专题6.2 平行四边形的性质（分层练习）（含解析）

专题6.2 平行四边形的性质（分层练习）
单选题
1．（23-24八年级下·北京·期中）如图，的对角线与相交于点，，若，，则的长是（ ）

A．4 B．5 C．6 D．8
2．（2024八年级下·浙江·专题练习）如图，在平行四边形中，的平分线交于点E，的平分线交于点F，若，则的长是（　　）
A．2 B．4 C．5 D．6
3．（21-22八年级下·黑龙江牡丹江·期末）如图，在□ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点O的直线EF交AB于点E，交CD于点F，且，若，则阴影部分面积是（ ）
A． B． C．2 D．3
4．（23-24八年级下·福建厦门·期中）如图，在中，于点E，于点F，若，，，，则直线与的距离是（　　）

A．3 B．4 C．5 D．6
5．（23-24八年级下·内蒙古赤峰·期中）如图，在中，于E，交延长线于F，若，，，则的长为（ ）
A．1.6 B．3.2 C．4.8 D．2.4
6．（2024八年级下·浙江·专题练习）如图，在平行四边形中，E是中点，于点F，，，则的面积是（　　）

A．6 B． C． D．9
7．（19-20八年级上·浙江·期中）如图，A，B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥，使从到的路径最短的是图中的（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河岸垂直）（ ）
B．
C． D．
8．（23-24八年级下·浙江温州·期中）如图，在中，为边上一点，将沿折叠至处，与交于点．若，，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
9．（23-24八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图，的对角线与相交于点O，平分，分别交，于点E，P，连接，，，，则下列结论：①，②，③，④，⑤平分，正确的结论有（ ）个
A．5 B．4 C．3 D．2
10．（23-24八年级下·湖北武汉·期中）如图，中，对角线相交于点，，，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
11．（23-24八年级下·湖南长沙·阶段练习）如图，是内一点，，，，连接，，，下列结论：①；②为等腰直角三角形； ③；④，其中正确的个数有 （ ）
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
12．（18-19八年级下·湖北襄阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，OABC的顶点A在x轴上，定点B的坐标为（8，4），若直线经过点D（2，0），且将平行四边形OABC分割成面积相等的两部分，则直线DE的表达式是（ ）
A．y=x-2 B．y=2x-4 C．y=x-1 D．y=3x-6
填空题
13．（23-24八年级下·江苏南京·期中）如图，将沿对角线折叠，使点B落在处，，则 ．
14．（23-24八年级下·河南南阳·期中）如图，的顶点A，B，C的坐标分别是，，，则顶点的坐标是 ．
15．（20-21九年级下·福建泉州·阶段练习）如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC＝120°，AD＝，AB＝8，点E，F分别在边AB，AD上，△AEF与△GEF关于直线EF对称，点A的对称点G落在边DC上，则BE长的最大值为 ．
16．（2019·四川成都·二模）在平行四边形ABCD中，动点P从点B出发，沿B C D A运动至点A停止，设点P运动的路程为x，△ABP的面积为y，如果y关于x的函数图象如图所示，则四边形ABCD的面积是 ．
17．（2024·广西钦州·一模）如图，在四边形中，，，，，点在上，且为边上的两个动点，且，则四边形的周长的最小值为 ．
18．（23-24九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在中，，将线段沿直线翻折，点A落在的F点处，若，则的度数为 °．

19．（22-23八年级下·山东青岛·期末）如图，在中，，点在上，．如果，那么 °．

20．（20-21八年级下·陕西榆林·期末）如图，已知的面积为，点在线段上，点在线段的延长线上，且，，，连接，，则图中阴影部分的面积为 ．
21．（2024·江苏淮安·三模）如图，，C在延长线上，作平行四边形，连接，若，则周长的最小值是 ．
22．（22-23八年级下·上海徐汇·期末）如图，在等腰梯形中，，对角线于点，，，垂足分别为、，，，则 ．

23．（2020九年级·河南·专题练习）如图，平行四边形ABCD中，AB=cm，BC=2cm，∠ABC=45°，点P从点B出发，以1cm/s的速度沿折线BC→CD→DA运动，到达点A为止，设运动时间为t(s)，△ABP的面积为S(cm2)，则S与t的函数表达式为 .
24．（23-24八年级下·江苏无锡·期中）已知在平行四边形中，，点在上，，将沿翻折到，连接．则的长为 ，的长为 ．
解答题
25．（23-24八年级下·四川德阳·期中）如图，在中，平分，交于点，，交的延长线于点．若，求的度数．
26．（2024·河北邯郸·二模）如图，在平行四边形中，，点、分别在、上，沿折叠平行四边形，使点、互相重合，点落在点的位置．
（1）连接，，求证：；
（2）若，求的度数．
27．（2024·江苏泰州·一模）已知：如图，在中，点E为边的中点，连接、，过点B作交的延长线于点F．且．
（1）求的度数；
（2）若，，求的面积．
28．（23-24八年级下·浙江温州·期中）如图，已知在中，对角线，交于点O，E，F分别是线段，的中点，连接，．
（1）求证：；
（2）若，，，求的长．
29．（23-24九年级下·内蒙古·期中）直线与轴交于，与轴交于，直线与轴交于与直线交于，过作轴于．
（1）点坐标为 ；点坐标为 ．
（2）求直线的函数解析式．
（3）是线段上一动点，点从原点开始，每秒一个单位长度的速度向运动（与、不重合），过作轴的垂线，分别与直线、交于、，设的长为，点运动的时间为，求出与之间的函数关系式（写出自变量的取值范围）
（4）在（）的条件下，当为何值时，以、、、为顶点的四边形是平行四边形（直接写出结果）
30．（23-24八年级下·河南南阳·期中）中，，垂足为E，连接，将绕点E逆时针旋转，得到，连接．
（1）若，
①如图①，当点E在线段上时，易证，结合图形，请直接写出线段，，的数量关系是 ；（不需说明理由）
②如图②，当点E在线段的延长线上时，请写出线段，，的数量关系，并证明；
（2）如图③，若，当点E在线段延长线上时，猜想并直接写出线段，，的数量关系是 ．（不需说明理由）
（3）在（1）、（2）的情况下，若，，则_______．（不需说明理由）
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试卷第1页，共3页
参考答案：
1．C
【分析】本题考查了平行四边形的性质，以及勾股定理，熟练练据平行四边形的对角线互相平分是解答本题的关键．
根据平行四边形的性质得出，利用勾股定理得出，进而利用平行四边形的性质得出即可．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，，
，
，
，
，
故选：C．
2．B
【分析】本题考查了平行四边形的性质，在平行四边形中，当出现角平分线时，一般可利用等腰三角形的性质解题．根据平行四边形的性质可知，又因为平分，所以，则，则，同理可证，那么就可表示为，继而可得出答案．
【详解】解：∵平行四边形，
∴，
又平分，
∴，
∴，
∴，
同理可证：，
∵，
∴．
故选：B．
3．B
【分析】先证△BOE≌△DOF(AAS)，得S△BOE=S△DOF，所以S阴影=2S△BOE，又因为，所以S△BOE=S△AOB，再根据平行四边形性质得S△AOB=，所以S阴影=，把=16代入即可求解．
【详解】解：∵□ABCD，
∴OB=OD，ABCD，
∴∠EBO=∠FDO，∠BEO=∠DFO，
∴△BOE≌△DOF(AAS)，
∴S△BOE=S△DOF，
∴S阴影=2S△BOE，
∵，
∴S△BOE=S△AOB，
∵□ABCD，
∴S△AOB=，
∴S阴影=2×S△AOB=2××＝＝×16=，
故选：B．
【点拨】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定，求得S△BOE=S△AOB，S△AOB=是解题的关键．
4．C
【分析】本题考查了平行四边形性质，平行线间的距离，熟练掌握性质和距离是解题的关键．根据平行线间的距离判定为．
【详解】解：∵平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴直线与的距离是，
故选：C．
5．B
【分析】本题考查了平行四边形的面积，平行四边形的面积=底高．根据面积法即可求出的长．熟练掌握平行四边形的面积的公式是解题的关键．
【详解】∵四边形是平行四边形，
，
∵，，
，
，
解得，
故选：B．
6．B
【分析】本题考查了平行四边形的性质，三角形的面积，勾股定理，全等三角形的性质和判定的应用，正确作出辅助线是解答本题的关键．求出，求出，根据勾股定理求出，求出三角形的面积，即可求出答案．
【详解】解：如图，延长和交于G，

∵E为的中点，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
由勾股定理得： ，
∴的面积是，
∵，
∴，
故选：B．
7．D
【分析】根据最短，与河岸垂直，为定值，只需最短即可，根据两点之间线段最短，过点作，且，连接交于点，即可得到，进行判断即可．
【详解】解：∵与河岸垂直，为定值，
∴当最小时，最短，
如图，过点作，且使，连接交于点，

根据两点之间线段最短可知，此时，最小，
∵，且使，
∴四边形为平行四边形，
∴；
故选D．
【点拨】此题考查了作图-应用设计与作图，应用与设计作图主要把简单作图放入实际问题中，首先要理解题意，弄清问题中对所作图形的要求，结合几何图形的性质和基本作图的方法作图．
8．B
【分析】本题考查了平行四边形的性质、折叠的性质、三角形的外角性质以及三角形内角和定理；由平行四边形的性质得出，由折叠的性质得：，，由三角形的外角性质求出，与三角形内角和定理求出，即可得出的大小．
【详解】四边形是平行四边形，
，
由折叠的性质得：，，
，，
；
故选：B．
9．B
【分析】本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的性质、直角三角形30度角的性质、三角形面积和平行四边形面积的计算，利用上述性质，逐项判断即可解答，熟练掌握平行四边形的性质，证明是等边三角形是解决问题的关键，并熟练掌握同高三角形面积的关系．
【详解】解：平分，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
是等边三角形，
,
，
，
，
，
，
，
，
，
故①正确；
，，
，，
，
在中，，
四边形是平行四边形，
，
，
，
在中，
，故②正确；
由②知：，
，
故③正确；
，
，故④错误；
，
为等腰三角形的角平分线，
平分，故⑤正确，
故正确的为：①②③⑤，
故选：B．
10．B
【分析】本题考查了平行四边形的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，过点作于，过点作的延长线于，由可得，由勾股定理得，由平行四边形性质得，，进而得到，，，即可得到，，即得，由勾股定理即可求出的长，正确作出辅助线是解题的关键．
【详解】解：如图，过点作于，过点作的延长线于，则，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：．
11．C
【分析】①延长交于点，根据平行四边形性质和四边形内角和即可得到；②先证明，得，又有，可得，即可得到为等腰直角三角形；③过点作交延长线于点，证明，再根据勾股定理及等腰直角三角形的性质，可得成立；④过点作于，根据勾股定理即可证明，可知结论不成立．
【详解】解：①延长交于点，
∵四边形是平行四边形，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
故①正确；
在中，∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵
∴为等腰直角三角形，
故②正确；
∵，
∴，则为等腰直角三角形，
∴，
过点作交延长线于点，则，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，，，则为等腰直角三角形，
∴，
由等腰直角三角形可知，，
∴，
故③正确；
由勾股定理可知，，则，
过点作于，则，
∵，
∴，
∴，
则，，
∴，
故④不正确；
故选：C．
【点拨】本题考查了平行四边形性质，勾股定理，等腰直角三角形判定和性质，全等三角形判定和性质等知识点，解题关键正确添加辅助线构造全等三角形和直角三角形．
12．A
【分析】过平行四边形的对称中心的直线把平行四边形分成面积相等的两部分，先求出平行四边形对称中心的坐标，再利用待定系数法求一次函数解析式解答即可．
【详解】解：∵点B的坐标为（8，4），
∴平行四边形的对称中心坐标为（4，2），
设直线DE的函数解析式为y=kx+b，
则，
解得，
∴直线DE的解析式为y=x-2．
故选：A．
【点拨】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，平行四边形的性质，熟练掌握过平行四边形的中心的直线把平行四边形分成面积相等的两部分是解题的关键．
13．/117度
【分析】该题主要考查了平行四边形的性质以及折叠的性质，解题的关键是掌握以上知识点．
根据平行四边形性质可得，从而得出，再根据翻折得出，再根据三角形内角和即可求解；
【详解】解：∵四边形是平行四边形．
∴，
∴，
∵将沿对角线折叠使点B落在处，
∴，
∴，
故答案为：．
14．
【分析】本题主要考查了坐标与图形，平行四边形的性质，先求出，轴，再由平行四边形的性质得到，则轴，据此可得答案．
【详解】解：∵，，
∴，轴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴轴，
∵，
∴，
故答案为：．
15．2
【分析】过点D作DM⊥AB于M，求BE长的最大值，就是求AE长的最小值，而AE长的最小值，就是求GE长的最小值，GE长的最小值就是DC与AB的距离，即可求解．
【详解】过点D作DM⊥AB于M，则∠AMD= 90°，如图：
∵平行四边形ABCD中，∠ABC= 120° ，
AD//BC，
∠DAB= 180°-∠ABC= 180°- 120°= 60°
在Rt△ADM中，AD= 4，
∴AM=2,
∴DM =6
∵AB= 8，
∴当AE最短时，BE的长有最大值，
∵△AEF与△GEF关于直线EF对称，
∴GE= AE，.
∴当GE最短时，BE的长有最大值， ．
∵DC//AB，
∴当GE= DM = 6时，GE最短，BE的长有最大值，
最大值为：AB- AE= AB- GE=8-6= 2．
∴BE长的最大值为2．
故答案为：2．
【点拨】本题考查了平行四边形的性质、特殊角的三角函数数值、翻折变换、勾股定理，解题的关键是学会利用参数解决问题，学会用转化思想思考问题，属于中考填空题中的压轴题．
16．8．
【分析】根据y关于x的函数图象，得△ABC的面积为4，进而可得答案．
【详解】根据y关于x的函数图象，得△ABP的面积的最大值为4，即△ABC的面积是4，
∴S ABCD=2S△ABC=8．
故答案是：8．
【点拨】本题主要考查函数图象与几何图形的综合，掌握平行四边形的性质与函数图象的意义，是解题的关键．
17．
【分析】先确定和的长为确定的值，得到四边形的周长最小时，即为最小时，过点F作得平行四边形，知作点E关于对称点Q，连接则连接当三点共线时，的值最小，为得到最小为在中由勾股定理可得从而可求出结论．
【详解】解：∵
∴
∴
在中，
∴
∵
∴四边形的周长为，
要使四边形的周长最小，只要最小即可，
过点F作交于点P，则四边形是平行四边形，
∴
∵
∴
延长到点，使连接则
∴
∴
当三点共线时，的值最小，为
∴的最小值为
在中，
∴四边形的周长为
故答案为：
【点拨】本题考查轴对称-最短路线问题，解答中涉及三角形三边关系，勾股定理，能将周长和的最小值表示成一条线段的长与固定长度的和是解题的关键．
18．
【分析】根据的性质得到，，从而，由得，，由线段沿直线翻折，点A落在的F点处得，，，从而，即，故．
【详解】解：，
，，
，
，
，
线段沿直线翻折，点A落在的F点处，
，，
，
，
．
故答案为：．
【点拨】本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形性质、图形翻折变换、角的和差、三角形的内角和等知识，灵活运用这些知识解决问题是关键．
19．30
【分析】
根据等腰三角形性质及平行四边形性质求解即可得到答案．
【详解】解：，，
，
在中，根据三角形内角和定理可得，
在中，，则，
又，
，
在中，，
，
故答案为：．
【点拨】本题考查平行四边形背景下求角度，涉及等腰三角形性质、平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形性质是解决问题的关键．
20．5
【分析】由，可得，过点A作AG⊥BC于G，交ED延长线于K，过B作BH⊥ED于H，可得：四边形BGKH是矩形，即：，再根据三角形面积公式即可得到结论．
【详解】解：如图，过点A作AG⊥BC于G，交ED延长线于K，过B作BH⊥ED于H，
∵，
∴四边形DCFE是平行四边形
∴DE∥BC，DE=CF
∵BF=4CF
∴BC=3CF
∵AG⊥BC，BH⊥ED
∴AG⊥DE
∴∠AGB=∠GKH=∠BHK=90°
∴四边形BGKH是矩形，
∴BH=GK
∵AG=AK+KG
∴AG=AK+BH
∴S△ADE+S△BDE=DE AK+DE BH=DE（AK+GK）=CF AG
∵S△ABC=15，即：BC AG=15
∴×3CF AG=15
∴CF AG=5
∴S△ADE+S△BDE=5
故答案为：5．
【点评】本体考查了平行四边形性质及三角形面积，是一道基础几何计算题，解题关键能得到：两个阴影三角形的底和高分别与△ABC的底和高的数量关系．
21．/
【分析】过点D作于点N，过点D作直线l，使得，作点B关于直线l的对称点，连接，根据平行四边形对角线互相平分，易证，得出，进而得到，利用勾股定理求出，即，即可求出周长的最小值．
【详解】解：如图，过点D作于点N，过点D作直线l，使得，作点B关于直线l的对称点，连接，设交于点，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
，
直线l与直线之间的距离为1，
，
，
，
，
，
即的最小值为，
即周长的最小值为．
故答案为：．
【点拨】本题考查了对称的性质，两点之间线段最短，全等三角形的判定和性质，平行四边形的性质，勾股定理，证明是解题关键．
22．6
【分析】过作交延长线于点，则，证四边形为平行四边形得证为等腰直角三角形，利用勾股定理得，再根据等腰三角形的三线合一得及直角三角形的性质得，从而求得，再四边形是平行四边形，即可得解．
【详解】解：过作交延长线于点，则，
，
四边形为平行四边形，
，，
，
∴，
，
又四边形是等腰梯形，
，
，
为等腰直角三角形，
∴，
，
，即，
，
，，
∴，
，
，
，
，
，，
∴，
，
∴四边形是平行四边形，
．
故答案为：．
【点拨】本题主要考查了平行四边形的判定及性质，等腰三角形的判定及性质，等腰梯形的性质，勾股定理，熟练掌握平行四边形的判定及性质，等腰三角形的判定及性质以及等腰梯形的性质是解题的关键．
23．S=
【分析】分三种情况进行讨论：点P在BC上，点P在CD上，点P在AD上，分别依据三角形的面积计算公式，即可得到S与t的函数关系式．
【详解】解：（1）当点P在BC上运动时，即0≤t≤2时，
过点A作AH⊥BC于H，
∵AB=,∠B=45°，
∴AH=BH=1，
S=BP·AH=t·1=t；
（2）当点P在CD上运动时，即2S =S四边形ABCD=1；
（3）当点P在DA上运动时，即2+S=AP·AH=(4+－t)；
故答案为：S=.
【点拨】本题考查了三角形的面积以及动点函数的图象问题，解决本题的关键是进行分类讨论．
24．
【分析】过B作交延长线于G，于H，先证明是等腰直角三角形求得，设，则，，然后在中，利用勾股定理求得，进而求得；由翻折性质和等腰三角形的性质，结合平行线的性质求得，证明是等腰直角三角形，∴，然后在中，利用勾股定理求解即可．
【详解】解：过B作交延长线于G，过E作于H，则，

∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∵，
∴，
设，则，，
在中，由得，
解得，
∴；
由翻折性质得，，
∵，，
∴，
∴，
∵EH⊥BF，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
在中，．
故答案为：5，．
【点拨】本题考查平行四边形的性质、等腰三角形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、翻折性质、勾股定理等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用，添加辅助线构造直角三角形解决问题是解答的关键．
25．
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，角平分线的定义，解题的关键是掌握平行四边形的性质．由四边形是平行四边形，可得，可推出，，再结合和平分，可得，最后由和平行四边形的性质即可求解．
【详解】四边形是平行四边形，
，
，，
，
，
平分，
，
，
，
，
四边形为平行四边形，
，
．
26．(1)见详解
(2)
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定等知识，
（1）根据平行四边形的性质和折叠的性质证明，，，即可得到结果；
（2）根据题意可得，得到，再根据点与点重合，得到，结合三角形内角和定理即可得到结果；
【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，，
由折叠的性质可得，，，，
∴，，，
∵，，
∴，
∴；
（2）∵，四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵为折痕，点与点重合，
∴，
∴，
∴．
27．(1)
(2)40
【分析】（1）利用平行四边形的性质，平行线的性质，结合已知，等量代换，计算的度数即可．
（2）根据平行四边形的面积计算公式，计算即可．
本题考查了平行四边形的性质，平行线的性质，平行四边形的面积，熟练掌握性质和面积计算公式是解题的关键．
【详解】（1）∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，；
又∵，
∴，
∴，
∴．
（2）过点B 作于点G，
∵， 点E为边的中点，
∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
又∵，
∴，
又∵，
∴，
．
28．(1)见解析
(2)
【分析】（1）利用平行四边形的性质证明，，即可根据证明，则其对应边相等；
（2）首先推知；设．在中，利用勾股定理列出关于的方程，通过解方程求得答案．
本题考查的是利用平行四边形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质，结合三角形全等来解决有关线段相等的证明，熟练掌握相关图形的判定和性质是关键．
【详解】（1）证明：在平行四边形中，，，，，
．
点，分别为，的中点，
，．
．
在和中，
，
．
；
（2）解：∵，，
，则，
又，
，
．
设．
在中，，则，
在中，，
则，
解得．
，
．
．
29．(1) ，；
(2)；
(3)；
(4)的值为或．
【分析】()分别把代入，代入即可求解；
()利用待定系散法可求得直线的函数解析式；
()用可分别表示出的坐标，则可表示出与之间的关系式；
()由条件可知，利用平行四边形的性质可知，由()的关系式可得到关于的方程，解方程即可求得的值；
本题考查了待定系数法求一次函数解析式，坐标与图形，平行四边形的性质，掌握一次函数的图象和性质是解题的关键．
【详解】（1）解：当时，，
解得，
点，
过作轴于，
把代入中可得，
，
故答案为：，；
（2）解：∵直线与轴相交于，
可设直线解析式为，
把点坐标代入中可得，，
解得，
直线的函数解析式为；
（3）解：由题意可知，
把代入中可得，
，
把代入，可得，
，
∴，
点在线段上，且，
，
当时，，此时，
当时，，此时，
综上可得，；
（4）解：由题意可知，，
以，，，为顶点的四边形是平行四边形，
，
，
解得或，
即当的值为或时，以，，，为顶点的四边形是平行四边形．
30．(1)①；②，证明见解析
(2)
(3)1或7
【分析】（1）①根据全等三角形的性质和平行四边形的性质直接可以得出结论；
②利用等腰三角形的判定证，根据证明，根据全等三角形的性质，结合平行四边形的性质证明即可；
（2）利用证，再证全等三角形，结合平行四边形的性质即可得出结论；
（3）利用（1）、（2）的结论，把，代入计算即可．
【详解】（1）①，证明如下：
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
即；
②线段，，的数量关系是：，
证明：∵
∴，
∵，
∴，
∴
∴
由旋转可知：，，
∴，
∴
在和中
，
∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴
∴，
∵，
∴．
（2），证明如下：
∵
∴，
∵，
∴，，
∴
∴
由旋转可知：，，
∴，
∴
在和中
，
∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴
∴，
∵，
∴．
（3）如图①，∵四边形是平行四边形，
∴，
∴
∵
∴
中，，，
由，得；
如图②，，则，
中，，
∴，与矛盾，故图②中，不存在，的情况；
如图③，
∵四边形是平行四边形
∴
∴
∵
∴
中，，
∴
由知，．
综上，或7．
【点拨】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，平行四边形的性质，勾股定理，旋转的性质，综合运用相关的知识是解题的关键．