专题6.3 平行四边形的判定（知识梳理与考点分类讲解）（含解析）

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专题6.3 平行四边形的判定（知识梳理与考点分类讲解）
【知识点一】平行四边形的判定
两组对边分别平行的四边形是平行四边形；
两组对别分别相等的四边形是平行四边形；
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；
对角线互相平分的四边形是平行四边形.
特别指出：一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，两组邻边分别相等的四边形不一定是平行四边形.
【知识点二】两条平行线之间的距离
1.定义：如果两条直线互相平行，则其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离都相等，这个距离称为两条平行线之间的距离.
2.三种距离之间的区别与联系；
（1）两点间的距离：连接两点的线段的长度；
（2）点到直线的距离：点到直线的垂线段的长度；
（3）两条平行线间的距离：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的垂线段的长度；
（4）联系：三个概念实质上最后都归结为两点间的一条线段的长度.
3.性质：平行线间的距离处处相等。
4.拓展：
（1）夹在两条平行线间的平行线段相等；
（2）等底等高的平行四边形面积相等；
（3）平行四边形的面积等于底乘以高，通过面积公式往往利用等积性求线段的长.
【考点目录】
【考点1】平行四边形的证明； 【考点2】平行线之间距离；
【考点3】平行四边形性质与判定求解； 【考点4】平行四边形性质与判定证明；
【考点5】平行四边形性质的应用.
【考点1】平行四边形的证明；
【例1】（2024·新疆乌鲁木齐·二模）已知：如图，在平行四边形中，，分别是，的角平分线．
（1）求证：；
（2）求证：四边形是平行四边形．
【变式1】（21-22八年级下·湖北随州·期末）如图，四边形的对角线交于点O，已知，添加下列其中一个条件，能判定四边形为平行四边形的是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（22-23八年级下·福建福州·期中）如图，E，F是对角线BD上的两点，请你添加一个适当的条件： ，使四边形AECF是平行四边形．

【例2】（2024八年级下·全国·专题练习）如图，在中，连接，取中点O，过点O作直线，分别交于点E，F．
（1）求证：；
（2）连接，试说明四边形是平行四边形．
【变式1】（23-24八年级下·河北保定·阶段练习）已知，如图，平行四边形的对角线，相交于点，、是对角线上的两点，给出下列4个条件：①；②；③；④；其中不能判定四边形是平行四边形的有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【变式2】（2023·宁夏银川·模拟预测）对于平面内任意一个四边形，已知，现从以下四个关系式：①，②，③，④中任取一个作为条件，能够得出这个四边形是平行四边形的概率是 ．
【考点2】平行线之间距离；
【例3】（23-24八年级下·浙江宁波·期中）先观察图①，直线，点A，B在直线上，点在直线上．
（1）这些三角形的面积有怎样的关系？请说明理由．
（2）若把图②中的四边形改成一个三角形，并保持面积不变，可怎么改？请画图说明．
（3）把四边形改成一个以为一条底边的梯形或平行四边形，并保持面积不变，可怎么改，请在备用图中画图说明．
【变式1】（22-23八年级下·广东深圳·期末）如图，，直线与直线之间的距离为4，点是直线与外一点，点到直线的距离为2，点，分别是直线与直线上的动点，以点为圆心，的长为半径作弧，再以点为圆心，的长为半径作弧，两弧交于点，则点与点之间距离的最小值为（ ）

A．6 B．8 C．10 D．12
【变式2】（20-21八年级下·重庆渝中·期中）如图，平行四边形中，，°，将沿边折叠得到，交于，，则点到的距离为 ．
【考点3】平行四边形性质与判定求解；
【例4】（23-24八年级下·山东济南·期中）如图，在中，，将沿射线方向平移得到，点A、B、C的对应点分别是点D、E、F．
（1）若，求的度数．
（2）若，在平移过程中，当时，求的长．
【变式1】（23-24九年级下·江西上饶·阶段练习）已知，以点O为圆心，适当的长度为半径画弧，弧分别与的延长线，交于点B，C．以点C为圆心，的长为半径画弧，以点O为圆心，的长为半径画弧，两弧相交于点D，连，．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（23-24八年级下·湖南衡阳·阶段练习）如图，在内一动点，，连接并延长与交于点，连接并延长与交于点．若 ．
【考点4】平行四边形性质与判定证明；
【例5】（23-24八年级下·湖南郴州·期中）已知：如图，在平行四边形中，是对角线，，，垂足分别为点，，连接，．
（1）求证：．
（2）判断四边形的形状，并说明理由．
【变式1】（23-24八年级下·重庆·期中）下列说法正确的是（ ）
A．平行四边形是轴对称图形
B．平行四边形的对角线互相垂直平分
C．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
D．两组对边分别相等的四边形是平行四边形
【变式2】（2024·辽宁大连·一模）如图，已知，以点为圆心，与角的两边分别交于C，D两点，为圆心，大于，两条圆弧交于内一点，连接，过点作直线交于点，过点作直线交于点，则四边形的面积是 ．
【考点5】平行四边形性质与判定的应用；
【例6】（21-22八年级下·辽宁辽阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，过点，作直线，交轴于点．
（1）点的坐标为_________；求直线的表达式；
（2）若点为线段上一点，且的面积为，求点的坐标；
（3）在（2）的条件下，在平面内是否存在点，使以点，，，为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式1】（20-21八年级下·湖北荆门·期末）如图，在四边形ABCD中，BC//AD，∠ADC＝90°，点E沿着A→B→C的路径以2 cm/s的速度匀速运动，到达点C停止运动，EF始终与直线AB保持垂直，与AD或DC交于点F，记线段EF的长度为y cm，y与时间t（s）的关系图如图所示，则图中a的值为（　　）
A．7.5 B．7.8 C．8 D．8.5
【变式2】（22-23八年级下·浙江金华·期中）图1是四连杆开平窗铰链，其示意图如图2所示，为滑轨，为固定长度的连杆．支点A固定在上，支点B固定在连杆上，支点D固定在连杆上．支点P可以在上滑动，点P的滑动带动点的运动．已知，，，，．窗户在关闭状态下，点B、C、D、E都在滑轨MN上．当窗户开到最大时，．
（1）若，则支点P与支点A的距离为 cm；
（2）窗户从关闭状态到开到最大的过程中，支点P移动的距离为 cm．

专题6.3 平行四边形的判定（知识梳理与考点分类讲解）
【知识点一】平行四边形的判定
两组对边分别平行的四边形是平行四边形；
两组对别分别相等的四边形是平行四边形；
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；
对角线互相平分的四边形是平行四边形.
特别指出：一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，两组邻边分别相等的四边形不一定是平行四边形.
【知识点二】两条平行线之间的距离
1.定义：如果两条直线互相平行，则其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离都相等，这个距离称为两条平行线之间的距离.
2.三种距离之间的区别与联系；
（1）两点间的距离：连接两点的线段的长度；
（2）点到直线的距离：点到直线的垂线段的长度；
（3）两条平行线间的距离：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的垂线段的长度；
（4）联系：三个概念实质上最后都归结为两点间的一条线段的长度.
3.性质：平行线间的距离处处相等。
4.拓展：
（1）夹在两条平行线间的平行线段相等；
（2）等底等高的平行四边形面积相等；
（3）平行四边形的面积等于底乘以高，通过面积公式往往利用等积性求线段的长.
【考点目录】
【考点1】平行四边形的证明； 【考点2】平行线之间距离；
【考点3】平行四边形性质与判定求解； 【考点4】平行四边形性质与判定证明；
【考点5】平行四边形性质的应用.
【考点1】平行四边形的证明；
【例1】（2024·新疆乌鲁木齐·二模）已知：如图，在平行四边形中，，分别是，的角平分线．
（1）求证：；
（2）求证：四边形是平行四边形．
【分析】此题考查了平行四边形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，角平分线的概念，
（1）首先根据四边形是平行四边形得到，，，然后由角平分线的概念得到，然后证明出即可；
（2）首先由四边形是平行四边形得到，然后由得到，进而证明出四边形是平行四边形．
（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
，分别是，的角平分线，
，，
在和中，
∴；
（2）∵四边形是平行四边形，
，，即
又，
，
，
∴
又
∴四边形是平行四边形．
【变式1】（21-22八年级下·湖北随州·期末）如图，四边形的对角线交于点O，已知，添加下列其中一个条件，能判定四边形为平行四边形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由平行线的判定及平行四边形的判定定理即可得出结论．
解∶A．由不能得到AD=BC， 由也不能得到，故A项错误，不符合题意；
B．由得，结合，可得四边形为平行四边形，故B项正确，符合题意；
C．由不能得到AD=BC或， 由也不能得到OA=OC，故C项错误，不符合题意；
D．由 不能得到AD=BC， 故D项错误，不符合题意；
故选∶B．
【点拨】本题考查了平行四边形的判定，熟记“一组对边平行且相等的四边形为平行四边形”是解题的关键．
【变式2】（22-23八年级下·福建福州·期中）如图，E，F是对角线BD上的两点，请你添加一个适当的条件： ，使四边形AECF是平行四边形．

【答案】或或．
【分析】用反推法，假如四边形是平行四边形，会推出什么结果，这结果就是要添加的条件．
解：使四边形是平行四边形．就要使，，就要使，而在平行四边形中已有，，再加一个或可用证，或用证．
故答案为：或或．
【点拨】本题考查了平行四边形的判定与性质，本题是开放题，答案不唯一，可以针对各种特殊的平行四边形的判定方法，给出条件，本题主要是通过给出证明的条件来得到，，根据四边形中一组对边平行且相等就可证明为是平行四边形．
【例2】（2024八年级下·全国·专题练习）如图，在中，连接，取中点O，过点O作直线，分别交于点E，F．
（1）求证：；
（2）连接，试说明四边形是平行四边形．
【分析】此题重点考查平行四边形的判定与性质、平行线的性质、全等三角形的判定与性质等知识，证明是解题的关键．
（1）由平行四边形的性质得，则，而，，即可证明，得；
（2）由，可根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”说明四边形是平行四边形．
（1）证明：∵四边形是平行四边形，
，
，
∵O为中点，
，
在和中，
，
，
．
（2）如图：连接，
由（1）得，
，
∴四边形是平行四边形．
【变式1】（23-24八年级下·河北保定·阶段练习）已知，如图，平行四边形的对角线，相交于点，、是对角线上的两点，给出下列4个条件：①；②；③；④；其中不能判定四边形是平行四边形的有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】C
【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线的性质等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．若是四边形的对角线互相平分，可证明这个四边形是平行四边形，②③不能证明对角线互相平分，只有①④可以，即可得出结论．
解：四边形是平行四边形，
，，，，，，
①，
则四边形是平行四边形；
故①能判定四边形是平行四边形；
②时，不能证明，
故②不能判定四边形是平行四边形；
③时，不能证明，
故③不能判定四边形是平行四边形；
④，
，
在和中，
，
，
，
，即，
又，
四边形是平行四边形；
故④能判定四边形是平行四边形；
故选：C
【变式2】（2023·宁夏银川·模拟预测）对于平面内任意一个四边形，已知，现从以下四个关系式：①，②，③，④中任取一个作为条件，能够得出这个四边形是平行四边形的概率是 ．
【答案】
【分析】本题考查了概率公式的应用，平行四边形的判定；
从四个条件中选一个共有4种可能，根据平行四边形的判定判断出符合题意的情况数，然后根据概率公式可得答案．
解：从四个条件中选一个共有4种可能，
选择①，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得四边形是平行四边形；
选择②，不能判定四边形是平行四边形；
选择③，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可得四边形是平行四边形；
选择④，如图，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形；
综上，选择①、③和④可以得出四边形是平行四边形，所以其概率为，
故答案为：．
【考点2】平行线之间距离；
【例3】（23-24八年级下·浙江宁波·期中）先观察图①，直线，点A，B在直线上，点在直线上．
（1）这些三角形的面积有怎样的关系？请说明理由．
（2）若把图②中的四边形改成一个三角形，并保持面积不变，可怎么改？请画图说明．
（3）把四边形改成一个以为一条底边的梯形或平行四边形，并保持面积不变，可怎么改，请在备用图中画图说明．
【答案】(1)这些三角形的面积相等，理由见解析；(2)见解析；(3)见解析
【分析】本题主要考查了平行线的性质，平行四边形的性质与判定：
（1）根据平行线间间距相等即可得到结论；
（2）①连接，②过点D作的平行线，与的延长线交于点E③连接，则就是适合条件的一个三角形．
（3）第一步，把四边形等积变成以为一条边的，①、连接，②、过C作交的延长线于E，③、连接．④、作出的高，⑤、作的垂直平分线，交于G，交于O，⑥、过B作，交于F．由作法知是平行四边形，因为它的高，所以与三角形等面积，也就与四边形等积．补充方法：梯形与四边形等积．（）．
（1）解：这些三角形的面积相等，理由如下：
∵，
∴的底边上的高相等，
∴这4个三角形同底，等高，
∴这些三角形的面积相等．
（2）解：如图2：
①连接，
②过点D作的平行线，与的延长线交于点E
③连接，
就是适合条件的一个三角形．
理由如下：由，可得和的面积相等（同底等高），
∴四边形与面积相等．
（3）解：
第一步，把四边形等积变成以为一条边的，
①、连接，
②、过C作交的延长线于E，
③、连接．
因为与面积相等，所以与四边形面积相等．
第二步，把面积变成以为底边的平行四边形的面积，
④、作出的高，
⑤、作的垂直平分线，交于G，交于O，
⑥、过B作，交于F．
由作法知是平行四边形，因为它的高，所以与三角形等面积，也就与四边形等积．
补充方法：梯形与四边形等积．（）．
【变式1】（22-23八年级下·广东深圳·期末）如图，，直线与直线之间的距离为4，点是直线与外一点，点到直线的距离为2，点，分别是直线与直线上的动点，以点为圆心，的长为半径作弧，再以点为圆心，的长为半径作弧，两弧交于点，则点与点之间距离的最小值为（ ）

A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】B
【分析】根据作图可知四边形是平行四边形，连接，根据垂线段最短，得到当与直线和直线垂直时，点与点之间距离最短，即可得出结论．
解：如图：由作图可知，四边形是平行四边形，

∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴点到直线的距离等于点到直线的距离，
∴点到直线的距离为2，
连接，则：当与直线和直线垂直时，点与点之间距离最短，
即：；
故选B．
【点拨】本题考查平行四边形的判定和性质．解题的关键是根据作图得出四边形是平行四边形．
【变式2】（20-21八年级下·重庆渝中·期中）如图，平行四边形中，，°，将沿边折叠得到，交于，，则点到的距离为 ．
【答案】/
【分析】过作于，根据等腰直角三角形的性质得到，根据折叠的性质得到，，求得，解直角三角形得到，，根据平行线的性质得到，推出，根据全等三角形的性质得到，求得，过作于，根据直角三角形的性质即可得到结论．
解：过作于，
，
是等腰直角三角形，
，
将沿边折叠得到，
，，
，
，
，，
平行四边形中，，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，，
过作于，
，
故答案为：．
【点拨】本题主要考查了翻折变换的性质及其应用问题，全等三角形的判定和性质，平行四边形的性质，解直角三角形，作出常用的辅助线是解题的关键．
【考点3】平行四边形性质与判定求解；
【例4】（23-24八年级下·山东济南·期中）如图，在中，，将沿射线方向平移得到，点A、B、C的对应点分别是点D、E、F．
（1）若，求的度数．
（2）若，在平移过程中，当时，求的长．
【答案】(1)； (2)或
【分析】本题考查平移的基本性质，平行四边形的性质和判定等相关知识点，掌握平移的性质是解决问题的关键．
（1）根据平移的性质得到，，得到四边形是平行四边形，进而求解即可；
（2）根据平移的性质得到，设，则，，分点E在点C左侧和点E在点C右侧两种情况讨论，分别列方程求解即可．
（1）∵沿射线方向平移，得到，
∴，，
∴四边形是平行四边形，
∴．
（2）∵沿射线方向平移，得到，
∴，
设，则．
∵．
∴．
∵，当点E在点C左侧时，
∴，
解得，即的长为6．
当点E在点C右侧时，同理可得，，
解得，
综上所述，或12．
【变式1】（23-24九年级下·江西上饶·阶段练习）已知，以点O为圆心，适当的长度为半径画弧，弧分别与的延长线，交于点B，C．以点C为圆心，的长为半径画弧，以点O为圆心，的长为半径画弧，两弧相交于点D，连，．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查等腰三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，根据作图得到，，进而推出平分，即可得出结论．
解：由作图可知：，，
∴四边形为平行四边形，，
∴，
∴，
∴平分，
∴；
故选B．
【变式2】（23-24八年级下·湖南衡阳·阶段练习）如图，在内一动点，，连接并延长与交于点，连接并延长与交于点．若 ．
【答案】/45度
【分析】过点F作平行线，过点E作平行线，交于点H，连接，构造，再证明，根据全等三角形的性质即可求解．
解：过点F作平行线，过点E作平行线，交于点H，连接，
∵，
∴四边形是平行四边形，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
即，
∵，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，正确添加辅助线构造平行四边形是解题的关键．
【考点4】平行四边形性质与判定证明；
【例5】（23-24八年级下·湖南郴州·期中）已知：如图，在平行四边形中，是对角线，，，垂足分别为点，，连接，．
（1）求证：．
（2）判断四边形的形状，并说明理由．
【答案】(1)见解析； (2)四边形为平行四边形，理由见解析
【分析】此题考查了平行四边形的性质和判定、全等三角形的判定与性质、熟练掌握平行四边形的判定是解题的关键．
（1）由在平行四边形中，，，证得，可得出结论；
（2）可得出，，则可证得四边形是平行四边形．
（1）证明：四边形是平行四边形，
，，
，
，，
，
，
；
（2）解：四边形为平行四边形，理由如下：
，，
，
，
又由（1）可知：，
四边形为平行四边形．
【变式1】（23-24八年级下·重庆·期中）下列说法正确的是（ ）
A．平行四边形是轴对称图形
B．平行四边形的对角线互相垂直平分
C．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
D．两组对边分别相等的四边形是平行四边形
【答案】D
【分析】本题考查的是平行四边形的性质与判定，根据平行四边形的性质可判断A，B，根据平行四边形的判定可判断C，D，从而可得答案．
解：平行四边形是中心对称图形，原描述错误，故A不符合题意；
平行四边形的对角线互相平分，原描述错误，故B不符合题意；
一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，原描述错误，故C不符合题意；
有两组对角相等的四边形是平行四边形，描述正确，故D符合题意；
故选D．
【变式2】（2024·辽宁大连·一模）如图，已知，以点为圆心，与角的两边分别交于C，D两点，为圆心，大于，两条圆弧交于内一点，连接，过点作直线交于点，过点作直线交于点，则四边形的面积是 ．
【答案】
【分析】本题考查了基本作图，掌握平行四边形的判定定理，勾股定理及平行四边形的面积公式是解题的关键．过作于，再判定四边形为平行四边形，再根据勾股定理求出边和高，最后求出面积．
解：过作于，
由作图得：平分，
，
，
，
，
是平行四边形，，
，
，
设，
在中，，
即：，
解得：，
∴．
故答案为：．
【考点5】平行四边形性质与判定的应用；
【例6】（21-22八年级下·辽宁辽阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，过点，作直线，交轴于点．
（1）点的坐标为_________；求直线的表达式；
（2）若点为线段上一点，且的面积为，求点的坐标；
（3）在（2）的条件下，在平面内是否存在点，使以点，，，为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，； (2)；(3)存在，点的坐标为或或．
【分析】（1）先求出A、B坐标，求得OA、OB长，再过点C作CG⊥x轴于G，证明△AOB≌△CGA(AAS)，得AG=OB，CG=OA，即可求得点C坐标，然后用待定系数法求出直线BC解析式即可；
（2）过点作轴于点，根据，求出EF长即得点E的纵坐标，再代入解格式求出横坐标即可求解；
（3）分三种情况：①当AB、AE为平行四边形的边，BE为对角线时，则，②当AB、BE为平行四边形的边，AE为对角线时，则，③当BE、AE为平行四边形的边，AB为对角线时，则，利用平行四边形的性质，由平移性质求解即可．
（1）解：在中，当时，，当y=0时，x=1，
∴，A(1,0),
∴OB=3，OA=1，
过点C作CG⊥x轴于G，如图，
由旋转可得∠BAC=90°，AB=AC，
∵∠OAB+∠BAC +∠GAC=180°，
∴∠OAB+∠GAC=90°，
∵∠AOB=90°，
∴∠ABO+∠OAB=90°，
∴∠ABO=∠GAC，
在△AOB与△GFA中，
，
∴△AOB≌△CGA(AAS)，
∴AG=OB=3，CG=OA=1，
∴OG=OA+AG=1+3=4，
∴C(4,1)，
设直线解析式为，把点，代入可得
，解得，
∴直线解析式为；
故答案为：(4,1)；
（2）解：过点作轴于点，
在中，当时，，当时，，在中，当时，，
∴，，，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
把代入，得，
∴；
（3）解：分三种情况：如图，
①当AB、AE为平行四边形的边，BE为对角线时，则，
∴BP1AE，BP1=AE，BP1是平移AE得到的，
∵，，
∴BP1是AE向左平移1个单位，向上平移3个单位得到的，
∵E(2,2)，
∴P1(1,5)；
②当AB、BE为平行四边形的边，AE为对角线时，则，
∴AP2BE，AP2=BE，AP2是平移BE得到的，
∵，，
∴AP2是BE向右平移1个单位，向下平移3个单位得到的，
∵E(2,2)，
∴P2(3,-1)；
③当BE、AE为平行四边形的边，AB为对角线时，则，
∴BP3AE，BP3=AE，
∴BP3是平移AE得到的，
∵，，
∴BP3是AE向左平移2个单位，向上平移1个单位得到的，
∵，
∴P3(-1, 1)；
综上，点的坐标为或或
【点拨】本题考查全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定性质，待定系数法求一次函数解析式，平移的性质，旋转的性质，本题属一次函数与特殊图形综合题目，熟练掌握相关性质与判定是解题的关键．
【变式1】（20-21八年级下·湖北荆门·期末）如图，在四边形ABCD中，BC//AD，∠ADC＝90°，点E沿着A→B→C的路径以2 cm/s的速度匀速运动，到达点C停止运动，EF始终与直线AB保持垂直，与AD或DC交于点F，记线段EF的长度为y cm，y与时间t（s）的关系图如图所示，则图中a的值为（　　）
A．7.5 B．7.8 C．8 D．8.5
【答案】B
【分析】由图象可知，点E从点A运动到点B用了4 s，可得AB＝8 cm，此时BM＝EF＝6 cm，根据勾股定理可得AM＝10 cm；当t＝6时，EF＝6 cm，可得DN＝6 cm，根据三角形ABM的面积求得BG＝4.8 cm，即得CD＝4.8 cm，由勾股定理可得CN＝3.6 cm，进而得出a的值．
解：如图所示，作BM⊥AB，交AD于点M，作BG⊥AD，交AD于点G，作DN//BM，交BC于点N．
由题意可知，AB＝4×2＝8 cm，BM＝6 cm，
∴AM＝ cm，
∴ cm．
∵∠ADC＝90°，∠BGA＝90°，∴BG//CD．
∵BC//GD，∴四边形BCDG是平行四边形，∴DC＝BG＝4.8 cm．
同理可得，DN＝BM＝6 cm，
∴CN＝ cm，
∴a＝6+3.6÷2＝7.8．
故选：B．
【点拨】本题考查动点-函数图象问题及平行你四边形的性质与判定．根据函数图象得出图形中的相关线段信息，建立图形与图象的联系是解题的关键．
【变式2】（22-23八年级下·浙江金华·期中）图1是四连杆开平窗铰链，其示意图如图2所示，为滑轨，为固定长度的连杆．支点A固定在上，支点B固定在连杆上，支点D固定在连杆上．支点P可以在上滑动，点P的滑动带动点的运动．已知，，，，．窗户在关闭状态下，点B、C、D、E都在滑轨MN上．当窗户开到最大时，．
（1）若，则支点P与支点A的距离为 cm；
（2）窗户从关闭状态到开到最大的过程中，支点P移动的距离为 cm．

【答案】 12
【分析】（1）先证四边形是平行四边形，推出，再根据勾股定理解即可；
（2）当窗户开到最大时，，根据勾股定理解求出；当关闭状态下，，由此可解．
解：（1），，
四边形是平行四边形，
，
，
，，
．
故答案为：；
（2）当窗户开到最大时，，，
，
，
，，
；
当关闭状态下，，
窗户从关闭状态到开到最大的过程中，支点P移动的距离为，
故答案为：12．
【点拨】本题考查平行四边形的实际应用、勾股定理等，解题的关键是掌握平行四边形的性质，从根据实际情况构建数学模型．