2023-2024学年河南省周口市鹿邑县高一（下）期中数学试卷（含解析）

2023-2024学年河南省周口市鹿邑县高一（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数满足是虚数单位，则( )
A. B. C. D.
2.已知圆台上下底面圆的半径分别为，，母线长为，则该圆台的侧面积为( )
A. B. C. D.
3.向量，，若，则( )
A. B. C. D.
4.如图所示的粮仓可以看成圆柱体与圆锥体的组合体，设圆锥部分的高为米，圆柱部分的高为米，底面圆的半径为米，则该组合体体积为( )
A. 立方米 B. 立方米 C. 立方米 D. 立方米
5.已知向量，，且，则( )
A. B. C. D.
6.已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个四分之一圆，则该圆锥的母线长为( )
A. B. C. D.
7.已知，，若为虚数单位，则实数的取值范围是( )
A. 或 B. 或 C. D.
8.已知向量，，则“”是“向量与的夹角为锐角”的( )
A. 充要条件 B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法错误的是( )
A. 过球心的截面是半径等于球的半径的圆面
B. 有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体一定是棱柱
C. 正四棱锥的侧面都是正三角形
D. 有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台
10.如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，下列结论正确的是( )
A. 圆柱的侧面积为 B. 圆锥的侧面积为
C. 圆柱的侧面积与球面面积相等 D. 三个几何体的表面积中，球的表面积最小
11.在中，，若满足条件的三角形有两个，则边的取值可能是( )
A. B. C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，，三点在半径为的球的表面上，是边长为的正三角形，则球心到平面的距离为______．
13.如图，在圆柱内有一个球，该球与圆柱的上下底面及母线均相切，已知圆柱的底面半径为，则圆柱的体积为______．
14.在中，、分别为边、的中点．为边上的点，且，若，，，则 ______， ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知，其中为虚数单位．
若为纯虚数，求实数的值；
若其中是复数的共轭复数，求实数的取值范围．
16.本小题分
如图，已知圆锥的顶点为，是底面圆心，是底面圆的直径，，．
求圆锥的表面积；
经过圆锥的高的中点作平行于圆锥底面的截面，求截得的圆台的体积．
17.本小题分
已知平行四边形中，，，，点是线段的中点．
求的值；
若，且，求的值．
18.本小题分
已知函数．
求函数的单调递增区间；
在中，角，，所对的边分别为，，，若，且，求周长的范围．
19.本小题分
已知中，，，分别为内角，，的对边，且．
求角的大小；
设点为上一点，是的角平分线，且，，求的面积．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：因为，所以，
所以．
故选：．
利用复数的除法运算求出复数，再利用模长公式计算即可．
本题考查复数的运算，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：圆台上下底面圆的半径分别为，，母线长为，
所以圆台的侧面积为．
故选：．
根据圆台的侧面积公式计算即可．
本题考查了圆台的侧面积计算问题，是基础题．
3.【答案】
【解析】解：由于向量，，且，则，解得．
故选：．
直接利用向量垂直的充要条件求出结果．
本题考查的知识要点：向量垂直的充要条件，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：由题知底面圆的半径，圆柱高，圆锥高，
圆柱体积，
圆锥的体积，
该组合体体积为立方米．
故选：．
由题知底面圆的半径为，圆柱高，圆锥高，代入圆柱、圆锥体积公式，能求出结果．
本题考查圆柱、圆锥的体积公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
5.【答案】
【解析】解：已知向量，，且，
则，
即，
即，
则，，
则，
故选：．
先由向量数量积的坐标运算求出，然后结合向量模的运算求解即可．
本题考查了向量数量积的坐标运算，重点考查了向量模的运算，属基础题．
6.【答案】
【解析】解：根据题意，设圆锥的母线长为，由于圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长，
则有，解得．
故选：．
根据题意，设圆锥的母线长为，根据圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长可求得的值，即为所求．
本题考查圆锥的结构特征，涉及圆锥的侧面展开图，属于基础题．
7.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了复数的理解和应用，解题的关键是掌握虚数不能比较大小这个知识点，属于基础题．
利用虚数不能比较大小，得到为实数，列式求解即可．
【解答】
解：因为，
根据虚数不能比较大小，可得为实数，
所以且，即，解得或．
故选：．
8.【答案】
【解析】解：由题意，若，则有，解得，
若向量与的夹角为锐角，则有且，
所以且，解得，
故“”是“向量与的夹角为锐角”的必要不充分条件．
故选：．
将向量夹角为锐角转化为两向量数量积大于求解，再将两向量同向的情况排除即可判定结论．
本题考查平面向量的夹角与数量积的性质，考查向量的坐标运算及充要条件的判定，属基础题．
9.【答案】
【解析】解：对于，过球心的截面是半径等于球的半径的圆面，故A正确；
对于，有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体，侧棱不一定平行，故B错误；
对于，正四棱锥的侧面都是等腰三角形，故C错误；
对于，有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体，还需满足棱延长后交于一点，故D错误．
故选：．
根据已知条件，结合球、棱锥、棱柱、棱台的结构特征，即可求解．
本题主要考查球、棱锥、棱柱、棱台的结构特征，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：依题意球的表面积为，
圆柱的侧面积为，所以选项正确．
圆锥的侧面积为，所以选项正确．
圆锥的表面积为，
圆柱的表面积为，所以选项不正确．
故选：．
根据球、圆锥、圆柱的表面积公式一一计算即可．
本题主要考查柱体侧面积的计算，锥体侧面积的计算，球的表面积的计算等知识，属于基础题．
11.【答案】
【解析】解：根据题意可得：满足条件的有两个，可得．
故选：．
根据即可求解．
本题主要考查了正弦定理在求解三角形中的应用，属于基础题．
12.【答案】
【解析】解：，，三点在半径为的球的表面上，是边长为的正三角形，
所在截面圆的半径，
球心到平面的距离：
．
故答案为：．
所在截面圆的半径，由此能求出球心到平面的距离．
本题考查点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查推理论证能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，是中档题．
13.【答案】
【解析】解：设圆柱的底面半径为，球的半径为，
由题意知：，圆柱的高为，
所以圆柱的体积为．
故答案为：．
由题意知球的半径与圆柱底面圆半径相同，写出球的半径，得出圆柱的高，代入体积公式求解即可．
本题考查了旋转体的结构特征与体积公式应用问题，是基础题．
14.【答案】；
【解析】解：如图，
根据条件，；
又；
．
故答案为：．
为的中线，从而有，带入便可得到，从而根据平面向量基本定理得到．
考查向量加法的平行四边形法则，向量数乘的几何意义，以及平面向量基本定理．
15.【答案】解：由，，
得．
又因为为纯虚数，所以，
所以，．
，
又因为，所以，
即，，
解得，．
【解析】利用复数运算化简，要为纯虚数，只需实部为零，虚部不为零．
化简，由可得，即可求的范围．
本题主要考查了复数运算，考查了学生的运算能力．属于基础题．
16.【答案】解：由题意可知，该圆锥的底面半径，母线，
所以该圆锥的表面积为；
在中，，
因为是的中点，
所以，
则小圆锥的高，小圆锥的底面半径，
故截得的圆台的体积．
【解析】利用圆锥的表面积公式求解即可；
先计算出的长，从而得到的长，然后利用圆台的体积为大圆锥的体积减去小圆锥的体积，由锥体的体积公式求解即可．
本题考查了圆锥的表面积公式的应用，圆台体积的求解，解题的关键是将圆台体积转化为大圆锥与小圆锥的体积进行求解，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于基础题．
17.【答案】解法：
以点为坐标原点，所在直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系，
则，
，
；
，
，，
．
法：
；
，所以，
因为，，，所以，
而，
所以与重合，
所以．
【解析】本题考查向量的数量积、实数值的求法，考查向量数量积公式、向量平行、向量垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
法一：以点为坐标原点，所在直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系，利用向量法能求出结果．
，由，能求出结果．
法：利用向量数量积公式直接求解；
，从而，而，，与重合，由此能求出结果．
18.【答案】解：，
令，，得，
所以函数的单调递增区间为；
因为，由得，，解得，
又因为，所以，所以或，解得或舍去；
由正弦定理得，，
所以，，
所以的周长为
，
因为，所以，
所以，所以，
即周长的取值范围是．
【解析】化简，根据三角函数的图象与性质求出的单调递增区间；
由，求出的值，根据正弦定理求出、，再求的周长取值范围．
本题考查了三角恒等变换与解三角形的应用问题，是中档题．
19.【答案】解：在中，由正弦定理及得：，
由余弦定理得，
又，所以．
是的角平分线，，
由可得，
因为，，即有，，
故．
【解析】由已知，根据正弦定理化简已知等式可得，由余弦定理可求，由，可得的值．
是的角平分线，，进而由可求，可求面积．
本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
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