专题6.1 平行四边形的性质（知识梳理与考点分类讲解）（含解析）

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专题6.1 平行四边形的性质（知识梳理与考点分类讲解）
【知识点一】平行四边形
平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形；
平行四边形的表示方法：平行四边形用“ ”表示，平行四边形ABCD记作“ ABCD”，读作“平行四边形ABCD”；
平行四边形的对角线：平行四边形不相邻的两个顶点连成的线段叫做对角线.
特别指出：平行四边形的定义是它的性质，也是它的判定方法。
【知识点二】平行四边形的边角性质
1.平行四边形是中心对称图形，两条对角线交点是它的对称中心；
2.边的性质：平行四边的对边平行且相等；
3.角的性质：平行四边形对角相等，邻角互补.
【知识点三】平行四边形的对角线性质
1.对角线性质：平行四边形对角线互相平分；
2.拓展性质：（1）平行四边的一条对角线将平行四边形分成面积相等的两部分，两条对角线将平行四边形分成面积相等的四个部分；（2）若一条直线过平行四边形的两条对角线的交点，则该直线平分平行四边形的周长和面积.
【考点目录】
【考点1】利用平行四边形的性质求线段的长；
【考点2】利用平行四边形的性质求面积或角度；
【考点3】利用平行四边形的性质进行证明；
【考点4】平行四边形性质的应用.
【考点1】利用平行四边形的性质求线段的长；
【例1】（23-24八年级下·山东菏泽·期中）如图，在中，于点，，连接，，，求的长．
【变式1】（23-24八年级下·内蒙古巴彦淖尔·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点在轴上，，，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点；再分别以点、点圆心，大于的长度为半径画弧，两弧相交于点，过点作射线，交于点，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（2024·四川南充·二模）如图，在平行四边形中，以为圆心，长为半径画弧，与交于点，连接，，，若，，，则的长为 ．
【考点2】利用平行四边形的性质求面积或角度；
【例2】（2024·江苏泰州·一模）已知：如图，在中，点E为边的中点，连接、，过点B作交的延长线于点F．且．
（1）求的度数；
（2）若，，求的面积．
【变式1】（23-24八年级下·浙江温州·期中）如图，在中，为边上一点，将沿折叠至处，与交于点．若，，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（2024八年级下·全国·专题练习）如图，E是平行四边形内任一点，若，则图中阴影部分的面积是 ．
【考点3】利用平行四边形的性质进行证明；
【例3】（21-22八年级下·新疆乌鲁木齐·期末）如图，在四边形中，，，，，垂足分别为E，F．
（1）求证：；
（2）若与交于点O，求证：．
【变式1】（22-23八年级下·重庆沙坪坝·期末）如图，在中，对角线，交于点O，过点O作交，于点E，F，下列结论一定正确的是（ ）

A． B．
C． D．
【变式2】（22-23八年级下·四川成都·期末）如图，四边形是平行四边形，按以下步骤操作：①以点A为圆心，适当长为半径画弧，交于点E，交于点F；再分别以点E，F为圆心，以大于长为半径作弧，两弧相交于点M；②以点D为圆心，适当长为半径画弧，交于点H，交于点G；再分别以点G，H为圆心，以大于长为半径作弧，两弧相交于点N；③作射线相交于点P．若，则的长为 ．

【考点4】平行四边形性质的应用；
【例4】（21-22八年级下·青海西宁·期末）如图，一次函数的图像与轴和轴分别交于点和点，将沿直线对折，使点与点重合，直线与轴交于点，与交于点，连接．
（1）求的面积；
（2）求的长度；
（3）在轴上方有一点，且以，，，为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点的坐标．
【变式1】（20-21八年级下·福建莆田·期中）如图，在△ABC中，∠BAC=45°，AB=AC=8，P为AB边上一动点，以PA、PC为边作平行四边形PAQC，则对角线PQ的长度的最小值为（　　）
A．8 B．4 C． D．
【变式2】（17-18八年级下·江苏·期末）如图，在中，、分别是、边上的点，与交于点，与交于点，若，，则图中阴影部分的面积为 ．
专题6.1 平行四边形的性质（知识梳理与考点分类讲解）
【知识点一】平行四边形
平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形；
平行四边形的表示方法：平行四边形用“ ”表示，平行四边形ABCD记作“ ABCD”，读作“平行四边形ABCD”；
平行四边形的对角线：平行四边形不相邻的两个顶点连成的线段叫做对角线.
特别指出：平行四边形的定义是它的性质，也是它的判定方法。
【知识点二】平行四边形的边角性质
1.平行四边形是中心对称图形，两条对角线交点是它的对称中心；
2.边的性质：平行四边的对边平行且相等；
3.角的性质：平行四边形对角相等，邻角互补.
【知识点三】平行四边形的对角线性质
1.对角线性质：平行四边形对角线互相平分；
2.拓展性质：（1）平行四边的一条对角线将平行四边形分成面积相等的两部分，两条对角线将平行四边形分成面积相等的四个部分；（2）若一条直线过平行四边形的两条对角线的交点，则该直线平分平行四边形的周长和面积.
【考点目录】
【考点1】利用平行四边形的性质求线段的长；
【考点2】利用平行四边形的性质求面积或角度；
【考点3】利用平行四边形的性质进行证明；
【考点4】平行四边形性质的应用.
【考点1】利用平行四边形的性质求线段的长；
【例1】（23-24八年级下·山东菏泽·期中）如图，在中，于点，，连接，，，求的长．
【答案】
【分析】本题考查了平行四边形的性质以及勾股定理，先根据平行四边形的性质得出，，结合垂直定义得出，因为，所以，分别在中在中，运用勾股定理列式计算，即可作答．
解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∵
∴，
∴，
在中，，
在中，．
【变式1】（23-24八年级下·内蒙古巴彦淖尔·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点在轴上，，，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点；再分别以点、点圆心，大于的长度为半径画弧，两弧相交于点，过点作射线，交于点，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】延长交轴于，则轴，，求出，，由角平分线的定义得出，结合平行四边形的性质得出，推出，即可得出，从而得解．
解：如图，延长交轴于，则轴，
，
，
，
，，
由题意得：平分，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
点的坐标为，
故选：D．
【点拨】本题考查了平行四边形的性质、作图—基本作图、等腰三角形的判定与性质、坐标与图形、含角的直角三角形的性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【变式2】（2024·四川南充·二模）如图，在平行四边形中，以为圆心，长为半径画弧，与交于点，连接，，，若，，，则的长为 ．
【答案】8
【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，
过点A作于点N，过点D作，交的延长线于点M，结合平行四边形的性质，等腰三角形的判定与性质，证明，即可得，，再证明，问题随之得解．
解：过点A作于点N，过点D作，交的延长线于点M，如图，
根据作图可知：，即是等腰三角形，
∵，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，，，
∴，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，即，
又∵，，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
故答案为：．
【考点2】利用平行四边形的性质求面积或角度；
【例2】（2024·江苏泰州·一模）已知：如图，在中，点E为边的中点，连接、，过点B作交的延长线于点F．且．
（1）求的度数；
（2）若，，求的面积．
【答案】(1) (2)40
【分析】（1）利用平行四边形的性质，平行线的性质，结合已知，等量代换，计算的度数即可．
（2）根据平行四边形的面积计算公式，计算即可．
本题考查了平行四边形的性质，平行线的性质，平行四边形的面积，熟练掌握性质和面积计算公式是解题的关键．
解：（1）∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，；
又∵，
∴，
∴，
∴．
（2）过点B 作于点G，
∵， 点E为边的中点，
∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
又∵，
∴，
又∵，
∴，
．
【变式1】（23-24八年级下·浙江温州·期中）如图，在中，为边上一点，将沿折叠至处，与交于点．若，，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了平行四边形的性质、折叠的性质、三角形的外角性质以及三角形内角和定理；由平行四边形的性质得出，由折叠的性质得：，，由三角形的外角性质求出，与三角形内角和定理求出，即可得出的大小．
解：四边形是平行四边形，
，
由折叠的性质得：，，
，，
；
故选：B．
【变式2】（2024八年级下·全国·专题练习）如图，E是平行四边形内任一点，若，则图中阴影部分的面积是 ．
【答案】4
【分析】本题考查了利用平行四边形性质求解，设两个阴影部分三角形的底为，高分别为，则为平行四边形的高，即可得出，进而得出结果．
解：设两个阴影部分三角形的底为，高分别为，则为平行四边形的高，
．
故答案为：4．
【考点3】利用平行四边形的性质进行证明；
【例3】（21-22八年级下·新疆乌鲁木齐·期末）如图，在四边形中，，，，，垂足分别为E，F．
（1）求证：；
（2）若与交于点O，求证：．
【答案】(1)见解析； (2）见解析
【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质与平行四边形的判定与性质．
（1）由，可得，由，，可得，又由，即可证得≌；
（2）由≌可得，根据内错角相等，两直线平行，即可得，根据有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，即可证得四边形是平行四边形，则可得
（1）证明：，
，即，
，，
，
，
；
（2）连接，交于点O，
≌，
，
∴，
，
四边形是平行四边形，
【变式1】（22-23八年级下·重庆沙坪坝·期末）如图，在中，对角线，交于点O，过点O作交，于点E，F，下列结论一定正确的是（ ）

A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据平行四边形的性质得到，进而证明，根据全等三角形的性质解答即可．
解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
故选：A．
【点拨】本题考查的是平行四边形的性质，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
【变式2】（22-23八年级下·四川成都·期末）如图，四边形是平行四边形，按以下步骤操作：①以点A为圆心，适当长为半径画弧，交于点E，交于点F；再分别以点E，F为圆心，以大于长为半径作弧，两弧相交于点M；②以点D为圆心，适当长为半径画弧，交于点H，交于点G；再分别以点G，H为圆心，以大于长为半径作弧，两弧相交于点N；③作射线相交于点P．若，则的长为 ．

【答案】
【分析】此题考查了平行四边形的性质、角平分线的作图、勾股定理等知识，根据平行四边形的性质得到，，根据平行线的性质得到，根据角平分线的定义得到，根据勾股定理即可得到结论．
解：∵四边形是平行四边形，
∴，，，
∴，
由作图知，平分，平分，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【考点4】平行四边形性质的应用；
【例4】（21-22八年级下·青海西宁·期末）如图，一次函数的图像与轴和轴分别交于点和点，将沿直线对折，使点与点重合，直线与轴交于点，与交于点，连接．
（1）求的面积；
（2）求的长度；
（3）在轴上方有一点，且以，，，为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点的坐标．
【答案】(1)16； (2)3 ；(3)条件的点的坐标是：，．
【分析】（1）先分别求出A、B两点的坐标，然后根据三角形的面积公式即可求解；
（2）设，则AC=8-x，再根据题意可得BC=AC=8-x，最后根据勾股定理列方程求解即可；
（3）分别以AB、AC、BC为对角线的三种情况解答即可．
（1）解：一次函数的解析式为与轴和轴分别交于点和点
令，得，解，
令，得，
．
∴．
（2）解：设，则AC=8-x
沿直线对折，点与点重合，
∴BC=AC=8-x
在中，，
∴，解得
∴．
（3）解：设P（a，b）a＞0，
∵
∴C（3,0）
①当以AB为对角线时
∵C（3,0），A（8,0）
∴A点相当于C点向右平移了5个单位
∴点P相当于点B向右平移了5个单位
∵B(0,4)
∴P(5,4)
②以AC为对角线，点P在第四象限，不符合题意舍弃；
③当以BC为对角线时
∵C（3,0），A（8,0）
∴C点相当于A点向左平移了5个单位
∴P点相当于点B向左平移了5个单位
∵B(0,4)
∴P(-5,4) ．
综上，P点坐标为（5,4）或（-5,4）．
【点拨】本题主要考查一次函数的图像及性质、平行四边形的性质等知识点，熟练掌握一次函数的图像及性质以及分类讨论思想是解答本题的关键．
【变式1】（20-21八年级下·福建莆田·期中）如图，在△ABC中，∠BAC=45°，AB=AC=8，P为AB边上一动点，以PA、PC为边作平行四边形PAQC，则对角线PQ的长度的最小值为（　　）
A．8 B．4 C． D．
【答案】D
【分析】由平行四边形的性质可知O是PQ中点，PQ最短也就是PO最短，所以应该过O作AB的垂线P′O，然后根据等腰直角三角形的性质即可求出PQ的最小值．
解：设AC、PQ交于点O，如图所示：
∵四边形PAQC是平行四边形，
∴AO=CO，OP=OQ，
∵PQ最短也就是PO最短，
∴过O作OP′⊥AB于点P′，
∵∠BAC=45°，
∴△AP′O是等腰直角三角形，
∵AO=AC=×8=4，
∴OP′= AO=2，
∴PQ的最小值=2OP′=4，
故选D．
【点拨】本题考查了平行四边形的性质、等腰直角三角形性质以及垂线段最短的性质等知识；解题的关键是作高线构建等腰直角三角形．
【变式2】（17-18八年级下·江苏·期末）如图，在中，、分别是、边上的点，与交于点，与交于点，若，，则图中阴影部分的面积为 ．
【答案】50
【分析】连接E、F两点，由三角形的面积公式我们可以推出S△EFC=S△BCF，S△EFD=S△ADF，所以S△EFQ=S△BCQ，S△EFP=S△APD，因此可以推出阴影部分的面积就是S△APD+S△BQC．
解：如图，连接E、F两点，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴△EFC的FC边上的高与△BCF的FC边上的高相等，
∴S△EFC=S△BCF，
∴S△EFC－S△QFC =S△BCF－S△QFC，
即S△EFQ=S△BCQ，
同理：S△EFD=S△ADF，
∴S△EFP=S△APD，
∵S△APD=20cm2，S△BQC=30cm2，
∴S四边形EPFQ= S△APD + S△BQC =50cm2，
故答案为：50．
【点拨】本题主要考查了平行四边形的性质，解答此题关键是作出辅助线，找出同底等高的三角形．