2023-2024学年黑龙江省佳木斯市三校联考高二（下）期中数学试卷（含解析）

2023-2024学年黑龙江省佳木斯市三校联考高二（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若可导函数满足，则( )
A. B. C. D.
2.已知数列的通项公式为，则是这个数列的( )
A. 第项 B. 第项 C. 第项 D. 第项
3.设是公比为正数的等比数列，若，，则数列的前项的和为( )
A. B. C. D.
4.在中国文化中，竹子被用来象征高洁、坚韧、不屈的品质竹子在中国的历史可以追溯到远古时代，早在新石器时代晚期，人类就已经开始使用竹子了竹子可以用来加工成日用品，比如竹简、竹签、竹扇、竹筐、竹筒等现有某饮料厂共研发了九种容积不同的竹筒用来罐装饮料，这九种竹筒的容积，，，单位：依次成等差数列，若，，则( )
A. B. C. D.
5.已知函数的图象如图所示其中是函数的导函数，则下面四个图象中，的图象大致是( )
A. B. C. D.
6.现有本相同的数学课本分给甲、乙、丙三人，每人至少一本，则不同的分配方案有多少种( )
A. B. C. D.
7.函数在区间上的最小值、最大值分别为( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
8.五行是华夏民族创造的哲学思想，多用于哲学、中医学和占卜方面五行学说是华夏文明重要组成部分古代先民认为，天下万物皆由五类元素组成，分别是金、木、水、火、土，彼此之间存在相生相克的关系如图是五行图，现有种颜色可供选择给五“行”涂色，要求五行相生不能用同一种颜色例如金生火，水生木，不能同色，五行相克可以用同一种颜色例如水克火，木克土，可以用同一种颜色，则不同的涂色方法种数有( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列求导运算正确的是( )
A. B.
C. D.
10.过点且与曲线相切的直线方程可能为( )
A. B. C. D.
11.将数列中的所有项排成如下数阵：
从第行开始每一行比上一行多两项，且从左到右均构成以为公比的等比数列；第列数，，，成等差数列若，，则( )
A. B.
C. 位于第行第列 D. 在数阵中出现两次
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知等差数列满足，，则 ______．
13.若函数的导函数为，且满足，则 ______．
14.已知首项均为的等差数列与等比数列满足，，且的各项均不相等，设为数列的前项和，则的最大值与最小值之差的绝对值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知数列是首项为的等差数列，公差，设数列的前项和为，且，，成等比数列．
求的通项公式；
设，求数列的前项和．
16.本小题分
月日，年广西“二月二”侗族大歌节在三江侗族自治县梅林乡梅林村榕江河畔举行，上万名群众欢聚一堂，以非遗巡游、千人侗族大歌、多耶等活动，尽展非遗多姿风采某地计划在来年的侗族大歌节安排非遗巡游、千人侗族大歌、多耶、抢花炮、芦笙舞这种活动的举办顺序．
共有多少种不同的安排方案？
若要求第一个举办的活动不能是千人侗族大歌，共有多少种不同的安排方案？
若要求抢花炮、芦笙舞的举办顺序相邻，共有多少种不同的安排方案？
17.本小题分
设函数．
若，求的极值；
讨论函数的单调性．
18.本小题分
若数列的前项和为，且，数列满足，
求数列的通项公式；
求证：数列是等比数列；
设数列满足，其前项和为，若对任意，恒成立，求实数的取值范围．
19.本小题分
已知函数，为自然对数的底数．
求曲线在处的切线方程；
若不等式对任意恒成立，求实数的最大值；
证明：．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：，
则．
故选：．
根据导数的定义计算可得．
本题主要考查导数的定义，属于基础题．
2.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了数列的通项公式的应用，考查了判断数列的项的问题．
根据通项公式，令，求出的值即可求解．
【解答】
解：令，
即，解得，
所以是数列的第项，
故选：．
3.【答案】
【解析】解：因为，即，
又，所以，
所以．
故选：．
先由通项公式求出，再由前项公式求其前项和即可．
本题考查等比数列的通项公式及前项公式．
4.【答案】
【解析】解：为等差数列，
，故，
．
故选：．
根据等差数列性质得，进一步利用进行求解即可．
本题考查等差数列的性质，属于基础题．
5.【答案】
【解析】【分析】
本题间接利用导数研究函数的单调性，考查函数的图象问题，是中档题．
根据函数的图象，依次判断在区间，，，上的单调性即可．
【解答】
解：由函数的图象可知：
当时，，，此时增
当时，，，此时减
当时，，，此时减
当时，，，此时增．
故选：．
6.【答案】
【解析】解：由题意得，分配方案有三种：第一种方案：两个人各本，一个人本，分配的方法数为；
第二种方案：三个人各本，分配的方法数为；
第三种方案：一个人本，一个人本，一个人本，分配的方法数为；
因此共有种方法．
故选：．
结合排列和组合的定义，根据相同元素的分配问题分类讨论求解即可．
本题考查排列、组合及简单计数问题，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：，
所以在区间上，，即单调递增；
在区间上，，即单调递减，
又，，，
所以在区间上的最小值为，最大值为．
故选：．
利用导数求得的单调区间，从而判断出在区间上的最小值和最大值．
本题主要考查利用导数研究函数的最值，考查运算求解能力，属于基础题．
8.【答案】
【解析】解：五行相克可以用同一种颜色，也可以不用同一种颜色，即无限制条件，
五行相生不能用同一种颜色，即相邻位置不能用同一种颜色，
故问题转化为如图，，，，五个区域，有种不同的颜色可用，
要求相邻区域不能涂同一种颜色，即色区域的环状涂色问题，
分为以下两类情况：
第一类：，，三个区域涂三种不同的颜色，
第一步涂，，区域，从种不同的颜色中选种按顺序涂在不同的个区域上，则有种方法，
第二步涂区域，由于，颜色不同，则有种方法，
第三步涂区域，由于，颜色不同，则有种方法，
由分步计数原理，则共有种方法；
第二类：，，三个区域涂两种不同的颜色，
由于，不能涂同一色，则，涂一色，或，涂同一色，两种情况方法数相同，
若，涂一色，
第一步涂，，区域，，可看成同一区域，且，区域不同色，即涂个区域不同色，
从种不同的颜色中选种按顺序涂在不同的个区域上，则有种方法，
第二步涂区域，由于，颜色相同，则有种方法，
第三步涂区域，由于，颜色不同，则有种方法，
由分步计数原理，则共有种方法；
若，涂一色，与，涂一色的方法数相同，
则共有种方法，
由分类计数原理可知，不同的涂色方法共有种．
故选：．
根据不相邻区域是否同色进行分类，确定涂色顺序再分步计数即可．
本题考查排列、组合的简单应用，考查分析问题解决问题的能力，属中档题．
9.【答案】
【解析】解：对于：，故A正确；
对于：，故B正确；
对于：，故C正确；
对于：，故D错误．
故选：．
根据导数的运算法则及基本初等函数的导数公式计算可得．
本题考查导数的运算，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：设切点为，又，所以，
所以曲线在点处的切线方程为，
所以，
整理得，解得或，
即切线方程为或．
故选：．
借助导数的几何意义计算即可得．
本题考查导数的运用：求切线方程，考查方程思想和运算能力，属于基础题．
11.【答案】
【解析】解：由第列数，，，，成等差数列，设公差为，
又由，，可得，，解得，，
则第一列的通项公式为，
又从第行开始每一行比上一行多两项，且从左到右均构成以为公比的等比数列，
可得，所以A正确，B错误；
又因为每一行的最后一个数为，，，，，
且，可得是的前一个数，且在第行，
因为这一行共有个数，则在第行的第列，所以C正确；
由题设可知第行第个数的大小为，
令，若，则即；
若，则即；若，则，无整数解，故D正确．
故选：．
根据题意，由等差数列的通项公式求得第一列的通项公式，再由等比数列的通项公式，对各个选项分析，即可求解．
本题考查等差数列和等比数列的通项公式，考查方程思想和运算能力、推理能力，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：根据等差数列的性质，，解得．
故答案为：．
直接利用等差数列的性质求出结果．
本题考查的知识点：等差数列的性质，主要考查学生的运算能力，属于基础题．
13.【答案】
【解析】解：由，得，
令，则，解得，
所以，．
故答案为：．
由求导计算公式求出，再代入求出即可．
本题主要考查了函数的求导公式的应用，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：设等差数列的公差为，等比数列的公比为，
由，，
得，解得，
，
令，则，，随着的增大而增大，
当为奇数时，，随着的增大而减小，；
当为偶数时，，随着的增大而增大，．
所以，，，
因此，的最大值与最小值之差的绝对值等于．
故答案为：．
由已知结合等差数列与等比数列的通项公式先求出公比及公差，然后结合等比数列的求和公式求出，然后结合数列的单调性即可求解．
本题主要考查了等差数列与等比数列的通项公式，等比数列的求和公式的应用，还考查了数列单调性的应用，属于中档题．
15.【答案】解：由题意可得，即，
又，故，即或，又，故，
即；
，
故
．
【解析】借助等差数列前项和的性质与等比中项的性质计算求出值即可得；
，再借助裂项相消法计算即可得．
本题主要考查了等差数列的通项公式，求和公式，等比数列的性质的应用，还考查了裂项求和的应用，属于中档题．
16.【答案】解：安排非遗巡游、千人侗族大歌、多耶、抢花炮、芦笙舞这种活动的举办顺序，
共有种不同的安排方案；
若要求第一个举办的活动不能是千人侗族大歌，则从其余四个活动项目中选一个排在第一个举行，
则共有种不同的安排方案；
若要求抢花炮、芦笙舞的举办顺序相邻，则将这两项活动捆绑，看作一项活动，
内部全排列，然后和其余活动全排列，
则共有种不同的安排方案．
【解析】将项活动进行全排列，即可求得答案；
先从其余四个活动项目中选一个排在第一个举行，其余全排列，即可求得答案；
利用捆绑法，即可求得答案．
本题考查排列组合相关知识，属于中档题．
17.【答案】解：函数的定义域为，当时，，
令，解得，令，解得，
函数在上单调递减，在上单调递增，
的极小值为，无极大值；
，
当时，，令，解得，令，解得，
函数在上单调递减，在上单调递增；
当，即时，令，解得或，令，解得，
函数在上单调递减，在，上单调递增；
当，即时，，函数在上单调递增；
当，即时，令，解得或，令，解得，
函数在上单调递减，在，上单调递增；
综上所述，当时，函数在上单调递减，在上单调递增；
当时，函数在上单调递减，在，上单调递增；
当时，函数在上单调递增；
当时，函数在上单调递减，在，上单调递增；
【解析】代入的值，求导，判断其单调性，进而得到极值；
对函数求导，分，，及讨论导函数与的关系，即可得到单调性情况．
本题考查利用导数研究函数的单调性，极值，考查分类讨论思想及运算求解能力，属于中档题．
18.【答案】解：因为，当时，，
当时，，
且时，也符合上式，
所以；
证明：当时，由，所以，
依题意知：，所以，
而，所以数列是首项为，公比为的等比数列．
因为是首项为，公比为的等比数列，
所以，
所以，
，
，
得
，
化简得：，
又因为，，
所以，
所以，整理得，
当，；
当时，，
因为，当时，，所以，
故．
【解析】先求，再由公式求，检验是否成立即可；
证明为定值即可；
先利用错位相减法得，再参数分离得，进而研究数列最值即可．
本题考查数列的递推式和等差数列、等比数列的通项公式、求和公式，以及数列的错位相减法求和，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题．
19.【答案】解：函数，，，
则，，
所以曲线在处的切点坐标为，切线斜率为，
切线方程为；
，
因为，所以，
则，所以，
所以函数在上单调递减，
所以，，
所以函数的值域为，
若不等式对任意恒成立，
则实数的最小值为，
所以实数的最大值为；
证明：，
所以，
设，则，
令，则，
所以在上单调递增，
所以，，
则有，，
故存在，使得，即，
所以当时，，当时，，
即在上单调递减，在上单调递增，
故当时，函数有极小值，且是唯一的极小值，
故函数，
因为，所以，
故，
所以，
即．
【解析】利用导数求曲线在切点处的切线方程；
求出函数在时的值域，可求实数的最大值；
依题意，构造函数，利用导数证明即可．
本题主要考查了导数的几何意义，考查了利用导数研究函数的单调性和最值，属于中档题．
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