八年级数学上册试题 19.6轨迹 -沪教版（含解析）

19.6轨迹
一、选择题．
1．利用尺规作∠AOB的角平分线OC的作图痕迹如图所示，说明∠AOC＝∠BOC用到的三角形全等的判定方法是（　　）
A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS
2．如图，已知线段a＞b，求作线段a﹣b．作法：画射线AM，在射线AM上截取AB＝a，在线段AB上截取BC＝b，那么所求的线段是（　　）
A．AC B．BC C．AB D．BM
3．如图，利用尺规作∠AOB的角平分线OC的作法，在用尺规作角平分线时，用到的三角形全等的判定方法是（　　）
A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS
4．已知线段a，b，c，求作线段x使得ac＝bx，则作法错误的是（　　）
A． B．
C． D．
5．如图，过△ABC的顶点A，作BC边上的高，以下作法正确的是（　　）
A． B．
C． D．
6．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于MN长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD＝2，AB＝7，则△ABD的面积是（　　）
A．7 B．30 C．14 D．60
7．如图，在已知的△ABC中，按以下步骤作图：①分别以B、C为圆心，以大于二分之一BC的长为半径作弧，两弧相交于点M、N；②作直线MN交AB于点D，连接CD，若CD＝AD，∠B＝20°，则下列结论中错误的是（　　）
A．∠ACD＝70° B．∠ACB＝90°
C．∠CAD＝40° D．点D为△ABC的外心
8．如图，已知在△ABC中AB＝AC，AB＝8，BC＝5，分别以A、B两点为圆心，大于AB的长为半径画圆弧，两弧分别相交于点M、N，直线MN与AC相交于点D，则△BDC的周长为（　　）
A．15 B．13 C．11 D．10
9．按以下步骤进行尺规作图：（1）以点O为圆心，任意长为半径作弧，交∠AOB的两部OA、OB于D、E两点；（2）分别以点D、E为圆心，大于DE的长为半径作弧，两弧交于点C；（3）作射线OC，并连接CD、CE．给出下列结论：①OC垂直平分DE；②CE＝OE；③∠DCO＝∠ECO；④∠1＝∠2．其中正确结论的个数是（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
10．如图，已知直线AB和AB上一点C，过点C作直线AB的垂线，步骤如下：
第一步：以点C为圆心，以任意长为半径作弧，交直线AB于点D和点E；
第二步：分别以点D和点E为圆心，以a为半径作弧，两弧交于点F；
第三步：作直线CF，直线CF即为所求．
下列关于a的说法正确的是（　　）
A．aDE的长 B．aDE的长 C．aDE的长 D．aDE的长
二、填空题
11．如图，过直线外一点D画已知直线AB的平行线．首先画直线AB，将三角尺的一边紧靠直线AB，将直尺紧靠三角尺的另一边；然后将三角尺沿直尺下移；最后当三角尺原紧靠直线AB的那一边经过点D时，画直线CD．这样就得到CD∥AB．这种画法的依据是 　 　．
12．用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如图，则可说明∠A′O′B′＝∠AOB，其中判断△COD≌△C′O′D′的依据是　 　．
13．在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD．如果BC＝5，CD＝2，那么AD＝　 　．
14．如图，在已知的△ABC中，按以下步骤作图：
若CD＝AC，∠A＝50°，则∠ACB的度数为　 　．
①分别以B，C为圆心，以大于BC的长为半径作弧，两弧相交于两点M，N；
②作直线MN交AB于点D，连接CD．
15．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，以B为圆心，BC为半径作弧，交AB于点D，分别以C，D为圆心，大于CD长为半径作弧，两弧交于点E，射线BE交AC于点F，若AF＝4，则BD的长为 　 　．
16．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，利用尺规在BC，BA上分别截取BE，BD，使BE＝BD；分别以D，E为圆心、以大于DE的长为半径作弧，两弧在∠CBA内交于点F；作射线BF交AC于点G．若CG＝1，P为AB上一动点，则GP的最小值为 　 　．
17．如图，在△ABC中，AC＝8，AB＝6，BC＝9，以点A为圆心，以适当长为半径作弧，分别交AB、AC于点M、N，再分别以M、N为圆心，以大于MN的长为半径作弧，两弧在∠BAC内部交于点G，作射线AG交BC于点D，点F在AC上且AF＝AB，连接DF，则△CDF的周长为 　 　．
18．如图，在△ABC中，∠A＝50°，∠B＝80°，观察图中尺规作图的痕迹，则∠DCE的度数为 　 　．
三、解答题
19．如图所示，一辆汽车在笔直的公路AB上由A向B行驶，M，N分别是位于公路AB两侧的村庄，请利用尺规作图法，在AB上找一点C，使得汽车行驶到C处时，到村庄M，N的距离相等．（保留作图痕迹，不写作法）
20．如图，在△ABC中，∠C＝90°．
（1）用尺规作∠ABC的平分线BD，交AC于点D；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）若AD＝BD，求∠A的度数．
21．如图，B，C分别为射线BA，CD的端点，连接BC，按要求完成下列各小题．（保留作图痕迹，不要求写作法，标明各顶点字母）
（1）在BC的右侧，作∠BCE＝∠BCD，交射线BA于点E；
（2）在（1）的条件下，求作△CBF（点F在∠BCD内）使得△CBF≌△BCE．
22．初中数学教科书八年级上册第48页告诉我们一种作已知角的平分线的方法：
已知：∠AOB；
求作：∠AOB的平分线．
作法：（1）以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N；
（2）分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C；
（3）画射线OC，射线OC即为所求．
连接MC，NC，请你根据上述作法，证明射线OC为∠AOB的平分线．
23．如图，在△ABC中，按以下步骤作图：
①以点B为圆心，以大于BC的长为半径作弧，以点C为圆心，同样长为半径作弧，两弧分别相交于点M，N；
②过M、N两点作直线MN分别交AB、BC于点D、E，连接CD．
（1）则直线MN是BC的 　 　．
（2）若CD＝CA，∠A＝50°，求∠ACB的度数．
24．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，按如下步骤作图：
①分别以A和点B为圆心，大于AB长为半径画弧，两弧相交于M、N两点；
②作直线MN，交BC于点D，交AB于点E；
③连接AD．
请根据以上材料回答下列问题：
（1）图中所作的直线MN是线段AB的 　 　线；
（2）若AB＝4，则BE＝　 　；
（3）利用（1）中的结论解决问题：若AB＝10，AC＝6，求△ACD的周长．
答案
一、选择题．
1．
【分析】由全等三角形的判定定理即可得出结论．
【解析】如图，连接CD，CE，
由作法可知OE＝OD，CE＝CD，OC＝OC，
故可得出△OCE≌△OCD（SSS），
所以∠AOC＝∠BOC，
所以OC就是∠AOB的平分线．
故选：A．
2．
【分析】根据线段的和差定义判断即可．
【解析】∵AB＝a，BC＝b，
∴AC＝AB﹣BC＝a﹣b，
∴线段AC即为所求，
故选：A．
3．
【分析】由全等三角形的判定定理即可得出结论．
【解析】如图，连接CD，CE，
由作法可知OE＝OD，CE＝CD，OC＝OC，
故可得出△OCE≌△OCD（SSS），
所以∠AOC＝∠BOC，
所以OC就是∠AOB的平分线．
故选：A．
4．
【分析】利用平行线分线段成比例定理即可解决问题．
【解析】A、由平行线的性质可知：，推出ac＝bx．故本选项不符合题意．
B、由平行线的性质可知：，推出ac＝bx．故本选项不符合题意．
C、由平行线的性质可知：，推出ax＝bc．故本选项符合题意．
D、由三角形的面积公式可得：acbx，推出ax＝bx，故本选项不符合题意．
故选：C．
5．
【分析】根据三角形高线的定义：过三角形的顶点向对边引垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线解答
【解析】∵四个选项中只有AD⊥BC，
∴C正确．
故选：C．
6．
【分析】如图，过点D作DH⊥AB于H．证明DC＝DH＝2，可得结论．
【解析】如图，过点D作DH⊥AB于H．
∵AP平分∠CAB，DC⊥AC，DH⊥AB，
∴DC＝DH＝2，
∴S△ABD7×2＝7，
故选：A．
7．
【分析】由作图可知，MN垂直平分线段BC，推出DC＝DB，推出∠DCB＝∠B＝20°，推出∠ADC＝∠B+∠DCB＝40°，由CD＝AD，推出∠A＝∠ACD（180°﹣40°）＝70°，可得结论．
【解析】由作图可知，MN垂直平分线段BC，
∴DC＝DB，
∴∠DCB＝∠B＝20°，
∴∠ADC＝∠B+∠DCB＝40°，
∵CD＝AD，
∴∠A＝∠ACD（180°﹣40°）＝70°，
∵DC＝DA＝DB，
∴点D是△ABC是外心，
故选项A，B，D正确，
故选：C．
8．
【分析】利用线段的垂直平分线的性质解决问题即可．
【解析】由作图可知，DE垂直平分线段AB，
∴DA＝DB，
∴△BDC的周长＝BD+CD+CB＝AD+DC+CB＝AC+BC＝8+5＝13，
故选：B．
9．
【分析】利用全等三角形的性质以及线段的垂直平分线的判定解决问题即可．
【解析】由作图可知，在△OCD和△OCE中，
，
∴△OCD≌△OCE（SSS），
∴∠DCO＝∠ECO，∠1＝∠2，∠DCO＝∠ECO，
∵OD＝OE，CD＝CE，
∴OC垂直平分线段DE，
故①③④正确，
故选：B．
10．
【分析】根据过直线外一点作已知直线的垂线的步骤，结合三角形三边关系判断即可．
【解析】由作图可知，分别以点D和点E为圆心，以a为半径作弧，两弧交于点F，此时aDE，
故选：C．
二、填空题
11．
【分析】根据同位角相等两直线平行判断即可．
【解析】如图，
∵∠BEF＝∠DFG，
∴AB∥CD（同位角相等两直线平行），
故答案为：同位角相等两直线平行．
12．
【分析】利用基本作图得到OD＝OC＝OD′＝OC′，CD＝C′D′，然后根据全等三角形的判定方法求解．
【解析】由作法得OD＝OC＝OD′＝OC′，CD＝C′D′，
所以△COD≌△C′O′D′（SSS）．
故答案为SSS．
13．
【分析】直接利用基本作图方法得出MN垂直平分AB，进而得出答案．
【解析】由作图步骤可得：MN垂直平分AB，则AD＝BD，
∵BC＝5，CD＝2，
∴BD＝AD＝BC﹣DC＝5﹣2＝3．
故答案为：3．
14．
【分析】根据要求先画出图形，利用等腰三角形的性质以及三角形外角定理求出∠CDB和∠ACD即可．
【解析】直线MN如图所示：
∵MN垂直平分BC，
∴CD＝BD，
∴∠DBC＝∠DCB
∵CD＝AC，∠A＝50°，
∴∠CDA＝∠A＝50°，
∵∠CDA＝∠DBC+∠DCB，
∴∠DCB＝∠DBC＝25°，∠DCA＝180°﹣∠CDA﹣∠A＝80°，
∴∠ACB＝∠CDB+∠ACD＝25°+80°＝105°．
故答案为105°．
15．
【分析】根据作图过程得到BF是∠ABC的角平分线，BD＝BC，于是得到∠ABF＝∠CBF，根据等腰三角形的性质得到BF＝AF＝4，根据直角三角形的性质即可得到结论．
【解析】根据作图过程可知：
BF是∠ABC的角平分线，BD＝BC，
∴∠ABF＝∠CBF，
∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，
∴∠ABC＝60°，
∴∠ABF＝∠A＝30°，
∴BF＝AF＝4，
∴BCBF＝2，
∴BD＝BC＝2，
故答案为：．
16．
【分析】如图，过点G作GH⊥AB于H．根据角平分线的性质定理证明GH＝GC＝1，利用垂线段最短即可解决问题．
【解析】如图，过点G作GH⊥AB于H．
由作图可知，GB平分∠ABC，
∵GH⊥BA，GC⊥BC，
∴GH＝GC＝1，
根据垂线段最短可知，GP的最小值为1，
故答案为：1．
17．
【分析】由作图方法可知AD平分∠BAC，结合全等三角形的判定与性质进而得出BD＝DF，即可得出答案．
【解析】∵AB＝6，AC＝8，AF＝AB，
∴FC＝AC﹣AF＝8﹣6＝2，
由作图方法可得：AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，
在△ABD和△AFD中
，
∴△ABD≌△AFD（SAS），
∴BD＝DF，
∴△DFC的周长为：DF+FC+DC＝BD+DC+FC＝BC+FC＝9+2＝11．
故答案为：11．
18．
【分析】求出∠ACD，再利用角平分线的定义解决问题即可．
【解析】∵在△ABC中，∠A＝50°，∠B＝80°，
∴∠ACD＝∠A+∠B＝80°﹣50°＝130°，
由作图可知，CE平分∠ACD，
∴∠DCE∠ACD＝65°，
故答案为：65°．
三、解答题
19．如图，点C即为所求．
20．（1）如图，BD为所作；
（2）∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD∠ABC，
∵AD＝BD，
∴∠A＝∠ABD，
∴∠A∠ABC，
∵∠C＝90°，
∴∠A+∠ABC＝90°，
即∠A+2∠A＝90°，
∴∠A＝30°．
21．（1）如图，∠BCE为所作；
（2）如图，△CBF为所作．
22．根据角平分线的作法可知，OM＝ON，CM＝CN，
在△MOC与△NOC中，
，
∴△OMC≌△ONC（SSS），
∴∠AOC＝∠BOC，
∴OC为∠AOB的平分线．
23．（1）由作图可知，MN垂直平分线段BC．
故答案为：垂直平分线．
（2）∵MN垂直平分线段BC，
∴DB＝DC，
∴∠B＝∠DCB，
∵CD＝CA，
∴∠A＝∠CDA＝50°，
∵∠CDA＝∠B+∠DCB，
∴∠B＝∠DCB＝25°，
∴∠ACB＝180°﹣∠B﹣∠A＝180°﹣25°﹣50°＝105°．
24．（1）由作图可知，MN是线段AB的垂直平分线．
故答案为：垂直平分．
（2）∵MN垂直平分线段AB，
∴AE＝EBAB＝2，
故答案为：2．
（3）∵∠C＝90°，AB＝10，AC＝6，
∴BC8，
∵MN垂直平分线段AB，
∴DA＝DB，
∴△ADC的周长＝AC+CD+DA＝AC+CD+DB＝AC+CB＝14．