河北省2024届高三年级大数据应用调研联合测评(Ⅷ)
数学参考答案及解析
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 A D C C D B C D BCD ABD ACD
【 解析】 4-i 3+5i 17+17i 1 11.A z= , 复数 在复平面内对应的点所在的象限为第一象 3-5i 3+5i = 2 2 =2+2i∴ z3+5
限,故选A.
2.D 【解析】将P 点坐标代入抛物线方程得p=1,故抛物线的准线方程为
1
y=- .故选2 D.
3.C 【解析】A=(-∞,-1],B=(-2,2),C=(-3,1),则( RA)∩(B∩C)=(-1,1),故选C.
4.C 【解析】如 图,AN→
1
= A→
1 1
C+ AM→= A→
1 →,
2 2 2 C+3AB AN
→·CB→= 1 12A→C+3AB→ AB→-A→C =
1 →2 1 →· → 1 →2 1 1 9AB + AB AC- AC =12+ ×6×3× - =9,故选3 6 2 6 2 2 C.
2
5.D 【解析】设
a -3
g(x)= x +a,h(x)=loga x2+1-x ,∴h(-x)=-h(x),h(x)是奇函数,a -1
2 2
∴g(x)也是奇函数,则g(-x)=-g(
a -3 a -3
x), -x +a=-a -1 ax
-a,解得a=3,故选D.
-1
6.B 【解析】取PC 中点H,连接 MH 交PN 于D,∴PN⊥MH,PN⊥平面AMH,∴AD⊥PN,D 是
2
PN 的中点,∴PA=AN= 3,设△ABC 的中心为O,∴PO= PA2-AO2= 3- 23 15= ,3 V=3
1 3 2 15 5× ,故选3 4×2× 3 =3 B.
7.C 【解析】设切点为M,连接PF1,由已知|OP|=|OF2|=|OF1|,∴PF1⊥PF2,∵OM⊥PF2,∴OM∥
b 2 c 5
PF1,|PF1|=b,|PF2|=2a-b,∴b2+(2a-b)2=4c2=4(a2-b2), , 故选a=3e=a=3. C.
8.D 【解析】由
lnx+1 lnx+1
f x =0可得a= ,令x g x =
,其中
x x>0
,
则直线 lnxy=a 与函数g x 的图象有两个交点,g' x =-x2
,
由g' x >0可得0
由g' x <0可得x>1,即函数g x 的单调递减区间为 1,+ㄠ ,
且当 1 lnx+1 1 lnx+10,当 时, ,如下图所示:
x <0 x>e g x = x >0
Z
Z H Y
Z B
0 Y Y Y
F
由图可知,当0高三数学参考答案 第 1页(共6页)
{#{QQABRYSQogAIQJBAARhCAw0QCgOQkBECCIoGRBAMsAAACANABAA=}#}
由图可知,1 ,
e因为 1 1-axf' x = -a= ,由 可得
1 1
x x f' x >0 0,由f' x <0可得 ,a x>a
所以,函数 1 1 1f x 的增区间为 0, ,减区间为 , ㄠ ,则必有 ,a a + 0所以, 1,则2 10
,
a
令 1h x = 2f a-x -f x =ln 2a-x -a 2a-x -lnx+ax,其中01 2
1 1 2a x-则 a h' x = - +2a= <0,则函数h x 在 0,1 上单调递减,2 x 2
x- x x- aa a
所以,h x1 >h 1a =0,即f 2a-x1 -f x1 >0,即f x 21 又f x2 =0,可得
2
f x2 因为函数f x 的单调递减区间为 1, ,则 2 2ㄠa + x2>a-x1,即x1+x2> ,故B错误;a
ax1=lnx1+1, ln xx +2由 两式相加整理可得x 1 2 21+x2= > ,ax2=lnx2+1 a a
所以,ln x1x2 >0,可得x1·x2>1,故C错误;
由图可知1 1 1
e,则-x1>-1,又因为x2> ,所以, ,故 正确 故选a x2-x1>a-1 D . D.
9.BCD 【解析】g(x)=sin
4 π π3 x+ - 6 =sin 4 π4 3x+ 6 =-cos 4 π π3x+6+2 =-cos 4 2π3x+ ,3
故 4 2π πA错误;由g π =1,得B正确;由 π ,得4 g -8 =0 C正确;由2kπ≤3x+3≤π+2kπ,得-2+
3k π 3k
π≤x≤ + π,当k=0时,
π π
- ≤x≤ ,故 正确2 4 2 2 4 D .
故选BCD.
2
10.ABD 【解析】由|PA|= 2|PB|得:x2+(y- 2)2=2x2+ 2 2 2y- ,即x +y =1,面积为π,A 2
正确;点B 在圆内,由图知
2 π
|PB|最小值为1- ,B正确,过A 向圆引切线,两条切线夹角为 ,C不正2 2
确.过点 1,1 的直线与点P 的轨迹交于点M,N,则MN 的最小值为 2,D正确,故选2 2 ABD.
11.ACD 【解析】由已知得am-1+am+2=am+am+1=0,若d<0,am>0,am+1<0,A正确;当d<0时,Sm
是Sn 的最大值,B不正确;3d(am-1+am+2)=3d(am+am+1),∴(am+2-am-1)(am-1+am+2)=3(am+1
-a )(a +a 2 2 2 2m m m+1),∴3am+am+2=am-1+3am+1,C正确;同理am-1+am+1=-(am+2+am),两边乘以
2d 得(am-1+am+1)(am+1-am-1)=-(am+2+am)(am+2-am),整理得a2 2 2 2m-1+am=am+1+am+2,故D
正确.故选ACD.
1
12.【答案】-3
2
【解析】 2 2 cosα-sin
2α 1-tan2α 1
cos2α=cosα-sinα= 2 2 = 2 =- .sinα+cosα 1+tanα 3
1
13.【答案】4
高三数学参考答案 第 2页(共6页)
{#{QQABRYSQogAIQJBAARhCAw0QCgOQkBECCIoGRBAMsAAACANABAA=}#}
【解析】方法一:令 1m=1,∴4(a1+a2+a3)+a1=5(a1+a2),a2=4a3,q=4.
S -S m
方法二:22m(
1
S3m-S2m)=S2m-S ,∴ m=
3m 2m 1
m q ,S2m-S
= 4 ∴q=4.m
14.【答案】10(2分)
1
(3分)6
【解析】先将122排好,有三种排法122,212,221,然后将三个3插入,对于122,先将两个2中间插入一
个3,将剩下的两个3插入三个空隙有C23=3种插法,同理,221也有3种插法,对于212,四个空隙,插入
A6
三个3,有C34=4种插法,共有10种.而这6个数组成的六位数共有
6 种,其概率为10 12 3=60 60= .A2A3 6
15.【解】(1)设“该同学对该题不会空选”为事件A,“该同学选择两个选项”为事件B,且B A. …… 1分
3
P(A)
7
=1- 1 = ,…………………………………………………………………………………… 2分2 8
3 3
P(B)=C23 1 = ,…………………………………………………………………………………… 分2 8 3
P(AB)=P(B), ………………………………………………………………………………………… 4分
( )
由条件概率, ( ) P AB 3P B|A =P(A)=
………………………………………………………………… 分
7. 6
(2)由已知,X=0,3,6,…………………………………………………………………………………… 7分
3
1
P(X=6)
2 1
= ( )= , …………………………………………………………………………………P A 7 8
分
3
2 12 2
P(X=3)= ( )= ,………………………………………………………………………………… 分P A 7 9
( 4P X=0)= .……………………………………………………………………………………………7 10
分
其分布列为
X 0 3 6
4 2 1 ……………………………………………………… 12分P 7 7 7
( 4 2 1 12E X)=0×7+3×
…………………………………………………………………… 分
7+6×7=7. 13
16.【解】(1)方法一:连接FC,交C1E 于H,连接DH, ………………………………………………… 1分
∵BF 平面BFC,BF∥平面DEC1,
平面BFC∩平面DEC1=DH,
∴BF∥DH. ……………………………………………………………………………………………… 3分
FH BD
∴ = =1, …………………………………………………………………………………………HC DC 4
分
∵FC1∥EC,
∴FC1=EC,……………………………………………………………………………………………… 5分
∴A1F=2FC1,
∴F 是A1C1 的靠近点C1 的三等分点.………………………………………………………………… 6分
方法二:取AE 的中点G,连接BG,
∴BG∥DE, ……………………………………………………………………………………………… 1分
过G 作GF∥EC1 交A1C1 于F,连接BF,
高三数学参考答案 第 3页(共6页)
{#{QQABRYSQogAIQJBAARhCAw0QCgOQkBECCIoGRBAMsAAACANABAA=}#}
∴BG∥平面DEC1,GF∥平面DEC1,
∴平面BGF∥平面DEC1, ……………………………………………………………………………… 3分
∴BF∥平面DEC1,……………………………………………………………………………………… 4分
1
GE FC1= ,3A1C1
∴F 是A1C1 的靠近点C1 的三等分点.………………………………………………………………… 6分
(答出A1F=2FC1 等也给分) [
(2)设棱长为6,以DA、DB 为x、y 轴建立如图所示的空间直角坐标系,
" ' $
C(0,-3,0),C1(0,-3,6),E(3,-2,0),F(3,-2,6).………… 7分
∴DC→1=(0,-3,6),DE
→=(3,-2,6),DF→=(3,-2,6),……… 8分
设平面DFC1 的法向量为m=(x1,y1,z1), #
)
m·DF→=0, 3x -2 +6z =0, Y
∴ 1 y1 1m·DC→ ( &1=0,-3y $1+6z1=0, "
令x 3 %1=1,∴m= 1,- 3,-2 .………………………………… 10分 #
设平面DEC1 的法向量为n=(x2,y Z2,z2),
n
·DE→=0, 3x2-2 =0,∴ y2
n·DC→1=0, -3y2+6z2=0,
令x2=2,∴n= 2,3,3 .…………………………………………………………………………… 12分2
3
2-3-4 -7
所以 7 589cos= = = ,………………………· 14
分
3 3 19 31 589
1+3+ ·4 4+3+4
所以平面 与平面 夹角的余弦值为7 589DFC1 DEC1 . ……………………………………………589 15
分
17.【解】(1)在△ACD 中,由正弦定理得:
AC AD ,
sin∠ADC=sin∠ACD
即 23 2 , ………………………………………………………………………………… 分
sin120°=sin∠ACD 2
解得∠ACD=30°,………………………………………………………………………………………… 3分
在△ABD 中,由余弦定理得BD2=12+4-2×2×23cos150°=28,……………………………… 5分
BD=27.………………………………………………………………………………………………… 6分
(2)由已知∠BAD=120°+θ,∵∠ADB=15°,………………………………………………………… 7分
∴在
AB BD
△ABD 中, ,………………………………………………………………… 分sin15°=sin(120°+θ) 8
23sin(120°+θ)
BD= sin15° .
………………………………………………………………………………… 9分
∠DBA=45°-θ,∠CBD=θ-15°,
∠BDC=105°,∠BCD=90°-θ,……………………………………………………………………… 11分
BC BD
∴在△BCD 中, ,……………………………………………………………… 分sin105°=sin(90°-θ) 12
6cosθ 23sin(120°+θ)
∴BD= = ,…………………………………………………………………… 分cos15° sin15° 13
高三数学参考答案 第 4页(共6页)
{#{QQABRYSQogAIQJBAARhCAw0QCgOQkBECCIoGRBAMsAAACANABAA=}#}
∴tanθ=6-33. ……………………………………………………………………………………… 15分
18.【解】(1)如图,∵EH∥AF,∴∠HEB=∠FAB,……………………………………………………… 1分
又∵AF=BF,∴HE=HB, …………………………………………………………………………… 2分
"
Z
) #
& 0 ' Y
即 HF-HE=BF=23,当A,B 两点互换时,HE-HF=23,…………………………………… 4分
x2
∴H 点的轨迹是以E、F 为焦点,实轴长为23的双曲线,a= 3,c=2,b=1,即 -y23 =1.
……… 6分
(2)显然l与l1 的斜率存在,且不为0.设l1:y=k(x-2),P1(x1,y1),Q1(x2,y2),
将l1 的方程代入C 中整理得:(1-3k2)x2+12k2x-(12k2+3)=0, ……………………………… 7分
1-3k
2≠0,
则
Δ=144k4
①
+4 1-3k2 12k2+3, >0,
12k2 4k 6k2 2k
∴x1+x2= 2 ,y1+y2= 2 ,∴P1Q1 中点为M0 2 , 2 ,……………………… 8分3k -1 3k -1 3k -13k -1
用 1- 代换k可得
6 -2k
k P2Q2
的中点N0 , ,………………………………………………… 9分3-k2 3-k2
2k -2k
2 - 2
∴M0N0 的斜率也是MN 的斜率
3k -1 3-k 2k
k0= =-6k2 6 3(k2
, ……………………………
) 10分-1
-
3k2-1 3-k2
2k 2k 6k2
∴MN 的方程为y- =- x- ,当 =0时,x=3.3k2-1 3(k2-1) 3k2-1 y
∴MN 恒过点(3,0),…………………………………………………………………………………… 11分
设M(x3,y3),N(x4,y4),MN 的方程为ty=x-3,
代入C 中整理得:(t2-3)y2+6ty+6=0,…………………………………………………………… 12分
t
2-3≠0,
②
Δ=36t2-24 t2-3 >0,
-6t 6
∴y3+y4=t2
,
-3y3y4
= 2 , ……………………………………………………………………… 13分t -3
( -18 -27-3t
2
x3+x4=ty3+y4)+6= 2 ,x3x4= 2 ,………………………………………………… 14分t -3 t -3
∴FM→·FN→ (
6 19
= x3-2)(x4-2)+y3y4=1+ 2 = ,t -3 13
解得t2=16,t=±4,满足②,…………………………………………………………………………… 15分
2k 1
∴- 2 =± ,解得
1
k=±3或k=± ,( ) 满足
,
3k -1 4 3
①
或 1∴k=±3 k=± .……………………………………………………………………………………3 17
分
19.【解】(1)设切点A(t,et+t),y'=1+ex,……………………………………………………………… 1分
t
t t+e-b∴kPA=1+e= ,即关于t的方程(t-a t-a-1
)et+b-a=0有两个不相等的实数根.……… 2分
设f(t)=(t-a-1)et+b-a,∴f'(t)=(t-a)et=0,t=a,………………………………………… 3分
高三数学参考答案 第 5页(共6页)
{#{QQABRYSQogAIQJBAARhCAw0QCgOQkBECCIoGRBAMsAAACANABAA=}#}
故f(t)在t=a 处取得极小值也是最小值f(a)=b-a-ea,………………………………………… 4分
当t→+∞时,f(t)→+∞,当t→-∞时,f(t)→b-a,若满足方程有两个不相等的实数根,
b-a>0,则 ………………………………………………………………………………………… 5分b-a-ea<0,
∴0ln(b-a),a(b-a)>(b-a)ln(b-a), ………………………………………… 6分
设g(x)
1
=xlnx,∴g'(x)=1+lnx=0,x= ,……………………………………………………… 分e 7
∴g(x)在
1
x= 处取得最小值 1 1 1e g e =- ,e ∴a(b-a)>- .……………………………………e 8分
()设 ( , ), ( , 1 1 x x2 A x1 y1 B x2 y2),∴y0= (y1+y2)= (e1+e2)+x0.……………………………… 分2 2 9
由(1)知, (
b-a b-a
x1- a+1)+ x =0,x2-(a+1)+ x =0, ………………………………………… 10分
e1 e2
( )x1+x2
两式相减整理得: x1-x eb-a= 2x x , …………………………………………………………… 11分
e1-e2
( )x1+x2 x +x 2x1 2x1 2 2
(b-a)-(
x
-x )= 1
-x2 e 1(x1 x2) e y0 0 - e +e = 2(x1-x2)
e -e
x x 2 x x
- x1+x2 =e1-e2 2(e1-e2) e
x
e1
+x2 x -x 1
2(x -x )-e1 2- x -x ,…………………………………………………………… 13分
2(
x 1 2
e1
x
-e2) e1 2
x1+x2
不妨设x1>x2,m=x1-x2>0,
e
∴ x x >0,则h(m)=2m-(e
m-e-m),………………… 14分
2(e1-e2)
h'(m)=2-(em+e-m)≤2-2=0, …………………………………………………………………… 15分
∴h(m)在m∈(0,+∞)上单调递减,∴h(m)∴(b-a)-(y0-x0)<0,即a+y0>b+x0.………………………………………………………… 17分
高三数学参考答案 第 6页(共6页)
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绝密★启用前
河北省2024届高三年级大数据应用调研联合测评（Ⅷ）
数学
班级__________姓名__________
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名 班级和考号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一 选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.已知复数（为虚数单位），则复数在复平面内对应的点所在的象限为（ ）
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
2.抛物线过点，则其准线方程为（ ）
A. B.
C. D.
3.已知集合，则（ ）
A. B.
C. D.
4.在中，，则（ ）
A.-9 B. C.9 D.18
5.设，若函数是偶函数，则（ ）
A. B. C.2 D.3
6.在正三棱锥中，分别是的中点，，则三棱锥的体积为（ ）
A. B. C. D.
7.已知椭圆的左 右焦点分别为，过向圆引切线交椭圆于点为坐标原点，若，则椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
8.已知函数有两个零点，且，则下列命题正确的是（ ）
A. B.
C. D.
二 多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9.已知函数的图象向左平移个单位后得到的图象，则下列结论正确的是（ ）
A.
B.的图象关于对称
C.的图象关于对称
D.在上单调递增
10.已知，动点满足，则下列结论正确的是（ ）
A.点的轨迹围成的图形面积为
B.的最小值为
C.是的任意两个位置点，则
D.过点的直线与点的轨迹交于点，则的最小值为
11.已知数列是公差为的等差数列，若它的前项的和，则下列结论正确的是（ ）
A.若，使的最大的值为
B.是的最小值
C.
D.
三 填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.第14题第一空2分，第二空3分）
12.已知，则__________.
13.已知正项等比数列的前项和为，若且，则数列的公比为__________.
14.一个1，两个2，三个3组成一个六位数，则相同数字不相邻的个数为__________.相同数字不相邻的概率为__________.
四 解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明 证明过程或演算步骤）
15.（本小题满分13分）某公司招聘大学生的笔试测试题有一道6分的不定项选择题，共有A B 三个选项，该不定项选择题正确答案最少一个选项，最多三个选项，全部选对得6分，部分选对得部分分，即若有三个选项正确，某同学选择了两个正确选项，可得4分，选择一个正确选项可得2分，有选错的得0分，若有两个正确选项，选择一个正确选项可得3分，有选错的得0分.某同学三个选项均不会做，只能靠运气猜，每个选项选与不选的概率均占.已知该同学对该题选择了若干个答案，不会不选.
（1）求该同学对该题选择两个答案的概率；
（2）若该题正确答案是，求该同学得分的分布列和数学期望.
16.（本小题满分15分）在棱长均相等的正三棱柱中，是的中点，是的三等分点，且.
（1）在棱上找一点，使平面；
（2）在（1）的条件下，求平面与平面夹角的余弦值.
17.（本小题满分15分）如图，在平面四边形中，，设.
（1）若，求的长；
（2）若，求.
18.（本小题满分17分）已知圆，过的直线与圆交于两点，过作的平行线交直线于点.
（1）求点的轨迹的方程；
（2）过作两条互相垂直的直线交曲线于交曲线于，连接弦的中点和的中点交曲线于，若，求的斜率.
19.（本小题满分17分）过点可以作曲线的两条切线，切点为.
（1）证明：；
（2）设线段中点坐标为，证明：.