吉林省敦化市实验中学校2023-2024学年高二上学期期末考试数学试题（含解析）

敦化市实验中学校2023～2024学年度高二年级第一学期期末考试
数学
全卷满分150分，考试时间120分钟。
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚。
4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交。
5．本卷主要考查内容：选择性必修第一册，选择性必修第二册第四章4．1～4．3．1。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．等比数列中，，，则等于（ ）
A．256 B． C．128 D．
2．若双曲线的实轴长为4，则正数（ ）
A． B．2 C． D．
3．已知是等差数列的前项和，且，则（ ）
A．30 B．60 C．90 D．180
4．已知直线：，直线，则直线的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
5．已知点，，，且四边形是平行四边形，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
6．已知圆：上任意一点关于直线的对称点也在圆上．则实数（ ）
A．4 B．6 C． D．
7．已知，抛物线：的焦点为，是抛物线上任意一点，则周长的最小值为（ ）
A． B． C． D．
8．已知双曲线：（，）的左，右焦点分别为，，为坐标原点，点是双曲线上的一点，，且的面积为4，则实数（ ）
A． B．2 C． D．4
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．已知两条平行直线，，直线：，直线：，直线，之间的距离为1，则的值可以是（ ）
A． B． C．12 D．14
10．已知为等差数列的前项和，且，，则下列结论正确的是（ ）
A． B．为递减数列
C． D．
11．如图，在直三棱柱中，，，为上一点，为上一点，，，则（ ）
A．直线和为异面直线 B．异面直线与的夹角为
C． D．
12．已知抛物线：，点是抛物线准线上的一点，过点作抛物线的切线，切点分别为，，直线，的斜率分别为，，则下列说法正确的是（ ）
A．直线恒过定点 B．
C． D．的面积最小值为16
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．双曲线的渐近线方程为_________．
14．在等比数列中，，公比．若，则的值为_________．
15．已知椭圆：的左、右焦点分别为，，点是椭圆上的一点，则的最大值为_________．
16．已知直线：与曲线恰有两个不同的公共点，则实数的取值范围是_________．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．
17．（本小题满分10分）
已知的三个顶点分别为，，．
（1）求的面积；
（2）求的外接圆的方程．
18．（本小题满分12分）
已知等差数列的前项和为，，．
（1）求的通项公式；
（2）若，求数列的前项和．
19．（本小题满分12分）
已知抛物线：经过点（为正数），为抛物线的焦点，且．
（1）求抛物线的标准方程；
（2）若点为抛物线上一动点，点为线段的中点，求点的轨迹方程．
20．（本小题满分12分）
如图，在正三棱柱中，底面边长为2，，为的中点，点在棱上，且．
（1）证明：平面；
（2）求平面与平面的夹角的大小．
21．（本小题满分12分）
已知椭圆：的离心率为，左、右焦点分别为，，点在椭圆上．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点作斜率为的直线与椭圆相交于，两点，过原点作直线的垂线，垂足为．若点恰好是与的中点，求线段的长度．
22．（本小题满分12分）
在平面直角坐标系中，已知双曲线：（，）的右焦点为，一条渐近线的倾斜角为，点在双曲线上．
（1）求双曲线的标准方程；
（2）若点在直线上，点在双曲线上，且焦点在以线段为直径的圆上，分别记直线，的斜率为，，求的值．
参考答案、提示及评分细则
1．A
2．A 由双曲线实轴长为4，有，又，．故选A．
3．C ，解得，所以，故选C．
4．D ：，的斜率，又，的斜率，的倾斜角为．故选D．
5．C 由线段和共中点，的中点为，可得点的坐标为，故选C．
6．B 圆：的标准方程为，所以直线经过圆心，即，解得．故选B．
7．C 抛物线的准线，过点作垂直于准线，由题可知，的周长为，，易知当，，三点共线时，的周长最小，且最小值为．故选C．
8．C 因为的面积为4，所以的面积为8．又，所以，所以．设，，所以，，所以，所以，又，所以．故选C．
9．BD 根据题意得直线可化为，，之间的距离，，或．故选BD．
10．ACD 设等差数列的公差为，因为，，所以，解得，所以，故A正确；
因为，所以为递增数列，故B错误；
由，，有，故C正确；
，故D正确．故选ACD．
11．BCD 由，可得，，，四点共面，直线和共面，故选项A错误；
由，可得异面直线与的夹角为，故选项B正确；
由，，有，有，有，有，有，故选项C正确；
由向量，，两两垂直，有，有，故选项D正确．故选BCD．
12．ACD 设，，，因为，所以，，所以在点处的切线方程为，即．同理可得，在点处的切线方程为．所以，，直线的方程为，直线恒过定点．故A正确；由得，所以，，所以，，故B错误，C正确；，点到直线的距离，所以的面积，所以．故D正确．故选ACD．
13． 双曲线的渐近线方程为．
14．7 因为且，，所以，所以．
15．25 因为点是椭圆上的一点，所以，所以，当且仅当，即，时等号成立．
16． 由，得，其图象是以为圆心3为半径的圆的上半部分，直线：是过点的直线，作出图象，如图所示：
易得直线的斜率为，直线的斜率为，所以实数的取值范围是．
17．解：（1），
直线的方程为，即，
所以点到直线的距离，
所以的面积；
（2）设的外接圆的方程为，则
解得所以的外接圆的方程为．
18．解：（1）设的公差为，所以
解得所以；
（2）由（1）知，，
所以．
19．解：（1）由抛物线：经过点，可得，可得，
又，可得，解得，，
故抛物线的标准方程为；
（2）由（1）知：，则，
设，，根据点为线段的中点，
可得即
由点为抛物线上一动点，可得，
整理可得点的轨迹方程为．
20．（1）证明：在矩形中，，，，为的中点，
所以，，所以，
因为是正三角形，为的中点，所以，
又因为是正三棱柱，所以平面，
而平面，所以，
而，，平面，所以平面，
因为平面，所以，
因为，，平面，，，
所以平面；
（2）解：如图，以的中点为坐标原点建立空间直角坐标系，
则，，，，
则，由（1）知为平面的一个法向量，
有，，设为平面的法向量，
则令，则，，所以，
所以，
所以平面与平面的夹角大小为．
21．解：（1）设椭圆的焦距为，因为，所以，
所以，有，可得椭圆的方程为，
代入点，有，可得，
所以椭圆的标准方程为；
（2）设，，由椭圆的对称性，不妨设，
由，为的中点，可得，
又由，若为椭圆的上顶点，有，
故点，重点，直线的方程为，
由，得，所以，，
所以．
22．解：（1）由双曲线的一条渐近线的倾斜角为，
有，可得，
又由点在双曲线上，代入双曲线的方程，有，
联立方程解得故双曲线的标准方程为；
（2）设点的坐标为，设点的坐标为，
由点在双曲线上，有，
又由点在以线段为直径的圆上，可得，
由，有，，有，可得，
又由，
，有，故的值为．