2023-2024学年甘肃省武威市凉州区高一（下）期中数学试卷（含解析）

2023-2024学年甘肃省武威市凉州区高一（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知向量，若，则( )
A. B. C. D.
2.已知是虚数单位，则复数的虚部是( )
A. B. C. D.
3.八卦是中国文化中的哲学概念，图是八卦模型图，其平面图形记为图中的正八边形，其中，给出下列结论：
；
；
；
．
其中正确的结论为( )
A. B. C. D.
4.等于( )
A. B. C. D.
5.在中，，则( )
A. B. C. D.
6.一物体受到相互垂直的两个力、的作用，两力大小都为，则两个力的合力的大小为( )
A. B. C. D.
7.已知，是单位向量，，则与的夹角为( )
A. B. C. D.
8.在中，若，，，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.关于复数，给出下列命题正确的是( )
A. B.
C. D. ．
10.下列命题的判断正确的是( )
A. 若向量与向量共线，则，，，四点在一条直线上
B. 若，，，四点在一条直线上，则向量与向量共线
C. 若，，，四点不在一条直线上，则向量与向量不共线
D. 若向量与向量共线，则，，三点在一条直线上
11.下列函数中，以为最小正周期，且在区间上单调递增的是( )
A. B. C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.复数的共轭复数是______．
13.若，则 ______， ______
14.已知，，，若，，三点共线，则，的关系式为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知复数，为虚数单位．
当时，求复数的值；
若复数在复平面内对应的点位于第三象限，求的取值范围．
16.本小题分
已知，在下列条件下求：
向量与平行时；
向量与的夹角为；
向量与垂直时．
17.本小题分
已知，．
求的值；
求的值．
18.本小题分
已知，，求的值．
19.本小题分
已知．
求函数的最小正周期；
已知，均为锐角，，，求的值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：向量，且，
则，
所以．
故选：．
利用向量共线的坐标表示，列式计算作答．
本题主要考查了平行向量的坐标关系，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：，
复数的虚部为．
故选：．
根据复数的乘除法运算法则，计算可得答案．
本题主要考查复数的四则运算，以及复数的概念，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：：，故结论错误；
：由正八边形性质知：，，设，如图所示：
因为，所以为中点，所以，
因为，所以，所以，
又，所以，故结论正确；
：由正八边形性质知：且，即，
所以，
又，所以，故结论正确；
：，故结论正确．
故选：．
根据图形关系，根据向量线性运算的运算法则依次判断各个选项即可．
本题主要考查平面向量基本定理，命题真假的判断，考查运算求解能力，属于中档题．
4.【答案】
【解析】解：
．
故选：．
利用诱导公式及和差角公式即得．
本题考查诱导公式及两角和的余弦公式的应用，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：中，，
所以，
由正弦定理得，
即，解得．
故选：．
由三角形内角和可得角的大小，然后由正弦定理可得的大小．
本题考查正弦定理的应用，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：根据平行四边形定则，两个合力的大小为：
，
故选：．
根据向量加法的平行四边形法则，结合勾股定理，即可得出答案．
本题考查向量的运算，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：由，可得，
即，
又，，
，
，
．
故选：．
由数量积性质，直接将向量的模转化为向量的数量积进行运算，解出夹角余弦值，进而根据范围求角．
本题考查平面向量数量积运算及性质，属基础题．
8.【答案】
【解析】解：，，，
由余弦定理可得：．
故选：．
由已知及余弦定理即可求值得解．
本题主要考查了余弦定理的应用，属于基础题．
9.【答案】
【解析】解：不全是实数的两个复数不能比较大小，故AC错误；
因为，因此，故B正确；
因为，因此，故D正确．
故选：．
利用复数的意义判断；利用复数的乘方计算判断；计算复数的模判断作答．
本题主要考查了复数的运算和模长公式，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：对于，在平行四边形中，，满足与共线，而，，，四点不共线，故A错误；
对于，，，，四点在一条直线上，则与方向相同或相反，即与共线，故B正确；
对于，平行四边形中，满足，，，四点不共线，有，即向量与共线，故C错误；
对于，向量与共线，而向量与有公共点，因此，，三点在一条直线上，故D正确．
故选：．
根据给定条件，利用共线向量的意义逐项判断作答．
本题考查的知识点：向量共线的充要条件，主要考查学生的运算能力，属于基础题．
11.【答案】
【解析】解：对于：函数的最小正周期为，在区间上单调递增，故A正确；
对于：函数的最小正周期为，在区间上单调递减，故B错误；
对于，函数的最小正周期为，在区间上单调递增，故C正确；
对于：函数的最小正周期为，在区间上先减后增，故D错误．
故选：．
直接利用函数的周期性和单调性的应用求出结果．
本题主要考查了三角函数的周期性和单调性，属于基础题．
12.【答案】
【解析】解：复数，
根据复数共轭复数的定义可知复数的共轭复数为．
故答案为：．
根据共轭复数的定义即可得到结论．
本题主要考查复数的有关概念，比较基础．
13.【答案】
【解析】解：因为，所以，
所以．
故答案为：；．
利用正切的和角及倍角公式，再利用条件即可求出结果．
本题主要考查二倍角的正切公式及两角和的正切公式，考查运算求解能力，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：由，，可得：，
因为，，三点共线，所以，
所以，整理得：．
故答案为：．
由，，三点共线，可得，利用向量共线的充要条件即可得到，的关系式．
本题考查的知识点：向量共线的充要条件，主要考查学生的运算能力，属于基础题．
15.【答案】解：当时，，故；
若复数在复平面内对应的点位于第三象限，
则，解得，
的取值范围为．
【解析】代入，根据复数的乘法求解即可；
根据第三象限实部为负，虚部为负求解不等式即可．
本题考查了复数的基本概念，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．
16.【答案】解：当向量与平行时，向量与的夹角为或，
当向量与的夹角为时，；
当向量与的夹角为时，，
综上，．
当向量与的夹角为时，．
当向量与垂直时，向量与的夹角为，
所以．
【解析】根据向量数量积的定义逐一求解即可．
本题考查平面向量数量积的运算，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．
17.【答案】解：，，
，
；
，，
，，
，
，
．
【解析】本题考查由一个三角函数值求其他三角函数值、两角和与差的余弦公式、两角和与差的正弦公式、二倍角正弦公式，属于中档题．
利用同角三角函数平方关系求出，结合两角和差的三角函数公式，求解即可得出答案；
先根据求出，从而得到，利用二倍角公式求出，利用同角三角函数平方关系，求出，结合两角和差的三角函数公式，求解即可得出答案．
18.【答案】解：，
得
所以
从而得．
【解析】利用正弦的和差角公式，弦化切化简即可求解．
本题考查了两角和与差的三角函数公式的应用，属于基础题．
19.【答案】解：
，
故函数的最小正周期；
，
则，解得，
，均为锐角，，
，，
．
【解析】根据已知条件，结合三角函数的恒等变换，以及最小正周期公式，即可求解；
根据已知条件，结合三角函数的同角公式，以及正弦的两角差公式，即可求解．
本题主要考查三角函数的恒等变换，考查转化能力，属于中档题．
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