第十章 概率 章末检测试题（含解析）

中小学教育资源及组卷应用平台
第九章 统计 章末检测试题（含解析）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．本试卷共19小题，满分150分，考试时间120分钟．
注意事项：
1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上．
2．选择题答案使用2AB铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，书写要工整、笔迹清楚，将答案书写在答题卡规定的位置上．
3．所有题目必须在答题卡上作答，在试卷上答题无效．
第Ⅰ卷 （选择题 共58分）
一.选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.用3种不同颜色给甲、乙两个小球随机涂色，每个小球只涂一种颜色，记事件A表示“甲、乙两个小球所涂颜色不同”，则事件A的样本点的个数为(　　 )
A．3 B．4 C．5 D．6
2.两名同学分3本不同的书，其中一人没有分到书，另一人分得3本书的概率为(　 　)
A. B. C. D.
3.抛掷一颗质地均匀的骰子，观察掷出的点数，设事件A为“出现奇数点”，事件B为“出现2点”，已知P(A)＝，P(B)＝，则“出现奇数点或2点”的概率为(　　 )
A． B． C． D．
4.在5张电话卡中，有3张移动卡和2张联通卡，从中任取2张，若事件“2张全是移动卡”的概率是，那么概率是的事件是(　　 )
A．至多有一张移动卡 B．恰有一张移动卡
C．都不是移动卡 D．至少有一张移动卡
5.某数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米2 018石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得270粒内夹谷30粒，则这批米内夹谷约为( 　　)
A．224石 B．222石 C．230石 D．232石
6.如图，A，B，C表示3个开关，若在某段时间内它们正常工作的概率分别为0.9，0.8，0.7，那么系统的可靠性为(　　 )
A．0.054 B．0.994
C．0.496 D．0.06
7.甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一次就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军，若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为( )
A． B． C． D．
8.甲、乙两位同学各拿出6张游戏牌，用作投骰子的奖品，两人商定：骰子朝上的面的点数为奇数时甲得1分，否则乙得1分，先积得3分者获胜得所有12张游戏牌，并结束游戏．比赛开始后，甲积2分，乙积1分，这时因意外事件中断游戏，以后他们不想再继续这场游戏，下面对这12张游戏牌的分配合理的是(　　 )
A．甲得6张，乙得6张 B．甲得9张，乙得3张
C．甲得8张，乙得4张 D．甲得10张，乙得2张
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分.若只有两个正确选项，每选对 一个得3分；若只有三个正确选项 ，每选对一个得2分.
9.面事件是随机事件的是(　 　)
A．某项体育比赛出现平局 B．抛掷一枚硬币，出现反面向上
C．全球变暖会导致海平面上升 D．一个三角形的三边长分别为1,2,3
10.从一批产品(既有正品也有次品)中取出三件产品，设A＝{三件产品全不是次品}，B＝{三件产品全是次品}，C＝{三件产品有次品，但不全是次品}，则下列结论中正确的是(　 　)
A．A与C互斥　　　　　 B．B与C互斥
C．任何两个都互斥 D．A与B对立
11.在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立．发送0时，收到1的概率为α(0<α<1)，收到0的概率为1-α；发送1时，收到0的概率为β(1<β<0)，收到1的概率为1-β. 考虑两种传输方案：单次传输和三次传输．单次传输是指每个信号只发送1次，三次传输 是指每个信号重复发送3次．收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码（例如，若依次收到1，0，1，则译码为1）.
A. 采用单次传输方案，若依次发送1，0，1，则依次收到l，0，1的概率为(1-α)(1-β)2.
B. 采用三次传输方案，若发送1，则依次收到1，0，1概率为β(1-β)2.
C. 采用三次传输方案，若发送1，则译码为1的概率为β(1-β)2+β3.
D. 当0<α<0.5时，若发送0，则采用三次传输方案译码为0的概率大于采用单次传输方案译码为0的概率
第Ⅱ卷 （非选择题 共92分）
填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知随机事件A发生的频率是0.02，事件A出现了10次，那么共进行了________次试验．
13.设A,B,C为三个随机事件，若A与B互斥，B与C对立，且P(A)=，P(C)=，则P(A+B)=_____________．
14.某校甲、乙、丙三名教师每天使用1号录播教室上课的概率分别是0.6，0.6，0.8，这三名教师是否使用1号录播教室相互独立，则某天这三名教师中至少有一人使用1号录播教室上课的概率是________．
四、解答题：本题共5道题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15.（本题满分13分）
将一颗质地均匀的骰子先后抛掷次，观察向上的点数，并分别记为x,y.
⑴若记“x+y=5”为事件，求事件发生的概率；
⑵若记“”为事件，求事件发生的概率．
16.（本题满分15分）
某班甲、乙、丙三名同学竞选班委，甲当选的概率为，乙当选的概率为，丙当选的概率为.
⑴求恰有一名同学当选的概率；
⑵求至多有两人当选的概率.
17.（本题满分15分）
设甲、乙、丙三个乒乓球协会分别选派3名、1名、2名运动员参加某次比赛,甲协会的运动员编号分别为A1,A2,A3,乙协会的运动员编号为A4,丙协会的运动员编号分别为A5,A6,从这6名运动员中随机抽取2名参加双打比赛.
⑴用所给编号列出所有可能抽取的结果;
⑵求丙协会至少有1名运动员参加双打比赛的概率;
⑶求参加双打比赛的2名运动员来自同一协会的概率.
18.（本题满分17分）
如图，A地到火车站共有两条路径L1和L2，现随机抽取100位
从A地到火车站的人进行调查，调查结果如下：
所用时间(分钟) 10～20 20～30 30～40 40～50 50～60
选择L1的人数 6 12 18 12 12
选择L2的人数 0 4 16 16 4

⑴试估计40分钟内不能赶到火车站的概率；
⑵分别求通过路径L1和L2所用时间落在上表中各时间段内的频率；
⑶现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站，为了尽最大可能在允许的时间内赶到火车站，试通过计算说明，他们应如何选择各自的路径．
19.（本题满分17分）
某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异，经过大量调查，得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图：
利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值c，将该指标大于c的人判定为阳性，小于或等于c的人判定为阴性．此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为p(c)；误诊率是将未患病者判定为阳性的概率，记为q(c)．假设数据在组内均匀分布，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率．
⑴当漏诊率p(c)=0.5％时，求临界值c和误诊率q(c)；
⑵设函数f(c)=p(c)+q(c),当c∈[95,105]时，求f(c)的解析式，并求f(c)在区间[95,105]的最小值．
试题解析
选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.用3种不同颜色给甲、乙两个小球随机涂色，每个小球只涂一种颜色，记事件A表示“甲、乙两个小球所涂颜色不同”，则事件A的样本点的个数为(　　 )
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】D
【解析】设3种不同颜色分别用A，B，C表示，该事件的样本空间Ω＝{(A，A)，(A，B)，(A，C)，(B，A)，(B，B)，(B，C)，(C，A)，(C，B)，(C，C)}，其中事件A＝{(A，B)，(A，C)，(B，A)，(B，C)，(C，A)，(C，B)}共6个样本点．故选D.
2.两名同学分3本不同的书，其中一人没有分到书，另一人分得3本书的概率为(　 　)
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】两名同学分3本不同的书，记这三本书分别为a，b，c，该试验样本空间Ω＝{(0,3)，(a,2)，(b,2)，(c,2)，(2，a)，(2，b)，(2，c)，(3,0)}共8个样本点．其中一人没有分到书，另一人分到3本书的样本点有2个，∴一人没有分到书，另一人分得3本书的概率P＝＝.故选B.
3.抛掷一颗质地均匀的骰子，观察掷出的点数，设事件A为“出现奇数点”，事件B为“出现2点”，已知P(A)＝，P(B)＝，则“出现奇数点或2点”的概率为(　　 )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】∵“出现奇数点”与“出现2点”两事件互斥，∴P＝P(A)＋P(B)＝.故选C.
4.在5张电话卡中，有3张移动卡和2张联通卡，从中任取2张，若事件“2张全是移动卡”的概率是，那么概率是的事件是(　　)
A．至多有一张移动卡 B．恰有一张移动卡
C．都不是移动卡 D．至少有一张移动卡
【答案】A　
【解析】至多有一张移动卡包含“一张移动卡，一张联通卡”“两张全是联通卡”两个事件，它是“2张全是移动卡”的对立事件．故选A.
5.某数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米2 018石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得270粒内夹谷30粒，则这批米内夹谷约为( 　　)
A．224石 B．222石 C．230石 D．232石
【答案】A
【解析】由题意，抽样取米一把，数得270粒内夹谷30粒，即夹谷占有的概率为 ，所以2 018石米中夹谷约为2 018×≈224(石)．故选A.
6.如图，A，B，C表示3个开关，若在某段时间内它们正常工作的概率分别为0.9，0.8，0.7，那么系统的可靠性为(　　 )
A．0.054 B．0.994
C．0.496 D．0.06
【答案】B
【解析】记三个开关都正常工作分别为事件A，B，C，则P(A)＝0.9，P(B)＝0.8，P(C)＝0.7.
三个开关同时出现故障的事件为，则此系统正常工作的概率为P＝1－P()＝1－P()P()P()＝1－0.1×0.2×0.3＝0.994.故选B.
7.甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一次就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军，若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为( )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】甲要获得冠军共分为两个情况：
一是第一场就取胜，这种情况的概率为
一是第一场失败，第二场取胜，这种情况的概率为,
则甲获得冠军的概率为.故选A.
8.甲、乙两位同学各拿出6张游戏牌，用作投骰子的奖品，两人商定：骰子朝上的面的点数为奇数时甲得1分，否则乙得1分，先积得3分者获胜得所有12张游戏牌，并结束游戏．比赛开始后，甲积2分，乙积1分，这时因意外事件中断游戏，以后他们不想再继续这场游戏，下面对这12张游戏牌的分配合理的是(　　 )
A．甲得6张，乙得6张 B．甲得9张，乙得3张
C．甲得8张，乙得4张 D．甲得10张，乙得2张
【答案】B
【解析】由题意，为了决出胜负，最多再赛两局，用“甲”表示甲胜，用“乙”表示乙胜．于是这两局有四种可能，即(甲，甲)，(甲，乙)，(乙，甲)，(乙，乙)其中甲获胜有3种，而乙只有1种，所以甲获胜的概率为，乙获胜的概率为.所以甲得到的游戏牌为12×＝9(张)，乙得到的游戏牌为12×＝3(张)．故选B.
选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分.若只有两个正确选项，每选对 一个得3分；若只有三个正确选项 ，每选对一个得2分.
9.面事件是随机事件的是(　 　)
A．某项体育比赛出现平局 B．抛掷一枚硬币，出现反面向上
C．全球变暖会导致海平面上升 D．一个三角形的三边长分别为1,2,3
【答案】AB
【解析】体育比赛出现平局、抛掷一枚硬币出现反面向上均为随机事件；全球变暖会导致冰川溶化，海平面上升是必然事件，因为三角形两边之和大于第三边，而1＋2＝3，所以一个三角形的三边长分别为1,2,3是不可能事件．故选AB.
10.从一批产品(既有正品也有次品)中取出三件产品，设A＝{三件产品全不是次品}，B＝{三件产品全是次品}，C＝{三件产品有次品，但不全是次品}，则下列结论中正确的是(　 　)
A．A与C互斥　　　　　 B．B与C互斥
C．任何两个都互斥 D．A与B对立
【答案】ABC
【解析】由题意知事件A，B，C两两不可能同时发生，因此两两互斥，因＝{三件产品不全是正品}，故样本点有三种情况：①{两件正品一件次品}，②{一件正品两件次品}，③{三件全是次品}＝B，所以A与B不对立，D错误.故选ABC.
11.在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立．发送0时，收到1的概率为α(0<α<1)，收到0的概率为1-α；发送1时，收到0的概率为β(1<β<0)，收到1的概率为1-β. 考虑两种传输方案：单次传输和三次传输．单次传输是指每个信号只发送1次，三次传输 是指每个信号重复发送3次．收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码（例如，若依次收到1，0，1，则译码为1）.
A. 采用单次传输方案，若依次发送1，0，1，则依次收到l，0，1的概率为(1-α)(1-β)2.
B. 采用三次传输方案，若发送1，则依次收到1，0，1概率为β(1-β)2.
C. 采用三次传输方案，若发送1，则译码为1的概率为β(1-β)2+β3.
D. 当0<α<0.5时，若发送0，则采用三次传输方案译码为0的概率大于采用单次传输方案译码为0的概率.
【答案】ABD
【解析】对于A，依次发送1，0，1，则依次收到l，0，1的事件是发送1接收1、发送0接收0、发送1接收1的3个事件的积，它们相互独立，所以所求概率为(1-β)(1-α)(1-β)=(1-α)(1-β)2,A正确；对于B，三次传输，发送1，相当于依次发送1，1，1，则依次收到l，0，1的事件，是发送1接收1、发送1接收0、发送1接收1的3个事件的积，它们相互独立，所以所求概率为(1-β) β (1-β)=
β(1-β)2,B正确；
对于C，三次传输，发送1，则译码为1的事件是依次收到1，1，0、1，0，1、0，1，1和1，1，1的事件和，它们互斥，由选项B知，所以所求的概率为3β(1-β)2+(1-β)3=(1-β)2(1+2β)，C错误；
对于D，由选项C知，三次传输，发送0，则译码为0的概率P=(1-α)2(1+2α),单次传输发送0，则译码为0的概率P1=1-α,而0<α<0.5，P-P1=(1-α)2(1+2α)-（1-α）=α(1-α)(1-2α)>0,即P>P1,D正确.
故选ABD.
填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知随机事件A发生的频率是0.02，事件A出现了10次，那么共进行了________次试验．
【答案】500
【解析】设共进行了n次试验，则有＝0.02，得n＝500，则共进行500次试验．
13.设A,B,C为三个随机事件，若A与B互斥，B与C对立，且P(A)=，P(C)=，则P(A+B)=_____________．
【答案】.
【解析】∵B与C对立，∴P(B)=1-P(C)=1-=.
又∵A与B互斥，∴P(A+B)=P(A)+P(B)==.
14.某校甲、乙、丙三名教师每天使用1号录播教室上课的概率分别是0.6，0.6，0.8，这三名教师是否使用1号录播教室相互独立，则某天这三名教师中至少有一人使用1号录播教室上课的概率是________．
【答案】0.968.
【解析】设甲、乙、丙三名教师某天使用1号录播教室上课分别为事件A，B，C，则P(A)＝0.6，P(B)＝0.6，P(C)＝0.8，这三名教师是否使用1号录播教室相互独立，则所求事件的概率为P＝1－P()＝1－P()·P()·P()＝1－0.4×0.4×0.2＝0.968.
四、解答题：本题共5道题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15.将一颗质地均匀的骰子先后抛掷次，观察向上的点数，并分别记为x,y.
⑴若记“x+y=5”为事件，求事件发生的概率；
⑵若记“”为事件，求事件发生的概率．
【答案】⑴; ⑵.
【解析】⑴将一颗质地均匀的骰子抛掷1次，它的点数有1,2,3,4,5,6这种结果，
抛掷第2次，它的点数有1,2,3,4,5,6这种结果，
因为骰子共抛掷次，所以共有6×6=36种结果，
事件A发生的基本事件有：(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)共种结果，
所以事件A发生的概率为P(A)；
⑵事件B发生的基本事件有：(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(3,1)共种结果，
所以事件B发生的概率为P(B).
16.某班甲、乙、丙三名同学竞选班委，甲当选的概率为，乙当选的概率为，丙当选的概率为.
⑴求恰有一名同学当选的概率；
⑵求至多有两人当选的概率.
【答案】⑴; ⑵．
【解析】设甲、乙、丙当选的事件分别为A，B，C，
则P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝.
⑴易知事件A，B，C相互独立，所以恰有一名同学当选的概率为
P(A)+P(B)+P(C)=P(A)P()P()+P()P(B)P()+P()P()P(C)
=.
⑵至多有两人当选的概率为1－P(ABC)＝1－P(A)P(B)P(C)＝1-=.
17.设甲、乙、丙三个乒乓球协会分别选派3名、1名、2名运动员参加某次比赛,甲协会的运动员编号分别为A1,A2,A3,乙协会的运动员编号为A4,丙协会的运动员编号分别为A5,A6,从这6名运动员中随机抽取2名参加双打比赛.
⑴用所给编号列出所有可能抽取的结果;
⑵求丙协会至少有1名运动员参加双打比赛的概率;
⑶求参加双打比赛的2名运动员来自同一协会的概率.
【答案】⑴详见解析；⑵; ⑶.
【解析】⑴由题意,从这6名运动员中随机抽取2名参加双打比赛,所有可能抽取的结果有(A1,A2),(A1,A3),(A1,A4),(A1,A5),(A1,A6),(A2,A3),(A2,A4),(A2,A5),(A2,A6),(A3,A4),(A3,A5),(A3,A6),(A4,A5),
(A4,A6),(A5,A6),共15种.
⑵因为丙协会至少有1名运动员参加双打比赛,所以编号为A5,A6的2名运动员至少有1人被抽到,其结果为(A1,A5),(A1,A6),(A2,A5),(A2,A6),(A3,A5),(A3,A6),(A4,A5),(A4,A6),(A5,A6),共9种,
所以丙协会至少有1名运动员参加双打比赛的概率P = = .
⑶2名运动员来自同一协会的结果为(A1,A2),(A1,A3),(A2,A3),(A5,A6),共4种,
则参加双打比赛的2名运动员来自同一协会的概率P =.
18.如图，A地到火车站共有两条路径L1和L2，现随机抽取100位
从A地到火车站的人进行调查，调查结果如下：
所用时间(分钟) 10～20 20～30 30～40 40～50 50～60
选择L1的人数 6 12 18 12 12
选择L2的人数 0 4 16 16 4

⑴试估计40分钟内不能赶到火车站的概率；
⑵分别求通过路径L1和L2所用时间落在上表中各时间段内的频率；
⑶现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站，为了尽最大可能在允许的时间内赶到火车站，试通过计算说明，他们应如何选择各自的路径．
【答案】⑴0.44; ⑵详见解析；⑶甲应选择L1；乙应选择L2.
【解析】⑴ 共调查了100人，其中40分钟内不能赶到火车站的有12＋12＋16＋4＝44(人)，
用频率估计概率，可得所求概率为＝0.44.
⑵选择L1的有60人，选择L2的有40人，故由调查结果得所求各频率为
所用时间(分钟) 10～20 20～30 30～40 40～50 50～60
L1的频率 0.1 0.2 0.3 0.2 0.2
L2的频率 0 0.1 0.4 0.4 0.1
⑶记事件A1，A2分别表示甲选择L1和L2时，在40分钟内赶到火车站；
记事件B1，B2分别表示乙选择L1和L2时，在50分钟内赶到火车站．
由(2)知P(A1)＝0.1＋0.2＋0.3＝0.6，
P(A2)＝0.1＋0.4＝0.5，P(A1)>P(A2)，
∴甲应选择L1；
P(B1)＝0.1＋0.2＋0.3＋0.2＝0.8，
P(B2)＝0.1＋0.4＋0.4＝0.9，
P(B2)>P(B1)，
∴乙应选择L2.
19.某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异，经过大量调查，得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图：
利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值c，将该指标大于c的人判定为阳性，小于或等于c的人判定为阴性．此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为p(c)；误诊率是将未患病者判定为阳性的概率，记为q(c)．假设数据在组内均匀分布，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率．
⑴当漏诊率p(c)=0.5％时，求临界值c和误诊率q(c)；
⑵设函数f(c)=p(c)+q(c),当c∈[95,105]时，求f(c)的解析式，并求f(c)在区间[95,105]的最小值．
【答案】⑴97.5，3.5％ ；⑵40,; ⑶, 0.02．
【解析】⑴依题可知，左边图形第一个小矩形的面积为5×0.002>0.5％，所以95所以(c-95)×0.002=0.5％，解得c=97.5，
q(c)=0.01×(97.5-95)+5×0.002=0.035=3.5％ .
⑵当c∈[95,100]时，
f(c)=p(c)+q(c)=(c-95)×0.002+(100-c）×0.01+5×0.002
=-0.008c+0.82≥0.02.
当c∈(100,105]时，
f(c)=p(c)+q(c)=5×0.002+(c-100)×0.012+(105-c)×0.002
=0.1c-0.98>0.02.
则,
所以 f(c)在区间[95,105]的最小值为0.02．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)