16.1 轴对称
1．观察下列4个用纸折叠成的图案(如图16–1–21所示)，其中是轴对称图形的有( )
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图16–1–21
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
2．如图16–1–22所示，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=50°，将其折叠，使点A落在边CB上A'处，折痕为CD，则∠A'DB=( )
A．40° B．30° C．20° D．10°
3．如图16–1–23所示，△ABC中，AB=AC=5，BC=3，∠A=40°，点A和点B关于直线l对称，AC与l相交于点D，则∠ABD= ，△BDC的周长为 ．
4．如图16–1–24所示，△ABC的顶点A在∠EOD的边OD上，B、C在∠EOD内部，分别作△ABC关于OE、OD对称的图形．
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图16–1–22 图16–1–23 图16–1–24
参考答案
1．B 解析：根据轴对称图形的定义，可知(1)(2)(4)都是轴对称图形．
2．D 解析：∠A′DB=180°－2∠CDA=180°－2(180°－∠DCA－∠A)=10°．
3．40° 8 解析：根据轴对称图形的性质，∠ABD=∠A=40°．BD=DA，∴△BDC的周长为BD+DC+BC=AC+BC=5+3=8．
4．解：如图D–16–1所示，△ABC关于OE对称的图形为△A1B1Cl，关于OD对称的图形为△A2B2C2．
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图D–16–116.3 角的平分线
1．如图16–3–15所示，在Rt△ABC中，AB=AC，BD是∠ABC的平分线，DE⊥BC于点E，若AB=8 cm，则DE+DC等于( )
A．10 cm B．14 cm C．8 cm D．13 cm
2．如图16–3–16所示，P为∠AOB ( http: / / www.21cnjy.com )的平分线上一点，PE⊥OA，PF⊥OB，垂足分别为E，F．若OE=15 cm，△POE的面积为30 cm2，则PF的长为( )
A．2 cm B．4 cm C．6 cm D．8 cm
3．如图16–3–17，在△ABC ( http: / / www.21cnjy.com )中，AB=AC，AD是角平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，请由已知条件写出三组相等的线段：_________，_________，_________．
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图16–3–15 图16–3–16 图16–3–17
4．如图16–3–18所示，BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，S△ABC=36 cm2，AB=18 cm，BC=12 cm，求DE的长．
5．如图16–3–19所示，已知△ABC，利用直尺和圆规，根据下列要求作图(保留作图痕迹，不要求写作法)．并完成下列证明．
(1)作∠ABC的平分线BD交AC于点D；
(2)作线段BD的垂直平分线交AB于点E，交BC于点F；
(3)求证：BD与EF互相垂直平分．
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图16–3–18 图16–3–19
参考答案
1．C 解析：∵BD是∠ABC的平分线，DE⊥BC，∠A=90°，∴DE=DA，∴DE+DC=AC．又∵AB=AC=8 cm，∴DE+DC=8 cm．
2．B 解析：∵P为∠AOB的平分线上一点，PE⊥OA，PF⊥OB，∴PE=PF，又∵S△POE=·PE，∴PE=4 cm，∴PF=4 cm．
3．DF=DE，AE=AF，BE=CF，BD=CD(任选三组) 解析：△ADE≌△ADF，△ BDE≌△CDF，△ABD≌△ACD．
4．解：∵BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB于点E， DF⊥BC于点F，∴DE=DF(角平分线上的点到这个角的两边的距离相等)．∵S△ABC=36 cm2，且S△ABC=S△ABD+S△BDC，AB=18 cm，BC=12 cm，∴×18×DE+×12×DF=36，∴DE=DF=(cm)．
答：DE的长为 cm．
5．解：(1)(2)如图D–16–3所示．(3)证明：由作图可知∠EBM=∠FBM，EF⊥BD，且平分BD．设EF交BD于点M．∠BME=∠BMF．又∵BM=BM，∴△BEM≌△BFM(ASA)．
∴ME=MF(全等三角形对应边相等)．又∵EF⊥BD，∴BD垂直EF且平分EF．即BD与EF互相垂直平分．
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图D–16–316.4 中心对称图形
1．下列选项中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( )
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2．4张扑克牌如图16–4–13①所示 ( http: / / www.21cnjy.com )放在桌子上，小敏把其中一张旋转180°后结果如图16–4–13②所示，那么她所旋转的牌从左数起是( )
① ②
图16–4–13
A．第一张 B．第二张 C．第三张 D．第四张
3．下列图形中：①线段；②圆；③正方形；④等腰梯形；⑤平行四边形(邻边、邻角不相等)，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是 ．是中心对称图形，但不是轴对称图形的是 ．
4．如图16–4–14所示，在△ABC中，D是AB 边上的中点， AC=4，BC=6．作出△CDB关于点D的中心对称图形．
5．如图16–4–15所示，△ABC和△A'B'C'关于某点成中心对称，其中点A'，B'，C'．的对称点分别为A'，B'，C'．试确定其对称中心的位置．
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图16–4–14 图16–4–15
参考答案
1．C 解析：选项A是中心对称图形；选项B是轴对称图形，选项D既不是轴对称图形，也不是中心对称图形．故选C．
2．A 解析：因为只有第一张牌是中心对称图形，所以旋转180°与它自身重合．
3．④ ⑤ 解析：①②③的图形既是轴对称图形又是中心对称图形．
4．解：如图D–16–4所示，△CDB关于点D的中心对称图形是△EDA．
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图D－16－5
5．解：如图D–16–5所示，根据两个图形成中心对称的性质，连接AA′，BB′，CC′，三线的交点O即为对称中心．16.2 线段的垂直平分线
1．三角形的三边的垂直平分线的交点( )
A．必在三角形的内部 B．必在三角形的外部
C．必在三角形的一边上 D．以上都有可能
2．在△ABC内部有一点P，到△ABC的三个顶点的距离相等，即PA=PB=PC，则点P一定是( )
A．三角形三条中线的交点 B．三角形三条高的交点
C．三角形三边垂直平分线的交点 D．三角形三个内角的平分线的交点
3．如图16–2–14所示，在△ABC中，BC=15，PQ，MN分别为AB，AC的垂直平分线，则△APM的周长为 ．
4．已知如图16–2–15所示，过点A作△ABC边BC上的高．(保留作图痕迹，不写作法)
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图16–2–14 图16–2–15
参考答案
1．D 解析：由锐角三角形三边的垂直平分线的交点在三角形的内部，直角三角形三边的垂直平分线的交点在三角形的斜边上，钝角三角形三边的垂直平分线的交点在三角形的外部．
2．C 解析：到三个顶点距离相等的点是三角形三边垂直平分线的交点．
3．15 解析：由PQ垂直平分AB知，AP=BP．由MN垂直平分AC知，AM=CM．
∴△APM的周长为BC的长．
4．解：如图D–16–2所示．
AM为△ABC边BC上的高．
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图D–16–216.5 利用图形的平移、旋转和轴对称设计图案
知识点1 从图形变换的角度欣赏图案(重点)
★我们将图形的平移、旋转和轴对称统称为图形变换．
图案的简单设计实际上就是这几种变换的合理组合的变化．
欣赏现实生活中的一些精美图案，分析它们的形成过程，理解它们所表示的意义，为进行图案设计积累素材，激发进行图案设计的兴趣．
三种基本变换是平移、旋转、轴对称．三者既有区别，又有联系．
(1)区别
①运动方式不同：平移是沿某方向移动；旋转是绕一点转动；轴对称是沿一条直线折叠．
②对应点的连线的性质不同：两个具有平移关系图形的对应点所连接的线段平行(或在同一条直线上)且相等；两个具有旋转关系图形的对应点与旋转中心所连接的线段相等；两个成轴对称的图形的对应点所连接的线段被对称轴垂直平分．
③三种变换所需条件不同：平移变换需要知道平移方向和平移距离；旋转变换需要知道旋转中心、旋转方向和旋转角；轴对称需要知道对称轴．
(2)联系
三者都是平面内的变换，而且都不改变图形的大小和形状，只是改变图形的位置．
例1 分析图16–5–1中图案的形成过程．
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图16–5–1
分析：该图案是由五部分组成的．
解：图案的绕图案的中心分别旋转72°、144°、216°、288°即得该图案．
注意
分析图案的形成过程时，要分清“基本图案”及图形变换的方式．
知识点2 图案设计的步骤(难点)
(1)整体构思
①图案的设计要突出“主题”，即设计图案的意图，要求简捷、自然、新颖、别致，具有一定的意义；
②确定整幅图案的形状(如圆形或正方形)和“基本图案”；
③构思图案的形成过程：首先构思该图案由哪几部分构成，再构思如何运用平移、旋转、轴对称等方法实现由“基本图案”到各部分图案的组合，并作出草图．
(2)具体作图
根据草图，运用尺规作图的方法准确地作出图案，有条件的同学可用几何画板或在Microsoft Word上画出满意的图案．
(3)对图案进行适当的修饰(如着色等)．
例2 某公司为了节约开支，购买了质量相同的两种颜色的残缺地砖准备用来装修地面，现已加工成如图16–5–2所示的等腰直角三角形，王聪同学设计了①②③④四种图案．
(1)请问你喜欢哪种图案 并简述该图案的形成过程．
(2)请你利用学过的知识再设计一幅与上述不同的图案．
分析：要求只选其中一个图案来简述，且同－图案形成的过程也不唯一，只要合理即可．
解：(1)我喜欢图案④，图案④是以同行或同列的两个小正方形组成的长方形为“基本图案”，绕大正方形的中心旋转180°得到的．
(2)如图16–5–3所示．
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图16–5–2 图16–5–3
规律总结
图案的设计与日常生活息息相关，它通常是利用基本图形的变换来进行图案设计，图形之间基本变换关系有轴对称、平移、旋转、组合这四种基本形式，但较多的形式都是经过组合变化而成的．16.5 利用图形的平移、旋转和轴对称设计图案
1．(2012·山东潍坊中考)甲乙两位同学用同棋子做游戏．如图16–5–16所示，现轮到黑棋下子，黑棋下一子后白棋再下一子，使黑棋的5个棋子组成轴对称图形．白棋的5个棋子也成轴对称图形，则下列下子方法不正确的是( )．[说明：棋子的位置用数对表示，如A点在(6，3)]
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图16–5–16
A．黑(3，7)；白(5，3) B．黑(4，7)；白(6，2)
C．黑(2，7)；白(5，3) D．黑(3，7)；白(2，6)
2．图16–5–17是两张全 ( http: / / www.21cnjy.com )等的图案，它们完全重合地叠放在一起，按住下面的图案不动，将上面图案绕点O顺时针旋转，至少旋转 后，两张图案构成的图形是中心对称图形．
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图16–5–17 图16–5–18 图16–5–19 图16–5–20
3．某产品的标志图案如图16–5–18所示，要把A、B、C 三个四边形通过一种或几种变换，使之变为与图16–5–19一样的图案，你所用的变换方法是 ．(在以下变换方法中选择一种正确的填到横线上，也可以用自己的话表述)
①将四边形B向上平移；②将四边形B绕点O旋转120°；③将四边形B绕点O旋转180°．
4．图16–5–20是某公司未完成的一个标志图案，该图案是以直线l为对称轴的轴对称图形．现已完成对称轴左边的部分，请你补全图案，画出对称轴右边的部分．
参考答案
1．C 解析：根据轴对称图形的特征，观察发现选项A、B、D都正确，选项C下子方法不正确．
2．60° 解析：根据原图形特点分析可得到．
3．③或其他正确方法．
4．解：如同D–16–6所示．
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图D–16–616.3 角的平分线
知识点1 角的对称性及角平分线的性质定理(重点)
角是轴对称图形，角的平分线所在的直线是它的对称轴．
注意：(1)角的平分线是一条射线．(2)对称轴是一条直线．
★角平分线的性质定理：
角平分线上的点到这个角的两边的距离相等．
如图16–3–1所示，OC是∠AOB的平分线，P为OC上任意一点，
PE⊥OA，PF⊥OB，垂足分别为E，F，则PE=PF．
另外，此图中还有∠BOC=∠AOC，OF=OE．
注意：角平分线性质中的“距离”是指点到射线的距离，是垂线段的长度．
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图16–3–1
例1 如图16–3–2所示，在△ABC中 ( http: / / www.21cnjy.com )，∠C=90°，BD平分∠ABC，A交AC于点D，AC=15 cm，且CD：AD=2：3，求点D到AB的距离．
分析：过点D作DE⊥AB，垂足为E，则DE的长就是点D到AB的距离．又∵BD是∠ABC的平分线，∠C=90°，∴DE=DC．再由已知条件求出DC就可以了．
解：过点D作DE⊥AB，垂足为E．
∵DE⊥AB，DC⊥BC， BD是∠ABC的平分线，∴DE=DC．∵CD：AD=2：3，AC=15 cm，所以CD=6 cm．∴DE=6 cm．∴点D到AB的距离是6 cm．
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图16–3–2
点拨
本题主要是利用角平分线上的点到角两边的距离相等，将点D到边AB的距离转化为线段CD的长．
知识点2 角平分线性质定理的逆定理(难点)
内容：到角两边距离相等的点在角平分线上．
提示：(1)运用角平分线性质定理的逆定理可以证明角相等．
(2)运用逆定理时，要看清三个条件，缺一不可．
(3)满足条件的所有点都在角平分线上．
例2 如图16–3–3所示，BD=CD，BF⊥AC，CE⊥AB，垂足分别为F，E．求证：点D在∠BAC的平分线上．
分析：要证点D在∠BAC的平分线上，只要证明DE=DF即可．
证明：∵BF⊥AC，CE⊥AB，∴∠BED=∠CFD．
又∵∠BDE=∠CDF，BD=CD，
∴△BDE≌△CDF(AAS)．∴DE=DF．
又∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴点D在∠BAC的平分线上．
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图16–3–3
知识点3 用尺规作角的平分线
这个作图属于基本作图，是其他作图的依据，同时又可用它解决一些实际问题，要熟记画角平分线的过程，理解其作法．
例3 如图16–3–4所示是某公园内 ( http: / / www.21cnjy.com )三条两两相交的小路，为方便游客休息，公园管理处打算建一座凉亭，使凉亭到三条小路的距离相等，你能帮助他们选好位置吗
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图16–3–4
分析：到三条小路的距离相等，则凉亭在△ABC的三条角平分线的交点上．
解：分别作∠A和∠B的角平分线，交于一点，则这一点即为凉亭所在位置．
注意
三角形三条角平分线的交点到三边的距离相等．16.2 线段的垂直平分线
知识点1 线段垂直平分线的性质定理(重点)
★内容：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；
★作用：证明两条线段相等；
★定理的证明方法．
例1 如图16–2–1所示，AB=AC，DE垂直平分AB，交AB于点D，交AC于点E．若△ABC的周长为28，BC=8，求△BCE的周长．
分析：要求△BCE的周长，只要求出AC+BC即可．
解：∵△ABC的周长为28，AB=AC，BC=8，∴2AC+BC=28，得AC=10．
∵DE垂直平分AB，∴BE=AE(线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等)．
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图16–2–1
∴△BCE的周长为BE+EC+BC=AE+EC+BC=AC+BC=10+8=18．
点拨
利用线段垂直平分线的性质定理把相等的线段进行等量代换，是线段转化的一种重要手段．
知识点2 线段垂直平分线性质定理的逆定理(难点)
★内容：到线段两端距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．
★作用：证明线段相等或两直线互相垂直．
例2 某地准备建一所希望小学支援贫困地区的教育，要求希望小学的位置到已知三个村庄A、B、C的距离相等，如图16–2–2所示，你能帮助村民确定希望小学的位置吗
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图16–2–2 图16–2–3
分析：由线段垂直平分线性质定理的逆定理知，到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，因此只要作出线段AB、BC(或线段AC、BC或线段AB、AC)的垂直平分线即可，两条垂直平分线的交点就是希望小学的位置．
解：(1)连接AB、BC．
(2)作线段AB、BC的垂直平分线，交于P点，则P点即为所求希望小学的位置(如图16–2–3所示)．
点拨
到两点距离相等的点一定在以这两点为端点的线段的垂直平分线上，在实际问题中常用这一性质确定一个点的位置．
知识点3 作已知线段的垂直平分线(可用几何画板演示一下)
作已知线段的垂直平分线是尺规作图中的基本图形之一，方法如下：
分别以已知线段的两端点为圆心，以适当的长(大于已知线段的一半)为半径画弧，两弧分别交于两点，过两交点作直线，则该直线就是已知线段的垂直平分线．
说明：用作线段垂直平分线的方法也可以取已知线段的中点或平分已知线段．
例3 任意画一条线段，用直尺和圆规把它四等分．(不写画法，保留作图图16–2–4痕迹)
解：如图16–2–4所示．
图16–2–4
点拨
作一条线段的垂直平分线画弧时，半径一定大于这条线段长的一半．16.1 轴对称
知识点1 轴对称图形的定义(重点)
一般地，如果一个图形沿某条直线对折后，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
例1 观察如图16–1–2所示的各个图形，指出哪些是轴对称图形．并画出它们的对称轴．
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图16–1–2
分析：根据轴对称图形的概念和折叠原理，只要找出这个图形的对称轴即可．
解：轴对称图形是(1)(2)(4)，对称轴如图16–1–2中虚线所示．
点拨
(1)识别轴对称图形时，要严格把握定义中的对折、完全重合这两个方面，“完全重合”说明对称轴分成的两部分是全等图形．
(2)有些轴对称图形的对称轴只有一条，如角、等腰梯形等；有些轴对称图形的对称轴不止一条，如正方形、圆等．特别地．圆有无数条对称轴，经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴．
知识点2 两个图形成轴对称(重点)
一般地，如果两个图形沿某条直线对折后， ( http: / / www.21cnjy.com )这两个图形能够完全重合，那么我们就说这两个图形成轴对称，这条直线叫做对称轴，关于对称轴对称的点、对称的线段、对称的角分别叫做对应点、对应线段、对应角．
说明：轴对称是指两个图形之间形状和 ( http: / / www.21cnjy.com )位置的特殊关系，包含两层含义：－是两个图形能够完全重合，即形状相同，大小相等；二是它们的位置关系必须满足一个条件，即把它们沿某条直线对折后能够完全重合．因此，全等的两个图形不一定是轴对称的，而关于某条直线成轴对称的两个图形一定全等．
例2 如图16–1–3所示，两个M关于l成轴对称，在图形中找出它们的对应点、对应线段和对应角．
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图16–1–3
解：对应点：点A与点G，点B与点H，点C与点F，点D与点E，点P与点Q；
对应线段：AB=GH，DC=EF， AP=GQ，DP=EQ；
对应角：∠A=∠G，∠D=∠E，∠APD=∠GQE．
知识点3 轴对称图形和两个图形成轴对称的区别与联系(难点)
两个图形成轴对称与轴对称图形的关系如下表：
两个图形成轴对称 轴对称图形
图形 ( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com )
区别 ①两个图形成轴对称是指两个图形的位置关系，必须涉及两个图形；②只有一条对称轴 ①轴对称图形是指一个具有特殊形状的图形，只对一个图形而言；②不一定只有一条对称轴
联系 ①沿对称轴折叠重合；②如果把两个成轴对称的图形拼在一起，看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形 ①沿对称轴折叠重合；②如果把轴对称图形沿对称轴分成两部分，那么这两部分各自组成的图形就关于这条直线成轴对称
例3 请观察如图16–1–4所示的图形，指出哪些图形是轴对称图形，哪些图形成轴对称．
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图16–1–4
解：(1)(3)(4)(6)(8)(10)是轴对称图形；(2)(5)(7)(9)中的图形a、b成轴对称．
点拨：
轴对称图形是对一个图形而言的，而两个图形关于某条直线成轴对称则是对两个图形而言的．
知识点4 成轴对称图形的性质(重点)
★如果两个图形关于某一条直线成轴对称，那么，这两个图形是全等形，它们的对应线段相等，对应角相等，对应点所连的线段被对称轴垂直平分．
说明：(1)两个图形关于某条直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点一定在对称轴上．
(2)如果两个图形的对应点所连线段被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称．
例4 如图16–1–5所示，直线l上方与下方的两个图形关于l成轴对称，在图中找出：(1)三对对应点；(2)三对相等的线段；(3)三对相等的角．
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图16–1–5
分析：沿对称轴对折，能重合的点是对应点，能重合的角是对应角，能重合的线段是对应线段．对应线段与对应角分别相等．
解：(1)三对对应点：点A与A'，点B与B'，点C与C'．
(2)三对相等的线段：AB=A'B'，BC=B'C'，BD=B'D'．
(3)三对相等的角：∠A=∠A'， ∠B=∠B'， ∠E=∠E'．
点拨
确定轴对称图形的对应点、对应角、对应线段，关键是正确确定对应点．
知识点5 画轴对称图形
如图16–1–6所示，△ABC和△A'B'C'，线段AA'、BB'、CC'均被直线MN垂直平分，则直线MN就是对称轴，或△ABC：和△A'B'C'关于直线MN对称，则线段AA'、BE'、CC'均被直线MN垂直平分．成轴对称图形的性质是“画图形的对称轴”及“画轴对称图形”的依据．
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图16–1–6
例5 如图16－1－7(1)所示，把它补成以直线l为对称轴的轴对称图形．
分析：关于轴对称的作图问题，主要是 ( http: / / www.21cnjy.com )作出关键点的对称点．在这个问题中，A、B、C是三个关键点，A点关于直线l的对称点就是其本身，还要找到B，C两点关于直线l的对称点．
解：如图16–1–7(2)所示，
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图16–1–7
(1)过点C作直线l的垂线段CC'，交l于点P，使得PC=PC'；
(2)过点B作直线l的垂线段BB'，交l于点Q，使得QB=QB'，则点B'、点C'就是所要作的点B和点C关于直线l的对称点．
(3)依次连接AB'，B'C'，C'A，得到的图形就是所要画的轴对称图形．
点拨
画某个图形关于某直线的对称图形时．常常找出图形的一些关键点 (如图形的顶点)的对称点，然后连接各点构造图形．
知识点6 线段的垂直平分线
★垂直且平分一条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，简称中垂线．
★线段是轴对称图形，线段的中垂线是它的对称轴．16.4 中心对称图形
知识点1 中心对称图形(重点)
如果一个图形绕某一个点旋转180°后能与它自身重合，我们就把这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心，其中对称的点叫做对应点．
提示：(1)中心对称图形是指一个图形；
(2)中心对称图形有一个对称中心，且一定在图形内部；
(3)中心对称图形绕对称中心旋转180°后能与自身重合．
(4)线段是中心对称图形，线段的中点是它的对称中心，两个端点为一对对应点．
例1 下列图形中，不是中心对称图形的是( )
解析：把图形绕中心旋转180°，看图形能否与自身重合． 答案：C
点拨
中心对称图形是旋转对称图形的特例，不是所有的旋转对称图形都是中心对称图形，只有旋转180°后能与它本身重合的图形才是中心对称图形．
知识点2 成中心对称(重点)
如果一个图形绕某一点旋转180°后与另一个图形重合，我们就把这两个图形叫做成中心对称，这个点叫做对称中心，其中成中心对称的点、线段和角，分别叫做对应点、对应线段和对应角．
提示：(1)成中心对称是对两个图形的位置关系而言的；(2)成中心对称有一个对称中心；(3)成中心对称是绕对称中心旋转180°后，两个图形互相重合．
例2 如图16–4–1所示，△A'B'C'与△ABC关于点O成中心对称，找出图中的对称点、对称线段．
分析：把一个图形绕对称中心O旋转180°后，互相重合的点即为对称点，互相重合的线段即为对称线段．
解：对称点：A与A'，B与B'，C与C'；对称线段：AB与A'B'，BC与B'C'，AC与A'C'．
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图16–4–1
知识点3 成中心对称的两个图形的性质(难点)
★在成中心对称的两个图形中，对应点的连线经过对称中心，并且被对称中心平分．
提示：如果两个图形的所有对应点连线都经过某一点，并且被该点平分，那么这两个图形一定关于这一点成中心对称，该点即为对称中心．
例3 如图16–4–2所示，已知△ABC和其中心对称图形△EFD，指出其中相等的线段和相等的角，并确定其对称中心．
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图16–4–2
分析：先观察出两个三角形的对应顶点，由成中心对一称的两个图形的性质，连接两对对应顶点，其连线的交点即为对称中心，其对应角、对应线段都相等．
解：先确定对称点A→E，B ( http: / / www.21cnjy.com )→F，C→D；再确定对称中心，连接AE、CD交于点O，O点就是对称中心．相等的线段有AC=ED，BC=FD，AB=EF；相等的角有∠B=∠F，∠BAC=∠FED，∠ACB=∠EDF．
点拨
关于某一点成中心对称的两个图形的对应边相等，对应角相等，对应点的连线被对称中心平分．
知识点4 作一个图形关于某一点成中心对称的图形
作一个图形关于某一点成中心对称的图形，关键是作出已知图形中特殊点的对称点．
例4 如图16–4–3已知△ABC和图形外一点O，画出△ABC关于点O的对称图形．
分析：画△ABC关于点O的对称图形，应先确定其对称点的位置．
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图16–4–3 图16–4–4
解：(1)连接OA，并反向延长到A'，使OA'=OA，于是得到点A的对称点A'；
(2)同样画出点B、C的对称点B'、C'；(3)顺次连接A'B'，B'C'，CA'．
则 △A'B'C'即为所求，如图16–4–4所示．
点拨
在成中心对称的两个图形中，对应点的连线经过对称中心，并且被对称中心平分．这－性质是画一个图形关于某点的对称图形的依据．
知识点5 成中心对称与中心对称图形
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例5 如图16－4－5①②③，①为直角三角形，②为等边三角形，③为钝角三角形．分别作出它们关于BC边的中点成中心对称的图形，并分析所作三角形与原三角形组成的图形的对称性．
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① ② ③
图16–4–5
解：作出的图形如图16–4–6所示．
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① ② ③
图16–4–6
①它是中心对称图形，对称中心是点O，它也是轴对称图形，有两条对称轴．
②它是中心对称图形，对称中心是点O，它也是轴对称图形，有两条对称轴．
③它是中心对称图形，对称中心是点O，它不是轴对称图形．
点拨
作一个图形关于某点成中心对称的 ( http: / / www.21cnjy.com )图形，关键是作出已知图形中特殊点的对应点．图形是中心对称图形还是成中心对称，关键是把这个图形看作一个图形还是两个图形．看作一个图形是中心对称图形，看作两个图形是成中心对称．
