(人教A版2019选择性必修第二册)高二数学4.3等比数列 精练（含解析）
文档属性
| 名称 | (人教A版2019选择性必修第二册)高二数学4.3等比数列 精练（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.2MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-05-27 12:37:20 | ||
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文档简介
4.3 等比数列（精练）
1 等比数列基本量的运算
1．（2022高二下·平谷期末）已知等比数列满足，则等于（ ）
A．±32 B．-32 C．±64 D．-64
2．（2022高二下·镇江期末）已知数列满足，且，则数列的前四项和的值为（ ）
A． B． C． D．
3．（2022高二下·昆明期末）在等比数列中，，，则（ ）
A．2 B．3 C． D．
4．（2022焦作开学考）已知等比数列中，，，则（ ）
A．27 B．9 C．±9 D．+27
5．（2022遵义开学考）已知正项等比数列的前n项和为，若，，则（ ）
A．80 B．81 C．243 D．242
6．（2022高二下·邢台期末）设单调递增的等比数列满足，，则公比（ ）
A． B． C．2 D．
7．（2022高二下·营口期末）等比数列中，已知：，，则公比（ ）
A． B．2 C． D．3
8．（2022·内江模拟）已知等比数列的公比为q，前n项和为．若，，则（ ）
A．3 B．2 C．-3 D．-2
9．（2021高二上·深圳期末）已知等比数列{an}的前n项和为S，若，且，则S3等于（ ）
A．28 B．26 C．28或-12 D．26或-10
10．（2022湖州）已知等比数列 的公比为正数，且 ， ，则 （ ）
A．4 B．2 C．1 D．
11．（2022武汉开学考）设正项等比数列的前项和为，若，则（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
12．（2022·江苏·高二课时练习）在等比数列中，
(1)已知，，求q和；
(2)已知，，求和；
(3)已知，，求q和.
2 等比数列的中项性质及应用
1．（2022·黑龙江）数列在各项为正数的等比数列中，若，，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·甘肃）在等比数列中，，，则（ ）
A．2 B．±2 C．2或 D．
3．（2022·四川）若a，b，c为实数，数列是等比数列，则b的值为（ ）
A．5 B． C． D．
4．（2022·广东）在等差数列中，若，，则和的等比中项为（ ）.
A． B．6 C． D．36
5．（2022·江苏）三个实数成等差数列，首项是，若将第二项加、第三项加可使得这三个数依次构成等比数列，则的所有取值中的最小值是（ ）
A． B． C． D．
6．（2022·陕西）已知等差数列的公差是，若，，成等比数列，则等于（ ）
A． B． C． D．
7.（2022·云南）数列为等比数列，，，命题，命题是、的等比中项，则是的（ ）条件
A．充要 B．充分不必要 C．必要不充分 D．既不充分也不必要
3 等比数列前n项和的性质
1．（2022·河南 ）在等比数列中，已知前n项和，则a的值为（ ）
A．1 B．-1 C．2 D．-2
2．（2022·安徽省 ）已知等比数列的前2项和为2，前4项和为8，则它的前6项和为（ ）
A．12 B．22 C．26 D．32
3．（2022·全国·高二课时练习）已知各项为正的等比数列的前5项和为3，前15项和为39，则该数列的前10项和为（ ）
A． B． C．12 D．15
4．（2022·陕西·武功县普集高级中学高二阶段练习）设等比数列中，前n项和为，已知，，则等于（ ）
A． B．
C． D．
5．（2022·四川省内江市第二中学高二开学考试（文））等比数列{an}的前n项和为Sn，公比为q，若a1+a2+a3＝2，S6＝9S3，则S9＝（ ）
A．50 B．100 C．146 D．128
6．（2022·宁夏·平罗中学 ）等比数列的前n项和为，已知，，则（ ）
A． B． C． D．
7．（2022·福建省连城县第一中学高二阶段练习）已知一个项数为偶数的等比数列，所有项之和为所有偶数项之和的倍，前项之积为，则（ ）
A． B．
C． D．
8．（2022·全国·高二课时练习）在等比数列中，若，且公比，则数列的前100项和为______．
9．（2022·全国·高二课时练习）已知正项等比数列共有项，它的所有项的和是奇数项的和的倍，则公比______.
10．（2022广东）已知一个等比数列首项为1，项数是偶数，其奇数项之和为341，偶数项之和为682，则这个数列的项数为_________
4 等比数列的证明或判断
1．（2022·福建省福州屏东中学高三阶段练习）已知数列满足，，，求证：数列是等比数列；
2.（2022·广东）已知数列满足，设，证明：数列为等比数列；
3.（2022·宁夏）在数列中，，，，求证：是等比数列；
4．（2022·江西·瑞金市第三中学高三阶段练习（文））已知数列中，且．
(1)求证：数列为等比数列；
(2)求数列的前n项和．
5．（2022·北京丰台·高二期中）已知数列满足，，.
(1)请写出数列的前5项；
(2)证明数列是等比数列；
(3)求数列的通项公式.
6．（2022·重庆·西南大学附中高二阶段练习）在数列中，表示其前项和，满足，求证：数列是等比数列，并求数列的通项公式；
7（2022·全国·高三专题练习）已知数列满足，证明：数列为等比数列.
8．（2022·上海·华师大二附中高二阶段练习）数列满足，数列，数列
(1)求证:数列是等比数列；
(2)求数列的通项公式．
5 等比数列的单调性
1．（2022·全国·高二课时练习）（多选）关于递增等比数列，下列说法正确的是（ ）．
A．当时， B．当时，
C．当时， D．
2．（2022高二下·西城期末）在等比数列{}中，．记，则数列{}（ ）
A．有最大项，有最小项 B．有最大项，无最小项
C．无最大项，有最小项 D．无最大项，无最小项
3．（2022·北京·清华附中高二阶段练习）已知数列是无穷项等比数列，“”是“单调递增”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件
4（2022·湖南）（多选）等比数列的公比为，其前项的积为，并且满足条件，，．给出下列结论其中正确的结论是（ ）
A． B． C．的值是中最大的 D．T99的值是Tn中最大的
5．（2023·全国·高三专题练习）（多选）已知等比数列满足，公比，且，，则（ ）
A． B．当时，最小
C．当时，最小 D．存在，使得
6 等比数列的实际应用
1．（2022沈阳月考）中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．”则该人最后一天走的路程为（ ）
A．6里 B．5里 C．4里 D．3里
2．（2022·四川）中国古代数学著作《算法统综》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔仔细算相还”.其大意为：“有一人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地”.则下列说法正确的是（ ）
A．该人第五天走的路程为14里 B．该人第三天走的路程为42里
C．该人前三天共走的路程为330里 D．该人最后三天共走的路程为42里
3．（2022·河南濮阳·高二期末（理））5G是第五代移动通信技术的简称，其意义在于万物互联，即所有人和物都将存在于有机的数字生态系统中，它把以人为中心的通信扩展到同时以人与物为中心的通信，将会为社会生活与生产方式带来巨大的变化．目前我国最高的5G基站海拔6500米．从全国范围看，中国5G发展进入了全面加速阶段，基站建设进度超过预期．现有8个工程队共承建10万个基站，从第二个工程队开始，每个工程队所建的基站数都比前一个工程队少，则第一个工程队承建的基站数（单位：万）约为（ ）
A． B．
C． D．
4．（2022·北京顺义·高二期末）中国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问题：今有牛 马 羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰：“我羊食半马 ”马主曰：“我马食半牛，”今欲衰偿之，问各出几何？此问题的译文是：今有牛，马，羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿5斗粟，羊主人说：“我羊所吃的禾苗只有马的一半，”马主人说：“我马所吃的禾苗只有牛的一半”打算按此比例偿还，他们各应偿还多少？试问：该问题中牛主人应偿还（ ）斗粟
A． B． C． D．
5．（2022·安徽·合肥一中高二期末）在流行病学中，基本传染数是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数.初始感染者传染个人，为第一轮传染，这个人中每人再传染个人，为第二轮传染，…….一般由疾病的感染周期、感染者与其他人的接触频率、每次接触过程中传染的概率决定.注射新冠疫苗后可以使身体对新冠病毒产生抗体，但是正常情况下不能提高人体免疫力，据统计最新一轮的奥密克戎新冠变异株的基本传染数，感染周期为4天，设从一位感染者开始，传播若干轮后感染的总人数超过7200人，需要的天数至少为（ ）
A．4 B．12 C．16 D．20
6．（2022·陕西·汉台中学模拟预测（文））我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“三百七十八里关，初行健步不为难．次日脚痛减一半，六朝才得到其关．要见每朝行里数，请公仔细算相还．”意思是：有一个人要走378里路，第一天走得很快，以后由于脚痛，后一天走的路程都是前一天的一半，6天刚好走完．则此人最后一天走的路程是（ ）
A．192里 B．96里 C．12里 D．6里
7．（2022·内蒙古·满洲里市教研培训中心模拟预测（理））直播带货是一种直播和电商相结合的销售手段，目前受到了广大消费者的追捧，针对这种现状，某传媒公司决定逐年加大直播带货的资金投入，若该公司今年投入的资金为万元，并在此基础上，以后每年的资金投入均比上一年增长，则该公司需经过（ ）年其投入资金开始超过万元.
（参考数据：，，）
A． B． C． D．
8．（2022·福建莆田）芝诺是古希腊著名的哲学家，他曾提出一个著名的悖论，史称芝诺悖论．芝诺悖论的大意是：“阿喀琉斯是古希腊神话中善跑的英雄，在他和乌龟的竞赛中，他的速度为乌龟的十倍，乌龟在他前面100米爬，他在后面追，但他不可能追上乌龟．原因是在竞赛中，追者首先必须到达被追者的出发点，当阿喀琉斯追了100米时，乌龟已经向前爬了10米．于是一个新的起点产生了；阿喀琉斯必须继续追，而当他追完乌龟爬的这10米时，乌龟又向前爬了1米，阿喀琉斯只能再追这1米．就这样，乌龟会制造出无穷个起点，它总能在起点与自己之间制造出一个距离，不管这个距离有多小，只要乌龟不停地奋力向前爬，阿喀琉斯就永远追不上乌龟．”试问在阿喀琉斯与乌龟的竞赛中，当阿喀琉斯与乌龟相距0.001米时，乌龟共爬行了（ ）
A．11.111米 B．11.11米 C．19.99米 D．111.1米
9．（2022·广西）我国古代的数学名著《九章算术》中有“衰分问题”：今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何 其意为：一女子每天织布的尺数是前一天的2倍，5天共织布5尺，问第五天织布的尺数是多少 你的答案是( )
A． B．1 C． D．
10．（2022·全国·高三专题练习）在流行病学中，基本传染数是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数．一般由疾病的感染周期、感染者与其他人的接触频率、每次接触过程中传染的概率决定．对于，而且死亡率较高的传染病，一般要隔离感染者，以控制传染源，切断传播途径．假设某种传染病的基本传染数，平均感染周期为7天（初始感染者传染个人为第一轮传染，经过一个周期后这个人每人再传染个人为第二轮传染……）那么感染人数由1个初始感染者增加到1000人大约需要的天数为（参考数据：，）（ ）
A．35 B．42 C．49 D．56
4.3 等比数列（精练）
1 等比数列基本量的运算
1．（2022高二下·平谷期末）已知等比数列满足，则等于（ ）
A．±32 B．-32 C．±64 D．-64
答案：D
【解析】根据题意，设等比数列的公比为， 若，，则有，解得，
故.故答案为：D.
2．（2022高二下·镇江期末）已知数列满足，且，则数列的前四项和的值为（ ）
A． B． C． D．
答案：C
【解析】由题设是首项为2、公比为的等比数列，即，
所以.故答案为：C
3．（2022高二下·昆明期末）在等比数列中，，，则（ ）
A．2 B．3 C． D．
答案：D
【解析】在等比数列中，由得，
所以，，所以。故答案为：D.
4．（2022焦作开学考）已知等比数列中，，，则（ ）
A．27 B．9 C．±9 D．+27
答案：A
【解析】因为数列为等比数列，所以，可得；
因为，所以，，，所以.故答案为：A.
5．（2022遵义开学考）已知正项等比数列的前n项和为，若，，则（ ）
A．80 B．81 C．243 D．242
答案：D
【解析】设数列公比是，则， 由，因，故解得，
所以．故答案为：D．
6．（2022高二下·邢台期末）设单调递增的等比数列满足，，则公比（ ）
A． B． C．2 D．
答案：A
【解析】因为为等比数列，所以，所以，则， 又单调递增，所以，
解得：，，则，因为，所以．故答案为：A
7．（2022高二下·营口期末）等比数列中，已知：，，则公比（ ）
A． B．2 C． D．3
答案：B
【解析】因为是等比数列，所以，故， 故答案为：B
8．（2022·内江模拟）已知等比数列的公比为q，前n项和为．若，，则（ ）
A．3 B．2 C．-3 D．-2
答案：A
【解析】将等式与作差得，， 因此，该等比数列的公比，故答案为：A.
9．（2021高二上·深圳期末）已知等比数列{an}的前n项和为S，若，且，则S3等于（ ）
A．28 B．26 C．28或-12 D．26或-10
答案：C
【解析】由可得，即，所以，
又因为，解得，所以，即，
当时，，所以，
当时，，所以。故答案为：C
10．（2022湖州）已知等比数列 的公比为正数，且 ， ，则 （ ）
A．4 B．2 C．1 D．
答案：D
【解析】设等比数列 的公比为 （ ），
由题意得 ，且 ，即 ， ，
因为 ，所以 ， ，故答案为：D
11．（2022武汉开学考）设正项等比数列的前项和为，若，则（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
答案：A
【解析】设正项等比数列的公比为q（q>0），
则由得，
即，即，即，解得（舍去）.
由得，即，将代入得，
解得，则。故答案为：A.
12．（2022·江苏·高二课时练习）在等比数列中，
(1)已知，，求q和；
(2)已知，，求和；
(3)已知，，求q和.
答案：(1)当时，,当时，；
(2)，；
(3)当时，,当时，.
【解析】(1)解：，解得：，
当时，,
当时，.
(2)解：,解得：，所以
(3)解：，解得：或，
当时，,
当时，.
2 等比数列的中项性质及应用
1．（2022·黑龙江）数列在各项为正数的等比数列中，若，，则（ ）
A． B． C． D．
答案：C
【解析】由题意可知，对任意的，，由等比中项的性质可得，则.
因此，.故选：C.
2．（2022·甘肃）在等比数列中，，，则（ ）
A．2 B．±2 C．2或 D．
答案：A
【解析】设的公比为q，由，则，解得（舍去），故，所以，.故选：A.
3．（2022·四川）若a，b，c为实数，数列是等比数列，则b的值为（ ）
A．5 B． C． D．
答案：B
【解析】设等比数列的公比为，所以， 根据等比数列的性质可知，解得.故选：B
4．（2022·广东）在等差数列中，若，，则和的等比中项为（ ）.
A． B．6 C． D．36
答案：C
【解析】根据等差数列的性质：若则
可得，所以，
所以和的等比中项为.故选：C.
5．（2022·江苏）三个实数成等差数列，首项是，若将第二项加、第三项加可使得这三个数依次构成等比数列，则的所有取值中的最小值是（ ）
A． B． C． D．
答案：D
【解析】设原来的三个数为、、，
由题意可知，，，，且，
所以，，即，解得或.
则的所有取值中的最小值是.
故选：D.
6．（2022·陕西）已知等差数列的公差是，若，，成等比数列，则等于（ ）
A． B． C． D．
答案：A
【解析】因为等差数列的公差为2，且，，成等比数列，
所以，即，解得 ，故选：A
7.（2022·云南）数列为等比数列，，，命题，命题是、的等比中项，则是的（ ）条件
A．充要 B．充分不必要 C．必要不充分 D．既不充分也不必要
答案：A
【解析】因为数列为等比数列，且，，若，则，
则是、的等比中项，即；
若是、的等比中项，设的公比为，则，
因为，故，即.
因此，是的充要条件.
故选：A.
3 等比数列前n项和的性质
1．（2022·河南 ）在等比数列中，已知前n项和，则a的值为（ ）
A．1 B．-1 C．2 D．-2
答案：B
【解析】，
由于是等比数列，所以，
即.
故选：B
2．（2022·安徽省 ）已知等比数列的前2项和为2，前4项和为8，则它的前6项和为（ ）
A．12 B．22 C．26 D．32
答案：C
【解析】设等比数列的前n项和为，公比为q,
则,则，
而，
故，
所以数列前6项和为，
故选：C.
3．（2022·全国·高二课时练习）已知各项为正的等比数列的前5项和为3，前15项和为39，则该数列的前10项和为（ ）
A． B． C．12 D．15
答案：C
【解析】由等比数列的性质可得也为等比数列，
又，故可得即，
解得或，因为等比数列各项为正，所以，故选：C
4．（2022·陕西·武功县普集高级中学高二阶段练习）设等比数列中，前n项和为，已知，，则等于（ ）
A． B．
C． D．
答案：A
【解析】因为，且也成等比数列，
因为，，所以，
所以8，-1，S9-S6成等比数列，所以8(S9-S6)=1，
即，所以.故B，C，D错误.
故选：A.
5．（2022·四川省内江市第二中学高二开学考试（文））等比数列{an}的前n项和为Sn，公比为q，若a1+a2+a3＝2，S6＝9S3，则S9＝（ ）
A．50 B．100 C．146 D．128
答案：C
【解析】根据题意：S3＝a1+a2+a3＝2，S6＝9S3＝18，
则S6﹣S3＝18﹣2＝16，
根据等比数列的性质可知，S3，S6﹣S3，S9﹣S6构成等比数列，
故，即S9﹣S6＝128，
故S9＝S6+128＝146，
故选：C．
6．（2022·宁夏·平罗中学 ）等比数列的前n项和为，已知，，则（ ）
A． B． C． D．
答案：B
【解析】因为且为等比数列，故为等比数列，
故，解得，
故选：B.
7．（2022·福建省连城县第一中学高二阶段练习）已知一个项数为偶数的等比数列，所有项之和为所有偶数项之和的倍，前项之积为，则（ ）
A． B．
C． D．
答案：C
【解析】由题意可得所有项之和是所有偶数项之和的倍，所以，，故
设等比数列的公比为，设该等比数列共有项，
则，所以，，
因为，可得，因此，.
故选：C.
8．（2022·全国·高二课时练习）在等比数列中，若，且公比，则数列的前100项和为______．
答案：450
【解析】在等比数列中，公比，则有，
而，于是得，
所以数列的前100项和．
故答案为：450
9．（2022·全国·高二课时练习）已知正项等比数列共有项，它的所有项的和是奇数项的和的倍，则公比______.
答案：
【解析】设等比数列的奇数项之和为，偶数项之和为，
则，
由，得，因为，所以，所以，.
故答案为：.
10．（2022广东）已知一个等比数列首项为1，项数是偶数，其奇数项之和为341，偶数项之和为682，则这个数列的项数为_________
答案：10
【解析】设等比数列项数为项，公比为，则，，
由，
解得，因为是公比为的等比数列，则 ，
即，解得，故答案为:10.
4 等比数列的证明或判断
1．（2022·福建省福州屏东中学高三阶段练习）已知数列满足，，，求证：数列是等比数列；
答案：证明见解析
【解析】因为，,所以是首项为1，公比为的等比数列；
2.（2022·广东）已知数列满足，设，证明：数列为等比数列；
答案：见解析
【解析】证明：因为，所以，
因为，所以，所以，
因为，所以，所以数列是以1为首项，为公比的等比数列
3.（2022·宁夏）在数列中，，，，求证：是等比数列；
答案：证明见解析
【解析】由得：，又，
数列是以为首项，为公比的等比数列.
4．（2022·江西·瑞金市第三中学高三阶段练习（文））已知数列中，且．
(1)求证：数列为等比数列；
(2)求数列的前n项和．
答案：(1)证明见解析(2)
【解析】（1）因为，，所以，
又因为，所以数列是首项为2，公比为2的等比数列．
（2）由（1）得，，所以，，
．
5．（2022·北京丰台·高二期中）已知数列满足，，.
(1)请写出数列的前5项；
(2)证明数列是等比数列；
(3)求数列的通项公式.
答案：(1)，，，，；(2)证明见解析；(3).
【解析】(1)解：因为数列满足，，.
所以，
，
，
，
所以数列的前5项为：，，，，；
(2)解：，，
因此，数列是等比数列；
(3)解：由于，所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列，
，因此，.
6．（2022·重庆·西南大学附中高二阶段练习）在数列中，表示其前项和，满足，求证：数列是等比数列，并求数列的通项公式；
答案：证明见解析；；
【解析】，，，
整理可得：，，
又当时，，解得：，，
数列是以为首项，为公比的等比数列，，
数列的通项公式为；
7（2022·全国·高三专题练习）已知数列满足，证明：数列为等比数列.
答案：证明见解析
【解析】证明：当时，，则.
因为，①
所以，②
由②①得，
化简可得，
，
所以数列是一个公比为的等比数列.
8．（2022·上海·华师大二附中高二阶段练习）数列满足，数列，数列
(1)求证:数列是等比数列；
(2)求数列的通项公式．
答案：(1)证明见解析；(2)，.
【解析】(1)由题设，且，即且，而，
所以且，则是首项为，公比为的等比数列，得证.
(2)由（1）可得：，故，则，
所以.
则的通项公式为.
5 等比数列的单调性
1．（2022·全国·高二课时练习）（多选）关于递增等比数列，下列说法正确的是（ ）．
A．当时， B．当时，
C．当时， D．
答案：AC
【解析】A．当，时，从第二项起，
数列的每一项都大于前一项，所以数列递增，正确；
B．当，时，为摆动数列，故错误；
C．当，时，数列为递增数列，故正确；
D．，当时，，
此时，当时，，，故错误
故选AC．
2．（2022高二下·西城期末）在等比数列{}中，．记，则数列{}（ ）
A．有最大项，有最小项 B．有最大项，无最小项
C．无最大项，有最小项 D．无最大项，无最小项
答案：A
【解析】设等比数列为q，则等比数列的公比，所以，
则其通项公式为：，
所以
，
令，所以当或时，t有最大值，无最小值，
即有最大值，无最小值，
结合前面，当为正数时，为正数，
当为负数时，为负数，
所以当时，有最小项，当时，有最大项.
故答案为：A.
3．（2022·北京·清华附中高二阶段练习）已知数列是无穷项等比数列，“”是“单调递增”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件
答案：C
【解析】因为单调递增，所以，所以必要性成立；
因为数列是无穷项等比数列，且，
所以，
当时，则解得，此时，所以，即；
当时，则解得，此时，所以，即，
综上所述，即单调递增，所以充分性成立，
则“”是“单调递增”的充分必要条件，
故选：C
4（2022·湖南）（多选）等比数列的公比为，其前项的积为，并且满足条件，，．给出下列结论其中正确的结论是（ ）
A． B． C．的值是中最大的 D．T99的值是Tn中最大的
答案：ABD
【解析】对于A，，，即，
，又，又，
，且，
，故A正确；
对于B，，，即，故B正确；
对于C，由于，而，故有，故C错误；
对于D，由题可知，
所以当时，，即，当时，，即，
∴T99的值是Tn中最大的，故D正确.
故选：.
5．（2023·全国·高三专题练习）（多选）已知等比数列满足，公比，且，，则（ ）
A． B．当时，最小
C．当时，最小 D．存在，使得
答案：AC
【解析】对A，∵，，∴，又，，
∴，故A正确；
对B，C，由等比数列的性质，，故，，，
∴，∵，，，∴，，
∴，故当时，最小，B错误，C正确；
对D，当时，，故，故D错误.
故选：AC．
6 等比数列的实际应用
1．（2022沈阳月考）中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．”则该人最后一天走的路程为（ ）
A．6里 B．5里 C．4里 D．3里
答案：A
【解析】记每天走的路程里数为，可知是公比的等比数列，
由，得，解得：，.故答案为：A．
2．（2022·四川）中国古代数学著作《算法统综》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔仔细算相还”.其大意为：“有一人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地”.则下列说法正确的是（ ）
A．该人第五天走的路程为14里 B．该人第三天走的路程为42里
C．该人前三天共走的路程为330里 D．该人最后三天共走的路程为42里
答案：D
【解析】由题意可知该人每天走的路程构成了公比为的等比数列，
设数列前n项和为，则，故 ，解得，则，
故 ，该人第五天走的路程为12里，A错误；
，该人第三天走的路程为48里，B错误；
，该人前三天共走的路程为里，C错误；
由（里），可知该人最后三天共走的路程为42里，D正确，故选：D
3．（2022·河南濮阳·高二期末（理））5G是第五代移动通信技术的简称，其意义在于万物互联，即所有人和物都将存在于有机的数字生态系统中，它把以人为中心的通信扩展到同时以人与物为中心的通信，将会为社会生活与生产方式带来巨大的变化．目前我国最高的5G基站海拔6500米．从全国范围看，中国5G发展进入了全面加速阶段，基站建设进度超过预期．现有8个工程队共承建10万个基站，从第二个工程队开始，每个工程队所建的基站数都比前一个工程队少，则第一个工程队承建的基站数（单位：万）约为（ ）
A． B．
C． D．
答案：B
【解析】由题意，8个工程队所建的基站数依次成等比数列，比为，记第一个工程队承建的基站数为（万），则，．故选：B．
4．（2022·北京顺义·高二期末）中国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问题：今有牛 马 羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰：“我羊食半马 ”马主曰：“我马食半牛，”今欲衰偿之，问各出几何？此问题的译文是：今有牛，马，羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿5斗粟，羊主人说：“我羊所吃的禾苗只有马的一半，”马主人说：“我马所吃的禾苗只有牛的一半”打算按此比例偿还，他们各应偿还多少？试问：该问题中牛主人应偿还（ ）斗粟
A． B． C． D．
答案：B
【解析】设牛主人应偿还x斗粟，则马主人应偿还斗粟，羊主人应偿还斗粟，
所以，解得：.故选：B
5．（2022·安徽·合肥一中高二期末）在流行病学中，基本传染数是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数.初始感染者传染个人，为第一轮传染，这个人中每人再传染个人，为第二轮传染，…….一般由疾病的感染周期、感染者与其他人的接触频率、每次接触过程中传染的概率决定.注射新冠疫苗后可以使身体对新冠病毒产生抗体，但是正常情况下不能提高人体免疫力，据统计最新一轮的奥密克戎新冠变异株的基本传染数，感染周期为4天，设从一位感染者开始，传播若干轮后感染的总人数超过7200人，需要的天数至少为（ ）
A．4 B．12 C．16 D．20
答案：C
【解析】依题意，每轮感染人数依次组成公比为9的等比数列，经过n轮传播感染人数之和为：
，得，
显然是递增数列，而，则，而每轮感染周期为4天，
所以需要的天数至少为16.故选：C
6．（2022·陕西·汉台中学模拟预测（文））我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“三百七十八里关，初行健步不为难．次日脚痛减一半，六朝才得到其关．要见每朝行里数，请公仔细算相还．”意思是：有一个人要走378里路，第一天走得很快，以后由于脚痛，后一天走的路程都是前一天的一半，6天刚好走完．则此人最后一天走的路程是（ ）
A．192里 B．96里 C．12里 D．6里
答案：D
【解析】设第天走的路程为，，所以此人每天走的路程可构成等比数列，依题可知，公比为，所以，解得，．所以（里）故选：D．
7．（2022·内蒙古·满洲里市教研培训中心模拟预测（理））直播带货是一种直播和电商相结合的销售手段，目前受到了广大消费者的追捧，针对这种现状，某传媒公司决定逐年加大直播带货的资金投入，若该公司今年投入的资金为万元，并在此基础上，以后每年的资金投入均比上一年增长，则该公司需经过（ ）年其投入资金开始超过万元.
（参考数据：，，）
A． B． C． D．
答案：C
【解析】设该公司经过年投入的资金为万元，则，
由题意可知，数列是以为首项，以为公比的等比数列，
所以，，由可得，
因此，该公司需经过年其投入资金开始超过万元.
故选：C.
8．（2022·福建莆田）芝诺是古希腊著名的哲学家，他曾提出一个著名的悖论，史称芝诺悖论．芝诺悖论的大意是：“阿喀琉斯是古希腊神话中善跑的英雄，在他和乌龟的竞赛中，他的速度为乌龟的十倍，乌龟在他前面100米爬，他在后面追，但他不可能追上乌龟．原因是在竞赛中，追者首先必须到达被追者的出发点，当阿喀琉斯追了100米时，乌龟已经向前爬了10米．于是一个新的起点产生了；阿喀琉斯必须继续追，而当他追完乌龟爬的这10米时，乌龟又向前爬了1米，阿喀琉斯只能再追这1米．就这样，乌龟会制造出无穷个起点，它总能在起点与自己之间制造出一个距离，不管这个距离有多小，只要乌龟不停地奋力向前爬，阿喀琉斯就永远追不上乌龟．”试问在阿喀琉斯与乌龟的竞赛中，当阿喀琉斯与乌龟相距0.001米时，乌龟共爬行了（ ）
A．11.111米 B．11.11米 C．19.99米 D．111.1米
答案：A
【解析】由题意可知，乌龟每次爬行的距离构成等比数列,且
所以乌龟的爬行距离(米).
故选：A
9．（2022·广西）我国古代的数学名著《九章算术》中有“衰分问题”：今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何 其意为：一女子每天织布的尺数是前一天的2倍，5天共织布5尺，问第五天织布的尺数是多少 你的答案是( )
A． B．1 C． D．
答案：D
【解析】根据题意可知该女子每天织布的尺数成等比数列，设该等比数列为，公比q＝2，
则第1天织布的尺数为，第5天织布的尺数为，前5天共织布为，
则，∴.
故选：D.
10．（2022·全国·高三专题练习）在流行病学中，基本传染数是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数．一般由疾病的感染周期、感染者与其他人的接触频率、每次接触过程中传染的概率决定．对于，而且死亡率较高的传染病，一般要隔离感染者，以控制传染源，切断传播途径．假设某种传染病的基本传染数，平均感染周期为7天（初始感染者传染个人为第一轮传染，经过一个周期后这个人每人再传染个人为第二轮传染……）那么感染人数由1个初始感染者增加到1000人大约需要的天数为（参考数据：，）（ ）
A．35 B．42 C．49 D．56
答案：B
【解析】感染人数由1个初始感染者增加到1000人大约需要n轮传染,
则每轮新增感染人数为，
经过n轮传染，总共感染人数为：，
∵，∴当感染人数增加到1000人时，，化简得，
由，故得，又∵平均感染周期为7天，
所以感染人数由1个初始感染者增加到1000人大约需要天，
故选：B.
1 等比数列基本量的运算
1．（2022高二下·平谷期末）已知等比数列满足，则等于（ ）
A．±32 B．-32 C．±64 D．-64
2．（2022高二下·镇江期末）已知数列满足，且，则数列的前四项和的值为（ ）
A． B． C． D．
3．（2022高二下·昆明期末）在等比数列中，，，则（ ）
A．2 B．3 C． D．
4．（2022焦作开学考）已知等比数列中，，，则（ ）
A．27 B．9 C．±9 D．+27
5．（2022遵义开学考）已知正项等比数列的前n项和为，若，，则（ ）
A．80 B．81 C．243 D．242
6．（2022高二下·邢台期末）设单调递增的等比数列满足，，则公比（ ）
A． B． C．2 D．
7．（2022高二下·营口期末）等比数列中，已知：，，则公比（ ）
A． B．2 C． D．3
8．（2022·内江模拟）已知等比数列的公比为q，前n项和为．若，，则（ ）
A．3 B．2 C．-3 D．-2
9．（2021高二上·深圳期末）已知等比数列{an}的前n项和为S，若，且，则S3等于（ ）
A．28 B．26 C．28或-12 D．26或-10
10．（2022湖州）已知等比数列 的公比为正数，且 ， ，则 （ ）
A．4 B．2 C．1 D．
11．（2022武汉开学考）设正项等比数列的前项和为，若，则（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
12．（2022·江苏·高二课时练习）在等比数列中，
(1)已知，，求q和；
(2)已知，，求和；
(3)已知，，求q和.
2 等比数列的中项性质及应用
1．（2022·黑龙江）数列在各项为正数的等比数列中，若，，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·甘肃）在等比数列中，，，则（ ）
A．2 B．±2 C．2或 D．
3．（2022·四川）若a，b，c为实数，数列是等比数列，则b的值为（ ）
A．5 B． C． D．
4．（2022·广东）在等差数列中，若，，则和的等比中项为（ ）.
A． B．6 C． D．36
5．（2022·江苏）三个实数成等差数列，首项是，若将第二项加、第三项加可使得这三个数依次构成等比数列，则的所有取值中的最小值是（ ）
A． B． C． D．
6．（2022·陕西）已知等差数列的公差是，若，，成等比数列，则等于（ ）
A． B． C． D．
7.（2022·云南）数列为等比数列，，，命题，命题是、的等比中项，则是的（ ）条件
A．充要 B．充分不必要 C．必要不充分 D．既不充分也不必要
3 等比数列前n项和的性质
1．（2022·河南 ）在等比数列中，已知前n项和，则a的值为（ ）
A．1 B．-1 C．2 D．-2
2．（2022·安徽省 ）已知等比数列的前2项和为2，前4项和为8，则它的前6项和为（ ）
A．12 B．22 C．26 D．32
3．（2022·全国·高二课时练习）已知各项为正的等比数列的前5项和为3，前15项和为39，则该数列的前10项和为（ ）
A． B． C．12 D．15
4．（2022·陕西·武功县普集高级中学高二阶段练习）设等比数列中，前n项和为，已知，，则等于（ ）
A． B．
C． D．
5．（2022·四川省内江市第二中学高二开学考试（文））等比数列{an}的前n项和为Sn，公比为q，若a1+a2+a3＝2，S6＝9S3，则S9＝（ ）
A．50 B．100 C．146 D．128
6．（2022·宁夏·平罗中学 ）等比数列的前n项和为，已知，，则（ ）
A． B． C． D．
7．（2022·福建省连城县第一中学高二阶段练习）已知一个项数为偶数的等比数列，所有项之和为所有偶数项之和的倍，前项之积为，则（ ）
A． B．
C． D．
8．（2022·全国·高二课时练习）在等比数列中，若，且公比，则数列的前100项和为______．
9．（2022·全国·高二课时练习）已知正项等比数列共有项，它的所有项的和是奇数项的和的倍，则公比______.
10．（2022广东）已知一个等比数列首项为1，项数是偶数，其奇数项之和为341，偶数项之和为682，则这个数列的项数为_________
4 等比数列的证明或判断
1．（2022·福建省福州屏东中学高三阶段练习）已知数列满足，，，求证：数列是等比数列；
2.（2022·广东）已知数列满足，设，证明：数列为等比数列；
3.（2022·宁夏）在数列中，，，，求证：是等比数列；
4．（2022·江西·瑞金市第三中学高三阶段练习（文））已知数列中，且．
(1)求证：数列为等比数列；
(2)求数列的前n项和．
5．（2022·北京丰台·高二期中）已知数列满足，，.
(1)请写出数列的前5项；
(2)证明数列是等比数列；
(3)求数列的通项公式.
6．（2022·重庆·西南大学附中高二阶段练习）在数列中，表示其前项和，满足，求证：数列是等比数列，并求数列的通项公式；
7（2022·全国·高三专题练习）已知数列满足，证明：数列为等比数列.
8．（2022·上海·华师大二附中高二阶段练习）数列满足，数列，数列
(1)求证:数列是等比数列；
(2)求数列的通项公式．
5 等比数列的单调性
1．（2022·全国·高二课时练习）（多选）关于递增等比数列，下列说法正确的是（ ）．
A．当时， B．当时，
C．当时， D．
2．（2022高二下·西城期末）在等比数列{}中，．记，则数列{}（ ）
A．有最大项，有最小项 B．有最大项，无最小项
C．无最大项，有最小项 D．无最大项，无最小项
3．（2022·北京·清华附中高二阶段练习）已知数列是无穷项等比数列，“”是“单调递增”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件
4（2022·湖南）（多选）等比数列的公比为，其前项的积为，并且满足条件，，．给出下列结论其中正确的结论是（ ）
A． B． C．的值是中最大的 D．T99的值是Tn中最大的
5．（2023·全国·高三专题练习）（多选）已知等比数列满足，公比，且，，则（ ）
A． B．当时，最小
C．当时，最小 D．存在，使得
6 等比数列的实际应用
1．（2022沈阳月考）中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．”则该人最后一天走的路程为（ ）
A．6里 B．5里 C．4里 D．3里
2．（2022·四川）中国古代数学著作《算法统综》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔仔细算相还”.其大意为：“有一人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地”.则下列说法正确的是（ ）
A．该人第五天走的路程为14里 B．该人第三天走的路程为42里
C．该人前三天共走的路程为330里 D．该人最后三天共走的路程为42里
3．（2022·河南濮阳·高二期末（理））5G是第五代移动通信技术的简称，其意义在于万物互联，即所有人和物都将存在于有机的数字生态系统中，它把以人为中心的通信扩展到同时以人与物为中心的通信，将会为社会生活与生产方式带来巨大的变化．目前我国最高的5G基站海拔6500米．从全国范围看，中国5G发展进入了全面加速阶段，基站建设进度超过预期．现有8个工程队共承建10万个基站，从第二个工程队开始，每个工程队所建的基站数都比前一个工程队少，则第一个工程队承建的基站数（单位：万）约为（ ）
A． B．
C． D．
4．（2022·北京顺义·高二期末）中国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问题：今有牛 马 羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰：“我羊食半马 ”马主曰：“我马食半牛，”今欲衰偿之，问各出几何？此问题的译文是：今有牛，马，羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿5斗粟，羊主人说：“我羊所吃的禾苗只有马的一半，”马主人说：“我马所吃的禾苗只有牛的一半”打算按此比例偿还，他们各应偿还多少？试问：该问题中牛主人应偿还（ ）斗粟
A． B． C． D．
5．（2022·安徽·合肥一中高二期末）在流行病学中，基本传染数是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数.初始感染者传染个人，为第一轮传染，这个人中每人再传染个人，为第二轮传染，…….一般由疾病的感染周期、感染者与其他人的接触频率、每次接触过程中传染的概率决定.注射新冠疫苗后可以使身体对新冠病毒产生抗体，但是正常情况下不能提高人体免疫力，据统计最新一轮的奥密克戎新冠变异株的基本传染数，感染周期为4天，设从一位感染者开始，传播若干轮后感染的总人数超过7200人，需要的天数至少为（ ）
A．4 B．12 C．16 D．20
6．（2022·陕西·汉台中学模拟预测（文））我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“三百七十八里关，初行健步不为难．次日脚痛减一半，六朝才得到其关．要见每朝行里数，请公仔细算相还．”意思是：有一个人要走378里路，第一天走得很快，以后由于脚痛，后一天走的路程都是前一天的一半，6天刚好走完．则此人最后一天走的路程是（ ）
A．192里 B．96里 C．12里 D．6里
7．（2022·内蒙古·满洲里市教研培训中心模拟预测（理））直播带货是一种直播和电商相结合的销售手段，目前受到了广大消费者的追捧，针对这种现状，某传媒公司决定逐年加大直播带货的资金投入，若该公司今年投入的资金为万元，并在此基础上，以后每年的资金投入均比上一年增长，则该公司需经过（ ）年其投入资金开始超过万元.
（参考数据：，，）
A． B． C． D．
8．（2022·福建莆田）芝诺是古希腊著名的哲学家，他曾提出一个著名的悖论，史称芝诺悖论．芝诺悖论的大意是：“阿喀琉斯是古希腊神话中善跑的英雄，在他和乌龟的竞赛中，他的速度为乌龟的十倍，乌龟在他前面100米爬，他在后面追，但他不可能追上乌龟．原因是在竞赛中，追者首先必须到达被追者的出发点，当阿喀琉斯追了100米时，乌龟已经向前爬了10米．于是一个新的起点产生了；阿喀琉斯必须继续追，而当他追完乌龟爬的这10米时，乌龟又向前爬了1米，阿喀琉斯只能再追这1米．就这样，乌龟会制造出无穷个起点，它总能在起点与自己之间制造出一个距离，不管这个距离有多小，只要乌龟不停地奋力向前爬，阿喀琉斯就永远追不上乌龟．”试问在阿喀琉斯与乌龟的竞赛中，当阿喀琉斯与乌龟相距0.001米时，乌龟共爬行了（ ）
A．11.111米 B．11.11米 C．19.99米 D．111.1米
9．（2022·广西）我国古代的数学名著《九章算术》中有“衰分问题”：今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何 其意为：一女子每天织布的尺数是前一天的2倍，5天共织布5尺，问第五天织布的尺数是多少 你的答案是( )
A． B．1 C． D．
10．（2022·全国·高三专题练习）在流行病学中，基本传染数是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数．一般由疾病的感染周期、感染者与其他人的接触频率、每次接触过程中传染的概率决定．对于，而且死亡率较高的传染病，一般要隔离感染者，以控制传染源，切断传播途径．假设某种传染病的基本传染数，平均感染周期为7天（初始感染者传染个人为第一轮传染，经过一个周期后这个人每人再传染个人为第二轮传染……）那么感染人数由1个初始感染者增加到1000人大约需要的天数为（参考数据：，）（ ）
A．35 B．42 C．49 D．56
4.3 等比数列（精练）
1 等比数列基本量的运算
1．（2022高二下·平谷期末）已知等比数列满足，则等于（ ）
A．±32 B．-32 C．±64 D．-64
答案：D
【解析】根据题意，设等比数列的公比为， 若，，则有，解得，
故.故答案为：D.
2．（2022高二下·镇江期末）已知数列满足，且，则数列的前四项和的值为（ ）
A． B． C． D．
答案：C
【解析】由题设是首项为2、公比为的等比数列，即，
所以.故答案为：C
3．（2022高二下·昆明期末）在等比数列中，，，则（ ）
A．2 B．3 C． D．
答案：D
【解析】在等比数列中，由得，
所以，，所以。故答案为：D.
4．（2022焦作开学考）已知等比数列中，，，则（ ）
A．27 B．9 C．±9 D．+27
答案：A
【解析】因为数列为等比数列，所以，可得；
因为，所以，，，所以.故答案为：A.
5．（2022遵义开学考）已知正项等比数列的前n项和为，若，，则（ ）
A．80 B．81 C．243 D．242
答案：D
【解析】设数列公比是，则， 由，因，故解得，
所以．故答案为：D．
6．（2022高二下·邢台期末）设单调递增的等比数列满足，，则公比（ ）
A． B． C．2 D．
答案：A
【解析】因为为等比数列，所以，所以，则， 又单调递增，所以，
解得：，，则，因为，所以．故答案为：A
7．（2022高二下·营口期末）等比数列中，已知：，，则公比（ ）
A． B．2 C． D．3
答案：B
【解析】因为是等比数列，所以，故， 故答案为：B
8．（2022·内江模拟）已知等比数列的公比为q，前n项和为．若，，则（ ）
A．3 B．2 C．-3 D．-2
答案：A
【解析】将等式与作差得，， 因此，该等比数列的公比，故答案为：A.
9．（2021高二上·深圳期末）已知等比数列{an}的前n项和为S，若，且，则S3等于（ ）
A．28 B．26 C．28或-12 D．26或-10
答案：C
【解析】由可得，即，所以，
又因为，解得，所以，即，
当时，，所以，
当时，，所以。故答案为：C
10．（2022湖州）已知等比数列 的公比为正数，且 ， ，则 （ ）
A．4 B．2 C．1 D．
答案：D
【解析】设等比数列 的公比为 （ ），
由题意得 ，且 ，即 ， ，
因为 ，所以 ， ，故答案为：D
11．（2022武汉开学考）设正项等比数列的前项和为，若，则（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
答案：A
【解析】设正项等比数列的公比为q（q>0），
则由得，
即，即，即，解得（舍去）.
由得，即，将代入得，
解得，则。故答案为：A.
12．（2022·江苏·高二课时练习）在等比数列中，
(1)已知，，求q和；
(2)已知，，求和；
(3)已知，，求q和.
答案：(1)当时，,当时，；
(2)，；
(3)当时，,当时，.
【解析】(1)解：，解得：，
当时，,
当时，.
(2)解：,解得：，所以
(3)解：，解得：或，
当时，,
当时，.
2 等比数列的中项性质及应用
1．（2022·黑龙江）数列在各项为正数的等比数列中，若，，则（ ）
A． B． C． D．
答案：C
【解析】由题意可知，对任意的，，由等比中项的性质可得，则.
因此，.故选：C.
2．（2022·甘肃）在等比数列中，，，则（ ）
A．2 B．±2 C．2或 D．
答案：A
【解析】设的公比为q，由，则，解得（舍去），故，所以，.故选：A.
3．（2022·四川）若a，b，c为实数，数列是等比数列，则b的值为（ ）
A．5 B． C． D．
答案：B
【解析】设等比数列的公比为，所以， 根据等比数列的性质可知，解得.故选：B
4．（2022·广东）在等差数列中，若，，则和的等比中项为（ ）.
A． B．6 C． D．36
答案：C
【解析】根据等差数列的性质：若则
可得，所以，
所以和的等比中项为.故选：C.
5．（2022·江苏）三个实数成等差数列，首项是，若将第二项加、第三项加可使得这三个数依次构成等比数列，则的所有取值中的最小值是（ ）
A． B． C． D．
答案：D
【解析】设原来的三个数为、、，
由题意可知，，，，且，
所以，，即，解得或.
则的所有取值中的最小值是.
故选：D.
6．（2022·陕西）已知等差数列的公差是，若，，成等比数列，则等于（ ）
A． B． C． D．
答案：A
【解析】因为等差数列的公差为2，且，，成等比数列，
所以，即，解得 ，故选：A
7.（2022·云南）数列为等比数列，，，命题，命题是、的等比中项，则是的（ ）条件
A．充要 B．充分不必要 C．必要不充分 D．既不充分也不必要
答案：A
【解析】因为数列为等比数列，且，，若，则，
则是、的等比中项，即；
若是、的等比中项，设的公比为，则，
因为，故，即.
因此，是的充要条件.
故选：A.
3 等比数列前n项和的性质
1．（2022·河南 ）在等比数列中，已知前n项和，则a的值为（ ）
A．1 B．-1 C．2 D．-2
答案：B
【解析】，
由于是等比数列，所以，
即.
故选：B
2．（2022·安徽省 ）已知等比数列的前2项和为2，前4项和为8，则它的前6项和为（ ）
A．12 B．22 C．26 D．32
答案：C
【解析】设等比数列的前n项和为，公比为q,
则,则，
而，
故，
所以数列前6项和为，
故选：C.
3．（2022·全国·高二课时练习）已知各项为正的等比数列的前5项和为3，前15项和为39，则该数列的前10项和为（ ）
A． B． C．12 D．15
答案：C
【解析】由等比数列的性质可得也为等比数列，
又，故可得即，
解得或，因为等比数列各项为正，所以，故选：C
4．（2022·陕西·武功县普集高级中学高二阶段练习）设等比数列中，前n项和为，已知，，则等于（ ）
A． B．
C． D．
答案：A
【解析】因为，且也成等比数列，
因为，，所以，
所以8，-1，S9-S6成等比数列，所以8(S9-S6)=1，
即，所以.故B，C，D错误.
故选：A.
5．（2022·四川省内江市第二中学高二开学考试（文））等比数列{an}的前n项和为Sn，公比为q，若a1+a2+a3＝2，S6＝9S3，则S9＝（ ）
A．50 B．100 C．146 D．128
答案：C
【解析】根据题意：S3＝a1+a2+a3＝2，S6＝9S3＝18，
则S6﹣S3＝18﹣2＝16，
根据等比数列的性质可知，S3，S6﹣S3，S9﹣S6构成等比数列，
故，即S9﹣S6＝128，
故S9＝S6+128＝146，
故选：C．
6．（2022·宁夏·平罗中学 ）等比数列的前n项和为，已知，，则（ ）
A． B． C． D．
答案：B
【解析】因为且为等比数列，故为等比数列，
故，解得，
故选：B.
7．（2022·福建省连城县第一中学高二阶段练习）已知一个项数为偶数的等比数列，所有项之和为所有偶数项之和的倍，前项之积为，则（ ）
A． B．
C． D．
答案：C
【解析】由题意可得所有项之和是所有偶数项之和的倍，所以，，故
设等比数列的公比为，设该等比数列共有项，
则，所以，，
因为，可得，因此，.
故选：C.
8．（2022·全国·高二课时练习）在等比数列中，若，且公比，则数列的前100项和为______．
答案：450
【解析】在等比数列中，公比，则有，
而，于是得，
所以数列的前100项和．
故答案为：450
9．（2022·全国·高二课时练习）已知正项等比数列共有项，它的所有项的和是奇数项的和的倍，则公比______.
答案：
【解析】设等比数列的奇数项之和为，偶数项之和为，
则，
由，得，因为，所以，所以，.
故答案为：.
10．（2022广东）已知一个等比数列首项为1，项数是偶数，其奇数项之和为341，偶数项之和为682，则这个数列的项数为_________
答案：10
【解析】设等比数列项数为项，公比为，则，，
由，
解得，因为是公比为的等比数列，则 ，
即，解得，故答案为:10.
4 等比数列的证明或判断
1．（2022·福建省福州屏东中学高三阶段练习）已知数列满足，，，求证：数列是等比数列；
答案：证明见解析
【解析】因为，,所以是首项为1，公比为的等比数列；
2.（2022·广东）已知数列满足，设，证明：数列为等比数列；
答案：见解析
【解析】证明：因为，所以，
因为，所以，所以，
因为，所以，所以数列是以1为首项，为公比的等比数列
3.（2022·宁夏）在数列中，，，，求证：是等比数列；
答案：证明见解析
【解析】由得：，又，
数列是以为首项，为公比的等比数列.
4．（2022·江西·瑞金市第三中学高三阶段练习（文））已知数列中，且．
(1)求证：数列为等比数列；
(2)求数列的前n项和．
答案：(1)证明见解析(2)
【解析】（1）因为，，所以，
又因为，所以数列是首项为2，公比为2的等比数列．
（2）由（1）得，，所以，，
．
5．（2022·北京丰台·高二期中）已知数列满足，，.
(1)请写出数列的前5项；
(2)证明数列是等比数列；
(3)求数列的通项公式.
答案：(1)，，，，；(2)证明见解析；(3).
【解析】(1)解：因为数列满足，，.
所以，
，
，
，
所以数列的前5项为：，，，，；
(2)解：，，
因此，数列是等比数列；
(3)解：由于，所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列，
，因此，.
6．（2022·重庆·西南大学附中高二阶段练习）在数列中，表示其前项和，满足，求证：数列是等比数列，并求数列的通项公式；
答案：证明见解析；；
【解析】，，，
整理可得：，，
又当时，，解得：，，
数列是以为首项，为公比的等比数列，，
数列的通项公式为；
7（2022·全国·高三专题练习）已知数列满足，证明：数列为等比数列.
答案：证明见解析
【解析】证明：当时，，则.
因为，①
所以，②
由②①得，
化简可得，
，
所以数列是一个公比为的等比数列.
8．（2022·上海·华师大二附中高二阶段练习）数列满足，数列，数列
(1)求证:数列是等比数列；
(2)求数列的通项公式．
答案：(1)证明见解析；(2)，.
【解析】(1)由题设，且，即且，而，
所以且，则是首项为，公比为的等比数列，得证.
(2)由（1）可得：，故，则，
所以.
则的通项公式为.
5 等比数列的单调性
1．（2022·全国·高二课时练习）（多选）关于递增等比数列，下列说法正确的是（ ）．
A．当时， B．当时，
C．当时， D．
答案：AC
【解析】A．当，时，从第二项起，
数列的每一项都大于前一项，所以数列递增，正确；
B．当，时，为摆动数列，故错误；
C．当，时，数列为递增数列，故正确；
D．，当时，，
此时，当时，，，故错误
故选AC．
2．（2022高二下·西城期末）在等比数列{}中，．记，则数列{}（ ）
A．有最大项，有最小项 B．有最大项，无最小项
C．无最大项，有最小项 D．无最大项，无最小项
答案：A
【解析】设等比数列为q，则等比数列的公比，所以，
则其通项公式为：，
所以
，
令，所以当或时，t有最大值，无最小值，
即有最大值，无最小值，
结合前面，当为正数时，为正数，
当为负数时，为负数，
所以当时，有最小项，当时，有最大项.
故答案为：A.
3．（2022·北京·清华附中高二阶段练习）已知数列是无穷项等比数列，“”是“单调递增”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件
答案：C
【解析】因为单调递增，所以，所以必要性成立；
因为数列是无穷项等比数列，且，
所以，
当时，则解得，此时，所以，即；
当时，则解得，此时，所以，即，
综上所述，即单调递增，所以充分性成立，
则“”是“单调递增”的充分必要条件，
故选：C
4（2022·湖南）（多选）等比数列的公比为，其前项的积为，并且满足条件，，．给出下列结论其中正确的结论是（ ）
A． B． C．的值是中最大的 D．T99的值是Tn中最大的
答案：ABD
【解析】对于A，，，即，
，又，又，
，且，
，故A正确；
对于B，，，即，故B正确；
对于C，由于，而，故有，故C错误；
对于D，由题可知，
所以当时，，即，当时，，即，
∴T99的值是Tn中最大的，故D正确.
故选：.
5．（2023·全国·高三专题练习）（多选）已知等比数列满足，公比，且，，则（ ）
A． B．当时，最小
C．当时，最小 D．存在，使得
答案：AC
【解析】对A，∵，，∴，又，，
∴，故A正确；
对B，C，由等比数列的性质，，故，，，
∴，∵，，，∴，，
∴，故当时，最小，B错误，C正确；
对D，当时，，故，故D错误.
故选：AC．
6 等比数列的实际应用
1．（2022沈阳月考）中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．”则该人最后一天走的路程为（ ）
A．6里 B．5里 C．4里 D．3里
答案：A
【解析】记每天走的路程里数为，可知是公比的等比数列，
由，得，解得：，.故答案为：A．
2．（2022·四川）中国古代数学著作《算法统综》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔仔细算相还”.其大意为：“有一人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地”.则下列说法正确的是（ ）
A．该人第五天走的路程为14里 B．该人第三天走的路程为42里
C．该人前三天共走的路程为330里 D．该人最后三天共走的路程为42里
答案：D
【解析】由题意可知该人每天走的路程构成了公比为的等比数列，
设数列前n项和为，则，故 ，解得，则，
故 ，该人第五天走的路程为12里，A错误；
，该人第三天走的路程为48里，B错误；
，该人前三天共走的路程为里，C错误；
由（里），可知该人最后三天共走的路程为42里，D正确，故选：D
3．（2022·河南濮阳·高二期末（理））5G是第五代移动通信技术的简称，其意义在于万物互联，即所有人和物都将存在于有机的数字生态系统中，它把以人为中心的通信扩展到同时以人与物为中心的通信，将会为社会生活与生产方式带来巨大的变化．目前我国最高的5G基站海拔6500米．从全国范围看，中国5G发展进入了全面加速阶段，基站建设进度超过预期．现有8个工程队共承建10万个基站，从第二个工程队开始，每个工程队所建的基站数都比前一个工程队少，则第一个工程队承建的基站数（单位：万）约为（ ）
A． B．
C． D．
答案：B
【解析】由题意，8个工程队所建的基站数依次成等比数列，比为，记第一个工程队承建的基站数为（万），则，．故选：B．
4．（2022·北京顺义·高二期末）中国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问题：今有牛 马 羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰：“我羊食半马 ”马主曰：“我马食半牛，”今欲衰偿之，问各出几何？此问题的译文是：今有牛，马，羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿5斗粟，羊主人说：“我羊所吃的禾苗只有马的一半，”马主人说：“我马所吃的禾苗只有牛的一半”打算按此比例偿还，他们各应偿还多少？试问：该问题中牛主人应偿还（ ）斗粟
A． B． C． D．
答案：B
【解析】设牛主人应偿还x斗粟，则马主人应偿还斗粟，羊主人应偿还斗粟，
所以，解得：.故选：B
5．（2022·安徽·合肥一中高二期末）在流行病学中，基本传染数是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数.初始感染者传染个人，为第一轮传染，这个人中每人再传染个人，为第二轮传染，…….一般由疾病的感染周期、感染者与其他人的接触频率、每次接触过程中传染的概率决定.注射新冠疫苗后可以使身体对新冠病毒产生抗体，但是正常情况下不能提高人体免疫力，据统计最新一轮的奥密克戎新冠变异株的基本传染数，感染周期为4天，设从一位感染者开始，传播若干轮后感染的总人数超过7200人，需要的天数至少为（ ）
A．4 B．12 C．16 D．20
答案：C
【解析】依题意，每轮感染人数依次组成公比为9的等比数列，经过n轮传播感染人数之和为：
，得，
显然是递增数列，而，则，而每轮感染周期为4天，
所以需要的天数至少为16.故选：C
6．（2022·陕西·汉台中学模拟预测（文））我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“三百七十八里关，初行健步不为难．次日脚痛减一半，六朝才得到其关．要见每朝行里数，请公仔细算相还．”意思是：有一个人要走378里路，第一天走得很快，以后由于脚痛，后一天走的路程都是前一天的一半，6天刚好走完．则此人最后一天走的路程是（ ）
A．192里 B．96里 C．12里 D．6里
答案：D
【解析】设第天走的路程为，，所以此人每天走的路程可构成等比数列，依题可知，公比为，所以，解得，．所以（里）故选：D．
7．（2022·内蒙古·满洲里市教研培训中心模拟预测（理））直播带货是一种直播和电商相结合的销售手段，目前受到了广大消费者的追捧，针对这种现状，某传媒公司决定逐年加大直播带货的资金投入，若该公司今年投入的资金为万元，并在此基础上，以后每年的资金投入均比上一年增长，则该公司需经过（ ）年其投入资金开始超过万元.
（参考数据：，，）
A． B． C． D．
答案：C
【解析】设该公司经过年投入的资金为万元，则，
由题意可知，数列是以为首项，以为公比的等比数列，
所以，，由可得，
因此，该公司需经过年其投入资金开始超过万元.
故选：C.
8．（2022·福建莆田）芝诺是古希腊著名的哲学家，他曾提出一个著名的悖论，史称芝诺悖论．芝诺悖论的大意是：“阿喀琉斯是古希腊神话中善跑的英雄，在他和乌龟的竞赛中，他的速度为乌龟的十倍，乌龟在他前面100米爬，他在后面追，但他不可能追上乌龟．原因是在竞赛中，追者首先必须到达被追者的出发点，当阿喀琉斯追了100米时，乌龟已经向前爬了10米．于是一个新的起点产生了；阿喀琉斯必须继续追，而当他追完乌龟爬的这10米时，乌龟又向前爬了1米，阿喀琉斯只能再追这1米．就这样，乌龟会制造出无穷个起点，它总能在起点与自己之间制造出一个距离，不管这个距离有多小，只要乌龟不停地奋力向前爬，阿喀琉斯就永远追不上乌龟．”试问在阿喀琉斯与乌龟的竞赛中，当阿喀琉斯与乌龟相距0.001米时，乌龟共爬行了（ ）
A．11.111米 B．11.11米 C．19.99米 D．111.1米
答案：A
【解析】由题意可知，乌龟每次爬行的距离构成等比数列,且
所以乌龟的爬行距离(米).
故选：A
9．（2022·广西）我国古代的数学名著《九章算术》中有“衰分问题”：今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何 其意为：一女子每天织布的尺数是前一天的2倍，5天共织布5尺，问第五天织布的尺数是多少 你的答案是( )
A． B．1 C． D．
答案：D
【解析】根据题意可知该女子每天织布的尺数成等比数列，设该等比数列为，公比q＝2，
则第1天织布的尺数为，第5天织布的尺数为，前5天共织布为，
则，∴.
故选：D.
10．（2022·全国·高三专题练习）在流行病学中，基本传染数是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数．一般由疾病的感染周期、感染者与其他人的接触频率、每次接触过程中传染的概率决定．对于，而且死亡率较高的传染病，一般要隔离感染者，以控制传染源，切断传播途径．假设某种传染病的基本传染数，平均感染周期为7天（初始感染者传染个人为第一轮传染，经过一个周期后这个人每人再传染个人为第二轮传染……）那么感染人数由1个初始感染者增加到1000人大约需要的天数为（参考数据：，）（ ）
A．35 B．42 C．49 D．56
答案：B
【解析】感染人数由1个初始感染者增加到1000人大约需要n轮传染,
则每轮新增感染人数为，
经过n轮传染，总共感染人数为：，
∵，∴当感染人数增加到1000人时，，化简得，
由，故得，又∵平均感染周期为7天，
所以感染人数由1个初始感染者增加到1000人大约需要天，
故选：B.