河北省邢台市南宫中学2024届高三下学期高考数学模拟试题（含解析）

2024年新课标高考数学模拟题
一、单选题(本题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的)
1．若集合．集合，则的真子集个数为（ ）
A．3 B．4 C．31 D．32
2．已知点在抛物线的图象上，为的焦点，则（ ）
A． B．2 C．3 D．
3．设函数的定义域为，如果，，使得成立，则称函数为“函数”. 给出下列四个函数：①；②；③；④，则其中“函数”共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．工厂废气排放前要过滤废气中的污染物再进行排放，废气中污染物含量（单位：mg/L）与过滤时间小时的关系为（，均为正的常数）．已知前5小时过滤掉了10%污染物，那么当污染物过滤掉50%还需要经过（ ）（最终结果精确到1h，参考数据：，）
A．43h B．38h C．33h D．28h
5．已知复数满足，则在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
6．已知定义在R上的函数满足，当时，．若对任意，都有，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．设，对任意，，总存在，使得成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．函数的一个零点所在的区间是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（本题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9．已知向量满足：为单位向量，且和相互垂直，又对任意不等式恒成立，若，则（ ）
A． B．
C．当时，最小 D．的最小值为
10．达·芬奇方砖是在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案，如图1，把三片这样的达·芬奇方砖拼成图2的组合，这个组合再转化为图3所示的几何体，图3中每个正方体的棱长为1，E，F为棱，AB的中点，则（ ）
A．点P到直线CQ的距离为2
B．直线平面
C．平面和平面的距离为
D．平面截正方体所得的截面的周长为
11．已知等差数列，公差为，，则下列命题错误的是（ ）
A．函数可能是奇函数
B．若函数是偶函数，则
C．若，则函数是偶函数
D．若，则函数的图象是轴对称图形
三、填空题（本题共有3个小题，每小题5分，共15分）12．数列的通项公式是，若数列是递增的，则实数的取值范围是 ．
13．一个1，两个2，三个3组成一个六位数，则相同数字不相邻的个数为 .相同数字不相邻的概率为 .
14．在双曲线中，把以原点为圆心、实轴长为直径的圆叫做双曲线的“伴随圆”，过双曲线上任意一点（顶点除外）作“伴随圆”的两条切线，切点分别为、，若直线在、轴上的截距分别为、，双曲线的离心率为2，则 .
四、解答题（本题共5小题，共77分 .解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
15.(本小题满分13分) 记的内角的对边分别为，已知
(1)试判断的形状；
(2)若，求周长的最大值.
16. (本小题满分15分) 手机完全充满电量，在开机不使用的状态下，电池靠自身消耗一直到出现低电量警告之间所能维持的时间称为手机的待机时间.为
了解A，B两个不同型号手机的待机时间，现从某卖场库存手机中随机抽取A，B两个型号的手机各7台，在相同条件下进行测试，统计结果如下：
手机编号 1 2 3 4 5 6 7
A型待机时间 120 125 122 124 124 123 123
B型待机时间 118 123 127 120 124
其中，，是正整数，且.
(1)该卖场有56台A型手机，试估计其中待机时间不少于123小时的台数；
(2)从A型号被测试的7台手机中随机抽取4台，记待机时间大于123小时的台数为，求的分布列；
(3)设A，B两个型号被测试手机待机时间的平均值相等，当B型号被测试手机待机时间的方差最小时，写出，的值（结论不要求证明）.
17 (本小题满分15分)．如图，已知三棱柱的侧棱与底面垂直，，，M，N分别是，的中点，点在线段上，且.
(1)证明：；
(2)当取何值时，直线与平面所成角最小
(3)是否存在点，使得平面与平面所成的二面角的正弦值为，若存在，试确定点的位置，若不存在，请说明理由.
18. (本小题满分17分)．已知，，直线l：，动点P到l的距离为d，满足，设点P的轨迹为C，过点F作直线，交C于G，H两点，过点F作与垂直的直线，直线l与交于点K，连接AG，AH，分别交直线l于M，N两点.
(1)求C的方程；
(2)证明：；
(3)记，的面积分别为，，四边形AGKH的面积为，求的范围.
19(本小题满分17分)．已知直线l：与函数．
(1)记，求函数的单调区间；
(2)若直线l与函数的图象相切，求实数k的值；
(3)若时，直线l始终在函数图象的上方，求实数k的取值范围．
参考答案：
1．A
【分析】首先解对数不等式求出集合，再解一元二次不等式求出集合，根据交集的定义求出，即可判断其真子集个数.
【详解】由，即，解得，
所以，
由，即，解得，
，
所以，故的真子集个数为．
故选：A．
2．B
【分析】先根据点在抛物线上求出p，再根据抛物线的定义求出焦半径即可.
【详解】将代入，即，
所以，
所以.
故选：B.
3．D
【分析】利用已知条件可知满足“函数”的条件是值域关于原点对称，从而研究四个基本函数的值域就可以作出判断.
【详解】由函数的定义域为，如果，，使得成立，
可知：“函数”的值域关于原点对称，
由于的定义域为，值域为，所以它是“函数”；
由于的定义域为，值域为，所以它是“函数”；
由于的定义域为，值域为，所以它是“函数”；
由于的定义域为，值域为，所以它是“函数”；
故选：D.
4．D
【分析】先确定废气中初始污染物含量，由题意求出常数，即可解出．
【详解】∵废气中污染物含量与过滤时间小时的关系为，
令，得废气中初始污染物含量为，
又∵前5小时过滤掉了10%污染物，
∴，则，
∴当污染物过滤掉50%时，，
则，
∴当污染物过滤掉50%还需要经过.
故选：D.
5．D
【分析】设出复数的代数形式，利用复数模的意义列出方程即可判断得解．
【详解】令，
因为，所以，
即点在以为圆心，1为半径的圆上，该圆在第四象限内，
所以在复平面内对应的点位于第四象限，
故选：D
6．B
【分析】
由题意可得当时，，
且，令，解得或，结合图像即可得到结果.
【详解】
由得，
因为当时，，所以；
当时，，；
当时，，；
且，如图令，得或；
若对任意，都有，结合图像则的取值范围是.
故选：B.
7．C
【分析】对于二次函数，“三点控制”中的三点分别是两区间端点和区间中点．理由如下：设，两端点为，，∴直线的斜率为．平移直线，使其与曲线相切，而，由，得，知切点的横坐标为，故“三点控制”中的三点分别是，，，进而求出最值.
【详解】设，则．
由题意，，，，且，
由绝对值不等式，得，
∴，即，因此．
故选：C．
8．B
【分析】先判断的单调性，结合零点存在性定理分析判断.
【详解】因为的定义域为，且在内单调递增，
可知在内单调递增，
且，
所以函数的唯一一个零点所在的区间是.
故选：B.
9．ABD
【分析】根据条件得到，再数形结合，得到，从而判断出选项A正确；再利用选项A的结果，得到，利用夹角公式，即可求得，从而得出选项B正确；由得到，即可判断出选项C和D的正误，从而得出结果.
【详解】因为为单位向量，且和相互垂直，所以，得到，
对于选项A，如图，设，，则，，
又对任意不等式恒成立，所以，故选项A正确，
对于选项B，由选项A知，，得到，所以，
又，所以，所以选项B正确，
又因为，，，，
所以，
当时，，即，故选项C错误，选项D正确，
故选：ABD.
10．ABD
【分析】由余弦定理可求得，可求P到CQ的距离的距离，判断A；以点D为坐标原点，以DA，DC，所在的直线分别为x轴，y轴，z轴，利用向量法平面，判断B；结合B，可求得到平面的距离，到平面的距离，可求得平面与平面的距离，判断C；连接并延长交CD延长线于U，连接UF交AD于V，交CB的延长线于W，可得截面为，求得截面的周长判断D.
【详解】由勾股定理可得，，，
由余弦定理得，得，P到CQ的距离为，所以A正确；
选项B：如图，以点D为坐标原点，以DA，DC，所在的直线分别为x轴，y轴，z轴，
则，，，，，∴，
设平面的法向量分别为，
所以 ，
∴，所以平面，故B正确；
选项C：由B可知平面，同理可证平面，
易求，设到平面的距离为，
由，可得，
所以，解得，
所以到平面的距离为，同理可得到平面的距离为，
所以平面与平面的距离为，故C不正确；
选项D：连接并延长交CD延长线于U，连接UF交AD于V，交CB的延长线于W，
，
，，，
所以截面周长为，所以D正确．
故选：ABD.
【点睛】方法点睛：求点到面的距离，常用等体积法转化为一个面上的高的方法处理，求截面周长，关键是作出截面图形.
11．ABC
【分析】利用可判断A；举反例可判断BC；求出可判断D.
【详解】对于A，若函数是奇函数，则，
可得，所以，此时，，
此时函数是偶函数，故A错误；
对于B，当时，，所以，
，函数是偶函数，
则，故B错误；
对于C，若，则，则，所以，
则，所以函数不是偶函数，故C错误；
对于D，若，则，
，所以，
所以函数的图象关于对称，是轴对称图形，故D正确.
故选：ABC.
12．
【分析】根据数列的单调性建立不等式，结合一次函数的单调性，可得答案.
【详解】由数列是递增的，则，即，
整理可得，由一次函数的单调性且，则，
解得.
故答案为：.
13． 10
【分析】根据排列求解总的六位数的个数，即可列举出所有不相邻的数字，即可求解概率.
【详解】一个1，两个2，三个3组成一个六位数，共有个六位数，
则相同数字不相邻的个数有323231，132323，232313，323132，231323，313232，312323，321323，323123，323213共有10个，
所以概率为，
故答案为：10，
14．
【分析】设出、、三点坐标，表示出切线和的方程，利用方程思想，得到直线的方程，分别求出、，再结合离心率为2求解即可.
【详解】由题意双曲线的“伴随圆”的方程为，
设切点，，
当不在轴上时，直线的斜率，
所以切线的方程为，
结合化简整理可得，
显然当在轴上时，也符合上式，故切线的方程为；
同理可得切线的方程为.
设，则，
所以直线的方程为.
令，得；令，得.
于是
故答案为：.
15．(1)是直角三角形
(2)
【分析】（1）根据题意，求得，利用余弦定理列出方程，得到，即可求解；
（2）由（1）和，得到，则周长为，结合三角函数的性质，即可求解.
【详解】（1）解：由，可得，所以，
即，所以，
又由余弦定理得，可得，所以，
所以是直角三角形
（2）解：由（1）知，是直角三角形，且，可得，
所以周长为，
因为，可得，
所以，当时，即为等腰直角三角形，周长有最大值为.
16．(1)40
(2)分布列见解析
(3)
【分析】（1）由频率估计概率，再计算即可；
（2）由古典概率计算出概率，再列出分布列即可；
（3）由平均值相等和方差最小列方程，再结合实际意义可得.
【详解】（1）被检测的7台手机中有5台的待机时间不少于123小时，
所以56台A型手机中有台手机的待机时间不少于123小时.
（2）的可能取值为，
，，
，，
所以的分布列为：
0 1 2 3
（3）型号被测试手机待机时间的平均值为，
型号被测试手机待机时间的平均值为，
因为A，B两个型号平均值相等，所以，即，
B型号被测试手机待机时间的方差为
，
因为方差最小，所以最小，
又，
令，则上式可化为，
因为是正整数，所以也是正整数，
所以结合二次函数的性质可知，当或时，B型号被测试手机待机时间的方差最小，
当时，，满足；
当时，，不满足；
综上，.
17．(1)证明见解析
(2)
(3)存在，点为上靠近的四等分点
【分析】（1）建系标点，利用空间向量证明线线垂直；
（2）求平面的法向量，利用空间向量求线面夹角，结合二次函数分析求解；
（3）假设存在，利用空间向量处理面面夹角，列式求解即可.
【详解】（1）因为，，则，即，
如图所示，以A为原点建立空间直角坐标系，
则，
可得，，
即，，
又因为，可得，
所以无论取何值，.
（2）由（1）可知：，
设平面的一个法向量为，则，
取，则，可得，
可得，
令，则，
所以当，即时，取得最小值，此时.
（3）假设存在，易知平面的一个法向量为
因为，，
设是平面的一个法向量，则，
令，可得，可得，
则，
化简得，解得或，
因为，可得，
所以存在点使平面与平面所成二面角正弦值为，点为上靠近的四等分点.
18．(1)
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）利用坐标公式代入得到的轨迹方程；
（2）利用方程组思想，先求出交点满足的韦达定理，再利用这两个坐标写直线方程去求出交点和，最后利用韦达定理去证明，即可；
（3）利用所求的坐标去表示，然后把转化到韦达定理上来，可得到，然后求出取值范围即可.
【详解】（1）由，得到：，
即：，所以的方程为；
（2）证明：要证，即证明为的中点，如图：
易知：的斜率不为0，可设直线方程
联立：，消元得：，
得到，则，
可得方程为，令，得到，
所以，同理：，
即
，
直线，令，得到，
所以有，而，
所以为的中点，即；
（3）由，
，
得：
，
因为，所以.
【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：
（1）设直线方程，设交点坐标为；
（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，注意的判断；
（3）列出韦达定理；
（4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式；
（5）代入韦达定理求解.
19．(1)单调增区间为，单调减区间为
(2)2
(3)
【分析】（1）对求导得，利用导数单调性法求出的单调区间可得结果；
（2）设出切点坐标，利用导数的几何意义得条件，令，利用导数得单调性解出方程的根可得结果；
（3）解法一：依题意得当时，恒成立，令，，分类讨论得出单调性可得结果；解法二：由题意整理得，构建，利用导数判断其单调性，结合洛必达法则分析求解.
【详解】（1）由题意得，，，则，
令，解得，所以在上为增函数，
令，解得，所以在上为减函数，
故函数的单调增区间为，单调减区间为．
（2）设直线l：与函数相切于点，
则，得，
令，则，故在上单调递减，
从而至多一根，又，故，．
（3）解法一：由题意知，当时，恒成立，
令，，则，，
①当时，，则，
所以在上单调递增，故．
②当时，令得，，
由且得，故当时，，
在上单调递减，从而，不符合题意；
综上所述：k的取值范围为；
解法二：由题意知，当时，恒成立，
整理得，
构建，则，
构建，则当恒成立，
可知在内单调递增，则，
即当恒成立，可知在内单调递减，
且当x趋近于1时，趋近于2，可得，
所以k的取值范围为.