江苏省宿迁市泗阳县实验高级中学2023-2024学年高一下学期第二次调研测试（5月）数学试题（含解析）

泗阳县实验高级中学2023-2024学年第二学期
高一第二次调研测试
数学试卷
本试卷共19题，共150分，考试用时120分钟.
注意事项：
1.答题前，考生先将自己的姓名 考生号 考场号和座位号填写在答题卡上.用2B铅笔将试卷类型填涂在答题卡相应位置上.
2作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上.
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效.
一 单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.复数满足（是虚数单位），则在复平面内对应的点位于（ ）
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
2.在中，已知，则（ ）
A. B.2 C. D.
3.已知点在角的终边上，则的值为（ ）
A. B.-2 C. D.2
4.设为所在平面内一点，则（ ）
A. B.
C. D.
5.已知平面，则“”是“且”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
6.已知的内角的对边分别是，若，则（ ）
A. B. C.2 D.3
7.已知平面向量夹角为，且满足，若当时，取得最小值，则（ ）
A. B. C. D.
8.如图所示，在梯形中，，点是上一点，的面积为，则的长为（ ）
A. B. C.8 D.
二 多项选择题：（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9.如图（1），在矩形中，是的中点，沿将折起，使点到达点的位置，并满足，如图（2），则（ ）
A.平面平面 B.平面平面
C.平面平面 D.平面平面
10.下列说法中正确的是（ ）
A.向是能作为平面内所有向量的一组基底
B.
C.两个非零向量，若，则与共线且反向
D.若，且与的夹角为锐角，则
11.在中，角所对的边分别为，已知，则（ ）
A.若，则 B.若，则
C.面积的最大值为 D.周长的最大值为
三 填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12.如图所示，在三棱锥中，若是的中点，则平面与平面的关系是__________.
13.中，角的平分线交边于点，则角平分线的长为__________.
14.已知锐角中角所对的边分别是，且，则的取值范围是__________.
四 解答题：（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤）
15.（本小题满分13分）
设复数，其中为虚数单位，.
（1）若是纯虚数，求实数的值；
（2）在复平面内表示复数的点位于第四象限，求实数的取值范围.
16.（本小题满分15分）
如图，在四棱锥中，已知底面为矩形，平面为棱的中点，连接.求证：
（1）平面；
（2）平面平面.
17.（本小题满分15分）
在中，角所对的边分别为，且.
（1）证明：为等腰三角形.
（2）若是边的中点，，求的面积.
18.（本小题满分17分）
如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧面是正三角形，侧面底面是的中点.
（1）求证：平面；
（2）求侧面与底面所成二面角的余弦值；
（3）在棱上是否存在点使平面平面成立？如果存在，求出，如果不存在，说明理由.
19.（本小题满分17分）已知，在斜三角形中，角的对边分别为，.
（1）求的大小；
（2）若，求的最小值；
（3）若，求的大小.
高一月考2参考答案：
1.B
【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简复数，求出复数在复平面内对应的点的坐标即可.
【详解】由，得，
复数在复平面内对应的点的坐标为，位于第二象限.
故选：B.
2.C
【分析】由题意求出，结合正弦定理计算即可求解.
【详解】由，得，
又，由正弦定理，得，
所以.
故选：C
3.A
【分析】根据正切函数的定义计算，然后再由两角和的正切公式计算.
【详解】由已知.
故选：A.
4.A
【分析】由向量等式判断点在线段的延长线上，结合图形，将用和线性表示即得.
【详解】
如图，由可知，点在线段的延长线上，由图可得，
.
故选：A.
5.C
【分析】根据线面垂直即可求证面面垂直，即可说明充分性，根据面面垂直的性质可得线面垂直，即可利用线面垂直的判断求证必要性.
【详解】由于，所以，
若，则，故充分性成立，
若，设，
则存在直线，使得，所以，由于，故，
同理存在直线，使得，所以，由于，故，
由于不平行，所以是平面内两条相交直线，所以，故必要性成立，
故选：C
6.D
【分析】由同角的三角函数关系求出，根据正弦定理求得为外接圆半径），再根据正弦定理边化角，即可求得答案.
【详解】因为，所以，
在中，由正弦定理（为外接圆半径），
则.
故选：D.
7.C
【分析】利用平面向量数量积公式结合二次函数的性质求得时取得最小值，再根据同角三角函数的平方关系计算即可.
【详解】易知，
由二次函数的单调性可知时上式取得最小值，
即，
所以.
故选：C
8.A
【分析】设，求得，得到方程，
再由的面积为，得到，联立方程组，求得的值，即可求解.
【详解】由题意，设，则，
可得，整理得，
又由即，
联立可得，联立方程组，解得，
所以.
故选：A.
9.ABD
【分析】首先证明平面，即可判断A B，在平面图形中取的中点，连接，交于点，即可得到，连接，即可得到为二面角的平面角，利用勾股定理逆定理得到，从而得到平面平面，即可判断C D.
【详解】因为，且平面，所以平面.又平面平面，所以平面平面，平面平面，故A，B正确.
如图（1），取的中点，连接，交于点，则和均为等腰直角三角形，
所以，所以，即，
如图（2），连接，因为，所以为二面角的平面角.
设，则，在中，为的中点，故.
所以，所以，
所以平面平面，则平面与平面不垂直，故C错误，D正确.
故选：ABD.
10.BC
【分析】直接利用向量的共线 向量的基底的定义，两角和与差的余弦公式，向量的数量积公式，向量的夹角公式，判断A B C D的结论.
【详解】对于A：因为，所以不能作为平面内的一组基底，故A错误；对于B，故B正确；
对于C，因为，所以，
所以有，所以，即，所以共线且反向，即C正确；
对于D：已知，则，
所以：，且和不共线.
即，且
解得且，故错误；
故选：BC.
11.BCD
【分析】对于AB，由正弦定理求解即可判断；对于C，由余弦定理及基本不等式得，代入三角形面积公式即可判断，对于D，由余弦定理及基本不等式得，即可判断.
【详解】对于A，若，又，由正弦定理得，故A错误；
对于B，由题意，由正弦定理得，故B正确；
对于C，由余弦定理得，，所以，当且仅当时取等号，
所以，
所以面积的最大值为，故C正确；
对于D，由，及余弦定理得，
，所以，
当且仅当时取等号，
所以的周长，
所以周长的最大值为，故D正确.
故选：BCD
12.垂直
【分析】先证明平面，再由面面垂直的判定定理求解.
【详解】因为是的中点，
所以由等腰三角形三线合一可知，
又平面平面，
平面.
又平面，
平面平面.
故答案为：垂直.
13.
【分析】利用等面积列出方程求解即得.
【详解】依题意，设，由，可得，，解得：.
故答案为：.
14.
【分析】由正弦定理将边化成角后得到，再用辅助角公式得到，再结合正弦函数的单调性和角的范围求出结果即可.
【详解】因为，且，故，
设三角形外接圆半径为，由正弦定理得：，
故
.
因为是锐角三角形，故，且，故，
即，又，
令锐角满足，故，且，
故在上单调递增，在上单调递减，
故时，取得最大值.
又时，，
又当时，，
故的取值范围是.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是利用正弦定理把化成，然后再结合角的范围和三角函数的值域求出结果.
15.（1）；
（2）.
【分析】（1）根据实部为0，虚部不等于0列式求解可得；
（2）根据实部大于0，虚部小于0，列不等式组求解可得.
【详解】（1）若是纯虚数，则，
解得.
（2）由题意知，解得，
所以实数的取值范围为.
16.（1）证明见解析
（2）证明见解析
【分析】
（1）作出辅助线，得到线线平行，进而得到线面平行；
（2）由线面垂直得到线线垂直，进而得到线面垂直，面面垂直.
【详解】（1）连接，交于点，连接，
因为底面为矩形，所以为的中点，
又为的中点，所以，
因为平面平面，
故平面；
（2）平面平面，
，
底面为矩形，
.
又平面
平面.
又平面，
平面平面.
17.（1）证明见解析
（2）
【分析】（1）利用正弦定理和余弦定理的推论进行计算可得，证明等腰三角形；（2）利用余弦定理推论求得三角形的各个边长，再计算三角形的面积；
【详解】（1）证明：因为，由正弦定理得，
因为，由余弦定理得，
代入，化简可得，
所以为等腰三角形.
（2）由题可知，因为是边的中点，，在和中，利用余弦定理的推论得
代入，可得
由得
则的面积
18.（1）证明见解析
（2）
（3）存在，
【分析】（1）根据面面垂直的性质可得面，再根据线面垂直的性质可得，再根据线面垂直的判定定理即可得证；
（2）取的中点的中点，连接，证明平面，从而可得即为侧面与底面所成二面角的平面角，进而可得答案；
（3）连接交于点，连接，易得，当面，证明此时平面平面，再根据相似比即可求出.
【详解】（1）因为侧面是正三角形，是的中点，
所以，
因为，面面，面面面，
所以面，
又面，所以，
又平面，
所以平面；
（2）取的中点的中点，连接，
则且，
故，
因为面面，面面面，
所以面，
因为面，所以，
又平面，所以平面，
又平面所以，
则即为侧面与底面所成二面角的平面角，
设，则，故，
所以，
即侧面与底面所成二面角的余弦值为；
（3）当面时，平面平面，证明如下：
如图，连接交于点，连接，
因为底面是正方形，所以，
由（2）得面，
因为面，所以，
因为面时，，所以，
又平面，
所以平面，
又平面，所以平面平面，
因为，所以，
因为，所以，
所以在棱上是否存在点，当时，平面平面.
【点睛】方法点睛：求二面角常用的方法：
（1）几何法：二面角的大小常用它的平面角来度量，平面角的作法常见的有：
①定义法；②垂面法，注意利用等腰三角形的性质；
（2）空间向量法：分别求出两个平面的法向量，然后通过两个平面法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求二面角是锐角还是钝角.
19.【答案】（1）
（2）
（3）
【分析】（1）由，得到，进而求得；
（2）由正弦定理分别求得，结合向量的数量积的运算公式和三角恒等变换，得到，结合基本不等式，即可求解.
（3）因为，得到，求得或，结合题意，即可求解.
【解析】（1）解：因为，所以，
所以或，
因为且，所以或，
由为斜三角形知，（舍），所以.
（2）解：由正弦定理：，所以，
又由，可得，
所以
，当且仅当时，等号成立，
所以的最小值为.
（3）解：因为，所以，
所以，所以，
即，
整理得，
所以，
所以或，
因为是钝角，所以，所以，所以.