八年级数学上册试题 第19章《几何证明》单元测试（能力过关卷） -沪教版（含解析）

第19章《几何证明》单元测试（能力过关卷）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）．
1．下列说法错误的是　　
A．经过直线外的一点，有且只有一条直线与已知直线平行
B．平行于同一条直线的两条直线互相平行
C．两条直线被第三条直线所截，截得的同位角相等
D．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行
2．已知、、是的三个内角，下列条件不能确定是直角三角形的是　　
A．， B．
C． D．
3．在中，如果，那么的形状是　　
A．直角三角形 B．锐角三角形
C．等腰三角形 D．等腰直角三角形
4．如图，已知点、、在一直线上，、都是等边三角形，联结和，与相交于点，与相交于点，下列说法不一定正确的是　　
A． B． C． D．
5．在下列四个条件：①，②，③，④中，能确定是直角三角形的条件有　　
A．①③ B．①②③ C．①②④ D．①②③④
6．如图，是的平分线，点是上一点，点为直线上的一个动点．若的面积为9，，则线段的长不可能是　　
A．2 B．3 C．4 D．5.5
7．三角形三边长分别为①3，4，5②5，12，13③17，8，15④1，3，．其中直角三角形有　　
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．如图，、的平分线相交于，过点作，交于，交于，那么下列结论正确的是
①、都是等腰三角形；②；③的周长为；④．　　
A．③④ B．①② C．①②③ D．②③④
9．如图，在中，点在边上，垂直平分边，垂足为点，若，且，则的度数是　　
A． B． C． D．
10．勾股定理是人类最伟大的科学发明之一．如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大的正方形内，三个阴影部分面积分别记为，，，若已知，，，则两个较小正方形纸片的重叠部分（四边形的面积为　　
A．7 B．10 C．13 D．15
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
11．命题“线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”是 　　．（填“真命题”或“假命题”
12．写出命题“全等三角形对应边相等”的逆命题：　　．
13．如图，在等边的，边上各取一点，，使，，相交于点，则　　度．
14．如图，在中，，平分，若，，则的面积为 　　．
15．如图，四边形中，，，连接，，垂足为，，点是边上的一动点，则的最小值是 　　．
16．如图，中，的垂直平分线交于点，的垂直平分线交于点，若，则的周长为 　　．
17．长方形零件图中，，两孔中心，到边上点的距离相等，且，相关尺寸如图所示，则两孔中心，之间的距离为 　　．
18．如图，在中，平分，平分的外角，且平行交于，若，则的值为 　　．
三、解答题（本大题共8小题，共66分）
19．如图，，是上的一点，且，，求证：．
20．小明和同桌小聪在课后复习时，对练习册“目标与评定”中的一道思考题，进行了认真地探索．（思考题）如图，一架2.5米长的梯子斜靠在竖直的墙上，这时到墙的距离为0.7米，如果梯子的顶端沿墙下滑0.4米，那么点将向外移动多少米？
21．如图，在中，是边上的高线，的垂直平分线分别交，于点，．
（1）若，求的度数；
（2）试判断与的数量关系，并说明理由．
22．如图，是的角平分线，、分别是和的高．
（1）试说明垂直平分；
（2）若，，，求的长．
23．如图，在中，，，，动点、同时从、两点出发，分别在、边上匀速移动，它们的速度分别为，，当点到达点时，、两点同时停止运动，设点的运动时间为．
（1）当为何值时，为等边三角形？
（2）当为何值时，为直角三角形？
24．已知中，，如图，作三个等腰直角三角形，，，，，为斜边，阴影部分的面积分别记为，，，．
（1）当，时，
①求的值；
②求的值；
（2）请写出，，，之间的数量关系，并说明理由．
25．如图，在中，，，．动点从点开始沿边以的速度运动，动点从点开始沿边以的速度运动．点和点同时出发，当点到达点时，点也随之停止运动．设动点的运动时间为，解答下列问题：
（1）当为何值时，点在的垂直平分线上？
（2）在运动过程中，是否存在某一时刻，使是直角三角形？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
26．如图，中，过点，分别作直线，，且，过点作直线交直线于，交直线于，设，．
（1）如图1，若，分别平分和，求的度数；
（2）在（1）的条件下，若，，求的长；
（3）如图2，若，且，求的长．（用含，的式子表示）
答案
一、选择题．
1．
【分析】：应用平行公理进行判定即可得出答案；
：根据平行公理的推论进行判定即可得出答案；
：根据平行线的性质进行判定即可得出答案；
：根据平行线的判定进行判定即可得出答案．
【解答】解：项中应只有平行直线被第三条直线所载，同位角才相等，、、项正确．
故选：．
2．
【分析】根据各个选项给出的条件结合三角形内角和定理，即三角形内角和等于，推导出三角形中是否存在的内角．若存在，则是直角三角形．若不存在，则不是直角三角形．
【解答】解：选项，，
．
是直角三角形．
选项，
是直角三角形．
选项，，
．
．
是直角三角形．
选项，，
．
．
．
无法确定是直角三角形．
故选：．
3．
【分析】，则，，利用三角形内角和定理可得出关于的一元一次方程，解之即可得出的值，进而可得出，再利用直角三角形的性质即可得出为直角三角形．
【解答】解：设，则，，
依题意得：，
解得：，
．
为直角三角形．
故选：．
4．
【分析】由“”可证，可得，由“”可证，可得，由“”可证，可得，利用排除法可求解．
【解答】解：和均是等边三角形，
，，，
，，
在和中，
，
，
，，故选项不合题意，
，
在和中，
，
，
，故选项不合题意；
在和中，
，
，
，故选项不合题意，
故选：．
5．
【分析】根据直角三角形的判定对各个条件进行分析，即可得到答案．
【解答】解：①，
，
是直角三角形；
②，
，
，
是直角三角形；
③，
，
是直角三角形；
④，
，
为直角三角形．
能确定是直角三角形的有①②③④共4个，
故选：．
6．
【分析】根据三角形的面积得出的长，进而利用角平分线的性质解答即可．
【解答】解：过点作于，于，
的面积为9，，
，
是的平分线，
，
，
故选：．
7．
【分析】由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
【解答】解：①，符合勾股定理的逆定理，能构成直角三角形；
②，符合勾股定理的逆定理，能构成直角三角形；
③，符合勾股定理的逆定理，能构成直角三角形；
④，符合勾股定理的逆定理，能构成直角三角形．
故选：．
8．
【分析】由平行线得到角相等，由角平分线得角相等，根据平行线的性质及等腰三角形的判定和性质．
【解答】解：，
，，
是的平分线，是的平分线，
，，
，，
，都是等腰三角形．
，，即有，
的周长．
故选：．
9．
【分析】连接，根据线段垂直平分线的性质得到，推出，根据等腰三角形的性质得到，根据三角形的内角和即可得到结论．
【解答】解：连接，
垂直平分边，
，
，
，
，
，
，
，
故选：．
10．
【分析】根据勾股定理得到，根据正方形的面积公式结合图形得出阴影部分面积等于两个较小正方形纸片的重叠部分（四边形的面积．
【解答】解：设直角三角形的斜边长为，较长直角边为，较短直角边为，
由勾股定理得，，
，
，
故选：．
二．填空题
11．
【分析】根据线段垂直平分线的性质进行判断．
【解答】解：命题“线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”是真命题．
故答案为真命题．
12．
【分析】交换原命题的题设与结论得到原命题的逆命题．
【解答】解：命题“全等三角形对应边相等”的逆命题为“三组对应边相等的两个三角形全等”．
故答案为三组对应边相等的两个三角形全等．
13．
【分析】根据全等三角形的判定定理证得，则对应角，所以由三角形外角的性质求得．
【解答】解：如图，在等边中，，．
在与中，
，
，
．
，
．
故答案为：60．
14．
【分析】过点作于，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得，再利用三角形的面积公式列式计算即可得解．
【解答】解：如图，过点作于，
，平分，
，
的面积．
故答案为：5．
15．
【分析】由垂线段最短可得时，有最小值，三角形的内角和定理可得，再利用角平分线的性质可得，进而求解．
【解答】解：由垂线段最短可得时，有最小值，
，，，
，
，
，
的最小值为3．
故答案为3．
16．
【分析】根据线段垂直平分线的性质得到，，根据三角形的周长公式计算，得到答案．
【解答】解：的垂直平分线交于点，的垂直平分线交于点，
，，
的周长，
故答案为：15．
17．
【分析】如图，过作于，过作于，得到，根据余角的性质得到，根据全等三角形的性质得到，，设，根据勾股定理即可得到答案．
【解答】解：如图，过作于，过作于，
则，
，
，
，
，
，
，
，，
设，
，，
，
四边形是矩形，
，
，
，
解得：，
，
，
，
，
答：两孔中心，之间的距离为，
故答案为：．
18．
【分析】根据角平分线的定义推出为直角三角形，然后根据勾股定理求得，即可得出结果．
【解答】解：平分，平分，
，，
即，
又，平分，平分，
，，
，
，
由勾股定理得：．
三．解答题
19．证明：，
．
，
和是直角三角形，而．
20．解：在中，，，
米，
又，
，
在△中，米，
则米．
故：梯子底部外移0.8米．
21．解：（1），
，
垂直平分，
，
，
；
（2），
理由：，，
，
，
垂直平分，
，
，
，
．
22．解：（1）是的角平分线，，，
，
在和中，
，
，
，
而，
垂直平分；
（2），
，
，，
，
．
23．解：在中，，，
．
（1）当时，为等边三角形．
即．
．
当时，为等边三角形；
（2）若为直角三角形，
①当时，，
即，
．
②当时，，
即，
．
即当或时，为直角三角形．
24．解：（1）①是等腰直角三角形，，
，
；
②设与交于点，，，，
，
，是等腰直角三角形，
，，
设，
；
（2）设，
等腰直角三角形，，，
，，，
，
，
，
，
，
，
25．解：（1）若点在线段的垂直平分线上，则，
，，
，
解得：，
答：当时，点在线段的垂直平分线上；
（2）①若，
则是直角三角形，
，
，
，
，
，
②若，
则是直角三角形，
，
，
，
，
．
当或时，是直角三角形．
26．解：（1）如图1，平分，
，
同理，，
，
，
，
；
（2）如图1，在上取一点，使，连接，
在和中，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
；
（3）如图2，在上截取，连接，
，，
为等边三角形，
，，
，，
为等边三角形，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，，
，
．