甘肃省庆阳市环县第一中学2023-2024学年高二上学期期末考试数学试题(含解析)

文档属性

名称 甘肃省庆阳市环县第一中学2023-2024学年高二上学期期末考试数学试题(含解析)
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文件大小 1.2MB
资源类型 教案
版本资源 通用版
科目 数学
更新时间 2024-05-26 20:22:07

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文档简介

环县一中2023~2024学年度第一学期期末考试
高二数学
全卷满分150分,考试时间120分钟.
注意事项:
1.答题前,先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上,并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答,写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑;非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答;字体工整,笔迹清楚.
4.考试结束后,请将试卷和答题卡一并上交.
5.本卷主要考查内容:概率,统计,数列,直线,圆,圆锥曲线.
一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知椭圆上有一点到其右焦点的距离为4,则点到其左焦点的距离为( )
A.6 B.3 C.4 D.2
2.已知数列,,,,,…,则是这个数列的( )
A.第11项 B.第12项 C.第13项 D.第14项
3.抽样统计某位学生10次的数学成绩分别为86,84,88,86,89,89,90,87,85,92,则该学生这10次成绩的40%分位数为( )
A.86.5 B.89 C.91 D.87.5
4.以点为圆心,两平行线与之间的距离为半径的圆的方程为( )
A. B.
C. D.
5.圆:与圆的位置关系为( )
A.相交 B.内切 C.外切 D.相离
6.在等差数列中,,,则( )
A.8 B.9 C.10 D.11
7.已知点,,,且满足,点为的中点,则的最大值为( )
A.9 B.10 C.11 D.12
8.等比数列的前项和,则( )
A. B. C.0 D.
二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.
9.若1,,,,16成等比数列,则( )
A. B. C. D.
10.关于双曲线与双曲线(),下列说法不正确的是( )
A.实轴长相等 B.离心率相等
C.焦距相等 D.焦点到渐近线的距离相等
11.实验:甲、乙、丙三名同学各自从、、中选了一个字母(不可重复).记事件为“乙同学选字母”,事件为“甲同学没有选字母”,则下列正确的有( )
A. B.
C. D.
12.已知抛物线:的焦点坐标为,过点的直线与抛物线相交于,两点,点在抛物线上.则( )
A. B.当轴时,
C.为定值1 D.若,则直线的斜率为
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13.直线过点,若的斜率为3,则直线的一般式方程为______.
14.如图所示是抛物线形拱桥,当水面在时,拱顶离水面,水面宽.水位下降后,水面宽______.
15.已知四位数4521,任意交换两个位置的数字之后,两个奇数相邻的概率为______.
16.如图,已知椭圆:()的左、右焦点分别为,,过椭圆左焦点的直线与椭圆相交于,两点,,,则椭圆的离心率为______
四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.
17.(本小题满分10分)
已知圆经过点,,.
(1)求圆的方程;
(2)求直线截圆所得两段弧长之比.
18.(本小题满分12分)
已知等差数列的前项和为,,.
(1)求数列的通项公式;
(2)设,求数列的前项和.
19.(本小题满分12分)
已知抛物线:()的焦点为,过点的直线交抛物线于,两点,当轴时,.
(1)求抛物线的方程;
(2)当线段的中点的纵坐标为3时,求直线的方程.
20.(本小题满分12分)
某政府部门为促进党风建设,拟对政府部门的服务质量进行量化考核,每个群众办完业务后可以对服务质量进行打分,最高分为100分.上个月该部门对100名群众进行了回访调查,将他们按所打分数分成以下几组:第一组,第二组,第三组,第四组,第五组,得到频率分布直方图如图所示.
(1)估计所打分数的众数和平均数;(同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表)
(2)该部门在第一、二组群众中按比例分配的分层抽样的方法抽取6名群众进行深入调查,之后从这6人中随机抽取2人聘为监督员,求监督员来自不同组的概率.
21.(本小题满分12分)
已知双曲线:(,)的一条渐近线方程为,焦距为.
(1)求双曲线的标准方程;
(2)若为坐标原点,过的直线交双曲线于,两点,且的面积为,求直线的方程.
22.(本小题满分12分)
已知椭圆:()的左、右焦点分别为,,点在椭圆上,且,的面积为,点在椭圆上.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)斜率存在且不为零的直线与椭圆相交于,两点,点的坐标为,若直线,的倾斜角互补,求证:直线过定点.
环县一中2023~2024学年度第一学期期末考试·高二数学
参考答案、提示及评分细则
1. D 由椭圆,得,即,设左焦点为,右焦点为,
则,因为,所以,即点到左焦点的距离为2.故选D.
2. B 由数列的前几项观察归纳,知根号内的被开方数是以6为首项,4为公差的等差数列,
所以通项公式,当时,.
3. A 该学生10次的数学成绩从小到大分别为84,85,86,86,87,88,89,89,90,92.
又,这10次成绩的40%分位数为.
4. B ∵平行线间的距离为,
∴,∴圆的方程为,故选B.
5. A 圆的圆心为,半径为;圆的圆心为,半径为.
两圆心之间的距离,且满足,可知两圆相交.
6. B ,则.
7. C 根据题意可得,设点坐标,可知,,,,
代入得,,可得点是在以点为圆心,半径为1的圆上,,故选C.
8. C ,当时,,当时,,故,当时,,从而,由于是等比数列,故,解得,.故选C.
9. BD 因为,且与首项1同号,所以,因为,同号,且,
所以或.
10. ABD 双曲线的每个量都是确定的,双曲线()的实轴长、离心率、虚轴长都与有关,它们的焦距相同,都为.
11. AC 由题意可知,实验有,,,,,,共6种结果.其中满足事件的共有2种,故;其中满足事件的共有4种,故.可计算出,.
12. BCD 对于选项A,将点代入抛物线方程,可得,故选项A错误;
对于选项B,焦点,点在抛物线上,可得,故选项B正确;
对于选项C,设点,的坐标分别为,,直线的方程为,
联立方程消去后整理为,可得,,,,,,
有,故选项C正确;
对于选项D,有,可得,
由,有解得,故选项D正确.
13.
14. 建立如图所示的平面直角坐标系,设抛物线方程为(),
则,将其坐标代入,得,∴.
当水面下降,得(),将其坐标代入得,
∴,∴水面宽.
15. 4521任意交换两个数的位置之后有:5421,2541,1524,4251,4125,4512,共6种,
两个奇数相邻有3种,所以两个奇数相邻的概率为.
16. 设椭圆的焦距为,,,有,,,在中,由余弦定理有,有,可得,,,有.在中,由余弦定理有,可得.
17.解:(1)设圆的方程为,
因为圆经过点,,,
所以
解得,,,
所以圆的方程为.
(2)圆的方程可化为,直线经过圆的圆心,
由圆的对称性可知直线截圆所得两段弧长之比为1:1.
18.解:(1)设公差为,由,得,解得
故;
(2)由得,
故.
19.解:(1)由题意知,,当轴时,,两点的横坐标,
代入得,则,解得,
所以抛物线的方程为;
(2)根据题意得,直线的斜率存在,设,,,两点都在上,
则有,,
,,
又∵中点的纵坐标为3,则,,

直线的斜率,点,
∴直线的方程为:或.
20.解:(1)由众数概念可知,人数出现最多的为之间,所以众数为70,
平均值

(2)由直方图知,第一、二组的频率分别为0.05和0.1,
则第一、二组人数分别为5和10,
所以根据分层抽样的方法,抽出的6人中,第一组和第二组的人数之比为1:2,
则第一组有2人,记为,;第二组有4人,记为,,,.
从中随机抽取2人的所有情况如下:,,,,,,,,,,,,,,,共15种,其中,两人来自不同组的情况有:,,,,,,,,共8种,故两人来自不同组的概率为,
答:监督员来自不同组的概率为.
21.解:(1)由题意知,
解得,,,
所以双曲线的标准方程为;
(2)显然,直线的斜率存在,设直线的方程为,,,
由得,
所以,
,,
所以

点到直线的距离,
所以

解得或,
所以直线的方程为或或或.
22.(1)解:设椭圆的焦距为,令,代入椭圆的方程可求得.
由的面积为,可得,有,
将点的坐标代入椭圆的方程,可得,解得.
解方程组得,,,
故椭圆的标准方程为.
(2)证明:设点,的坐标分别为,,
直线.的方程为()
联立方程消去后整理为.
有,,
有,,
又由

由直线、的倾斜角互补,有,
有,通分整理后可得,
可得直线的方程为,可知直线过定点.
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