八年级数学上册试题 19.9.1勾股定理的逆定理（含解析） -沪教版

19.9.1勾股定理的逆定理
一、选择题．
1．在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对应边分别是a、b、c，下列条件中不能说明△ABC是直角三角形的是（　　）
A．b2＝a2﹣c2 B．∠C＝∠A+∠B
C．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 D．a：b：c＝5：12：13
2．在△ABC中，AC＝6，BC＝8，AB＝10，AD平分∠BAC交BC于点D，那么点D到AB的距离是（　　）
A．4.8 B．4 C．3 D．
3．三角形三边长分别为①3，4，5②5，12，13③17，8，15④1，3，2．其中直角三角形有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．下列各组数据是线段长，其中不能作为直角三角形的三边长的是（　　）
A．1，1， B．1， C．1，，2 D．
5．下列条件中，不能判定△ABC为直角三角形的是（　　）
A．a：b：c＝5：12：13
B．∠A：∠B：∠C＝2：3：5
C．a＝9k，b＝40k，c＝41k（k＞0）
D．a＝32，b＝42，c＝52
6．△ABC的三边为a，b，c且（a+b）（a﹣b）＝c2，则该三角形是（　　）
A．锐角三角形
B．以c为斜边的直角三角形
C．以b为斜边的直角三角形
D．以a为斜边的直角三角形
7．已知a，b，c分别为△ABC的三边长，则符合下列条件的△ABC中，直角三角形有（　　）
（1）a，b，c；（2）a2＝（b+c）（b﹣c）；（3）∠A：∠B：∠C＝3：4：5；（4）a＝7，b＝24，c＝25； （5）a＝2，b＝2，c＝4．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
8．已知a2﹣2a+1（c）2＝0，则以a、b、c为三边的三角形的面积为（　　）
A． B．1 C．2 D．
9．满足下列条件的△ABC，不是直角三角形的是（　　）
A．b2﹣c2＝a2 B．a：b：c＝5：12：13
C．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 D．∠C＝∠A﹣∠B
10.在学习“勾股数”的知识时，爱动脑的小明发现了一组有规律的勾股数，并将它们记录在如下的表格中．则当a＝24时，b+c的值为（　　）
a 6 8 10 12 14 …
b 8 15 24 35 48 …
c 10 17 26 37 50 …
A．250 B．288 C．300 D．574
二．填空题
11．有一个三角形的两边长是4和5，要使这个三角形成为直角三角形，则第三边长为　 　．
12．如果三角形的三边长分别为1，2，，那么这个三角形最大边上的中线长是　 　．
13．如图，四边形ABCD中，∠C＝90°，AD＝13，AB＝2，BC＝9，DC＝12，则四边形ABCD的面积为　 　．
14．如图，已知∠ADC＝90°，AD＝8m，CD＝6m，BC＝24m，AB＝26m，则图中阴影部分的面积为　 　．
15．若△ABC的三边长分别是1、、，则最长边上的中线长为　 　．
16．如图，在△ABC中，AB＝12，BC＝13，AC＝5，点D为BC的中点，则线段AD的长为　 　．
17．如图，正方形网格中，每一小格的边长为1．网格内有△PAB，则∠PAB+∠PBA的度数是　 　．
18．如图，在四边形ABCD中，点E为AB的中点，DE⊥AB于点E，AB＝6，，BC＝1，，则四边形ABCD的面积为 　 　．
三、解答题
19．如图所示，在四边形ABDC中，∠A＝90°，AB＝9，AC＝12，BD＝8，CD＝17．
（1）连接BC，求BC的长；
（2）判断△BCD的形状，并说明理由．
20．如图，在四边形ABCD中，AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13，∠B＝90°．
（1）连接AC，求证：△ACD是直角三角形；
（2）求△ACD中AD边上的高．
21．如图，△ABC中，BC的垂直平分线DE分别交AB、BC于点D、E，且BD2﹣DA2＝AC2．
（1）求证：∠A＝90°；
（2）若AB＝8，AD：BD＝3：5，求AC的长．
22．如图，每个小正方形的边长都为1，△ABC的顶点均在格点上．
（1）判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）求AB边上的高h．
23．已知：如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥BC，垂足为D，交AB于点E，且BE2﹣EA2＝AC2．
（1）求证：∠A＝90°；
（2）若AB＝8，BC＝10，求AE的长．
24．如图，在△ABC中，BC＝a，AC＝b，AB＝c，若∠C为直角，如图1，则有结论：a2+b2＝c2；当∠C为锐角（如图2）或钝角（如图3）时，请你完成下列探究：
（1）分别猜想∠C为锐角或钝角这两种情况下a2+b2与c2的大小关系；
（2）任选（1）中的一个猜想进行证明．
答案
一、选择题．
1．
【分析】利用直角三角形的定义和勾股定理的逆定理逐项判断即可．
【解析】A、b2＝a2﹣c2，即a2＝b2+c2，符合勾股定理的逆定理，能够判定△ABC为直角三角形，不符合题意；
B、∠C＝∠A+∠B，此时∠C是直角，能够判定△ABC是直角三角形，不符合题意；
C、∠A：∠B：∠C＝3：4：5，那么∠A＝45°、∠B＝60°、∠C＝75°，△ABC不是直角三角形，符合题意；
D、132＝52+122，符合勾股定理的逆定理，能够判定△ABC为直角三角形，不符合题意．
故选：C．
2．
【分析】过点D作DE⊥AB于E，根据勾股定理的逆定理得出△ABC是直角三角形，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得CD＝DE，再利用“HL”证明Rt△ACD和Rt△AED全等，根据全等三角形对应边相等可得AE＝AC，再利用勾股定理列式求出AB，然后求出BE，设CD＝DE＝x，表示出BD，然后利用勾股定理列出方程求解即可．
【解析】如图，过点D作DE⊥AB于E，
在△ABC中，AC＝6，BC＝8，AB＝10，
∴62+82＝102，
∴△ABC是直角三角形，∠C＝90°，
∵AD平分∠BAC，
∴CD＝ED，
在Rt△ACD和Rt△AED中，
，
∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），
∴AE＝AC＝6，
∴BE＝AB﹣AE＝10﹣6＝4，
设CD＝DE＝x，则BD＝8﹣x，
在Rt△BDE中，DE2+BE2＝BD2，
x2+42＝（8﹣x）2，
解得x＝3．
故DE的长为3．
故选：C．
3．
【分析】由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
【解析】①32+42＝52，符合勾股定理的逆定理，能构成直角三角形；
②52+122＝132，符合勾股定理的逆定理，能构成直角三角形；
③82+152＝172，符合勾股定理的逆定理，能构成直角三角形；
④12+（2）2＝32，符合勾股定理的逆定理，能构成直角三角形．
故选：D．
4．
【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．如果没有这种关系，这个就不是直角三角形．
【解析】A、12+12＝（）2，符合勾股定理的逆定理，故能作为直角三角形的三边长；
B、12+（）2＝（）2，符合勾股定理的逆定理，故能作为直角三角形的三边长；
C、12+（）2＝22，符合勾股定理的逆定理，故能作为直角三角形的三边长；
D、（）2+（）2≠（）2，不符合勾股定理的逆定理，故不能作为直角三角形的三边长．
故选：D．
5．
【分析】利用直角三角形的定义和勾股定理的逆定理逐项判断即可．
【解析】A、因为a：b：c＝5：12：13，设a＝5x，b＝12x，c＝13x，（5x）2+（12x）2＝（13x）2，故△ABC是直角三角形；
B、∠A：∠B：∠C＝2：3：5，且∠A+∠B+∠C＝180°，所以∠C＝180°90°，故△ABC是直角三角形；
C、因为（9k）2＝（41k）2﹣（40k）2，故△ABC是直角三角形；
D、因为（32）2＝（52）2﹣（42）2，故△ABC不是直角三角形．
故选：D．
6．
【分析】由题意可知：c2+b2＝a2，此三角形三边关系符合勾股定理的逆定理．
【解析】由题意，a2﹣b2＝c2，
∴b2+c2＝a2，
此三角形三边关系符合勾股定理的逆定理，
所以此三角形是以a为斜边的直角三角形．
故选：D．
7．
【分析】根据勾股定理的逆定理以及三角形的内角和定理进行逐项分析解答即可．
【解析】（1）由a，b，c可得，a2≠b2+c2，故△ABC不是直角三角形；
（2）由a2＝（b+c）（b﹣c）可得，a2+c2＝b2，故△ABC是直角三角形；
（3）由∠A：∠B：∠C＝3：4：5可得，∠C＝180°75°＜90°，故△ABC不是直角三角形；
（4）由a＝7，b＝24，c＝25可得，c2＝a2+b2，故△ABC为直角三角形；
（5）由a＝2，b＝2，c＝4可得，a+b＝c，故不能构成三角形．
故选：A．
8．
【分析】根据非负数的性质可得a、b、c的值，再利用勾股定理逆定理判定为直角三角形，然后再求面积即可．
【解析】∵a2﹣2a+1（c）2＝0，
∴（a﹣1）2＝0，0，c0，
∴a＝1，b＝2，c，
∵12+22＝（）2，
∴a2+b2＝c2，
∴△ABC是直角三角形，
∴三角形的面积为：1×2＝1，
故选：B．
9．
【分析】根据三角形的内角和定理和勾股定理逆定理对各选项分析判断利用排除法求解．
【解析】A、由b2﹣c2＝a2，可得：b2＝c2+a2，是直角三角形，故本选项错误；
B、由a：b：c＝5：12：13，可得（5x）2+（12x）2＝（13x）2，是直角三角形，故本选项错误；
C、由∠A：∠B：∠C＝3：4：5，可得：∠C＝75°，不是直角三角形，故选项正确；
D、由∠C＝∠A﹣∠B，可得∠A＝90°，是直角三角形，故本选项错误；
故选：C．
10．
【分析】先根据表中的数据得出规律，根据规律求出b、c的值，再求出答案即可．
【解析】从表中可知：a依次为6，8，10，12，14，16，18，20，22，24， ，即24＝2×（10+2），
b依次为8，15，24，35，48， ，即当a＝24时，b＝122﹣1＝143，
c依次为10，17，26，37，50， ，即当a＝24时，c＝122+1＝145，
所以当a＝24时，b+c＝143+145＝288，
故选：B．
二．填空题
11．
【分析】因为没有指明哪个是斜边，所以分两种情况进行分析．
【解析】①当第三边为斜边时，第三边；
②当边长为5的边为斜边时，第三边3．
12．
【分析】首先根据勾股定理的逆定理可判定此三角形是直角三角形，则最大边上的中线即为斜边上的中线，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，从而得出结果．
【解析】∵12+（）2＝4＝22，
∴三边长分别为1，2，的三角形是直角三角形，最大边是斜边为2．
∴最大边上的中线长为1．
故答案为：1．
13．
【分析】连接BD，利用勾股定理计算出BD长，再利用勾股定理逆定理证明△ABD是直角三角形，且∠A＝90°，然后再求四边形ABCD的面积即可．
【解析】连接BD，
∵∠C＝90°，BC＝9，DC＝12，
∴BD15，
∵AB2+AD2＝（2）2+132＝56+169＝225＝DB2，
∴△ABD是直角三角形，且∠A＝90°，
∴四边形ABCD的面积为：AB ADCB CD2139×12＝1354，
故答案为：1354．
14．
【分析】先根据勾股定理求出AC的长，再根据勾股定理的逆定理判断出△ACB为直角三角形，再根据S阴影AC×BCAD×CD即可得出结论．
【解析】在Rt△ADC中，
∵CD＝6m，AD＝8m，∠ADC＝90°，BC＝24m，AB＝26m，
∴AC2＝AD2+CD2＝82+62＝100，
∴AC＝10m，（取正值）．
在△ABC中，∵AC2+BC2＝102+242＝676，AB2＝262＝676．
∴AC2+BC2＝AB2，
∴△ACB为直角三角形，∠ACB＝90°．
∴S阴影AC×BCAD×CD10×248×6＝96（m2）．
故答案是：96m2
15．
【分析】先根据勾股定理的逆定理得出△ABC是直角三角形，再根据直角三角形斜边上的中线性质求出答案即可。
【解析】∵12+（）2＝（）2，
∴△ABC是直角三角形，斜边的长度是，
∴最长边（斜边）上的中线长为，
故答案为：。
16．
【分析】根据勾股定理逆定理可证明△ABC是直角三角形，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求解．
【解析】∵52+122＝132，
∴AC2+AB2＝BC2，
∴△ABC是直角三角形，∠BAC＝90°，
∵D为BC的中点，
∴ADBC．
故答案为：．
17．
【分析】延长AP到C，使AP＝PC，连接BC，根据勾股定理求出AC＝PC＝BC，PC2+BC2＝PB2，根据等腰三角形的判定和勾股定理的逆定理得出△PCB是等腰直角三角形，再得出答案即可．
【解析】
延长AP到C，使AP＝PC，连接BC，
∵AP＝PC，
同理BC，
∵BP，
∴PC＝BC，PC2+BC2＝PB2，
∴△PCB是等腰直角三角形，
∴∠CPB＝∠CBP＝45°，
∴∠PAB+∠PBA＝∠CPB＝45°，
故答案为：45°．
18．
【分析】连接BD，根据勾股定理的逆定理得出△BCD是直角三角形，进而利用三角形的面积公式解答即可．
【解析】连接BD，
∵点E为AB的中点，DE⊥AB于点E，AB＝6，，
∴EBAB＝3，
∴，
∵，即BD2+BC2＝CD2，
∴△BCD是直角三角形，且∠DBC＝90°，
∴四边形ABCD的面积，
故答案为：．
三、解答题
19．（1）∵∠A＝90°，
∴BC15；
（2）△BCD是直角三角形，
理由：∵BC2＝152＝225，
BD2＝82＝64，
CD2＝172＝289，
∴BC2+BD2＝CD2＝289，
∴△BCD是直角三角形．
20．（1）证明：连接AC，在Rt△ABC中，
AC2＝AB2+BC2＝32+42＝25，
∴AC＝5，
∵CD＝12，AD＝13，
∴AC2+CD2＝AD2，
∴∠ACD＝90°，
∴△ACD是直角三角形；
（2）解：过点C作CH⊥AD于点H，
则S△ACDAD×CHAC×CD，
∴13×CH5×12，
∴CH．
21．（1）证明：连接CD，
∵BC的垂直平分线DE分别交AB、BC于点D、E，
∴CD＝DB，
∵BD2﹣DA2＝AC2，
∴CD2﹣DA2＝AC2，
∴CD2＝AD2+AC2，
∴△ACD是直角三角形，且∠A＝90°；
（2）解：∵AB＝8，AD：BD＝3：5，
∴AD＝3，BD＝5，
∴DC＝5，
∴AC4．
22．（1）△ABC是直角三角形，
理由：AB5，
AC，
BC2，
∵（2）2+（）2＝52，
∴△ABC是直角三角形；
（2）∵S△ABCAC BCAB h，
∴25h，
∴h＝2．
23．（1）证明：连接CE，如图，
∵D是BC的中点，DE⊥BC，
∴CE＝BE，
∵BE2﹣EA2＝AC2，
∴CE2﹣EA2＝AC2，
∴EA2+AC2＝CE2，
∴△ACE是直角三角形，即∠A＝90°；
（2）解：∵AB＝8，BC＝10，
∴AC6，设AE＝x，
在Rt△AEC中，62+x2＝（8﹣x）2，
∴x，
∴AE的长为．
24．（1）猜想：若∠C为锐角时，a2+b2＞c2，若∠C为钝角时，a2+b2＜c2；
（2）当∠C为锐角时，a2+b2＞c2，证明如下：
如图，过点A作AD⊥CB于点D，设CD＝x，则BD＝a﹣x，
在直角三角形ACD中，AD2＝b2﹣x2，
在直角三角形ABD中，AD2＝c2﹣（a﹣x）2，
∴b2﹣x2＝c2﹣（a﹣x）2，即a2+b2＝c2+2ax，
∵a＞0，x＞0，
∴a2+b2＞c2，
当∠C为钝角时，a2+b2＜c2，证明如下：
如图，过点A作BC的垂线交BC的延长线于点M，CM＝y，则BM＝a+y，
在直角三角形ACM中，AM2＝b2﹣y2，
在直角三角形ABM中，AM2＝c2﹣（a+y）2，
∴b2﹣y2＝c2﹣（a+y）2，即a2+b2＝c2﹣2ay，
∵a＞0，y＞0，
∴a2+b2＜c2．