数学查漏补缺题选
说明：1.可根据学生实际选用或改编；
2.本练习题目目的是提醒学生 4次统练未关注到的点，或重点知识，或变式的形式，学生不
必全做；
3.提供的答案仅供参考；
4.老师们使用时，重点引导学生学会破题，提升学生思维的灵活性；
5.部分题目选用自学校的练习题或高考题，再此表示感谢.
预祝同学们取得好成绩！
1.在△ABC中，内角 A,B,C所对的边分别为a,b,c ．已知 A B ，c 3，若________．
3
在横线上选择下面一个序号作为条件，求△ABC的面积 S△ABC及 c边上的高 h．
① a b 6；② a b 10；③ sin Asin B 1 ．
12
【参考答案】
2
解：由 + = 3得 = 3，
因为 = 3，
所以由余弦定理，得 2 = 2 + 2 + ，
对于①， = 6，由 9 = 2 + 2 + = 2 + 3 ，得 = 1，
1 1 3 3
故 = 2 sin = 2 × 1 × 2 = 4 ，
= 3 = 1又 4 2 ，
所以 = 36 ；
对于②， + = 10，由 9 = 2 + 2 + = + 2 ，得 = 1，
1
对于③，sin sin = 12，由 sin sin =
sin · sin = 1 12，得 = 1，
因此都可以用与①相同的方法求出△ 的面积 △ 及 边上的高 ．
2. 在△ ABC中， 3sin A cos A 3,b 2 3 ， a 2,b2 a2 c2 .求：
1
（Ⅰ） tan 2A的值；
（Ⅱ） c和面积 S的值．
【参考答案】
解：（Ⅰ）因为 3 sin A cos A 3,
所以 2sin(A ) 3,
6
sin(A ) 3即 .
6 2
又 0 A ,
A 7 所以 ,
6 6 6
A 2 所以 ,或 A ,
6 3 6 3
A A 得 或 .
6 2
因为 a 2,b 2 3 ，
所以 a b, A不是最大角，得 A ，
6
所以 tan 2A tan 3.
3
a b 2 2 3
（Ⅱ）由正弦定理 ，可得 .
sin A sin B sin sin B
6
sinB 3所以 .
2
因为 b2 a2 c2，
a2 2 2
所以 cos B c b 0 ，
2ac
所以 B ,
2
2
所以 B ,C ,
3 6
1
所以 c a 2, S ab sinC 3.
2
2
3. 若△ ABC同时满足条件①、条件②、条件③、条件④中的三个，请选择一组这样的三个
条件并解决下列问题：
（Ⅰ）求边 a的值；
（Ⅱ）求△ ABC的面积.
条件①： acos A bsin A；
条件②： b a 2；
1
条件③： sinC ；
2
条件④： c2 cosC 10 3 12 .
注：如果选择多组条件分别解答，按第一个解答计分.
【参考答案】
解：因为 acos A bsin A，由正弦定理得， sin Acos A sinBsin A
又因为 A (0, )，所以 sin A 0，
所以 cos A sinB .
由于 sinB 0，所以 cos A 0，
又因为 A (0, )，所以 A (0, ) .
2
当 A (0, )时， cos A (0,1)，
2
而 sin B (0,1),B (0, )时， B的取值最多两个.
当 A (0, ) 时， B A或 B A ，
4 2 2
此时，C 或C 2A (0, ) .
2 2 2
当 A [ , ) 时，因为 2A ( ,0] C ，所以 ，即 C不可能为钝角.
4 2 2 2 2
由条件④知， cosC 0， C为钝角，
所以条件①和条件④不能同时满足.
因此有两种情况的解答：
选择条件①②③
因为 C不可能为钝角，
3
又因为 sinC 1 ，所以 C .
2 6
因为 cos A sinB，且 sin B sin(A C)，
所以 cos A sin(A ) 3 sin A 1 cos A
6 2 2
1
所以 cos A 3 sin A，
2 2
即 tan A 3 ，
2
又因为 A (0, )，
A 所以 ， B A C .
6 3
在△ ABC a b中，由正弦定理，
sin A sin B
所以 asinB bsin A，
b a 3 1又因为 2，所以 a (a 2) .
2 2
所以 a 3 1，又因为 A C，所以 c 3 1， b a 2 3 3 .
1
（Ⅱ） SV ABC ab sinC
1
( 3 1)( 3 3) 1 3 3 ,
2 2 2 2
3
所以△ ABC的面积为 3 .
2
选择条件②③④
由条件④知， cosC 0， C为钝角，
sinC 1 3又因为 ，所以 C ，所以 cosC .
2 6 2
又因为 c2 cosC 10 3 12，所以 c2 20 8 3 .
在中，由余弦定理， c2 a2 b2 2abcosC ,得
20 8 3 a2 (a 2)2 2a(a 2)( 3 )，
2
整理得 a2 2a 8 0，解得 a 2或 a 4（舍）.
（Ⅱ）此时 b a 2 4，
1
所以 SV ABC ab sinC
1
2 4 1 2 ,
2 2 2
4
所以△ ABC的面积为 2 .
5
*（有余力学生选用）在四边形 ABCD中， ABD 300， BCD 1200 .
（1） 连接 BD，从下列三个等式中再选择两个作为条件，剩余的一个作为结论，要求构
成一个真命题，并给出证明；
① AB AD 6；② BD 3AD；③ AB 4sin ADB
备选：连接 BD，从上述三个等式中再选择两个作为条件，剩余的一个作为结论，
构成一个命题，判断该命题的真假并给出证明；
（2） 在（1）中真命题的条件下，求△ BCD的周长的最大值；
（3） 在（1）中真命题的条件下，连接 AC，求△ ABC的面积的最大值.
【参考答案】
（1）①② ③为假命题，证明如下：
在△ ABD中，因为 BD 3AD， ABD 30 ，
由正弦定理， sin A 3sin ABD 3 ，
2
因为 A (0, )，所以 A 60 或 A 120 .
当 A 60 时， ADB 90 ，
所以 AB 2AD，
又因为 AB AD 6，
所以 AB 4， AD 2 .
此时 sin ADB 1，
所以 AB 4sin ADB成立.
当 A 120 时， ABD ADB 30 ，
所以 AB AD，
又因为 AB AD 6，
所以 AB AD 3 .
此时 sin 1 ADB ，
2
AB 4sin ADB .
综上①② ③为假命题.
②③ ①为假命题，证明如下：
因为 AB 4sin ADB， ABD 30 ，
AB 1
所以 AD sin ABD 4 2，
sin ADB 2
所以 BD 3AD 2 3 .
BD AD
因为 ，
sin A sin ABD
2 3 1
所以 sin A 2 3 .
2 2
6
因为 A (0, )，所以 A 60 或 A 120 .
当 A 60 时， ADB 90
此时 AB 4，
所以 AB AD 6 .
当 A 120 时， ADB 30 ，
此时 AB AD 2，
AB AD 6 .
综上②③ ①为假命题.
①③ ②为真命题，证明如下：
AD AB
由正弦定理：
sin ABD sin ADB
所以 AD AB 1 sin ABD 4 2，
sin ADB 2
因为 AB AD 6，
所以 AB 4，
所以 sin ADB 1，
ADB 90
所以 BD AB cos30 2 3 3AD，
证毕.
（2）由（1）知，△ ABD为直角三角形，且 AB 4， BD 2 3， AD 2，
BCD cos BCD BC
2 CD2 BD2
在△ 中，由余弦定理： ，
2 BC CD
1 (BC CD) 2 2BC CD 12
得 ，
2 2 BC CD
整理得 (BC CD)2 BC CD BC CD 12 ( )2 12，
2
3
所以 (BC CD)2 12
4
所以 BC CD的最大值为 4，
当且仅当 BC CD 2时上式等号成立.
所以△ BCD的周长最大值为 4 2 3 .
（3） 在（1）中真命题的条件下， BD 2 3， AB 4， ABD .
6
设 BC m，m 0, 2 3 ； DBC 0, ， .
3
7
BCD BC BD m 2 3 在△ 中，因为 ，即 ，可得m 4sin
sin BDC sin BCD sin 2 3
sin
3 3
1
所以△ ABC的面积 S AB BC sin ABC 1 4msin
2 2
6
1
4 4sin
2 3
sin 6
8sin
cos
3 3
4sin 2 2
3
2 2
因为 0, ，所以 2 0, .
3 3 3
2 2 所以当 ，即 时，△ ABC的面积取得最大值 4 .
3 2 12
4. 如图，矩形 ACFE，AE 1，AE 平面 ABCD，AB / /CD， BAD 90 ，AB 1，CD 2，
平面 ADF 与棱 BE 交于点G . 再从条件①、条件②、条件③，这三个条件中选择一个作为
已知.
E
（Ⅰ）求证： AG / /DF；
（Ⅱ）求直线CF 与平面 ADF 夹角的正弦值；
F
BG
（Ⅲ）求 的值.
BE G A
D
条件①： AD 1；
B
条件②： AD 2；
条件③： AD 3 . C
【参考答案】
选择条件①
（Ⅰ）证明： z
因为CD / / AB，CF / / AE，且 AB AE A E
又因为 AB, AE 平面 ABE，CD,CF 平面CDF
所以平面 ABE / /平面CDF F
又因为 DF 平面CDF ，所以DF / /平面CDF G A
D y
因为 DF 平面 ADF
B
平面 ADF 平面 ABE AG x
8 C
所以DF / / AG，即 AG / /DF
（Ⅱ）解：
因为 AE 平面 ABCD， AB, AD 平面 ABCD
所以 AE AB， AE AB . 又 AB AD
如图，以 A为原点，分别以 AB ， AD， AE 所在直线为 x轴， y轴， z轴建立空间直角坐
标系 A xyz，则 A(0,0,0)， B(1,0,0)，C(2,1,0)，D(0,1,0)， E(0,0,1)， F (2,1,1)
所以CF (0,0,1)， AD (0,1,0)，DF (2,0,1)
设平面 ADF 的一个法向量为 n (x, y, z)
AD n 0 y 0
则 ，即
DF n 0 2x z 0
不妨令 x 1，则 y 0， z 2
所以 n (1,0, 2)
cos CF ,n C F n 2 2 5
|CF || n | 5 5
所以直线CF 2 5与平面 ADF 夹角的正弦值
5
（Ⅲ）设 BG BE， [0,1]
则 BG ( 1,0,1) ( ,0, )
AG AB BG (1,0,0) ( ,0, ) (1 ,0, )
又DF (2,0,1)
由（Ⅰ）知 AG / /DF，所以 AG / /DF
1
所以 ，解得
1
[0,1]
2 1 3
BG 1
所以
BE 3
5. 在某地区，某项职业的从业者共约 8.5万人，其中约 3.4万人患有某种职业病．为了解这
9
种职业病与某项身体指标（检测值为不超过 6的正整数）间的关系，依据是否患有职业病，
使用分层抽样的方法随机抽取了 100名从业者，记录他们该项身体指标的检测值，整理得到
如下统计图：
（Ⅰ）求样本中患病者的人数和图中 a，b的值；
（Ⅱ）在该指标检测值为 4的样本中随机选取 2人，求这 2人中有患病者的概率；
（III）某研究机构提出，可以选取常数 X n 0.5 (n N*0 )，若一名从业者该项身体指标检
测值大于 X0 ，则判断其患有这种职业病；若检测值小于 X0 ，则判断其未患有这种职业病．从
样本中随机选择一名从业者，按照这种方式判断其是否患有职业病．写出使得判断错误的概
率最小的 X0 的值及相应的概率（只需写出结论）．
【参考答案】
3.4
解：（Ⅰ）根据分层抽样原则，容量为 100 的样本中，患病者的人数为100 40人．
8.5
a 1 0.10 0.35 0.25 0.15 0.10 0.05，
b 1 0.10 0.20 0.30 0.40．
（Ⅱ）指标检测数据为 4 的样本中，
有患病者 40 0.20 8人，未患病者 60 0.15 9人．
设事件 A 为“从中随机选择 2 人，其中有患病者”．
C2 9
则 P(A) 9 ，
C217 34
所以 P(A) 1 P(A) 25 ．
34
（Ⅲ）使得判断错误的概率最小的 X0 4.5．
当 X0 4.5
21
时，判断错误的概率为 ．
100
10
6. 为迎接 2022年北京冬季奥运会，普及冬奥知识，某地区的小学学校联合开展了“冰雪答
题王”冬奥知识竞赛活动．现从参加冬奥知识竞赛活动的学生中随机抽取了 30名学生，将
他们的比赛成绩（单位：分）用茎叶图记录如图：
（1）求这组数据的中位数；
（2）从选出的 15名女生中随机抽取 2人，记其中测试成绩在 90分以上的人数为 X ，求 X
的分布列和数学期望；
（3）为便于普及冬奥知识，现从每所小学参加冬奥知识竞赛活动的学生中随机选取m个人
作为冬奥宣传志愿者，要求每所学校的志愿者中至少有 1人的“冰雪答题王”的测试成绩在
80分以上的概率大于 0.99．根据图表中数据，以频率作为概率，给出m的最小值.（只需写
出结论）
【参考答案】
(1)将 30个数字从小到大排序：58，60，66，68，69，70，75，75，76，76，76，78，78，
79+82
78，79，82，84，86，86，86，87，88，90，92，92，95，96，98，98，98.则中位数是 =80.5 .
2
(2) 选出的 15名女生中 90分以上的有 3人，则 X 的取值范围为{0，1，2}.
2 0 1 1 0 2
P(X 0) C 12C3 22 P(X 1) C12C3 12 P(X 2) C12C3 12 2 C 35 C 35 C2
15 15 15 35
故 X 的分布列为
X 0 1 2
P 22 12 1
35 35 35
22 12 1 2
X 的数学期望E(X ) 0 1 2 .
35 35 35 5
(3) m的最小值为 7.
根据图表中数据，30人中有 15人的成绩在 80分以上，由频率估计概率，随机抽取 1 人，
15 1
该人成绩在 80分以上的概率为 .
30 2
设每所学校的志愿者中至少有 1人的“冰雪答题王”的测试成绩在 80分以上为事件 A.
m
则 P(A) 1 1 0.99 ,则m 7.故m的最小值为 7.
2
11
7. 2已知函数 f (x) ax (x2 2x 2)ex．
（Ⅰ）证明：不论 a取何值，曲线 y f (x)均与一条定直线相切，并求出该切线方程；
（Ⅱ）若 0 为函数 f (x)的极小值点，求 a的取值范围；
（III）曲线 y f (x)是否存在两个不同的点关于 y轴对称，若存在，请给出这两个点的坐
标及此时 a的值，若不存在，请说明理由.
【参考答案】
解：(Ⅰ) f '(x) 2ax (x2 2x 2 2x 2)ex 2ax x2ex
易得 f '(0) 0, f (0) 2均与 a无关，
所以不论 a取何值，曲线 y f (x)都与定直线 y 2相切.
(Ⅱ) f '(x) 2ax x2e x x(2a xe x )
设 g(x) xex，则 g '(x) (x 1)e x，
当 x 1时 g '(x) 0，即函数 g(x)在[ 1, )上单调递增，且 g(0) 0 .
○1 当 a 0时 f '(x) x2e x 0，函数 f (x)在R 上单调递增，无极值，不符；
○2 当 a 0时，由函数 g(x)的性质可知:
存在 x1 0，当 x (0, x1)时， f '(x) 0，
函数 f (x)单调递减，与 0为函数 f (x)的极小值点矛盾，不符；
○3 当 a 0时，由函数 g(x)的性质可知:
存在 x2 0，当 x (x2 , 0)时， f '(x) 0， f (x)单调递减，
又因为当 x (0, )时， f '(x) 0， f (x)单调递增，
所以 0为函数 f (x)的极小值点，符合.
综上有a (0, ) .
（III）不存在，理由如下：
12
设 h x (x2 2x 2)ex，由(Ⅱ)可知函数 h(x)在R 上单调递增，
假设曲线 y f (x)存在两个不同的点关于 y轴对称，
设其坐标分别为 (x0 , y0 ), ( x0 , y0 )，其中 x0 0 .
由 f (x0) f ( x0)得：h(x0) h( x0)，
与 h(x)在R 上单调递增矛盾，
所以曲线 y f (x)不存在两个不同的点关于 y轴对称.
3 1
8. 已知焦点在 x轴上，中心在原点，离心率为 的椭圆经过点M (1, ),动点 A,B (不与
2 2
定点M 重合)均在椭圆上,且直线MA与MB的斜率之和为 1，O为坐标原点.
（Ⅰ）求椭圆G 的方程；
（Ⅱ）求证直线 AB经过定点;
(Ⅲ) 求△ ABO的面积 S 的最大值.
【参考答案】
x2 y2
解: （Ⅰ）设椭圆G : 2 2 1(a b 0)
3
的离心率为 ,
a b 2
c 3
可知 ,又因为 a 2 b 2 c 2 ,所以 a 2 4b 2 .
a 2
1 1 1 2 1
由定点M (1, )在椭圆上可得 22 2 1,故b , a 2 .2 a 4b 2
2
所以椭圆G的方程为 x 4y2 2.
t 1 1 t
（Ⅱ）当直线 AB与 x轴垂直时，设 A(s, t)(s 1)，则 B(s, t).由题意得： 2 2 1，
s 1 s 1
即 s 0 .所以 直线 AB的方程为 x 0 .
当直线 AB不与 x轴垂直时，可设直线 AB为 y kx m， A(x1 , y1 ),B(x2 , y2 )，
将 y kx m x2 4y2 2 (1 4k2)x2 8kmx 4m2代入 得 2 0.
x x 8km 4m
2 2
所以 1 2 2 ， x1 x2 2 .1 4k 1 4k
13
y 1 y 11 2
由直线MA与MB的斜率之和为 1 可得 2 2 1①，
x1 1 x2 1
将 y1 kx1 m和 y2 kx2 m代入①，
并整理得 (2k 1 1)x1x2 (m k )(x1 x2 ) 2m 0②，2
8km 4m2x 2将 1 x2 2 ， x1 x2 代入②1 4k 1 4k 2
2km 2m2并整理得 2k m 1 0，
分解因式可得 (2k 2m 1)(m 1) 0，
AB y kx m M (1, 1因为直线 ： 不经过点 )，所以 2k 2m 1 0，故m 1 .
2
所以直线 AB的方程为 y kx 1，经过定点 (0, 1) .
综上所述，直线 AB经过定点 (0, 1) .
1
(Ⅲ) 由（Ⅱ）可得： 32k 2 8 0 2， k .
4
2
AB 1 k 2 x x 1 k 2 (x x )2 4x x 1 k 2 2 2 4k 1 1 2 1 2 1 2 .4k 2 1
1
因为 坐标原点O到直线 AB的距离为 ，
1 k 2
S 2 4k
2 1 2 1
所以 △ ABO的面积 2 （ k ）.4k 1 4
2
令 4k 1 t 2t 2 2 1，则 t 0，且 S 2 ，t 2 t 2 2 2 2
t
1
当且仅当 t 2 3，即 k 时，△ ABO的面积 S 取得最大值 .
2 2
14
2 2
9. x y已知点 A，B在椭圆 1(a b 0)上，点 A在第一象限，O为坐标原点，且
a2 b2
OA AB .
（1）若 a 3,b 1，直线OA的方程为 x 3y 0，求直线OB的斜率；
b
（2）若△OAB是等腰三角形(点 O，A，B按顺时针排列)，求 的最大值.
a
【参考答案】
x2
解：（1）由 a 3，b 1，得椭圆方程为 y2 1.
3
x2 3 3
y2 1,
x , x ,
2 2
由 3 得 或1 1 x 3y 0, y y . 2 2
A 3 1 因为点 A在第一象限，所以 , .
2 2
又OA AB，
1 3
所以直线 AB的方程为 y 3 2
x ，即3x y 5 0 .
2
x2 x 12 3y2 ,
x ,
1, 7 2 B 12 , 13 由 得 或 所以1 1
，
3x y 5 0, y y ,
7 7
7 2
1 1
所以直线OB的斜率为 k 7OB 12 .12
7
1
（2）法 1：设直线OA的斜率为 k(k 0)，则直线 AB的斜率为 .
k
15
因为 OAB是等腰直角三角形(点 O，A，B按顺时针排列)，
所以设 A x1, y1 ,B x2 , y2 , (x1 0, y1 0, x1 x2 ) .
又OA AB，所以 x2 y2 x 21 1 1 x2 y1 y2
2
，
1 1
2
得 y 1 1
k 2 1 k
x1 x2 .
所以 y1 x2 x1，即 x2 x1 y1 .
y
OA AB 1
y2 y 1又由 ，得 1，所以 y2 yx x x 1 x1 .1 2 1
2 2
因为点 A x1, y1 ， B x1 y1, y1 x x y1 在椭圆 1上，
a2 b2
x2 y21 1
2
1,
a b2 x21 y
2
1 x1 y
2 y x 2
所以 所以 1 1 1 .
x y
2 y 2 x a2 b2 2 21 1 1 1 a b
1, a2 b2
2
y y
整理得b2 1 2 a2 b2 1 a2 0 .
x1 x1
2 2 2 4 a b 4a2b2 0 a2 b2 2 2所以 ，即 ab a b ab 0 .
因为a2 b2 ab 0，
2
a2 b2
b
ab 0
b
所以 ，即 1 0，
a a
b 5 1
所以 ，
a 2
y 2 a2 b21 a2 5 1 b当 k 1 5 1时， 取最大值 .
x 2 21 2b b 2 a 2
法 2：设直线OA的斜率为 k(k 0)，倾斜角为 0 90 .
因为 OAB是等腰直角三角形(点 O，A，B按顺时针排列)，且OA AB，
所以直线OB的斜率为 kOB tan 45 或 kOB tan 135 .
16
所以 k k 1OB .1 k
设 A x1, y1 ， B x2 , y2 ， x1 0, y1 0, x1 x2 .
y kx,
a2b2
由 x2 y2 得 x2 .
1, 1 b2 2 2 a
2k 2
a b
y k 1 x, x2 a
2b2 a2b2 (1 k )2
1 k 2 2
由 2 2 得 2 2 k 1 b
2 (1 k )2 a2 (1 k )2 .
x y b a
2 2 1,
1 k
a b
2
又OB 2OA，所以2OA2 OB2，得2 1 k 2
x2 1 k 1
2
1 x ，
1 k
2
a2b2 2 2 k 1
2 2
2 1 k 1 a b (1 k)
2
.
b2 a2k 2 1 k b2(1 k)2 a2 (k 1)
2
b2 2整理得 k 2 b2 a2 k a2 0，
所以 4 b2 2 2 2 a 4a2b2 0，即 a2 b2 a2b2 0，
所以 a2 b2 ab a2 b2 ab 0 .
因为a2 b2 ab 0，
b 2
所以 a2
b
b2 ab 0 ，即 1 0，
a a
b 5 1
所以 ，
a 2
2 b2 a2
k a
2
1 5 1
b 5 1
当 2 2 时， 取最大值 .2b b 2 a 2
172024 年北京市海淀区高三数学查漏补缺题选
说明：1.可根据学生实际选用或改编；
2.本练习题目目的是提醒学生 4次统练未关注到的点，或重点知识，或变式的形式，学生不
必全做；
3.提供的答案仅供参考；
4.老师们使用时，重点引导学生学会破题，提升学生思维的灵活性；
5.部分题目选用自学校的练习题或高考题，再此表示感谢.
1.在△ABC中，内角 A,B,C所对的边分别为a,b,c．已知 A B ，c 3，若________．
3
在横线上选择下面一个序号作为条件，求△ABC的面积 S△ABC及 c边上的高 h．
a b 6 a b 10 sin Asin B 1① ；② ；③ ．
12
2. 在△ ABC中， 3sin A cos A 3,b 2 3 ， a 2,b2 a2 c2 .求：
（Ⅰ） tan 2A的值；
（Ⅱ） c和面积 S的值．
3. 若△ ABC同时满足条件①、条件②、条件③、条件④中的三个，请选择一组这样的三个
条件并解决下列问题：
（Ⅰ）求边 a的值；
（Ⅱ）求△ ABC的面积.
条件①： acos A bsin A；
条件②： b a 2；
1
条件③： sinC ；
2
条件④： c2 cosC 10 3 12 .
注：如果选择多组条件分别解答，按第一个解答计分.
*（有余力学生选用）在四边形 ABCD中， ABD 300， BCD 1200 .
（1） 连接 BD，从下列三个等式中再选择两个作为条件，剩余的一个作为结论，要求构
成一个真命题，并给出证明；
① AB AD 6；② BD 3AD；③ AB 4sin ADB
备选：连接 BD，从上述三个等式中再选择两个作为条件，剩余的一个作为结论，
构成一个命题，判断该命题的真假并给出证明；
（2） 在（1）中真命题的条件下，求△ BCD的周长的最大值；
1
（3） 在（1）中真命题的条件下，连接 AC，求△ ABC的面积的最大值.
4. 如图，矩形 ACFE，AE 1，AE 平面 ABCD，AB / /CD， BAD 90 ，AB 1，CD 2，
平面 ADF 与棱 BE 交于点G . 再从条件①、条件②、条件③，这三个条件中选择一个作为
已知.
E
（Ⅰ）求证： AG / /DF；
（Ⅱ）求直线CF 与平面 ADF 夹角的正弦值；
F
BG
（Ⅲ）求 的值.
BE G A
D
条件①： AD 1；
B
条件②： AD 2；
C
条件③： AD 3 .
5. 在某地区，某项职业的从业者共约 8.5万人，其中约 3.4万人患有某种职业病．为了解这
种职业病与某项身体指标（检测值为不超过 6的正整数）间的关系，依据是否患有职业病，
使用分层抽样的方法随机抽取了 100名从业者，记录他们该项身体指标的检测值，整理得到
如下统计图：
（Ⅰ）求样本中患病者的人数和图中 a，b的值；
（Ⅱ）在该指标检测值为 4的样本中随机选取 2人，求这 2人中有患病者的概率；
（III）某研究机构提出，可以选取常数 X0 n 0.5 (n N
*)，若一名从业者该项身体指标检
测值大于 X0 ，则判断其患有这种职业病；若检测值小于 X0 ，则判断其未患有这种职业病．从
样本中随机选择一名从业者，按照这种方式判断其是否患有职业病．写出使得判断错误的概
率最小的 X0 的值及相应的概率（只需写出结论）．
6. 为迎接 2022年北京冬季奥运会，普及冬奥知识，某地区的小学学校联合开展了“冰雪答
题王”冬奥知识竞赛活动．现从参加冬奥知识竞赛活动的学生中随机抽取了 30名学生，将
他们的比赛成绩（单位：分）用茎叶图记录如图：
2
（1）求这组数据的中位数；
（2）从选出的 15名女生中随机抽取 2人，记其中测试成绩在 90分以上的人数为 X ，求 X
的分布列和数学期望；
（3）为便于普及冬奥知识，现从每所小学参加冬奥知识竞赛活动的学生中随机选取m个人
作为冬奥宣传志愿者，要求每所学校的志愿者中至少有 1人的“冰雪答题王”的测试成绩在
80分以上的概率大于 0.99．根据图表中数据，以频率作为概率，给出m的最小值.（只需写
出结论）
7. 已知函数 f (x) ax2 (x2 2x 2)ex．
（Ⅰ）证明：不论 a取何值，曲线 y f (x)均与一条定直线相切，并求出该切线方程；
（Ⅱ）若 0 为函数 f (x)的极小值点，求 a的取值范围；
（III）曲线 y f (x)是否存在两个不同的点关于 y轴对称，若存在，请给出这两个点的坐
标及此时 a的值，若不存在，请说明理由.
3 1
8. 已知焦点在 x轴上，中心在原点，离心率为 的椭圆经过点M (1, ),动点 A,B (不与
2 2
定点M 重合)均在椭圆上,且直线MA与MB的斜率之和为 1，O为坐标原点.
（Ⅰ）求椭圆G 的方程；
（Ⅱ）求证直线 AB经过定点;
(Ⅲ) 求△ ABO的面积 S 的最大值.
x2 y29. 已知点 A，B在椭圆
2 2 1(a b 0)上，点 A在第一象限，O为坐标原点，且a b
OA AB .
（1）若 a 3,b 1，直线OA的方程为 x 3y 0，求直线OB的斜率；
b
（2）若△OAB是等腰三角形(点 O，A，B按顺时针排列)，求 的最大值.
a
3
