机密★启用前
x y 4 0,
5．若实数 x, y满足约束条件 y 0, 则 z x 2y的最大值是（ ）
2024 年高考适应性考试试题（二） x y 0.
A．2 B．4 C．6 D．8
理科数学
6．德国天文学家约翰尼斯·开普勒根据丹麦天文学家第谷·布拉赫等人的观测资料和星表，通过本人
注意事项： 的观测和分析后，于 1618 年在《宇宙和谐论》中提出了行星运动第三定律——绕以太阳为焦点的
1.考生答卷前，务必将自己的姓名、座位号写在答题卡上,将条形码粘贴在规定区域。本试卷满 2 3
椭圆轨道运行的所有行星，其椭圆轨道的长半轴长 a与公转周期 T 有如下关系：T a2 ，其
分 150 分，考试时间 120 分钟。 GM
2.做选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动， 中 M 为太阳质量，G 为引力常量．已知火星的公转周期约为水星的 8 倍，则火星的椭圆轨道的长
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号,写在本试卷上的答案无效。
半轴长约为水星的（ ）
3.回答非选择题时，将答案写在答题卡的规定区域内，写在本试卷上的答案无效。
4.考试结束后，将答题卡交回。 A．2 倍 B．4 倍 C．6 倍 D．8 倍
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 7.某单位共有 A、B 两部门，1 月份进行服务满意度问卷调查，得到两部门服务满意度得分的频率分
合题目要求的.
布条形图如下.设 A、B 两部门的服务满意度得分的中位
1．已知全集U R，集合M {x | y 1 x}， N { 2,0,1, 2, 3}，则 (CUM ) N =（ ） 2 2
数分别为 n1，n2，方差分别为 s1 ， s2 ，则（ ）
A．{ 2,0,1} B．{2, 3} C．{1, 2, 3} D．{2}
A． n1 n
2 2 2 2
2 ， s1 s2 B．n1 n2， s1 s2
2．已知复数 z满足 | z 3 4i | 1，则 z在复平面内对应的点位于（ ）
C． n1 n2 ， s2 21 s2 D． n1 n
2 2
2 ， s1 s2
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
S4 8．筒车亦称“水转筒车”，是一种以水流作动力，取水灌田的工具，唐陈廷章《水轮赋》：“水能利3．记 Sn为等比数列 an 的前 n项和，若 a3a5 2a2a4，则 S （ ）2
物，轮乃曲成.升降满农夫之用，低徊随匠氏之程.始崩腾以电散，俄宛转以风生.虽破浪于川湄，善
A．5 B．4 C．3 D．2
行无迹；既斡流于波面，终夜有声.”如图，一个半径为 4m的筒车按逆时针方向每分钟转一圈，筒
4．如图，网格纸上绘制的是某几何体的三视图，网格小正方形的边长为 1，则该几何体的体积为
（ ） 车的轴心 O 距离水面的高度为 2m .在筒车转动的一圈内，盛水筒 P 距离水面的高度不低于 4m的时
A．15π 间为（ ）
B．20π A．9 秒
C．26π B．12 秒
D．30π C．15 秒
D．20 秒
理科数学试卷二 第 1页（共 6 页） 理科数学试卷二 第 2页（共 6页）
{#{QQABJYYUogiAQJJAARhCQwVgCACQkBACCCoOxAAEoAAAiANABAA=}#}
9 2．已知某圆锥的母线长为3 5，底面积为 9π，记该圆锥的体积为V ，若用一个平行于圆锥底面的 16．已知函数 f x sin x sinx k，x 0, π .有下列结论：
V
平面截该圆锥，且截去一个体积为 的小圆锥，则剩余几何体的外接球的表面积为（ ） ①若函数 f x 1 有零点，则 k的取值范围是 , ；27 4
A．60π B． 40π C．30π D．20π ②函数 f x 的零点个数可能为0,2,3,4；
10．已知点 O 是 ABC是所在平面内一点，且OA AC 1，OC AC 1，则∠ABC 的最大值为 1 ③若函数 f x 有四个零点 x1, x2 , x3, x4，则 k 0, ，且 x1 x2 x3 x4 2π；
4
（ ）
④若函数 f x 有四个零点 x1, x2 , x3 , x4 x1 x2 x3 xπ π π π 4
，且 x1, x2 , x3, x4成等差数列，则 x2为定值，
A． B． C． D．
6 4 3 2 x π且 2 ,
7π
.
3 18
11.已知抛物线C : y
2 6x 的焦点为 F，O为坐标原点，倾斜角为 的直线 l过点 F且与C交于M ，
其中所有正确结论的编号为 .
N 两点，若 OMN 的面积为3 3，则 （ ） 三、解答题：共 70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第 17～21题为必考题，每个
1
A． sin B． MN 24 试题考生都必须作答．第 22、23题为选考题，考生根据要求作答.
2
（一）必考题：共 60分．
y MF 3 MFC．以MF为直径的圆与 轴仅有1个交点 D． 或 3NF 3 NF 17．（12 分）
记△ABC 的内角 A，B，C 3的对边分别为 a，b， c，△ABC 的面积为 S.已知
x S (a
2 c2 b2 ) .
12．函数 f x a a 2 x 2 a 1 x（ a 0且a 1）的零点个数为（ ） 4
（1）求 B；
A．1 B．2 C．3 D．4 π
（2）若点D在边 AC上，且 ABD ， AD 2DC 2，求△ABC 的周长.
2
二、填空题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20分.
18．（12 分）
13．将指定的 6 名学生随机分配到 3 个不同的校办公室打扫卫生，要求每个办公室分配 2 人，则恰
如图，在平行六面体 ABCD A B C D 中，E 在线段 A D 上，且 EDA EAD，F，G 分别为线段 BC，
好甲、乙两人打扫同一个办公室的概率为 .
AD的中点，且底面 ABCD为正方形.
Sn 914．已知数列 an 的前 n项和 Sn n2 n，当 取最小值时， n a . （1）求证:平面 BCC B 平面 EFG；n
x2 y2 F ,F FF （2）若 EF与底面 ABCD不垂直，直线 ED与平面 EBC所成角为 45 ，15．已知双曲线C：2 2 1(a 0, b 0)的左、右焦点分别为 1 2，记以 1 2为直径的圆与 C 的a b
且 EB AB 2，求点 A 到平面 A B C D . 的距离
渐近线在第一象限交于点 P，点 Q 为线段PF2 与 C 的交点，O 为坐标原点，且 2F1Q F1P 2OF2 ，
则 C 的离心率为 .
理科数学试卷二 第 3页（共 6 页） 理科数学试卷二 第 4页（共 6页）
{#{QQABJYYUogiAQJJAARhCQwVgCACQkBACCCoOxAAEoAAAiANABAA=}#}
19.（12 分） 21.（12 分）
2 2
红旗淀粉厂 2024 年之前只生产食品淀粉，下表为年投入资金 x（万元）与年收益 y（万元）的 8 C x y已知椭圆 ： 2 2 1 a b 0 的右焦点为 F 1,0 ，右顶点为 A，直线 l：x 4与 x轴交于点 M，a b
组数据： 且 AM a AF ，
x 10 20 30 40 50 60 70 80 （1）求 C 的方程；
（2）B 为 l 上的动点，过 B 作 C 的两条切线，分别交 y 轴于点 P，Q，y 12.8 16.5 19 20.9 21.5 21.9 23 25.4
①证明：直线 BP，BF，BQ 的斜率成等差数列；
（1）用 y blnx a模拟生产食品淀粉年收益 y与年投入资金 x的关系，求出回归方程； ②⊙N 经过 B，P，Q 三点，是否存在点 B，使得 PNQ 90 ？若存在，求 BM ；若不存在，请说
（2）为响应国家“加快调整产业结构”的号召，该企业又自主研发出一种药用淀粉，预计其收益为投入的 明理由.
10%．2024年该企业计划投入 200万元用于生产两种淀粉，求年收益的最大值．（精确到 0.1万元）
n
viui nv u
附：①回归直线u b v a 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：b i 1n ，a u b v
2 2 （二）选考题：共 10分．请考生在第 22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分． vi nv
i 1 22.[选修 4-4：坐标系与参数方程]（10 分）
② 8 8 8 8 8
yi lnxi x2 lnx 2i i yilnxi x 2 cos
i 1 i 1 i 1 i 1 i 1 在平面直角坐标系 xOy中，已知曲线C的参数方程为 （ 为参数）.
y sin
161 29 20400 109 603
（1）求曲线C的普通方程；
（2）以坐标原点O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系.若A为曲线C上任意一点，将OA逆
③ ln2 0.7, ln5 1.6
时针旋转90 得到OB，求线段 AB中点M 的轨迹的极坐标方程.
20.（12 分）
23. [选修 4-5：不等式选讲]（10 分）
ex 2
已知函数 f x .
e x 1 已知函数 f x x a b，不等式 f x 4的解集为{x∣0 x 6} .
（1）判断 f x 的零点个数并说明理由； （1）求实数 a,b的值；
x
（2）当 x 1时， af x e 1 1 lnx 1恒成立，求实数 a的取值范围. （2）函数 f x 的最小值为 t，若正实数m,n, p满足m 2n 3p t ，求 m 2p 2n 的最小值.e p
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{#{QQABJYYUogiAQJJAARhCQwVgCACQkBACCCoOxAAEoAAAiANABAA=}#}高三理科数学预测卷（2）
参考答案
一．选择题:
1.B 2．D 3．C 4．A 5．C 6．B 7．C 8．D 9．B 10．B 11．C 12．B
二.填空题:
13 1． 14．3 15． 5 1 16．② ③ ④
5
三.解答题：
17 3 1 3．解：（1）由 S (a2 c2 b2 )，则 ac sin B 2ac cos B，-------------------3 分
4 2 4
tan B 3
又B 0, π 2π，故 B .---------------------------------------------------------------------------------5 分
3
2π π π
（2）由（1）可知， B ，又 ABD ，则 CBD ；--------------------------------6 分
3 2 6
由题可知， AD 2DC 2，
BD BC CD BC 1CA BC 1 故 BA BC 2 1 BC BA，--------------------------8 分3 3 3 3
2
所以 BA BD BA BC
1
BA 1 1 c
2 ac 0，
3 3 3 3
a c A C π因为 c 0，所以 ， ，---------------------------------------------------------------10分
6
π
在Rt△ABD中， c AD cos 3，
6
故 ABC的周长为 AB BC AC 3 3 3 3 2 3 .----------------------------------------12分
18．解：（1）因为 EDA EAD，G为 AD中点，
所以 EA ED，EG AD，即 EG BC，-----------------------------------------------------------2 分
因为 ABCD是正方形，所以 BC AB，
因为 F ,G分别是 BC ,AD的中点，所以GF / /AB，所以BC GF，--------------------------3 分
又EG GF G， EG,GF 平面 EGF，
BC 平面 EGF，又 BC 平面 BCC1B1，
平面 BCC1B1 平面 EGF .------------------------------------------------------------------------------5 分
uuur uuur
（2）以 F为坐标原点，过 F作与平面 ABCD垂直的直线为 z轴，以FC,GF的方向为 x, y轴
的正方向，建立如图空间直角坐标系，---------------------------------------------------------------6 分
答案第 1页，共 8页
{#{QQABJYYUogiAQJJAARhCQwVgCACQkBACCCoOxAAEoAAAiANABAA=}#}
则D 1, 2,0 ,C 1,0,0 ,B 1,0,0 ，设 E 0,a,h a 0,h 0 ，
则ED 1, 2 a, h ， EB 1, a, h ，CB 2,0,0 ，------------------------------------7 分
设平面EBC的法向量为 n x, y, z ，
n EB x ay hz 0
则 ，令 y h，则 z a，
n CB 2x 0
所以 n 0, h,a ，---------------------------------------------------------------------------------------9 分
又EB 2，所以 a2 h2 3，
设直线ED与平面EBC所成角为 ，
ED n 2h
则sin
2
2 2 ，-------------------------------------------------11分ED n 3 h2 2 a 1
3 3
解得 a 或a 0（舍），
2 h
，
2
3 3
所以点E到平面 ABCD的距离为 ，则点A到平面 A1B1C1D1的距离为 .-----------12分2 2
8 8
8 8 lnxi yi
ln x y 8ln x y ln x y 8 i 1 i 1 603 8 29 16119解：（1 i i i i）b i 1 i 1 8 8 8 88 2 8 2 2 5
ln xi 2 8 ln x ln xi 2 8 ln x 109 8 29
i 1 i 1 8
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------3 分
a y b ln x 161 5 29 2 ---------------------------------------------------------------------4分
8 8
∴回归方程为： y 5lnx 2 -----------------------------------------------------------------------5 分
（2）2024年设该企业投入食品淀粉生产 x万元，预计收益 y（万元）
y 5lnx 1 2 200 x ，0 x 200 ---------------------------------------------------7 分
10
答案第 2页，共 8页
{#{QQABJYYUogiAQJJAARhCQwVgCACQkBACCCoOxAAEoAAAiANABAA=}#}
y 5 1 50 x 0，得 x 50 ----------------------------------------------------------------9 分
x 10 10x
∴其在 0,50 上递增， 50, 200 上递减-----------------------------------------10分
ymax 5ln50 2 15 5 2ln5 ln2 17 5 2 1.6 0.7 17 36.5 ---------------------12 分
20．解：（1） f x ex 1 2 (x 1)2 .-----------------------------------------------------------1 分
当 x , 1 1, 时， f (x) > 0 .
函数 f x 在 , 1 , 1, 上单调递增；-----------------------------------------------3 分
当 x , 1 时， f x 0；
当 x 1, 时， f 1 0 .
\ f (x)在 , 1 1, 上有且仅有一个零点；---------------------------------------5 分
x
（2） af x e lnx 1，
e
a e
x 2 ex
ln x 1 0 .
e x 1
e
ex 2 ex
设 g x a lnx 1 a 1 ex 1 lnx
2a
1 .
e x 1 e x 1
①当 a 1时，由 x , f x ，不合题意，
当 a 1时，不合题意.---------------------------------------------------------------------------7 分
②当 a 1时，由① f x 在 1, 上单调递增.
又 f 1 0, f x 0在 x 1, 上恒成立.
ex xg x a 2 e ln x 1 e
x 2 ex
ln x 1
e x 1 e e x 1 e
2
lnx 1. ----------------------------------------------------------------------------------9 分
x 1
n x 2设 lnx 1.
x 1
2 1 2x (x 1)
2 x2 1
n x .
(x 1)2 x x(x 1)2 x(x 1)2
答案第 3页，共 8页
{#{QQABJYYUogiAQJJAARhCQwVgCACQkBACCCoOxAAEoAAAiANABAA=}#}
n x 0在 x 1, 上恒成立， n x 在 1, 上单调递减.
又 n 1 0, n x 0在 x 1, 上恒成立.
ex 2
a x 1 e lnx 1x .满足题意.---------------------------------------------11分 e 1
综上， a的取值范围为 ,1 .------------------------------------------------------------12分
21．解：（1）由右焦点为 F 1,0 ，得 c 1，
因为 AM a AF ，所以 4 a a a 1 ，------------------------------------------------2 分
若a 4，则 a 4 a a 1 ，得 a2 2a 4 0，无解，--------------------------------3 分
2
a 4 4 a a a 1 2 2 C x y
2
若 ，则 ，得 a 4，所以 b 3，因此 的方程 1 .-----4分
4 3
（2）设 B 4, t ，易知过 B且与 C相切的直线斜率存在，
设为 y t k x 4 ，
y t k x 4
联立 x2
2 2
y2 ，消去 y得 3 4k x 8k t 4k x 4 t 4k 2 12 0，-------6 分
1 4 3
2 2 2
由Δ 64k t 4k 4 3 4k 4 t 4k
2 12 0，得12k 2 8tk t
2 3 0，
8t 2t t2 3
设两条切线 BP，BQ的斜率分别为 k1， k2，则 k1 k2 ， k1k2 .---------7 分12 3 12
k k t t①设 BF的斜率为 3，则 3 ，因为 k k
2t
1 2 2k3，所以 BP，BF，BQ的斜率成4 1 3 3
等差数列，
②法 1：在 y t k1 x 4 中，令 x 0，得 yP t 4k1，所以P 0, t 4k1 ，
同理，得Q 0, t 4k2 ，所以 PQ的中垂线为 y t 2 k1 k2 ，
答案第 4页，共 8页
{#{QQABJYYUogiAQJJAARhCQwVgCACQkBACCCoOxAAEoAAAiANABAA=}#}
1
易得 BP中点为 2, t 2k1 ，所以 BP的中垂线为 y x 2 t 2kk 1，1
y t 2(k1 k2 )
联立 1 N 2k k 2, t 2 ky (x 2) t 2k ，解得 1 2 1 k2 ，-------------------------9分 k 1 1
所以 NP 2k1k2 2,2k2 2k1 ， NQ 2k1k 2 2,2k1 2k 2 ，
2 2
要使 NP NQ 0，即 4 k1k2 1 4 k1 k2 0，整理得 k1k2 1 k1 k2 ，
2 2 2
k k k k 2而 1 2 1 2 4k k
2t 4 t 3 t 91 2 ，------------------------10分
3 12 3
t2 3 21 t 9所以 ，解得 t2 7， t 7 ，因此 BM 7，12 3
故存在符合题意的点 B，使得 NP NQ 0，此时 BM 7 .------------------------------12分
法 2：在 y t k1 x 4 中，令 x 0，得 yP t 4k1，因此 P 0, t 4k1 ，
同理可得Q 0, t 4k2 ，所以 PQ的中垂线为 y t 2 k1 k2 ，
1因为 BP中点为 2, t 2k1 ，所以 BP的中垂线为 y x 2 t 2kk 1，1
y t 2(k1 k2 )
联立 y 1
x 2k
(x 2) t 2k ，解得 N 1
k2 2，
k
1
1
PQ
要使 NP NQ 0，则 PNQ ，所以 x ，即 2k k 2 2 k k ，
2 N 2 1 2 1 2
2t 2k 2 r
2 3 t 2 9
而 1 k k k 4k k
2 1 2 1 2 4 ，
3 12 3
t2 3 t2 9
所以 1 ，解得 t2 7， t 7 ，因此 BM 7，12 3
答案第 5页，共 8页
{#{QQABJYYUogiAQJJAARhCQwVgCACQkBACCCoOxAAEoAAAiANABAA=}#}
故存在符合题意的点 B，使得 NP NQ 0，此时 BM 7
法 3：要使 PNQ 90 ，即 PBQ 45 或135 ，
k k k k
从而 tan PBQ 1，又 tan PBQ 1 2 1 2，所以 1，
1 k1k2 1 k1k2
2 2 2
因为 k1 k2 k k
2
1 2 4k k
2t t 3 t 9
1 2 4 ，
3 12 3
t2 9 t2 3
所以 1 ，解得 t2 7， t 7 ，所以 BM 7，
3 12
故存在符合题意的点 B，使得 NP NQ 0，此时 BM 7 .
法 4：要使 PNQ 90 ，即 PBQ 45 或135 ，
BP BQ
从而 cos PBQ
2
，
BP BQ 2
在 y t k1 x 4 中，令 x 0，得 yP t 4k1，故 P 0, t 4k1 ，
同理可得Q 0, t 4k2 ，
因此 BP 4, 4k1 ，BQ 4, 4k2 ，
BP BQ 16 16k k 2
所以
1 2
BP BQ ，4 1 k 21 4 1 k
2 2
2
故 2 1 k1k2 1 k 2 2 2 2 2 2 21 k2 k1 k2 ，即 2 2k1 k2 4k1k2 1 k1 k 2 k 22 1 k 22 ，
答案第 6页，共 8页
{#{QQABJYYUogiAQJJAARhCQwVgCACQkBACCCoOxAAEoAAAiANABAA=}#}
整理得 k 2k 2 21 2 6k1k2 1 k1 k2 ，
2 2 t 3 t 2 3 2t 2
6 1 所以 4 ，整理得 t 2t 2 63 0，解得 t2 7或 9（舍去），
12 12 3
因此 t 7 ， BM 7，
故存在符合题意的点 B，使得 NP NQ 0，此时 BM 7 .
法 5：要使 PNQ 90 ，即 PBQ 45 或135 ，
在 y t k1 x 4 中，令 x 0，得 yP t 4k1，故 P 0, t 4k1 ，
同理可得Q 0, t 4k2 ，
1 1
由等面积法得 PQ xB S PBQ BP BQ
2
，
2 2 2
1 4k 4k 1 2 2 2
2
即 1 2 4 4 1 k1 4 1 k2 ，整理得 k k k 2 22 2 2 1 2 1
k2 6k1k2 1，
2 2
2t t 2 3 t 2 3
所以 6 1，整理得 t 4 2t 2 63 0，解得3 12 12 t
2 7或 9（舍去），
因此 t 7 ， BM 7，
故存在符合题意的点 B，使得 NP NQ 0，此时 BM 7 .
x 2 cos x 2 cos
22．解：（1）解：曲线C的参数方程为 （ 为参数）可得 ，
y sin
y sin
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------2 分
平方相加，可得 (x 2)2 y2 cos2 sin2 1，
所以曲线C的普通方程为 (x 2)2 y2 1.----------------------------------------------------------5 分
（2）解：曲线C的极坐标方程为 2 4 cos 3 0 .
答案第 7页，共 8页
{#{QQABJYYUogiAQJJAARhCQwVgCACQkBACCCoOxAAEoAAAiANABAA=}#}
设 A 1, 1 ,B
π
1, 1
2
,M , ，
2 π
π
因为 1, 1 ，可得 1 2 , 1 ，------------------------------------8 分2 4 4
所以 ( 2 )2 4 2 cos
π
4
3 0，
2 π 3
所以点M 的轨迹的极坐标方程为 2 2 cos 0 .------------------------------10分
4 2
23．解：（1） x a b 4，易知4 b 0，------------------------------------------2 分
b a 4 x 4 a b .
f x 4的解集为{x∣0 x 6}，
b a 4 0 a 3
，解得 .-----------------------------------------------------------------4 分
4 a b 6 b 1
（2）由（1）得 f x x 3 1，
\ f (x)的最小值为 1，即m 2n 3p 1 .-----------------------------------------------------6 分
1 1 1 1
m 2 p 2n p m 2 p 2n p m 2 p 2n p
1 1 2n p m 2p 2n p m 2p 2 2 4，-------------------------------------8 分
m 2 p 2n p m 2 p 2n p
当且仅当m 2 p 2n p
1
时，等号成立.
2
1 1
m 2p 2n p的最小值为 4.---------------------------------------------------------------10分
答案第 8页，共 8页
{#{QQABJYYUogiAQJJAARhCQwVgCACQkBACCCoOxAAEoAAAiANABAA=}#}
