北京市海淀区北大附中预科部2024届高三上学期12月阶段练习数学试题（含解析）

北大附中预科部2023—2024学年度阶段练习
数学
2023.12
本试卷共5页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
1. 已知集合，，则（）
A. B. C. D.
2. 已知复数满足，则的共轭复数在复平面内对应的点在（）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
3. 函数部分图象大致为（）
A. B.
C. D.
4. 已知，是互相不重合的直线，，，是互相不重合的平面，则在下列四个命题中，正确的是（）
A若，，，则B. 若，，则
C. 若，，则D. 若，，则
5. 已知函数，则（）
A. 在单调递减B. 在单调递增
C. 在单调递减D. 在单调递增
6. 已知向量，，满足，且，则（）
A. B. C. D.
7. 已知抛物线：的焦点为，，两点在上，，，则直线斜率的最小值和最大值分别是（）
A. ，B. ，2C. ，D. ，2
8. 已知无穷等差数列的前项和为，公差为，则“”是“，，都有恒成立”的（）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
9. 已知圆：，点是圆上动点，点是圆外动点，过点作圆的两条切线，分别与圆切于A，两点，若的取值范围是，则的取值范围是（）
A. B.
C. D.
10. 在中，，，是外接圆圆心，在线段上，则的取值范围是（）
A. B. C. D.
第二部分（非选择题共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.
11. 已知函数，则______.
12. 已知双曲线的焦点为和，离心率为，则的方程为______.
13. 若和均为等比数列，且（），能使数列是递增的等比数列的一组和的通项公式为______，______.
14. 函数，其中且，若函数是单调函数，则的一个取值为______，若函数存在极值，则的取值范围为______.
15. 随着自然语言大模型技术的飞速发展，ChatGPT等预训练语言模型正在深刻影响和改变着各衍各业.为了解决复杂的现实问题，预训练模型需要在模拟的神经网络结构中引入激活函数，将上一层神经元的输出通过非线性变化得到下一层神经元的输入.经过实践研究，人们发现当选择的激活函数不合适时，容易出现梯度消失和梯度爆炸的问题.某工程师在进行新闻数据的参数训练时，采用作为激活函数，为了快速测试该函数的有效性，在一段代码中自定义：若输的满足则提示“可能出现梯度消失”，满足则提示“可能出现梯度爆炸”，其中表示梯度消失阈值，表示梯度爆炸间值.给出下列四个结论：
①是上的增函数；
②当时，，输入会提示“可能出现梯度爆炸”；
③当时，，输入会提示“可能出现梯度消失”；
④，输入会提示“可能出现梯度消失”.
其中所有正确结论的序号是______.
三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
16. 如图，在直三棱柱中，，分别是，的中点，，.
（1）求证：平面；
（2）求二面角的余弦值.
17. 已知圆：，若圆上存在两点关于直线：对称.
（1）求圆的半径；
（2）过点的直线与圆交于，两点，且，求直线的方程.
18. 在中，，.
（1）求的大小；
（2）是的中点.从条件①，条件②，条件③中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，求的面积；
（3）如图为某垒球比赛的预计场景，是的中点，，某教练为研究战术，要求击球手在点A沿如图方向把球击出，根据经验及测速仪的显示，球速为游击手最大跑速的4倍，问若游击手由点出发沿如图方向奔跑，游击手能不能接到球？并说明理由.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个个解答计分
19. 已知椭圆：（）四个顶点相连构成菱形，且点A，的坐标分别为，.
（1）求椭圆的方程和离心率；
（2）设为第一象限内上的动点，直线与直线交于点，过点且垂直于的直线交轴于点，求的取值范围.
20. 已知函数（）.
（1）若，求在处的切线方程；
（2）若为的极大值点，求的取值范围；
（3）若存在最小值，直接写出的取值范围.
21. 已知为所有元有序数组所组成的集合.其中（）.
对于中的任意元素，定义，的距离：
若，为的子集，且有个元素，并且满足任意，都存在唯一的，使得，则称为“好集”.
（1）若，，，，，，求，及的值；
（2）当时，求证：存在“好集”，且“好集”中不同元素的距离为5；
（3）求证：当时，“好集”不存在.
北大附中预科部2023—2024学年度阶段练习
数学
2023.12
本试卷共5页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
1. 已知集合，，则（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据一元二次不等式解法求集合A，进而结合集合的交集、补集运算求解.
【详解】由题意可得：，
可得，所以.
故选：A.
2. 已知复数满足，则的共轭复数在复平面内对应的点在（）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】A
【解析】
【分析】利用复数的四则运算求得，进而求得，再利用复数的几何意义即可得解.
【详解】因为，所以，
则，故在复平面内对应的点为，在第一象限.
故选：A.
3. 函数的部分图象大致为（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用排除法，根据函数的奇偶性以及特殊值法分析判断.
【详解】因为的定义域为，且，
可知为偶函数，故A错误；
因为，可得在内不单调，故BC错误；
故选：D.
4. 已知，是互相不重合的直线，，，是互相不重合的平面，则在下列四个命题中，正确的是（）
A. 若，，，则B. 若，，则
C. 若，，则D. 若，，则
【答案】D
【解析】
【分析】把数学抽象的符号语言转化为文字语言，结合具体的例子说明其真假.
【详解】对A：平行于同一个平面的两条直线互相平行，可知这个命题是错误的，它们还可以异面或者相交；
对B：垂直于同一个平面的两个平面互相平行，由空间直角坐标系形成的三个平面的例子可知，该命题错误；
对C：平行于同一条直线的两个平面可以互相平行，也可以相交，则命题也是错误的；
对D：垂直于同一条直线的两个平面互相平行，是真命题.
故选：D
5. 已知函数，则（）
A. 在单调递减B. 在单调递增
C. 在单调递减D. 在单调递增
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意整理可得，结合余弦函数单调性逐项分析判断.
【详解】因为，
对于选项A：因为，则，
且在内不单调，所以在内不单调，故A错误；
对于选项B：因为，则，
且在内不单调，所以在内不单调，故B错误；
对于选项C：因为，则，
且在内单调递减，所以在内单调递减，故C正确；
对于选项D：因为，则，
且在内单调递减，所以在内单调递减，故D错误；
故选：C.
6. 已知向量，，满足，且，则（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】设，分析可知为等边三角形，结合向量的几何意义分析求解.
【详解】设，
因为，，
可知三点不共线，且既是的重心也是的外心，
所以为等边三角形，
则，
所以.
故选：C.
7. 已知抛物线：的焦点为，，两点在上，，，则直线斜率的最小值和最大值分别是（）
A. ，B. ，2C. ，D. ，2
【答案】D
【解析】
【分析】利用焦半径公式求得A，B两点坐标，从而得到直线斜率的情况，由此得解.
【详解】由题意知，设，，
则由，得，得，
代入C：，得，所以或；
由，得，得，代入C：，得，
所以或；
所以直线斜率有四种情况，
则直线斜率的最小值为，最大值为.
故选：D.
8. 已知无穷等差数列的前项和为，公差为，则“”是“，，都有恒成立”的（）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】根据等差数列的性质结合充分、必要条件分析判断.
【详解】若，例如，则公差符合题意，
但，即充分性不成立；
若，，都有恒成立，等价于，此时，
反证：假设，
因为，
当且时，则，
这样对，，恒成立相矛盾，
假设不成立，所以，即必要性成立；
综上所述：“”是“，，都有恒成立”的必要不充分条件.
故选：B.
9. 已知圆：，点是圆上动点，点是圆外动点，过点作圆的两条切线，分别与圆切于A，两点，若的取值范围是，则的取值范围是（）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据圆的性质可得，根据切线的性质可得，进而分析取值范围.
【详解】由题意可知：圆的半径，则，
当且仅当为时，；当且仅当为时，；
设，
因为，则，
当且仅当时，取到最小值；当且仅当时，取到最大值；
可得，即的取值范围是.
故选：A.
10. 在中，，，是外接圆的圆心，在线段上，则的取值范围是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设的中点分别为，连接，根据外心的性质可得，，结合三点共线设，进而运算求解即可.
【详解】设的中点分别为，连接，则，
可得，
同理可得，
因为在线段上，设，
则
，
所以的取值范围是.
故选：B.
【点睛】关键点睛：1.对于外心的数量积问题，常借助于外心的性质结合中点分析求解；
2.对于三点共线常结合结论：若三点共线，则，且，分析求解.
第二部分（非选择题共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.
11. 已知函数，则______.
【答案】7
【解析】
【分析】根据解析式代入即可求解.
【详解】因为，所以.
故答案为：7
12. 已知双曲线焦点为和，离心率为，则的方程为______.
【答案】
【解析】
【分析】根据焦点坐标可得，设出标准方程由离心率可得，计算出可得的方程.
【详解】由题可知焦点在轴上，可设双曲线方程为，
且，又离心率为，可得，
又，解得，
所以双曲线方程为.
故答案为：.
13. 若和均为等比数列，且（），能使数列是递增的等比数列的一组和的通项公式为______，______.
【答案】 ①. （答案不唯一） ②. （答案不唯一）
【解析】
【分析】根据等比数列以及递增数列的定义分析求解.
【详解】例如，显然和均为等比数列，
则，显然，
因为，所以数列是递增的等比数列.
故答案为：（答案不唯一）；（答案不唯一）.
14. 函数，其中且，若函数是单调函数，则的一个取值为______，若函数存在极值，则的取值范围为______.
【答案】 ①. 2（满足均可） ②.
【解析】
【分析】空1：若函数是单调函数，分析可知：在上单调递增，根据分段函数单调性列式求解；空2：若函数存在极值，则在上不单调，直接取反空1的取值范围即可.
【详解】因为且，若函数是单调函数，结合二次函数可知：在上单调递增，
则，解得，例如；
可知为连续不断函数，若函数存在极值，则在上不单调，
所以的取值范围为.
故答案为：2（满足均可）；.
15. 随着自然语言大模型技术的飞速发展，ChatGPT等预训练语言模型正在深刻影响和改变着各衍各业.为了解决复杂的现实问题，预训练模型需要在模拟的神经网络结构中引入激活函数，将上一层神经元的输出通过非线性变化得到下一层神经元的输入.经过实践研究，人们发现当选择的激活函数不合适时，容易出现梯度消失和梯度爆炸的问题.某工程师在进行新闻数据的参数训练时，采用作为激活函数，为了快速测试该函数的有效性，在一段代码中自定义：若输的满足则提示“可能出现梯度消失”，满足则提示“可能出现梯度爆炸”，其中表示梯度消失阈值，表示梯度爆炸间值.给出下列四个结论：
①是上的增函数；
②当时，，输入会提示“可能出现梯度爆炸”；
③当时，，输入会提示“可能出现梯度消失”；
④，输入会提示“可能出现梯度消失”.
其中所有正确结论的序号是______.
【答案】①③④
【解析】
【分析】对于①：根据单调性的性质分析判断；对于②：根据题意结合指数运算以及指数函数单调性分析判断；对于③④：整理可得，构建，利用导数求的单调性和值域，进而逐项分析判断.
【详解】对于①：因为的定义域为，
且在上单调递减，所以是上的增函数，故①正确；
对于②：因为对任意恒成立，
则，
令，整理得，
且是上的增函数，则，即无解，
所以不存在，输入会提示“可能出现梯度爆炸”，故②错误；
对于③④：因为是上的增函数，则，即，
则，
令，
则，
令，则上单调递增，且，
当时，，即，可知在上单调递减；
当时，，即，可知在上单调递增；
则，
且当x趋近于或时，趋近于0，
所以的值域为，
所以对，输入会提示“可能出现梯度消失”，故④正确；
因为在上单调递减，则，
且，即对任意恒成立，
所以当时，，输入会提示“可能出现梯度消失”，故③正确；
故答案为：①③④.
【点睛】关键点睛：1.充分理解新定义的含义，根据定义分析判断；
2.再处理问题③④时，可以通过构建函数求单调性和值域，进而分析判断.
三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
16. 如图，在直三棱柱中，，分别是，的中点，，.
（1）求证：平面；
（2）求二面角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意，建立空间直角坐标系，利用空间向量的坐标运算即可证明线面平行.
（2）根据题意，利用空间向量的夹角的余弦表示，即可得到结果.
【小问1详解】
由为直三棱柱，得平面，又，
以为原点，分别为轴，轴，轴的正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
不妨设，
由题意可得：，
于是，，
设平面的法向量为，则，取，得，
显然，即平面，而平面，
所以平面.
【小问2详解】
由（1）可知，平面的一个法向量为，显然轴垂直于平面，
不妨取其法向量为，设二面角所对应的平面角为，
则，
显然二面角为锐二面角，则，
即二面角的余弦值为.
17. 已知圆：，若圆上存在两点关于直线：对称.
（1）求圆的半径；
（2）过点直线与圆交于，两点，且，求直线的方程.
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）求出圆圆心，由已知可得直线经过圆心，代入即可得解；
（2）根据弦长求出圆心到直线距离，讨论直线的斜率是否存在，利用点到直线的距离公式即可求解.
【小问1详解】
因为圆：可化为，
所以圆心为，半径为，
因为圆C上存在两点关于直线：对称，
则直线经过圆心，
将代入，即 ，解得,
此时圆C的标准方程为，半径．
【小问2详解】
依题意，设圆心到直线距离为d，因为，
则．
当直线l斜率不存在时，直线方程l为，符合题意；
当直线l斜率存在时，设直线l方程为，即，
所以圆心到直线l的距离，解得，
直线l的方程为，即，
综上所述，直线l的方程为或.
18. 在中，，.
（1）求的大小；
（2）是的中点.从条件①，条件②，条件③中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，求的面积；
（3）如图为某垒球比赛的预计场景，是的中点，，某教练为研究战术，要求击球手在点A沿如图方向把球击出，根据经验及测速仪的显示，球速为游击手最大跑速的4倍，问若游击手由点出发沿如图方向奔跑，游击手能不能接到球？并说明理由.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个个解答计分.
【答案】18.
19. 答案见解析20. 游击手不能接到球，理由见解析
【解析】
【分析】（1）根据题意利用正余弦定理分析求解；
（2）对于①：在，利用余弦定理求得，进而可得面积；对于②：根据（1）中边的关系分析可得，进而可得面积；对于③：根据（1）中边的关系分析判断；
（3）根据题意结合分析可得，进而可得结果.
【小问1详解】
因为，由正弦定理可得，
又因为，
由余弦定理可得，
即，则，所以.
【小问2详解】
对于①：AB边上的中线长为，
在，由余弦定理得
即，解得，
则，
所以的面积为；
对于②：因为，解得，
则，
所以的面积为；
对于③：若，这与相矛盾，不合题意；
【小问3详解】
游击手不能接到球，理由如下：
由题意可知：，则，
因为，
即，可得，所以游击手不能接到球.
19. 已知椭圆：（）的四个顶点相连构成菱形，且点A，的坐标分别为，.
（1）求椭圆的方程和离心率；
（2）设为第一象限内上的动点，直线与直线交于点，过点且垂直于的直线交轴于点，求的取值范围.
【答案】（1）椭圆的方程为，离心率
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意可得，进而可求椭圆方程和离心率；
（2）设，求出点的坐标，再根据垂直求得，利用导数分析求解.
【小问1详解】
设椭圆的半焦距为，
由题意可知：，则，
所以椭圆的方程为，离心率.
【小问2详解】
由（1）可知，则直线的方程，即，
设，
则直线的方程为，
联立方程，解得，
即，
又，可设点且垂直于的直线方程为，
代入点可得，
解得，
令，
则在上恒成立，
可知在上单调递减，可得，
且，
则，可得，即，
所以的取值范围为.
20. 已知函数（）.
（1）若，求在处的切线方程；
（2）若为的极大值点，求的取值范围；
（3）若存在最小值，直接写出的取值范围.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）求导，结合导数的几何意义分析求解；
（2）求导，分三种情况，结合导数与单调性和极值之间的关系分析求解；
（3）结合（2）中的单调性分析可知存在，使得且，结合二次函数分析求解.
【小问1详解】
因为
则，
若，可得，
即切点坐标为，切线斜率，
所以在处的切线方程为.
【小问2详解】
由（1）可知：，
因为，令，解得或，
若，则，
令，解得或；令，解得；
则在上单调递增，在上单调递减，
所以为的极大值点，符合题意；
若，则恒成立，
所以在上单调递增，无极值，不合题意；
若，则，
令，解得或；令，解得；
则在上单调递增，在上单调递减，
所以为的极小值点，不合题意；
综上所述：的取值范围.
【小问3详解】
因为，可知：当x趋近于时，趋近于0，当x趋近于时，趋近于，
结合（2）中单调性可知：存在，使得且，
即且，
则，解得，
所以的取值范围为.
21. 已知为所有元有序数组所组成的集合.其中（）.
对于中的任意元素，定义，的距离：
若，为的子集，且有个元素，并且满足任意，都存在唯一的，使得，则称为“好集”.
（1）若，，，，，，求，及的值；
（2）当时，求证：存在“好集”，且“好集”中不同元素的距离为5；
（3）求证：当时，“好集”不存在.
【答案】（1），，
（2）证明见解析（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据题意直接代入运算求解；
（2）对任意，定义，可得，结合“好集”的定义分析证明；
（3）先证对于任意，可知均存在，使得，对的以为基础，结合定义分析证明.
【小问1详解】
因为，，，
则，，
，，
所以
【小问2详解】
对任意，定义，
对任意，
因为，则，
可得，
对于任意，可得有2个元素，
若，则，满足“好集”的定义；
若，则，满足“好集”的定义；
综上所述：为“好集”，且，
即当时，存在“好集”，且“好集”中不同元素的距离为5.
【小问3详解】
显然，
先证：当时，对任意的，含有的“好集”只能是，
反证：假设存在“好集”，
则对于任意，可得，
则，可得，不满足“好集”的定义，
例如，则，可取，
则，即存在，使得，
结合可得：就相当于对0，1的顺序进行重组，
对于任意，可知均存在，使得，
当时，对任意，
定义，其中，
可知：对任意，其中，
可知，
反证：假设存在“好集”，
则对任意，以为基础构建“好集”，
对任意，
对任意的，均有，与之对应的项只能是和，
每个均有2种选择，共有种组合可能，
按照以上构建方法得到的元素，
可知对任意，均存在，使得，，
所以必然存在，
使得，
故假设不成立，所以当时，“好集”不存在.
【点睛】关键点睛：新定义问题要充分理解定义，可以通过举例和推理去理解定义，对于本题可以利用反证法来分析证明.