陕西省西安中学2024届高三仿真考试(一)数学试题（含答案）

西安中学高2024届高三仿真考试（一）
数学（理科）
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
2．已知复数是方程的一个根，则实数q的值是（ ）
A．0 B．8 C．24 D．26
3．关于函数，下列说法正确的个数是（ ）
①是奇函数；②是周期函数；③有零点；④在上单调递增．
A．1 B．2 C．3 D．4
4．已知，，则（ ）
A． B． C． D．
5．函数的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
6．已知，是两个单位向量，且，若向量满足，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
7．将甲、乙、丙、丁4人分配到3个不同的工作岗位，每人只去一个岗位，每个岗位都要有人去，则甲、乙二人分别去了不同岗位的概率是（ ）
A． B． C． D．
8．已知等比数列的前n项和为，若，且，，成等差数列，则（ ）
A． B． C． D．
9．将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象，若对满足的，，有，则（ ）
A． B． C． D．
10．某几何体的三视图如图所示，设三视图中三个直角顶点在该几何体中对应的点为P，则点P到它所对的面的距离为（ ）
A． B． C． D．
11．已知、分别为双曲线的两个焦点，双曲线上的点P到原点的距离为b，且，则该双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
12．已知，，，则a，b，c的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分
13．展开式中的各二项式系数之和为256，则的系数是________．
14．函数的图象恒过定点，若且，，则的最小值为________．
15．如图，已知，是双曲线C：的左、右焦点，P，Q为双曲线C上两点，满足，且，则双曲线C的离心率为________．
16．如图，已知正方体的棱长为6，长为6的线段EF的一个端点E在棱（不含端点）上运动，点F在正方体的底面ABCD内运动，则EF的中点P的轨迹与正方体的面ABCD，面，面所围成的几何体的表面积是________．
三、解答题：本大题共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共60分．
17．（12分）某工厂工程师对生产某种产品的机器进行管理，选择其中一台机器进行参数调试．该机器在调试前后，分别在其产品中随机抽取样本数据进行统计，制作了如下列联表：
产品 合格品 淘汰品
调试前 24 16
调试后 48 12
（1）根据列联表分析，是否有95%的把握认为参数调试改变产品质量？
（2）如果将合格品频率作为产品的合格概率．工程师从调试后生产的大量产品中，依次随机抽取6件产品进行检验，求抽出的6件产品中不超过1件淘汰品的概率p．（参考数据：，）
附：
0.050 0.010 0.001
3.841 6.635 10.828
18．（12分）已知数列满足，．
（1）写出，，；
（2）证明：数列为等比数列；
（3）若，求数列的前n项和．
19．（12分）如图，在四棱锥中，平面平面ABCD，，，，，，E为PD中点，点F在PC上，且．
（1）求证：平面PAD；
（2）求二面角的余弦值．
20．（12分）已知点在椭圆E：上，F为右焦点，PF垂直于x轴．A，B，C，D为椭圆上四个动点，且AC，BD交于原点O．
（1）求椭圆E的方程；
（2）设，，满足，判断的值是否为定值，若是，求出此定值，并求出四边形ABCD面积的最大值，否则请说明理由．
21．（12分）已知，曲线与直线相切于点．
（1）求a，b的值；
（2）证明：当时，恒成立．
（二）选考题：共10分．请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．
22．选修4-4：坐标系与参数方程（10分）
在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（m为参数），曲线C的参数方程为（t为参数）．
（1）求直线l和曲线C的普通方程；
（2）已知点，若直线l与曲线C交于A，B两点，求的值．
23．选修4-5：不等式选讲（10分）
已知函数．
（1）求不等式的解集；
（2）若的最小值为m，正数a，b，c满足，求证．
西安中学高2024届高三仿真考试（一）
数学（理科）参考答案
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1-5：ADCBA 6-10：BBDAD 11-12：CB
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分
13．112 14．8 15． 16．
三、解答题：本大题共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共60分．
17．（12分）
【详解】（1）补全列联表如图所示
产品 合格品 淘汰品 总计
调试前 24 16 40
调试后 48 12 60
总计 72 28 100
2分
， 5分
故有95%的把握认为参数调试改变产品质量； 6分
（2）由题意，设备更新后的合格概率为0.8，淘汰品概率为0.2， 8分
可以认为从生产线中抽出的6件产品是否合格是相互独立的，
设X表示这件产品中淘汰品的件数，则， 10分
所以
12分
18．（12分）
【详解】（1）由，，
可得； 1分
； 2分
； 3分
（2）证明：由题可得， 5分
又因为 6分
则数列是首项为1，公比为2的等比数列； 7分
（3）由（2）可得，即， 8分
，
， 9分
前n项和，
，
两式相减可得，
化简可得． 12分
19．（12分）
【详解】（1）在中，．
所以，即． 2分
又因为，在平面PAD中，， 3分
所以平面PAD． 4分
（2）因为平面平面ABCD，平面平面，，平面ABCD，所以平面PAB，由平面PAB，得．
由（1）知，且已知， 5分
故以A为原点，建立如图空间直角坐标系，
则，，． 6分
所以，，，
因为E为PD中点，
所以．
由知， 7分
设平面AEF的法向量为，
则
即
令，则，．于是 9分
由（1）知平面PAD，所以平面PAD的法向量为 10分
所以 11分
由题知，二面角为锐角，所以其余弦值为 12分
20．（12分）
【详解】（1）由在椭圆C：上，轴，
得半焦距，，
则，解得，，
所以椭圆E的方程为． 3分
（2）由，，A，B，C，D为椭圆上的四个动点且AC，BD交于原点O，
得，，
由，得， 4分
当直线AB垂直于坐标轴时，等式不成立，因而直线AB的斜率一定存在且不为0，设直线AB的方程为，
由，化简可得， 5分
，
则，， 6分
而，，
于是，
则
整理得，解得， 8分
由对称性不妨设，则，
则，
所以为定值． 9分
直线AB的方程为，即，
则点O到直线AB的距离为，显然，，
又，
所以 11分
当且仅当时取等号，此时，
因此，，
所以四边形ABCD面积的最大值为4． 12分
21．（12分）
【详解】（1）．
由题设得，，
故，． 4分
（2）当时，等价于，
下面证明：当时，．
设，，则 6分
设，则，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增． 8分
又，，，，
所以，使得， 9分
所以当或时，；
当时，．
故在和上单调递增，
在上单调递减， 10分
又，所以．
故当时，恒成立． 12分
（二）选考题：共10分．请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．选修4-4：坐标系与参数方程
22．（10分）
【详解】（1）由题意可得直线l的普通方程为 2分
对于曲线C，因为
所以 4分
所以曲线C的普通方程为． 5分
（2）直线l的参数方程的标准形式为， 6分
将其代入曲线C的方程得，所以，， 7分
可知，，
10分
选修4-5：不等式选讲
23．（10分）
【详解】（1）当时，，
解，即，解得； 1分
当时，，
解，即，解得，无解；` 2分
当时，，
解，即，解得． 3分
综上所述，不等式的解集为 4分
（2）由（1）可知， 5分
当时，；
当时，；
当时，，
所以函数的最小值为2，所以，
所以． 7分
由柯西不等式可得，， 8分
当且仅当时，等号成立． 9分
所以，
所以 10分