青海省海西蒙古族藏族自治州格尔木市第七中学2023-2024学年高二下学期期末考试数学试题（含解析）

格尔木市第七中学高二年级期末测试卷
数学
全卷满分150分，考试时间120分钟。
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚。
4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交。
5．本卷主要考查内容：必修第一册，必修第二册，选择性必修第一册第一章～第二章2.3。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．直线的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
2．已知向量，，且，则实数（ ）
A．3 B．1 C． D．
3．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
4．在中，内角所对的边分别为，若，，则（ ）
A． B． C．1 D．
5．在正方体中，异面直线与所成角的度数为（ ）
A． B． C． D．
6．若函数的零点所在的区间为，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．在平行六面体中，点是线段上的一点，且，设，，，则（ ）
A． B． C． D．
8．已知单位向量，若对任意实数，恒成立，则向量的夹角的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．某人射箭10次，射中的环数依次为，关于这组数据，下列说法正确的是（ ）
A．众数是8 B．中位数是7.5 C．平均数是8 D．方差是
10．下列说法不正确的是（ ）
A．若直线没有交点，则为异面直线
B．若直线平面，则与内任何直线都平行
C．若直线平面，平面平面，则直线平面
D．如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补
11．设正实数满足，则下列说法正确的是（ ）
A．的最小值为2 B．的最小值为1
C．的最大值为4 D．的最小值为2
12．如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，为的中点，如图所示建立空间直角坐标系，则下列说法正确的有（ ）
A．
B．向量与所成角的余弦值为
C．平面的一个法向量是
D．点到平面的距离为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．某工厂12名工人某天生产同一类型零件，生产的件数分别是，，则这组数据的第75百分位数是______．
14．直线的斜率是关于的方程的两根，若，则实数______．
15．已知平面的一个法向量为，点是平面上的一点，则点到平面的距离为______．
16．已知函数是奇函数，则实数的值为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．
17．（本小题满分10分）
已知，复数（是虚数单位）．
（1）若是纯虚数，求的值；
（2）若在复平面内对应的点位于第四象限，求的取值范围；
18．（本小题满分12分）
已知的内角的对边分别为为锐角，且．
（1）求角的大小；
（2）若的面积为，，求的值．
19．（本小题满分12分）
已知直线，，．
（1）若这三条直线交于一点，求实数的值；
（2）若三条直线能构成三角形，求满足的条件．
20．（本小题满分12分）
共享单车企业通过在校园、地铁站点、公交站点、居民区、商业区、公共服务区等提供服务，完成交通行业最后一块“拼图”，带动居民使用其他公共交通工具的热情．与其他公共交通方式产生协同效应．共享单车是一种分时租赁模式，也是一种新型绿色环保共享经济．某城市交通部门为了调查该城市共享单车使用的满意度，随机选取了200人就该城市共享单车的使用满意度进行问卷调查，并将问卷中的这200人根据其满意度评分值（百分制）分成5组：，，，，（满意度评分值均在内），制成如图所示的频率分直方图．
（1）求的值，并求出满意度评分值的平均数和中位数（同一组数据用该组区间的中点值为代表）
（2）用分层抽样的方法在满意度评分值在内的抽出6人，再从这6人中随机抽取2人进行座谈，求抽到的2人满意度评分值均在内的概率．
21．（本小题满分12分）
已知函数．求：
（1）函数的最小正周期；
（2）方程的解集；
（3）当时，函数的值域．
22．（本小题满分12分）
如图，在三棱柱中，平面平面，，，四边形是菱形，，是的中点．
（1）证明：平面；
（2）求二面角的正弦值．
格尔木市第七中学高二年级期末测试卷·数学
参考答案、提示及评分细则
1．D，其倾斜角为．故选D．
2．由，有，解得．
3．C由可得，或，故．
4．C由，有．故选C．
5．异直线与所成角即为与所成角，其中为等边三角形，因此与所成角为．故选C．
6．D易知在上单调递增，解得．
7．C
．故选C．
8．A设向量的夹角为，因为，所以，则，即恒成立．所以，解得，故的夹角的取值范围是．故选A．
9．ACD数据从小到大排列为，所以众数为8，选项正确；中位数为8，选项不正确；平均数为，所以选项C正确；方差为，所以选项D正确．
10．AB A选项中，无交点，直线可以平行，不一定异面，所以不正确；选项中，直线平面并不平行于内的所有直线，所以不正确；易得选项均正确．
11．AD ，，，
，
当且仅当，即时等号成立，故A正确；
，，当且仅当时，等号成立，故B错误；
，，当且仅当时等号成立，最大值为2，故错误
，当且仅当时等号成立，故D正确．故选AD．
12．BCD对于，正方体中，，故错误；
对于B，，，故向量夹角余弦值为，故B正确；
对于C，，，，．故是平面的一个法向量，故C正确；
对于D，，则点到平面的距离为，故D正确．故选BCD．
13．15.5这组数据按从小到大的顺序排列为．因为，所以这组数据的第75百分位数是．
14．因为，而且斜率存在，所以，又是关于的方程的两根，，解得．
15．，点到平面的距离．
16．1或由题意知，定义域为，函数是奇函数，则，即，化解得，解得或．经检验，或都符合要求．
17．解：（1）因为是纯虚数，所以
解得；
（2）在复平面内对应的点为，由题意可得
解得，即的取值范围是．
18．解：（1）由，有．
又由，可得，
因为为锐角，所以；
（2）由题意有，可得，
又由余弦定理有，
可得．
19．解：（1）由解得代入的方程，得．
（2）当三条直线相交于一点或其中两直线平行时，三条直线不能构成三角形．
①联立解得代入，得；
②当与平行时，，
当与平行时，．
综上所述，当且且时，三条直线能构成三角形．（且写成或扣1分）
20．解：（1）由题意知，解得．
满意度评分值的平均数；
设满意度评分值的中位数为，所以，解得，即满意度评分值的中位数为75．
（2）满意度评分值在内的有（人），满意度评分值在内的有（人），所以抽取的6人中满意度评分值在内的有（人），记为．满意度评分值在内的有(人)，记为．
从这6人中随机抽取2人有，，共15种基本事件，
其中抽到的2人满意度评分值均在内的有，共6种基本事件，所以抽到的2人满意度评分值均在内的概率．
21．解：因为，
（1）；
（2）由，得，即，
所以的解集为；
（3）因为，所以，所以，
所以，故的值域为．
22．（1）证明：连接，因为四边形是菱形，所以，
因为，所以为等边三角形，所以．
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
平面，所以．
因为，，即，所以．
又，所以平面；
（2）解：连接，因为，，是的中点，所以．
又因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面．
设，因为，以点为坐标原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
．
设平面的法向量是，
则取，可得．
设平面的法向量是，
则取，可得．
所以，
因此，二面角的正弦值是．