2023-2024学年浙江省杭州师大附中高一（下）期中数学试卷（含解析）

2023-2024学年浙江省杭州师大附中高一（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则的非空子集个数为( )
A. B. C. D.
2.设，，，则，，的大小关系为( )
A. B. C. D.
3.若，则( )
A. B. C. D.
4.已知向量，满足，，，则与的夹角为( )
A. B. C. D.
5.如图，是体积为的棱柱，则四棱锥的体积是( )
A.
B.
C.
D.
6.已知，，若，则的最小值为( )
A. B. C. D.
7.已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则使不等式成立的的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.在中，，，其面积为，则等于( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.复数，其共轭复数为，则下列叙述正确的是( )
A. 对应的点在复平面的第四象限 B. 是一个纯虚数
C. D.
10.在斜三角形中，的三个内角分别为，，，若，是方程的两根，则下列说法正确的是( )
A. B. 是钝角三角形
C. D.
11.中国传统文化中很多内容体现了数学的“对称美”，如图所示的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的图案，俗称阴阳鱼，太极图展现了一种相互转化，相对统一的和谐美，定义：圆的圆心在原点，若函数的图像将圆的周长和面积同时等分成两部分，则这个函数称为圆的一个“太极函数”，则( )
A. 对于圆，其“太极函数”有个
B. 函数是圆的一个“太极函数”
C. 函数不是圆的“太极函数”
D. 函数是圆的一个“太极函数”
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在中，角，，的对边分别为，，，若，且，则的值为______．
13.已知函数，若函数有个零点，则实数的取值范围是______．
14.如图，三个边长为的等边三角形有一条边在同一条直线上，边上有个不同的点，则________．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知全集为，集合，．
求；
若，且“”是“”的必要不充分条件，求的取值范围．
16.本小题分
如图，在中，，是的中点，设，．
试用，表示，；
若，与的夹角为，求．
17.本小题分
已知在锐角中，角，，所对的边分别是，，，．
求角的大小；
若，求的面积的取值范围．
18.本小题分
已知函数，其图象关于点中心对称．
求函数在上的值域；
将图象上各点的横坐标缩短到原来的倍，然后再向右平移个单位长度得到的图象若，，求的值．
19.本小题分
定义：若对定义域内任意，都有，为正常数，则称函数为“距”增函数．
若，，判断是否为“距”增函数，并说明理由；
若，，其中为常数若是“距”增的数，求的最小值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：由题意，因此它有个子集，其中非空子集有个．
故选：．
求出交集再根据子集的概念得出结论．
本题主要考查子集的定义，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：，，，
．
故选：．
利用对数函数和指数函数的性质求解．
本题考查三个数的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数和指数函数的性质的合理运用．
3.【答案】
【解析】解：，
，
当时，，此时原式；
当时，，此时原式．
故选：．
由的值，利用同角三角函数间基本关系求出的值，继而求出的值，原式利用诱导公式化简将各自的值代入计算即可求出值．
此题考查了运用诱导公式化简求值，熟练掌握诱导公式是解本题的关键．
4.【答案】
【解析】解：因为，，，
所以，
解得，
因为，
所以，
又因为，
所以．
故选：．
将两边同时平方得到，再根据向量的夹角公式计算得到答案．
本题考查平面向量的数量积与夹角，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：因为棱锥与棱柱同底同高，
棱锥的体积．
故四棱锥的体积．
故选：．
因为棱锥与棱柱同底同高，由，知棱锥与的体积，由此能求出四棱锥的体积．
本题考查棱柱、棱锥的体积的运算，解题时要认真审题，仔细解答．
6.【答案】
【解析】解：因为，，
所以，
当且仅当时取等号．
故选：．
利用基本不等式进行求解即可．
本题主要考查了基本不等式的应用，属于基础题．
7.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查不等式的解法，利用函数的奇偶性和单调性是解决本题的关键，综合考查函数性质的应用．
根据函数奇偶性和单调性，即可得到结论．
【解答】
解：因为是定义在上的奇函数且当时，，
所以在上单调递增，
根据奇函数的对称性可知，函数在上单调递增，
又，
由，可得，
解可得，，
所以．
故选：．
8.【答案】
【解析】解：在中，，，其面积为，
则，
即，
由余弦定理可得：，
即，
由正弦定理可得：，
故选：．
由三角形面积公式，结合正弦定理及余弦定理求解即可．
本题考查了三角形面积公式，重点考查了正弦定理及余弦定理，属基础题．
9.【答案】
【解析】解：，，
则对应的点的坐标为，在复平面的第一象限，故A错误；
，是一个纯虚数，故B正确；
，故C正确；
，故D错误．
故选：．
由已知求得，再由复数代数形式的乘除运算及复数的代数表示法及其几何意义逐一分析四个选项得答案．
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．
10.【答案】
【解析】解：设，，是的三个内角，且、是方程的两个是根，
，，
，
，是钝角，
是钝角三角形．，可得，所以同理．
故选：．
由韦达定理求得和，再由两角和的正切公式求出，然后由诱导公式求出，能判断的取值范围，由此能求出结果．
本题考查三角形形状的判断，考查韦达定理、两角和正切公式、诱导公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
11.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了函数的实际应用，考查了函数的奇偶性的判断．
根据题意，只需判断所给函数的奇偶性即可得到答案．
【解答】
解：对于选项A：圆，其“太极函数”不止一个，故选项A错误，
对于选项B：由于函数，当时，；当时，，
故为奇函数，
所以根据对称性可知函数为圆的一个“太极函数”，故选项B正确，
对于选项C：函数的定义域为，，也是奇函数，
故函数是圆的“太极函数”，故选项C错误，
对于选项D：函数的定义域为，
，也是奇函数，
故函数是圆的“太极函数”，故选项D正确，
故选BD．
12.【答案】
【解析】解：中，，且，
可得，，
由余弦定理可得．
则的值为．
故答案为：
由余弦定理直接求出边的大小．
本题考查余弦定理的应用，属于基础题．
13.【答案】
【解析】【分析】
本题考查通过函数得零点问题求解参数的取值范围，利用数形结合的思想方法是解题的关键．
将方程的零点问题转化成函数的交点问题，作出函数的图象得到的范围．
【解答】
解：令，
得
作出与的图象，
要使函数有个零点，
则与的图象有个不同的交点，
所以，
故答案为：．
14.【答案】
【解析】【分析】
本题考查向量在图形中的应用，向量的加法法则，数量积的运算律，数量积的求值，属于中档题．
可用特殊位置法处理此题，假定这个点是的等分点，且为中点，则，建立坐标系，向量坐标法处理数量积．
或是根据分析图形所反应出来的几何性质解题．
【解答】
解法一：特殊位置法．
令这个点是的等分点，且为中点，
则，
以为原点，方向为轴建立坐标系，
故F，
，
原式
故答案为：．
解法二：几何法
由图知，中，，，
知，为以的直角三角形．
，．
又，．
又点，，在线段上，
原式
．
故答案为：．
15.【答案】解：，
．
是的必要不充分条件，
，
，，
的取值范围为．
【解析】利用交集的定义求解．
利用充分必要条件的定义列出不等式组即可求解．
本题考查了不等式的解法和充分必要条件的应用，属于基础题．
16.【答案】解：在中，，是的中点，设，，
则，
；
已知，与的夹角为，
则，
则．
【解析】由平面向量的线性运算求解；
结合平面向量数量积的运算求解．
本题考查了平面向量的线性运算，重点考查了平面向量数量积的运算，属中档题．
17.【答案】解：由题意及正弦定理，得，
即，
因为，
所以，
因为，
所以，，
又因为，
所以；
由得，
由正弦定理，得，
所以，
因为是锐角三角形，可得，解得，
所以，
从而．
【解析】由正弦定理以及两角和的正弦公式求解即可；
用角结合正弦定理表示，由是锐角三角形得出角的取值范围，再结合三角形面积公式求得结果．
本题考查了正弦定理，三角函数恒等变换，三角形面积公式以及正切函数的性质在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
18.【答案】解：函数，
因为的图象关于点成中心对称，所以，
令，；解得，；
因为，所以，所以；
时，，，
所以函数在上的值域为；
将图象上各点的横坐标缩短到原来的倍，得的图象，
再向右平移个单位长度，得的图象，
所以；
若，则，所以，
因为，，所以，
所以．
【解析】利用二倍角公式和辅助角公式化简函数，根据的图象关于点成中心对称求出，写出的解析式，计算在上的值域；
根据三角函数图象平移变换求出的解析式，再根据，求出的值．
本题考查了三角函数的图象与性质应用问题，是中档题．
19.【答案】解：函数是“距”增函数．理由如下：
因为，
则
，
当时，可得，
所以，即，所以是“距”增函数．
解：由，，
因为函数是“距”增的数，所以当时，恒成立，
又因为为增函数，所以，
当时，，即恒成立，
所以，解得；
当时，，即恒成立，
所以，解得，
综上可得，，所以，
令，则，
当时，即时，当时，；
当时，即时，当时，，
综上可得，当时，；当时，．
【解析】根据题意，只需判断是否成立，即可求解；
根据题意，当当时，恒成立，根据为增函数，得到，再分和，两种情况讨论，即可求解．
本题以新定义为载体，主要考查了函数性质的应用，还考查了分类讨论思想的应用，属于中档题．
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