14.3 实数
1.在实数，0，，－3.14，中，无理数有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
2.两个实数在数轴上的对应点和原点的距离相等，则这两个数( )
A.一定相等 B.一定不相等
C.相等或互为相反数 D.以上都不对
3.下列各组数中，互为相反数的是( )
A.－3与 B.|－3|与
C.|－3|与 D.－3与
4.如图，数轴上点N表示的数可能是( )
A. B. Ｃ. D.
5.设，则下列结论正确的是( )
A.4.5＜a＜5.0 B.5.0＜a＜5.5
Ｃ.5.5＜a＜6.0 D.6.0＜a＜6.5
6.如图，以数轴的单位长线段为边作一个正方形，以数轴的原点为圆心，以这个正方形的对角线长为半径画弧，交正半轴于点A，则点A表示的数是__________.
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7.如果一个实数的绝对值是，那么这个实数是_____________.
8.把下列各数分别填入相应的集合里:
－|－3|，21.3，－1.234，,0，,,,,，3－2，1.212 112 111 2….
(1)无理数集合｛_____________…｝;
(2)负分数集合｛___________…｝;
(3)整数集合｛___________…｝;
(4)非负数集合｛___________…｝.
能力提升
9.已知长方体的体积是1 620，它的长、宽、高的比是5∶4∶3，问该长方体的长、宽、高是无理数吗？为什么？
10.已知M是满足不等式的所有整数的和，N是满足不等式x≤的最大整数，求M＋N的平方根.
创新应用
11.细心观察图，认真分析各式，然后解答问题.
，；，；，；…
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(1)请用含n(n是正整数)的等式表示上述变化规律；
(2)推算出OA10的长；
(3)求S12＋S22＋S32＋…＋S102的值.
参考答案
1解析:注意，－3.14≠π，都不是无理数.
答案:A
2答案:C
3解析:，与－3互为相反数.
答案:D
4答案:Ｂ
5解析:由于，5.52＝30.25，所以，故选Ｂ.
答案:Ｂ
6解析:这个正方形的对角线长为，所以按照题目要求作出的点A表示的数是.
答案:
7解析:一个数的绝对值等于正数a，则这个数为a或者－a，这两个结果互为相反数.
答案:或
8答案:(1),,1.212 112 111 2…；
(2)－1.234，；
(3)－|－3|，0，,；
(4)21.3，0，,,，3－2，1.212 112 111 2….
9解:该长方体的长、宽、高不是无理数.
设长方体的长、宽、高分别是5k、4k、3k.
根据题意得5k·4k·3k＝1 620，k3＝27，k＝3.所以5k＝15，4k＝12，3k＝9.
所以，该长方体的长、宽、高均为有理数，不是无理数.
10解:因为，所以整数的值可以为－1、0、1、2，则M＝－1＋0＋1＋2＝2.又因为，所以x≤的最大整数解为2，即N＝2.
所以M＋N的平方根为±2.
11解:(1),.
(2) ,，，…,.
(3)
.14.2 立方根
基础自测
1.下列说法正确的是( )
A.－64的立方根是－4 B.－64的平方根是－8
C.8的立方根是±2 D.－(－3)3的立方根是－3
2.下列各组数中，互为相反数的一组是( )
A.－3和 B.和
C.－3和 D.和|－3|
3.一个数的平方根是它本身，则这个数的立方根是( )
A.1 B.0 C.－1 D.1、－1或0
4.若的整数部分为a，则a的值为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
5.下列各式正确的是( )
A. B.
C. D.
6.0.3是_________的立方根，的立方根是_________.
7.－27的立方根与的平方根之和为_________.
8.如果5x＋19的立方根是4，则2x＋7的平方根是____________.
9.求下列各式的值.
(1);(2);(3);(4).
能力提升
10.在做浮力实验时，小华用一根细线将 ( http: / / www.21cnjy.com )一正方体铁块拴住，完全浸入盛满水的圆柱形烧杯中，并用一量筒量得被铁块排开的水的体积为64立方厘米，小华又将铁块从烧杯中提起，量得烧杯中的水位下降了3厘米.请问烧杯内部的底面半径和铁块的棱长各是多少？(π取3，结果保留整数)
创新应用
11.阅读下列解答过程,并按要求填空:
已知,,求的值.
参考答案
1答案:A
2答案:A
3答案:B
4解析:因为33＜51＜43，所以的整数部分为3，即a＝3.
答案:C
5答案:A
6答案:0.027 2
7解析:的平方根即9的平方根有两个，故此题有两个结果.
答案:0或－6
8答案:±5
9分析:求负数的立方根的问题，可运用将求负数的立方转化为求正数的立方根，再转化为相反数的形式.
解:(1).
(2).
(3).
(4).
10解:设正方体铁块的棱长是x厘米，烧杯内部的底面半径是r厘米，根据题意列方程得
x3＝64，解得x＝4，所以正方体铁块的棱长是4厘米.
设烧杯内部的底面半径是r厘米，根据题意列方程得
πr2×3＝64，所以.因为r＞0，解得.
所以烧杯内部的底面半径是厘米.
11解:根据算术平方根的意义,由,得(2x－y)2＝9,所以2x－y＝3.①(第一步)
根据立方根的意义,由,得x－2y＝－3.②(第二步)
解得x＝3,y＝3.
把x、y的值代入分式中,得.(第三步)
上述解答有两处错误,一处是___________步,忽视了___________;另一处是步___________,忽视了___________.
答案:第一 正数的平方根有两个 第三 0不能做分母14.4 近似数
1．下列叙述中，出现近似数的是 ( )
A．八年级(1)班有46名学生 B．小李买了5支笔
C．晶晶向希望工程捐款200元 D．小芳体重为46千克
2．已知地球的表面积约等于5.1亿平方千米，其中海洋面积约等于陆地面积的倍，则地球上陆地面积约等于(精确到0.1亿平方千米)( )
A．1.5亿平方千米 B．2.1亿平方千米
C．3.6亿平方千米 D．12.5亿平方千米
3．2011年3月，国家统计局公布我国人口约为129 533万人．如果以亿为单位保留两位小数，可以写成约为__________亿人．
4．用四舍五入法，按要求对下列各数取近似值．
(1)0.851 49(保留三位小数)；
(2)47 600(精确到千位)；
(3)0.298(精确到0.01)；
(4)8 903 000(精确到万位)．
参考答案
1．D 解析：由测量得出的数一般为近似数．
2．A
3．12.95 解析：129 533万中数字2处在亿位，所以保留两位小数为12.95亿．
4．解：(1) 0.851 49≈0.851；(2)47 600≈48千；(3)0.298≈0.30；(4)8 903 000≈890万．14.3 实数
一、无理数的概念★★
无限不循环小数叫做无理数.
1.无理数包括三类数：第一类是开方开不尽的数，如等；第二类是含圆周率π的数，如2π，等；第三类是有规律可循但不循环的小数，如1.212 112 111 211 112…，0.101 001 000 100 001….
2.所有有理数都可以写成分数形式，而无理数不能写成分数形式.
3.无理数与有理数的和或差仍是无理数，无理数乘以或除以一个非零有理数结果仍是无理数.
点拨：
①判断一个数是不是无理数，一是看它是不是无限小数，二是看它是不是不循环小数，只有同时满足“无限”和“不循环”这两个条件的数，才能称为无理数.
②含有根号的数不一定都是无理数，如，是一个有理数.
无理数是（ ）
A.有限小数 B.带根号的数
C.无限不循环小数 D.无限循环小数
根据无理数的意义判断，无理数必须满足“无限”和“不循环”两个条件.
答案：C
二、实数的概念★★
有理数和无理数统称为实数.
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点拨：
a与－a可表示任意一对互为相反数的数，如果a表示一个非零数，那么a与互为倒数，0的绝对值、相反数都是本身，0没有倒数.
到现在为止，我们学过的所有的数都是实数，当数由有理数扩充到实数后，有理数中的一些概念，在实数范围内仍适用，如：
相反数：只有符号不同的两个数叫做相反数.
倒数：乘积等于1的两个数互为倒数.
绝对值：一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.即
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将下列各数填在相应的大括号里.
，0.8,,,－2,||,,π，，0，，,－0.212 112 111…（每相邻两个2之间依次多个1）.
自然数集合{ …}； 有理数集合{ …}；
正数集合{ …}；分数集合{ …}；
整数集合{ …};无理数集合{ …}.
解题关键是明确实数的分类标准及分类方法.
自然数集合{，0，…}；
有理数集合{，0.8,,,－2,,0,,,…}；
正数集合{0.8,,||,,π,,…}；
分数集合{，0.8,,,,…}；
整数集合{，－2，0，，…}；
无理数集合{||，π，,－0.212 112 111…（每相邻两个2之间依次多个1），…}.
三、实数与数轴上的点的对应关系★
实数与数轴上的点是一一对应的关系，即每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示，反过来，数轴上的每一个点都可以用一个实数来表示.
1.所有的有理数都可以用数轴上的点来表示，但数轴上的点不全表示有理数；因此数轴上的点与有理数之间不是一一对应关系；所有的无理数都能用数轴上的点来表示，但数轴上的点并不全表示无理数，所以无理数和数轴上的点也不是一一对应关系；数轴上的每一个点都表示实数，且所有的实数都能用数轴上的点来表示，所以实数与数轴上的点是一一对应关系.
2.有理数的大小比较法则在实数范围内仍成立.
法则1：对于数轴上的两个点，右边的点所表示的实数总比左边的点表示的实数大.
法则2：正数大于0，0大于负数，正数大于一切负数；两个负数比较大小，绝对值大的反而小.
点拨：
对于有理数与无理数、无理数与无理数比较大小，可以比较被开方数的大小，被开方数越大，算术平方根越大.
【示例】比较下列各组数的大小.
（1）－π和－3.141 5;
（2）和.
（1）两个负数，绝对值大的反而小；（2）无理数与有理数比较大小，可以都化成小数来比较，也可以化成含根号的数，比较被开方数的大小.
（1）∵π＞3.141 5,∴－π＜－3.141 5.
(2),∵,∴.14.5 用计算器求平方根与立方根
1．利用计算器求下列各式的值：
(1)= ；(2)= ；
(3) = ；(4) = ．
观察以上计算结果，你发现了什么规律 请写出来．
2．用计算器计算下列各题(精确到0.001)：
(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)．
3．求下列各式中x的值(结果精确到0.01)．
(1)8x3+126=0；(2)(x+1)3=－168．
4．如图14–5–1所示，工人师傅从一块铁片上剪下四个圆做冲击垫圈，要求每个圆的面积为16 cm2，则这块铁片的边长至少为多少 (精确到0.01 cm)
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图14–5–1
参考答案
1． (1)3 (2)33 (3)333 (4) 3 333
规律：各题的运算结果都由3构成，3的个数与原式中2的个数相同．
2． (1)；(2)；
(3)；(4)；
(5)；(6)．
3．(1)x≈－2.51；(2)x≈－6.52．
4．解：设每个小圆的半径为r cm，则，≈2.257(cm)．
故这块铁片的边长至少为2.257×4=9. 028≈9.03 (cm)．14.1 平方根
基础自测
1.|－4|的算术平方根是( )
A.2 B.±2 C.4 D.±4
2.121的平方根是±11的数学表达式是( )
A. B.
C. D.
3.的平方根是( )
A.±9 B.9 C.±3 D.3
4.在下列式子中，正确的是( )
A. B.
C. D.
5.已知x，y满足，则xy的值是( )
A.4 B.－4 C. D.
6.如果a的平方根是±2，那么_____________.
7.计算:_________ ___;____________;_____________.
8.若4x＋6的平方根是±2，则x＝______________.
9.求下列各数的平方根.
(1);(2);(3)(－12)2;(4)0.49;(5).
10.求下列各式中的x.
(1)(x－1)2＝36;(2)4x2－16＝0.
能力提升
11.若x、y满足，求xy的值.
创新应用
12.一天，蚊子落在狮子的身上对它说：“狮子，别看你高大威猛，而实际上我们俩的体重相同！”狮子不屑一顾地对蚊子说：“别瞎说了，那怎么可能！”蚊子不慌不忙地说：“不信，我给你证明一下…”，说着，蚊子便在地上写出了证明过程：
证明：设蚊子重m克，狮子重n克.又设m＋n＝2a，则有m－a＝a－n.两边平方，(m－a)2＝(a－n)2,
因为(a－n)2＝(n－a)2,所以(m－a)2＝(n－a)2,两边开平方，
得，所以m－a＝n－a，①
所以m＝n，即蚊子与狮子一样重.
请同学们判断蚊子的证法对吗？为什么？
参考答案
1答案:A
2答案:D
3答案:C
4解析:因为0.62＝0.36，所以，故B错；因为，故C错；因为，所以D也是错误的.
答案:A
5解析:y2－6y＋9可化为(y－3)2，因为≥0(a≥0)，a2≥0，所以3x＋4＝0且y－3＝0，解得，y＝3，故xy＝－4.
答案:B
6答案:2
7答案: 1.2
8解析:因为4的平方根是±2，所以4x＋6＝4，解得.
答案:
9解:(1)因为，所以的平方根是，即±.
(2)因为，又因为，所以的平方根是，即.
(3)因为(±12)2＝(－12)2，所以(－12)2的平方根是±12，即.
(4)因为(±0.7)2＝0.49,所以0.49的平方根是±0.7,即.
(5)因为,所以的平方根是,即±.
10解:(1)因为36的平方根为±6，所以x－1＝±6.当x－1＝6时， x＝7；当x－1＝－6时，x＝－5.所以x的值为7或－5.
(2)方程变形，得4x2＝16，即x2＝4.因为4的平方根为±2，所以x＝2或x＝－2.
11解:由题意2x－1≥0,1－2x≥0,
故,把代入原方程,得y＝4,
所以.
12分析:这是一道非常著名的诡辩题，它利用的就是同学们对算术平方根性质与意义的理解.由于算术平方根是非负的，所以当a≥0时，；当a＜0时，.而诡辩题中，错就错在它错误理解为：无论a取何值时，都等于a.
解:蚊子不可能和狮子一样重，这是每个人都能知道的事实.可是通过数式的演变之后，蚊子却变得和狮子一样重，肯定是在演变的过程中隐藏了玄机.稍加留意，就会发现上面的①式有误，由题设，应有关系式m＜a＜n，则m－a＜0，n－a＞0，那么，，则－(m－a)＝n－a，仍为m＋n＝2a，实际上蚊子的数式演变是在原地打转，什么也没证明.14.1 平方根
一、平方根的概念★★★
一般地，如果一个数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个数x就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根.如，因为32＝9，所以3是9的平方根，（－3）2＝9，所以－3也是9的平方根，因此3和－3都是9的平方根.
1.一个正数有两个平方根，它们互为相反数，如16的平方根是±4，25的平方根是±5.
2.因为只有0的平方等于0，所以0只有一个平方根，它是0本身.因为任何数的平方都不可能是负数,所以负数没有平方根.
3.一个正数a的正的平方根，用符号“”表示，读作“根号a”.其中，a叫做被开方数.正数a的负的平方根，用符号“”表示，这两个平方根可记为.如3的平方根记作，的平方根记作.
点拨：
①因为正数的平方根有两个，且它们互为相反数，所以只要知道了这两个平方根中的一个，就能得到它的另一个平方根.
②可以说2是4的平方根，也可以说－2是4的平方根，但不能说4的平方根是2，也不能说4的平方根是－2，只能说4的平方根是±2.
③因为任何数的平方都是非负数，而a是x的平方，所以a是一个非负数，即a≥0.
4.根据平方根的意义，可以利用平方来检验或寻找一个数的平方根，例如求49的平方根，就是确定哪个数的平方等于49，哪个数的平方等于49，哪个数就是49的平方根.求下列各数的平方根.
（1）0.81;(2).
根据平方根的意义，求一个数的平方根，就是求哪个数的平方等于这个数.
（1）因为0.92＝0.81,(－0.9)2＝0.81，除了0.9和－0.9以外，任何数的平方都不等于0.81，所以0.81的平方根是±0.9.
（2）因为，，除了和以外，任何数的平方都不等于，所以的平方根是.
点拨：
①开平方的结果不一定唯一.一个正数开平方的结果有两个，它们互为相反数；0开平方的结果唯一，就是0；负数不能开平方，所以负数没有平方根.
②平方运算可以检验开平方的结果是否正确.
二、开平方的概念★
求一个数的平方根的运算，叫做开平方
1.开平方和加、减、乘、除、乘方一样，也是一种运算，是求平方根的过程，开平方与平方运算互为逆运算.
2.只有非负数才能开平方.将一个正数开平方，关键是找出它的一个算术平方根.
点拨：
①由算术平方根的意义知，算术平方根具有双重非负性，即被开方数a≥0，算术平方根≥0.
②当有意义时，必有a≥0.
三、算术平方根的概念★★
把一个正数的正的平方根，叫做这个数的算术平方根.
1.（a≥0）表示a的平方根，表示a的算术平方根.如“”表示3的算术平方根.
2.0的算术平方根等于0，即＝0.
求下列各数的算术平方根和平方根.
（1）0;(2)0.09.
根据平方根的定义，求数a的平方根，就是求一个数x,使x2＝a,再根据算术平方根的意义，找出其中的非负数平方根即可.
（1）因为02＝0,所以0的算术平方根是0，平方根也是0.
（2）因为(±0.3)2＝0.09,所以0.09的算术平方根是0.3，平方根是±0.3.14.5 用计算器求平方根与立方根
知识点1 利用计算器求一个非负数的算术平方根、平方根(重点)
运用观察的方法，利用平方与开平方互为逆运算的关系可以进行简单的开方运算．对于比较复杂的问题，人们常常用计算器求平方根与立方根．求一个非负数算术平方根的按键顺序是先按，再按被开方数，最后按 = ，显示结果．
提示：用不同型号的计算器进行运算时，按键顺序可能有所不同，使用计算器座先认真阅读其说明书．
例1 用计算器求10的算术平方根．(精确到0.01)
分析：依顺序按键直接求出即可．
解：依顺序按键，显示结果为3.162 27…，所以．
注意
以上操作为求一个数的算术平方根，若求平方根则在结果前添加“±”即可．
知识点2 利用计算器求一个数的立方根(重点)
利用计算器求一个数的立方根需用计算器上的键．用法是按键，再输入要开立方的数．
如的操作过程是，显示结果是1.817 120 593．
由于任何一个数都有立方根，若求负数的立方根就要用键．如：的操作过程是．
例2 用计算器求的近似值．(精确到0.001)
解：依顺序按键，显示结果为1.106 011 489，所以≈1.106．
点拨
运用不同型号的计算器进行开方运算时，按键顺序有所不同．在使用前应认真了解计算器的使用说明．14.2 立方根
一、立方根的定义★★
1.定义：一般地，如果一个数x的立方等于a，即x3＝a，那么这个数x就叫做a的立方根，也叫做a的三次方根.
2.性质：一个正数有一个正的立方根，一个负数有一个负的立方根，0的立方根是0.
3.开立方：求一个数的立方根的运算，叫做开立方.数a的立方根，用符号“”来表示，读作“三次根号a”.a称为被开方数.开立方也是一种运算，它与立方运算互为逆运算，可以用立方运算检验开立方的结果是否正确.任何数都有一个立方根，开立方的结果是唯一的.
点拨：
①负数没有平方根，但有一个负的立方根.
②平方根和立方根都是本身的数只有1个，就是0.
【示例】求下列各数的立方根：
（1）－0.729;(2).
思路分析：由立方运算求一个数a的立方根，先找出立方等于a的数，写出a的立方根的值，并用数学表达式表示开立方的结果.
（1）因为(－0.9)3＝－0.729,所以＝－0.9.
（2）因为，所以.
点拨：
所有的数都有一个与它本身符号相同的立方根，而对于平方根而言：正数有两个互为相反数的平方根.0的平方根是0，负数没有平方根，这是平方根与立方根最大的区别.
二、立方根与平方根的区别与联系★★
联系：都与相应的乘方互为逆运算， 0的平方根与立方根都是它本身.
区别：（1）任何数都有且只有一个立方根，但负数没有平方根.（2）一个正数有一个正的立方根，而一个正数有两个互为相反数的平方根.
【示例】求下列各式的值：
（1）；（2）;(3);(4).
思路分析：每一个数都有与自身符号相同的立方根，用立方与开立方互为逆运算来求一个数的立方根，而是求64的算术平方根.
（1）＝8；（2）＝－0.6;（3）＝－（－9）＝9；（4）＝8.14.4 近似数
知识点1 近似数与准确数
在生产实践和实际生活中，有些需要度量的数，都很难得到非常精确的数值，有时测量完全准确的数不能办到，而有时不必测量出完全准确的数，所以根据实际需要和度量的可能性使用了一些有一定精确度的数，即近似数．
近似数：接近实际的数或在计算中按要求所取的与某个准确数接近的数，我们把它叫做近似数．
注意：(1)出现近似数的原因：一是有时做到完全准确是办不到的，如我国约有13亿人口；二是有时也没有必要做到完全准确，如购买500斤西红柿，可能多一点，也可能少一点等．
(2)近似数在很多情况下，常用四舍五入法得到．
例1 指出下列各数哪些是准确数，哪些是近似数
(1)小明的身高为170 cm；(2)1吨等于1 000kg；
(3)八年级二班有50人；(4)操场长为200 m．
解：(1)(4)是近似数，(2)( 3)是准确数．
点拨
测量的结果一般都是近似数．
知识点2 近似数的精确度
要确定一个近似数，需要知道这个近似数的精确度，即精确到哪一位．
拓展：(1)在一些计算或测量中，我们有时需要对近似数进行处理，通常应用四舍五入法对近似数进行精确处理．如果结果只取整数，那么就叫做精确到个位，如π≈3；如果结果取1位小数，那么就叫做精确到十分位(或精确到0.1)，如π≈3.1；如果结果取2位小数，那么就叫做精确到百分位(或精确到0.01)，如π≈3.14．
(2)对于“精确到哪一位”，是指四舍五入的结果是这一位．如=3.333…，若要求四舍五入到十分位，则取≈3.3，这就叫做精确到十分位(或叫做精确到0.1)．
(3)带单位的数，如近似数38万是千位数字四舍五入到万位的结果，所以说它精确到万位．
例2 下列是由四舍五入得到的近似数，各精确到哪一位．
(1)507.6；(2)0.040 57；(3)24.70；(4)0.600；(5)2. 7万；(6)4 000万；(7)4千万．
解：(1)507.6精确到十分位(即精确到0.1)．
(2)0.040 57精确到十万分位(即精确到0.000 01)．
(3)24.70精确到百分位(即精确到0.01)．
(4)0.600精确到千分位(即精确到0.001)．
(5)2.7万中的7处在千位的位置上，故2.7万精确到千位．
(6)4 000万中第三个0处在万位上，故4 000万精确到万位．
(7)4千万中的4处在千万位上，故4千万精确到千万位．
点拨
确定近似数精确到哪一位，关键是看最后一位数字在该数中处在什么位上．处在哪个位上就精确到哪一位．
