100元卖出，假如全部卖出这批运动衣，所得的款与买进这批运动衣所用的款的差就是利润，那么这次买卖中，商场所得利润刚好是买进200件运动衣所用的款，试问这批运动衣有多少件？(只列方程)
7相邻的两个偶数的比是24∶25，求夹在这两个偶数之间的奇数．
能力提升
8我部队到某桥头阻击敌人，出发时敌人离桥头24千米，我部队离桥头30千米，我部队急行军，速度是敌人的1.5倍，结果比敌人提前48分钟到达，求我部队的速度．
9已知A，B两地相距36千米， ( http: / / www.21cnjy.com )甲、乙两人分别从A，B两地同时出发，相向而行，相遇时，甲距B地还有16千米，相遇后，继续前进，甲到B地比乙到A地早1.8小时，求甲、乙两人速度．
10某文化用品商店用2 000元购进一批学生 ( http: / / www.21cnjy.com )书包，面市后发现供不应求，商店又购进第二批同样的书包，所购数量是第一批购进数量的3倍，但单价贵了4元，结果第二批用了6 300元．
(1)求第一批购进书包的单价是多少元？
(2)若商店销售这两批书包时，每个售价都是120元，全部售出后，商店共盈利多少元？
创新应用
11(2009重庆濠江中考)通惠新城 ( http: / / www.21cnjy.com )开发某工程准备招标，指挥部现接到甲、乙两个工程队的投标书，从投标书中得知：乙队单独完成这项工程所需天数是甲队单独完成这项工程所需天数的2倍；该工程若由甲队先做6天，剩下的工程再由甲、乙两队合作16天可以完成．
(1)求甲、乙两队单独完成这项工程各需要多少天？
(2)已知甲队每天的施工费用为0.67万元，乙队每天的施工费用为0.33万元，该工程预算的施工费用为19万元．为缩短工期，拟安排甲、乙两队同时开工合作完成这项工程，问：该工程预算的施工费用是否够用？若不够用，需要追加预算多少万元？请说明理由．
参考答案
1答案：B
2答案：C
3答案：A
4答案：(x＋x) ＝＋2
5答案：＝ ＝
6分析：本题主要等量关系是：所得利润＝200件运动衣的进价，并不是所有的分式方程都能化为一元一次方程．
解：设买进的这批运动衣有x件．由题意得
100x－10 000＝×200
7分析：此题考查偶数的定义及比例的应用．先根据题意确定这两个偶数，再求夹在这两个偶数之间的奇数．
解：设相邻的两个偶数分别为2x和2x＋2，由题意列方程，得
＝，
解得x＝24.
经检验x＝24是原方程的根，并且符合题意．
所以2x＝48,2x＋2＝50.
所以夹在48和50之间的奇数为49.
8解：设敌人的速度为x，则我部队的速度为1.5x，
根据题意得－＝.
解得x＝5，
经检验x＝5是原方程的根．
1．5x＝1.5×5＝7.5，
答：我部队的速度为7.5千米/时．
9分析：1.掌握列分式方程解决实际问题的一般步骤，抓住题中的等量关系列出方程．
2．在列方程的过程中体会 ( http: / / www.21cnjy.com )题中的数量关系，在解题过程中体会考虑问题时应注意考虑问题的全面性．(1)解决此类问题通过画线段图能帮助对题意的理解；
(2)相遇时，甲距B地还有16千米，说明甲此时走了(36－16)千米，即20千米，乙走了16千米，从出发到相遇，两人所用时间相等；
(3)设甲的速度为x千米/时，则乙的速度为16÷＝x千米/时；
(4)走完全程甲用了小时，乙用了＝小时．
解：设甲的速度为x千米/时，
则乙的速度为16÷＝x千米/时，
根据题意，得＋1.8＝.
解这个方程，得x＝5.
经检验，x＝5是原方程的根，x＝×5＝4，符合题意．
答：甲的速度为5千米/时，则乙的速度为4千米/时．
10分析：(1)相等关系是“第二批数量是第一批数量的3倍”，数量关系如下表：
总价 单价 数量
第一批 2 000 x
第二批 6 300
(2)求出这两批书包的数量，乘以售价120元，再减去购进书包所用的(2 000＋6 300)元，所得结果就是全部售出后的盈利．
解：(1)设第一批购进书包的单价是x元，
根据题意得·3＝，解得x＝80(元)．
经检验：x＝80是原方程的解．
(2)×(1＋3)×120－(2 000＋6 300)＝3 700(元)．
答：(1)第一批购进书包的单价是80元．
(2)全部售出后，商店共盈利3 700元．
11解：(1)设甲队单独完成这项工程需要x天，
则乙队单独完成这项工程需要2x天．
根据题意，得＋16(＋)＝1，
解得x＝30.
经检验，x＝30是原方程的根．
则2x＝2×30＝60.
答：甲、乙两队单独完成这项工程各需要30天和60天．
(2)设甲、乙两队合作完成这项工程需要y天．
则有y(＋)＝1，解得y＝20.
需要施工费用：20×(0.67＋0.33)＝20(万元)．
因为20＞19，
所以工程预算的施工费用不够用，需追加预算1万元．12.5 分式方程的应用
分式方程的应用(★★★)
分式方程的应用主要是列方程解应用题，与列一元一次方程解应用题的思路和方法基本一致．不同的是学了分式后，表示数与数关系的代数式不再受整式的限制．
一般地，列分式方程解应用题要按下列步骤进行：(1)审题，了解已知数与所求的各是什么；(2)设未知数；(3)找出相等关系，列出分式方程；(4)解这个分式方程；(5)检验，看方程的解是否满足方程和符合题意；(6)写出答案．上面的步骤可巧记为：审、设、列、解、检、答．列分式方程解应用题时，求出方程的解后，必须进行检验，同时还要检验该方程的解是否符合实际，即要注意方程的解有可能不是应用题的解，如：求出的里程为负数，人数为分数等．
点拨：
设未知数对列方程起着关键作用．对于一道应用题，首先考虑直接设未知数．如果直接设未知数不奏效，就应考虑间接设未知数，即把一个不是题目中最后要求的未知量设为未知量，求出该数后，再求要求的数．如果设一个未知数，其等量关系不好确定，还可多设几个未知数，即辅助未知数．
【示例】甲、乙两地相距14千米，在一次郊游时，一部分人骑自行车先走， 40分钟后，其余的人乘汽车出发，结果他们同时到达，已知汽车的速度是自行车的3倍，求这两种车的速度．
思路分析：设自行车的速度为x千米/时，则汽车的速度是3x千米/时，本题的等量关系是骑自行车的人比坐车的人所用时间多了40分钟．
解：设自行车的速度是x千米/时，根据题意，得－＝.解得x＝14.
经检验x＝14是原方程的根，所以3x＝42(千米/时)．
x＝14,3x＝42，符合题意．
即自行车的速度是14千米/时，汽车的速度是42千米/时．12.2 分式的乘除
一、分式的乘法法则★★
分式与分式相乘，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母.
用式子表示为.
1.分式与分式相乘时，如果分子和分母是多项式则先分解因式，看能否约分，然后再乘.
2.整式和分式相乘，可以直接把整式（整式的分母是1）和分式的分子相乘作分子，分母不变.当整式是多项式时，同样先分解因式.
点拨：
乘法运算的实质就是约分.因此，正确地掌握分式约分的方法是分式乘除法运算的关键.
【示例】计算：
（1）;(2).
思路分析：在分式乘法运算中应用乘法法则来运算，也可以先约分，再相乘.有多项式时也可以先分解因式再计算.
解：（1）.
(2) .
二、分式的除法法则★★
分式除以分式，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘.
用式子表示是：.
1.分式的乘除法归根到底是乘法运算，实质是分式的约分.
2.除式或被除式是整式时，可看作分母是1，然后依照除法法则计算.
3.对于分子、分母是多项式的分式，运用法则计算前要先对分子与分母进行因式分解.
点拨：
1.对于分式乘除法来讲，如果没有附加条件（如括号等），应按由左到右的顺序进行计算，以免出现类似a÷b×＝a÷1＝a这样的错误；
2.对于分式的乘除法混合运算，为避免因运算顺序不对而造成错误，一般应先把算式中除式的分子、分母颠倒位置，将除法转化为乘法后再计算.
【示例】计算：
（1）;(2).
思路分析：在分式的除法运算中，除式（或被除式）是整式时，可以看作分母是1的分式，然后按照法则计算.
解：（1）.
(2).12.1 分式
基础自测
1.下列分式:、、、、中,不能再约分的分式有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
2.如果把分式中的x和y都扩大3倍,那么分式的值( )
A.扩大3倍 B.不变 C.缩小3倍 D.缩小6倍
3.写出一个分母至少含有两项,且能够约分的分式:_______________.
4.化简的结果是_______________.
5.当x、y满足关系式___________时,分式的值为.
6.化简下列分式:
(1);(2);
(3);(4).
7.求下列各分式的值.
(1),其中x＝5,yss＝－10;
(2),其中a＝－2,b＝－3.
能力提升
8.已知,求的值.
9.不改变分式的值,先把分式 ( http: / / www.21cnjy.com )的分子、分母各项的系数化为整数,把分子、分母的最高次项系数化为正整数,再进行约分.
10.已知分式的值为正整数,求a的值.
创新应用
11.学校用一笔钱买奖品,若以1支钢笔 ( http: / / www.21cnjy.com )和2本笔记本为一份奖品,则可以买60份奖品；若以1支钢笔和3本笔记本为一份奖品,则可以买50份奖品,你能算出这笔钱全部用来买钢笔或笔记本各自能买多少吗？
参考答案
1答案:A
2答案:B
3答案:(答案不唯一)
4答案:
5答案:x＋y≠0
6解:(1)；
(2)；
(3)；
(4).
7解:(1),当x＝5,y＝－10时,原式.
(2),当a＝－2,b＝－3时,原式.
8解:
( http: / / www.21cnjy.com )
9解:原式
.
10解:分两种情况讨论:
(1)若a＝－3,则a2－9＝0,分式无意义.
(2)若a≠－3,则
,
即3－a是6的正约数时,符合题设条件.
则3－a＝1或2或3或6,
所以a＝2,a＝1,a＝0,a＝－3(舍去).
综上所述:a的值为0或1或2.
11解:设钢笔每支x元,笔记本每本y元,则有60(x＋2y)＝50(x＋3y),即x＝3y.
所以这笔钱全部用来买钢笔,可买
(支)；
这笔钱全部用来买笔记本,可买
(本).12.3 分式的加减
一、同分母的分式加减法法则★
同分母的两个分式相加（减），分母不变，把分子相加（减）.
用式子表示为：.
1.同分母的分式加减法法则是进行分式加减运算的基础和主要依据.
2.只要是分母相同的分式，就可以根据该法则进行加减运算.若分式相加，则分母不变，分子相加；若分式相减，则分母不变，分子相减.
点拨：
“把分子相加减”就是把各分式 ( http: / / www.21cnjy.com )的“分子的整体”相加减，所以在运用法则进行运算时，各分子都应加括号.如果分子是单项式，括号可以省略；若分子是多项式，则括号不可以省略.
【示例】计算：.
思路分析：(1)先把分母要么化为“m－n”，要么化为“n－m”，然后利用法则进行计算.
解：
＝;
二、通分★★
把几个异分母的分式分别化为与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分.这个相同的分母叫做公分母.
1.通分是根据分式的基本性质，将异分母的分式化成与原来分式相等的同分母的分式的过程.
2.通分的关键是确定几个分式的最简公分母，最简公分母是各分母所有因式的最高次幂的积.
3.几个分式的公分母通常不止一个，但选取的公分母越简单，运算也就越简便.
点拨：
确定最简公分母应从以下几方面把握：①取各分母系数的最小公倍数；②凡出现的字母（或含有字母的式子）的幂的因式都要取；③相同字母（或含有字母的式子）的幂的因式取指数最大的.这样取的因式的积，就是最简公分母.另外当各分母是多项式时，应先把各多项式分解因式，再按上面的方法求出各分母的最简公分母.
【示例】通分：.
思路分析：把异分母的分式化成同分母的分式，在这个过程中必须保证化成的分式与其原来的分式相等.
解：∵最简公分母为30a2b3c2,∴
.
三、异分母的分式加减法法则★★
异分母的两个分式相加（减），先通分，变为同分母的分式，再加（减）.
用式子表示为：.
1.异分母分式的加减必须转化为同分母分式的加减，然后按照同分母分式
加减法则进行计算.
2.同分母分式相减时，减数的分子是多项式的，要避免产生符号错误.
点拨：
在做分式加减法时，最好先把各分子看作一个整体括起来，然后再去括号化简.加减运算完成后，要将分子、分母中的能分解因式的多项式分解因式，然后约分.
【示例】计算：.
思路分析：先确定最简公分母，然后通分，最后再加减.最简公分母是2(3x＋2y)(3x－2y).
解：原式＝
＝＝
＝＝＝.12.4 分式方程
基础自测
1若分式的值为零，则x的值是( )
A．0 B．1 C．－1 D．－2
2如果关于x的方程＝无解，那么m的值为( )
A．－2 B．5 C．2 D．－3
3若关于x的方程－＝不会产生增根，则m为( )
A．m≠0 B．m≠ C．m≠0且m≠－ D．m≠且m≠－
4数学的美无处不在．数学家们研究发现，弹拨琴弦发出声音的音调高低，取决于弦的长度，绷得一样紧的几根弦，如果长度的比能够表示成整数的比，发出的声音就比较和谐．例如，三根弦长度之比是15∶12∶10，把它们绷得一样紧，用同样的力弹拨，它们将分别发出很调和的乐声do，mi，so.研究15,12,10这三个数的倒数发现：－＝－.我们称15,12,10这三个数为一组调和数．现有一组调和数：x,5,3(x＞5)，则x的值是__________．
5已知方程＋2＝有增根，则k＝______.
6(1)解关于x的方程＝产生增根，则常数m的值为__________；
(2)当m＝__________时，关于x的分式方程＝－1无解．
7(1)解方程：－1＝；
(2)解分式方程－＝1.
能力提升
8m为何值时关于x的方程＋＝会产生增根．
9当m为何值时，方程＋3＝会产生增根．
10在式子＝中，R≠R1，求出表示R2的式子．
11解方程＝＋.
创新应用
12当m为何值时，关于x的方程＝－的解是正数．
参考答案
1解析：分式为零的条件是分子等于零而分母不等于零；由x－1＝0，得x＝1.当x＝1时，x＋2≠0.所以，当x＝1时，分式的值为零．
答案：B
2答案：D
3解析：去分母得1－(x－1)m＝(x＋1)(1－2m)，而x≠1时，m≠；x≠－1时，m≠－.
答案：D
4解析：根据题意，调和数的前两项的倒数差等于后两项的倒数差．
因此，调和数x、5、3也满足这一规律，
所以－＝－，解这个分式方程得x＝15.
答案：15
5解析：先将分式方程转化为整式方程，分式方程若有增根，则增根为x＝±2，代入求出k的值．在解分式方程的有关增根问题时，一定要按照题目中所介绍的三个步骤进行．
原分式方程的可能增根是由4－x2＝0，解得x＝±2，
分式方程两边同时乘以(4－x2)得整式方程：1＋2(4－x2)＝－k(x＋2)，
当x＝2时，代入整式方程，得k＝－，
当x＝－2时，代入整数方程，得1＝0，这是一个矛盾等式，
所以x＝－2不可能是分式方程的增根．
综上知：k＝－.
答案：－
6解析：(1)先把分式方程化为整式方程，再把 ( http: / / www.21cnjy.com )增根(即使分式方程的最简公分母为0的未知数的值)代入这个整式方程，即可求得m的值．即x－3＝m，当x＝1(原方程的增根)时，m＝－2.(2)分式方程＝－1的增根是x＝3，把分式方程化为整式方程2x＋m＝－x＋3，即3x＝3－m，把x＝3代入得，m＝－6，也就是当m＝－6时，关于x的分式方程＝－1无解．
答案：(1)－2 (2)－6
7解：(1)方程两边同乘以x2－4，得
(x－2)2－(x2－4)＝3.
解这个整式方程，得－4x＝－5，x＝.
检验：x＝时，x2－4≠0.
所以x＝是原方程的解．
(2)方程两边同乘(2x－3)(2x＋3)，得
2x(2x＋3)－(2x－3)＝(2x－3)(2x＋3)．
化简，得4x＝－12，解得x＝－3.
检验：x＝－3时，(2x－3)(2x＋3)≠0，
所以x＝－3是原分式方程的解．
8解：方程两边同时乘以x2－4，得2x＋4＋mx＝3x－6，
因为方程若产生增根，则x＝±2，
所以当x＝2时，2×2＋4＋2m＝6－6，m＝－4；
当x＝－2时，2×(－2)＋4－2m＝3×(－2)－6，m＝6.
所以当m＝－4或6时，原方程会产生增根．
9解：解关于m的方程＋3＝，得m＝－2x＋5.
若原方程有增根，则增根只能是x＝2，
所以m＝－2×2＋5＝1，即当m＝1时方程＋3＝会产生增根．
10解：去分母，得R1R2＝(R1＋R2)R，
解这个整式方程，R1R2＝R1R＋RR2，
R1R2－RR2＝RR1，
所以(R1－R)R2＝RR1.
因为R≠R1，所以R2＝.
11解：去分母得5x－7＝2(x－2)＋3(x－1)，
化简整理得0x＝0，
∴x为一切有理数．
当x＝1，x＝2时，最简公分母(x－1)(x－2)＝0，
∴原方程的解为x≠1，x≠2的有理数．
12分析：“方程的解是正数”是指分式方程有解且为正数，所以分式方程化为整式方程后的解使最简公分母不能为零．解这类问题的方法是，先求出方程的根，再根据题意列出不等式，解不等式，将解集中使最简公分母为零的值去掉，即可求得．
解：将方程两边都乘以(x2－x－2)，得m＝x(x－2)－(x－1)(x＋1)．
解这个方程，得x＝，
因为原方程有增根时只能是x＝－1或x＝2.
当x＝－1时，＝－1，解得m＝3；
当x＝2时， ＝2，解得m＝－3.
所以当m≠±3时，x＝才是原方程的根．
因为x＞0，所以＞0，即1－m＞0.
所以m＜1.
综上，即当m＜1，且m≠－3时，原方程有正根．12.1 分式
基础自测
1.下列式子:①；②；③；④；⑤.其中是分式的是( )
A.①③④ B.①②⑤ C.③⑤ D.①④
2.当a＝－1时,分式的值 ( )
A.没有意义 B.等于零 C.等于1 D.等于－1
3.下列分式中一定有意义的是( )
A. B. C. D.
4.下列各式从左到右的变形正确的是( )
A. ( http: / / www.21cnjy.com ) B.
C. D.
5.使分式有意义的x的取值范围是_____________.
6.下列等式的右边是怎样从左边得到的？
(1)；
(2).
能力提升
7.观察下面一列有规律的数:,….根据规律可知第n个数是__________(n为正整数).
8.不改变分式的值,使它的分子、分母的最高次项的系数都是正数,则_______________.
9.若分式不论x取何实数时总有意义,求m的取值范围.
创新应用
10.指出下列解题过程是否存在错误,若存在,请加以改正并求出正确的答案.
题目:当x为何值时,分式有意义？
参考答案
1答案:D
2答案:A
3答案:A
4答案:A
5答案:x≠－3
6解:(1)因为有意义,所以x+4≠0,把左边分式的分子、分母同时除以(x+4),得到右边；
(2)因为,所以2x－3≠0,把左边分式的分子、分母同时乘以(2x－3),得到右边.
7答案:
8答案:
9解:x2－2x+m＝(x－1)2+(m－1),根据题意可知(x－1)2+(m－1)≠0,由于(x－1)2≥0,
所以m－1＞0,即m＞1.
10解:,
由x－2≠0,得x≠2.
所以当x≠2时,
分式有意义.
解:在分式的分子、分母同除以(x+1)可能为零的代数式时,扩大了x的取值范围.
正解:由(x+1)(x－2)≠0,得x+1≠0,且x－2≠0,所以x≠－1且x≠2.
当x≠－1且x≠2时,分式有意义.12.1 分式
一、分式的概念★
是的形式.其中，A、B都是整式，并且B中都含有字母.
像这样的代数式叫做分式.其中A叫做分式的分子，B叫做分式的分母.
1.分式的分子中可以含有字母，也可以不含字母，分式的分母中必须含有字母.如都是分式.
2.分式中，分母的值不能为零.如果分母的值是零，则分式没有意义.如分式中，y－1≠0,
即y≠1.反之，若分式没有意义，则分式的字母的值为零.如分式无意义，则m－2＝0,即m＝2.
3.如无特别说明，分式都是有意义的.也就是说，分式中分母的值不等于零.如分式中隐含着条件x－1≠0,即x≠1.
4.分式的值为零必须在分式有意义的前提下讨论.分式有意义，分式的值可能为零，可能不为零；分式无意义，分式的值不存在，更不可能为零了.
分式的值为零，必须同时满足两个条件：①分子等于零；②分母不等于零，两者缺一不可.
点拨：
1.分式的分数线有除号和括号两个作用.如可表示为（a－b）÷(a＋b),而不是a－b÷a＋b,同样（a－b）÷(a＋b)写成分式形式时不需带括号.
2.整式和分式统称有理式，即有理式分式和整式的区别是：分母中含
有字母的是分式；分母中不含字母的是整式.如,是整式，而是分式.π是常数，不是字母.
【示例】下列各式中，哪些是整式？哪些是分式？
（1）;(2);(3);(4);(5).
思路分析：整式与分式的区分关键是看分母中是否含有字母，含有字母的则是分式，不含字母的则是整式，而不必对式子作其他的变形.
解：整式有：,,;
分式有：,.
二、分式的基本性质★★★
分式的基本性质与分数的基本性质类似，即：分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变.用字母表示为,(M是不等于0的整式).
1.应用分式的基本性质时，要深刻理解“都”与“同”的含义.
“都”的意思是分子与分母必须同时乘以（或者除以）同一个整式，不能只有分子乘以（或除以）这个整式，也不能只有分母乘以（或除以）这个整式.
“同”的意思是分子与分母都乘以（或除以）的整式必须是同一个整式.
2.对于分式的基本性质,(M是整式且M≠0)中的A、B、M表示的都是整式，其中B≠0是已知条件中隐含的条件，不需要强调；而M≠0是解题过程中附加的条件，运用分式的基本性质时，必须强调M≠0，这是前提条件.
如,在从左到右的变化过程中，由于分式中隐含着a≠0这一条件，所以分式的分子与分母都乘以a是正确的，而在这一变化过程中，由于没有c≠0这一条件，所以不能直接应用分式的基本性质.
点拨：
运用分式的基本性质时，必须特别注意分子、分母同时乘以（或除以）的相同整式不能为零.
【示例】写出下列等式中的分子或分母：
（1）;(2).
思路分析：（1）先观察分母.等式左边分式 ( http: / / www.21cnjy.com )的分母是ab,等式右边分式的分母是a2b,显然a2b是由ab·a得到的，由分式的基本性质，等式右边分式的分子由等式左边分式的分子乘以a而得到，则等式右边分式的分子为a(a＋b).
(2)先观察分子.等式左边分式的分子为x, ( http: / / www.21cnjy.com )等式右边分式的分子为1，显然1是由x÷x得到的，由分式的基本性质，等式左边分式的分母也要除以x,则等式右边分式的分母为x－y.
答案：a(a＋b) x－y
三、分式的约分★★
利用分式的基本性质，把分式中分子、分母的公因式约去，叫做分式的约分.
1.约分的关键是正确找出分子与分母的公因式.
（1）若分子与分母是单项式，它们的系数的最大公约数与它们的相同字母的最低次幂的积是分子与分母的最大公因式；
（2）若分子、分母是多项式，应先把它们分解因式，然后再确定分子与分母的公因式.
2.约分要彻底，即约去的应是分子、分母的最大公因式.
点拨：
约分时，若分子或分母是多项式，要用分子、分母的公因式去除多项式的分子和分母，不能只除某一项.例如、是错误的.
【示例】约分：
（1）;(2);(3).
思路分析：(1)中分子、分母都是单项式，应 ( http: / / www.21cnjy.com )约去它们系数的最大公约数与相同字母的最低次幂的积，即2mn2.(2)和（3）中分子、分母都是多项式，应先将能分解因式的多项式分解因式，再确定公因式、约分.
解：（1）.
(2).
(3).12.3 分式的加减
基础自测
1.分式、、的最简公分母是( )
A.(a2－b2)(a+b)(b－a) B.(a2－b2)(a+b)
C.(a2－b2)(b－a) D.a2－b2
2.计算的结果是( )
A. B. C. D.
3.计算的结果为( )
A. B. C. D.
4.甲从A地到B地要走m小时,乙从B地到A地要走n小时,若甲、乙二人同时从A、B两地出发,相遇需( )
A.m+n小时 B.小时
C.小时 D.小时
5.计算的结果是____________.
6.已知,则M＝_____________.
7.请你先对进行化简,再选取一个使原式有意义,而你又喜爱的数代入求值.
能力提升
8.有这样一道题:“先化简,再求值:,其中x＝－3.5.”小玲做题时把“x＝－3.5”错抄成了“x＝3.5”,但她的计算结果也是正确的,请你解释这是怎么回事？
9.请你阅读下列计算过程,再回答所提出的问题:
A
B
＝x－3－3(x+1) C
＝－2x－6. D
(1)上述计算过程中,从哪一步开始出现错误:_______________________；
(2)从B到C是否正确？______.若不正确,错误的原因是_______________________；
(3)请你正确解答.
10.已知:,Q＝(x+y)2－2y(x+y),小敏、小聪两人在x＝2,y＝－1的条件下分别计算了P和Q的值,小敏说P的值比Q大,小聪说Q的值比P大.请你判断谁的结论正确,并说明理由.
创新应用
11.甲、乙二人一个月里两次同时到一家粮油商店买大米,两次大米的价格有变化,但他们两人购买的方式不一样,其中甲每次总是购买相同重量的大米,乙每次只能拿出相同数量的钱来买米,而不管能买多少,问这两种买米方式哪一种更合算？请说明理由.
参考答案
1答案:D
2答案:B
3答案:A
4解析:由题意可知,甲每小时行全程的,乙每小时行全程的,则两人相遇所需的时间为小时，即小时.
答案:D
5答案:
6答案:x2
7解:
＝x－1＋x＝2x－1.
令x＝2,原式＝2×2－1＝3.等等.
8解:.
因为x＝3.5或x＝－3.5时,x2的值均为12.25,原式的计算结果都为16.25.
所以把“x＝－3.5”错抄成“x＝3.5”,计算结果也是正确的.
9解:(1)A(2)不正确 把两个分式的分母丢掉了
(3)原式.
10解:因为,
所以当x＝2,y＝－1时,P＝2－1＝1.
又因为Q＝(x+y)2－2y(x+y)＝x2－y2,
所以当x＝2,y＝－1时, Q＝22－(－1)2＝4－1＝3.
因为P＜Q,所以小聪的结论正确.
11解:设两次大米的单价分别为x元/千克、y元/千克(x＞0,y＞0,x≠y),则甲平均每千克花了元,乙平均每千克花了元.而 ( http: / / www.21cnjy.com ),所以乙的购买方式合算.12.4 分式方程
一、分式方程的概念(★)
分母中含有未知数的方程，叫做分式方程．
1．分式方程的两个主要特征是：(1)含分式；(2)分母中含有未知数．
2．分式方程和整式方程统称为有理方程，两者 ( http: / / www.21cnjy.com )的区别就在于分母中是否含有未知数，分母中含有未知数的方程是分式方程，不含未知数的方程是整式方程．如＝1和＝都是分式方程．
点拨：
区别一个方程是分式方程还是整式方程的关 ( http: / / www.21cnjy.com )键是要看分母中是否含有未知数．虽然有的方程中含有分式，但分母中不含未知数，所以这样的方程不是分式方程而是整式方程．
【示例】下列各式中，是分式方程的是( )
A.＋3＝6x B.
C.＋3＝ D.＝a(x为未知数)
思路分析：根据分式方程的概念，分母中含有未知数的方程叫做分式方程．所以只有C项是分式方程，A项的分母中不含有未知数，B项不是等式，D项的分母虽然含有字母，但这个字母不是未知数．
答案：C
二、分式方程的解法(★★★)
1．解分式方程的基本思想是把分式方程转化为整式方程，然后通过解整式方程，进一步求得分式方程的解．具体解题思路如下：
( http: / / www.21cnjy.com )
2．解分式方程的一般方法和步骤：(1)去分母，即在方程的两边都乘以最简公分母，把原方程化为整式方程；(2)解这个整式方程；(3)验根：把整式方程的根代入最简公分母，使最简公分母不等于零的根是原方程的根，使最简公分母等于零的根是原方程的增根．
点拨：
(1)将分式方程转化为整式方程时所乘的最简公分母，应乘以原分式方程的每一“项”．(2)解分式方程时，验根是求解分式方程不可缺少的重要步骤．其方法是：把所求得的根代入最简公分母，使最简公分母等于零的根是增根．
【示例】 解方程：＋＝2.
思路分析：解分式方程的关键是去分母转化为整式方程，同时注意检验是求解过程中不可缺少的重要步骤，千万不要漏掉．
解：＋＝2，将方程的两边同乘以 ( http: / / www.21cnjy.com )2x－1，得10＋(－5)＝2(2x－1)，解方程得x＝.将x＝代入原方程，得左边＝2＝右边，∴x＝是原方程的根．
三、分式方程的增根(★★)
在将分式方程变形为整式方程时，方 ( http: / / www.21cnjy.com )程两边同乘以一个含有未知数的整式，并约去了分母，有时可能产生不适合原分式方程的根(或解)，这种根通常称为增根．
解分式方程产生增根的原因是解分式方程时去分母造成的．方程的两边都乘以(或除以)同一个不为零的数(或整式)，方程的解不变，也就是说方程的两边不能都乘以(或除以)零．解方程的过程中，如果方程两边同时乘以的整式有可能为零，则方程就有可能产生增根．
点拨：
①增根不是计算过程中的失误造成的，而是在从分式方程转化为整式方程的过程中，进行正常的变形时造成的，因此解分式方程必须验根．②验根的方法有两种：一种是代入原方程检验，使原分式方程的某个分母为零的根是原方程的增根；另一种是代入最简公分母检验，使最简公分母为零的根是原分式方程的增根．
【示例】 k为何值时，方程－4＝会产生增根？
思路分析：将分式方程化为整式方程后，若求得的解使x－3＝0，即x＝3，则方程产生增根，从而建立关于k的一元一次方程，可求解．
解：去分母，得x－4(x－3)＝k，因为方程的增根为x＝3，所以3－4(3－3)＝k，所以k＝3.因此，当k＝3时，原方程会产生增根．
