八年级数学上册试题 19.5角的平分线（含解析）-沪教版

19.5角的平分线
一、选择题．
1．在三角形内部，且到三角形三边距离相等的点是（　　）
A．三角形三条角平分线的交点
B．三角形三边垂直平分线的交点
C．三角形三条中线的交点
D．三角形三条高线的交点
2．已知△ABC内一点M，如果点M到两边AB、BC的距离相等，那么点M（　　）
A．在AC边的高上 B．在AC边的中线上
C．在∠ABC的平分线上 D．在AC边的垂直平分线上
3．如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上的一个动点，若PA＝2，则PQ的最小值为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．如图，BM是∠ABC的平分线，点D是BM上一点，点P为直线BC上的一个动点．若△ABD的面积为9，AB＝6，则线段DP的长不可能是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5.5
5．如图，点P在∠ABC的平分线上，PD⊥BC于点D，若PD＝4，则P到BA的距离为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
6．点P在∠AOB的角平分线上，点P到OA边的距离等于10，点Q是OB边上的任意一点，下列选项正确的是（　　）
A．PQ＜10 B．PQ＞10 C．PQ≥10 D．PQ≤10
7．如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝6，连接BD，BD⊥CD，∠ADB＝∠C．若P是BC边上一动点，则DP长的最小值为（　　）
A．4 B．6 C．3 D．12
8．如图，E为∠BAC平分线AP上一点，AB＝4，△ABE的面积为12，则点E到直线AC的距离为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
9．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB于点E，则下列结论：①AD平分∠CDE；②∠BAC＝∠BDE；③DE平分∠ADB；④若AC＝4BE，则S△ABC＝8S△BDE．其中正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，过点O作EF∥BC交AB于点E，交AC于点F，过点O作OD⊥AC于点D，某班学生在一次数学活动课中，探索出如下结论，其中错误的是（　　）
A．EF＝BE+CF
B．点O到△ABC各边的距离相等
C．∠BOC＝90°+∠A
D．设OD＝m，AE+AF＝n，则S△AEFmn
二、填空题
11．如图，OC是∠AOB的角平分线，点P是OC上一点，PM⊥OB于点M，点N是射线OA上的一个动点，若PM＝7，则PN的最小值为　 　．
12．如图，已知点P是∠AOB角平分线上的一点，∠AOB＝60°，PD⊥OA于点D，M是OP的中点，DM＝6cm，如果点C是OB上一动点，则PC的最小值为　 　cm．
13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BD平分∠ABC，如果AC＝9cm，那么AD＝　 　cm．
14．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，BD平分∠CBA交AC于点D，DE⊥AB于点E，且△DEA的周长为2019cm，则AB＝　 　．
15．如图，△ABC中，BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC＝90，AB＝18，BC＝12，则DE＝　 　．
16．如图，△ABC中，AB＝8，BC＝10，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，若DE＝4，则三角形ABC的面积为　 　．
17．如图，已知∠MON＝80°，OE平分∠MON，点A、B分别是射线OM、OE上的点，且AB⊥OM，点C在射线ON上，联结AC交射线OE于点D．设∠OAC＝α，若△ADB中有两个相等的角，则α＝　 　．
18．如图，已知在△ABC中，CD是AB边上的高，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC＝5，DE＝2，则△BCE的面积等于　 　．
三、解答题
19．如图，OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，在OA上取一点C，连接PC，使PC＝OC，BPPC．
（1）求证：PC∥OB；
（2）求∠CPO的度数．
20．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BD平分∠ABC，AD＝10，求CD的长．
21．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝a，AC＝b，CD是△ABC的角平分线，DE⊥AC于点E，DE＝x．
（1）用两种方法计算△ABC的面积；
（2）探究a，b，x的关系，并用含有a，b的式子表示x．
22．已知：如图，BP、CP分别是△ABC的外角平分线，PM⊥AB于点M，PN⊥AC于点N．求证：PA平分∠MAN．
23．如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的外角的平分线相交于点P，连接AP．
（1）求证：PA平分∠BAC的外角∠CAM；
（2）过点C作CE⊥AP，E是垂足，并延长CE交BM于点D．求证：CE＝ED．
24．如图，△ABC中，点D在BC边上，∠BAD＝100°，∠ABC的平分线交AC于点E，过点E作EF⊥AB，垂足为F，且∠AEF＝50°，连接DE．
（1）求∠CAD的度数；
（2）求证：DE平分∠ADC；
（3）若AB＝7，AD＝4，CD＝8，且S△ACD＝15，求△ABE的面积．
答案
一、选择题．
1．
【分析】利用角平分线的性质进行判断．
【解析】在三角形内部，且到三角形三边距离相等的点是三角形三条角平分线的交点．
故选：A．
2．
【分析】根据角平分线的性质推出M在∠ABC的角平分线上，即可得到答案．
【解析】∵ME⊥AB，MF⊥BC，ME＝MF，
∴M在∠ABC的角平分线上，
故选：C．
3．
【分析】由垂线段最短可知当PQ⊥OM时PQ最小，当PQ⊥OM时，则由角平分线的性质可知PA＝PQ，可求得PQ＝2．
【解析】
∵垂线段最短，
∴当PQ⊥OM时，PQ有最小值，
又∵OP平分∠MON，PA⊥ON，
∴PQ＝PA＝2，
故选：B．
4．
【分析】根据三角形的面积得出DE的长，进而利用角平分线的性质解答即可．
【解析】过点D作DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，
∵△ABD的面积为9，AB＝6，
∴DE，
∵BM是∠ABC的平分线，
∴DF＝DE＝3，
∴DP≥3，
故选：A．
5．
【分析】从已知开始思考，根据角平分线的性质即可求解．
【解析】∵BP是∠ABC的平分线，PD⊥BC于点D，
∴点P到边AB的距离等于PD＝4．
故选：B．
6．
【分析】过P作PD⊥OB于D，根据角平分线的性质得出PC＝PD＝10，再根据垂线段最短得出即可．
【解析】过P作PD⊥OB于D，
∵PC⊥OA，PD⊥OB，OP平分∠AOB，
∴PC＝PD，
∵点P到OA边的距离等于10，
∴PD＝PC＝10，
∴PQ≥10（当Q与点D重合时，PQ＝10），
故选：C．
7．
【分析】根据垂线段最短得出当DP⊥BC时，DP的长度最小，求出∠ABD＝∠CBD，根据角平分线的性质得出AD＝DP＝6，即可得出选项．
【解析】∵BD⊥CD，
∴∠BDC＝90°，
∴∠C+∠CBD＝90°，
∵∠A＝90°
∴∠ABD+∠ADB＝90°，
∵∠ADB＝∠C，
∴∠ABD＝∠CBD，
当DP⊥BC时，DP的长度最小，
∵AD⊥AB，
∴DP＝AD，
∵AD＝6，
∴DP的最小值是6，
故选：B．
8．
【分析】根据三角形面积公式得出点E到直线AB的距离，利用角平分线上的点到角的两边的距离相等，即可求解．
【解析】∵AB＝4，△ABE的面积为12，
∴点E到直线AB的距离，
∵E为∠BAC平分线AP上一点，
∴点E到直线AC的距离＝6，
故选：D．
9．
【分析】根据题中条件，结合图形及角平分线的性质得到结论，与各选项进行比对，排除错误答案，选出正确的结果．
【解析】∵AD平分∠BAC，
∴∠DAC＝∠DAE，
∵∠C＝90°，DE⊥AB，
∴∠C＝∠DEA＝90°，
∵AD＝AD，
∴△DAC≌△DAE（AAS），
∴∠CDA＝∠EDA，
∴①AD平分∠CDE正确；
无法证明∠BDE＝60°，
∴③DE平分∠ADB错误；
∵BE+AE＝AB，AE＝AC，
∵AC＝4BE，
∴AB＝5BE，AE＝4BE，
∴S△ADB＝5S△BDE，S△ADC＝4S△BDE，
∴S△ABC＝9S△BDE，
∴④错误；
∵∠BDE＝90°﹣∠B，∠BAC＝90°﹣∠B，
∴∠BDE＝∠BAC，
∴②∠BAC＝∠BDE正确．
故选：B．
10．
【分析】根据角平分线的定义得出∠EBO＝∠OBCABC，∠OCB＝∠FCOACB，根据角平分线的性质得出OM＝OD＝ON，根据三角形内角和定理得出∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB），再逐个判断即可．
【解析】A、∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，
∴∠EBO＝∠OBC，∠OCB＝∠FCO，
∵EF∥BC，
∴∠EOB＝∠OBC，∠FOC＝∠OCB，
∴∠EOB＝∠EBO，∠FCO＝∠FOC，
∴OE＝BE，OF＝CF，
∴EF＝EO+FO＝BE+CF，正确，故本选项不符合题意；
B、过O作OM⊥AB于M，ON⊥BC于 N，
∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，OD⊥AC，
∴OM＝ON，OD＝ON，
∴OM＝ON＝OD，
即点O到△ABC各边的距离相等，正确，故本选项不符合题意；
C、∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，
∴∠OBC∠ABC，∠OCB∠ACB，
∴∠OBC+∠OCB（∠ABC+∠ACB）（180°﹣∠A）＝90°A，
∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180°﹣（90°∠A）＝90°A，错误，故本选项符合题意；
D、连接AO，
∵OD＝m＝OM，AE+AF＝n，
∴S△AEF＝S△AOE+S△AOF
AE×mm
m（AE+AF）
mn，正确，故本选项不符合题意；
故选：C．
二、填空题
11．
【分析】过P作PN'作OA于N'，根据垂线段最短可得PN⊥OA时，PN最短，再根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得PM＝PN'＝7，从而得解．
【解析】过P作PN'作OA于N'，
当PN⊥OA时，PN的值最小，
则PN＝PN'，
∵OC平分∠AOB，PM⊥OB，
∴PM＝PN'，
∵PM＝7，
∴PN'＝7，
∴PN的最小值为7，
故答案为：7．
12．
【分析】作PC′⊥OB于C′，根据直角三角形的性质求出PD，根据角平分线的性质解答．
【解析】作PC′⊥OB于C′，
则PC′为PC的最小值，
∵PD⊥OA，M是OP的中点，
∴OP＝2DM＝12cm，
∵P是∠AOB角平分线上的一点，∠AOB＝60°，
∴∠DOP＝30°，
∴PDOP＝6cm，
∵P是∠AOB角平分线上的一点，PD⊥OA，PC′⊥OB，
∴PC′＝PD＝6cm，
故答案为：6．
13．
【分析】过点D作DE⊥AB于E，根据角平分线的性质得到DE＝CD，根据直角三角形的性质得到DEAD，根据题意计算，得到答案．
【解析】过点D作DE⊥AB于E，
∵BD平分∠ABC，DE⊥AB，DC⊥BC，
∴DE＝CD，
在Rt△ADE中，∠A＝30°，
∴DEAD，
∴DCAD，
∵AC＝9cm，
∴AD＝6（cm），
故答案为：6．
14．
【分析】证明△BDC≌△BDE（AAS），再证明△ADE的周长＝AB即可解决问题．
【解析】∵BD平分∠CBA，
∴∠CBD＝∠ABD，
∵DE⊥AB，
∴∠ACD＝∠BED＝90°，
∵BD＝BD，
∴△BDC≌△BDE（AAS），
∴BC＝BE，DE＝DC，
∵BC＝AC，
∴AC＝BE，
∵AD+AE+DE＝AD+CD+AE＝AC+AE＝BE+AE＝AB＝2019（cm），
∴AB＝2019（cm），
故答案为2019cm．
15．
【分析】先根据题意作出相关的辅助线，根据角平分线上的点到角两边的距离相等，推出线段之间的关系，最后根据题意列出等式求解即可．
【解析】如图，
过点D作DF⊥BC，
∵BD是∠ABC的平分线，
∴DE=DF，
S△ABC=S△ABD+S△DBC=AB×EDBC×DF=DE×（AB+BC），
则：DE×（18+12）=90，
解得DE=6，
故答案为：6．
16．
【分析】根据角平分线的定义和性质和三角形的面积公式解答即可．
【解析】过D作DF⊥BC，
∵BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，DE＝4，
∴DF＝4，
∴△ABC的面积＝△ABD的面积+△DBC的面积，
故答案为：36
17．
【分析】根据角平分线的性质分三种情况解答即可．
【解析】如图，
∵∠MON＝80°，OE平分∠MON，
∴∠MOE∠MON＝40°，
∵AB⊥OM，
∴∠OAB＝90°，
∴∠1＝90°﹣∠MOE＝50°，
①当∠1＝∠2＝50°时，∠OAC＝∠OAB﹣∠2＝40°，
②当∠1＝∠3＝50°时，∠2＝180°﹣∠1﹣∠3＝80°，
∴∠OAC＝90°﹣∠2＝10°，
③当∠2＝∠3时，
∵∠1＝50°，
∴∠2＝∠3，
∴∠OAC＝90°﹣∠2＝25°，
综上所述，∠OAC的度数为10°或25°或40°，
故答案为：10°或25°或40°．
18．
【分析】过E作EF⊥BC于点F，由角平分线的性质可求得EF＝DE，则可求得△BCE的面积．
【解析】过E作EF⊥BC于点F，
∵CD是AB边上的高，BE平分∠ABC，
∴BE＝DE＝5，
∴S△BCEBC EF5×1＝5，
故答案为：5．
三、解答题
19．（1）证明：∵PC＝OC，
∴∠AOP＝∠CPO，
∵OP平分∠AOB，
∴∠AOP＝∠BOP，
∴∠BOP＝∠CPO，
∴PC∥OB；
（2）解：∵OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，
∴AP＝BP，
∵BPPC，
∴APPC，
∵PA⊥OA，
∴∠OAP＝90°，
∴∠ACP＝30°，
∵PC∥OB，
∴∠AOB＝∠ACP＝30°，
∵∠AOP＝∠BOP＝∠CPO，
∴∠CPO30°＝15°．
20．在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，∠A＝30°，
∴∠ABC＝60°，
∵BD是∠ABC的平分线，
∴∠ABD＝∠DBC＝30°，
∴∠ABD＝∠A，
∴BD＝AD＝10，
又∵∠DBC＝30°，
∴DCBD＝5．即DC的长是5．
21．（1）过D作DF⊥BC于F，
∵CD是△ABC的角平分线，DE⊥AC，
∴DF＝DE＝x，
∴S△ABCAC BCab；
S△ABC＝S△ADC+S△BCDbxax（a+b）x；
（2）由（1）知，ab（a+b）x，
∴x．
22．证明：作PD⊥BC于点D，
∵BP是△ABC的外角平分线，PM⊥AB，PD⊥BC，
∴PM＝PD，
同理，PN＝PD，
∴PM＝PN，又PM⊥AB，PN⊥AC，
∴PA平分∠MAN．
23．证明：（1）
过P作PT⊥BC于T，PS⊥AC于S，PQ⊥BA于Q，如图，
∵在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的外角的平分线相交于点P，
∴PQ＝PT，PS＝PT，
∴PQ＝PS，
∴AP平分∠DAC，
即PA平分∠BAC的外角∠CAM；
（2）∵PA平分∠BAC的外角∠CAM，
∴∠DAE＝∠CAE，
∵CE⊥AP，
∴∠AED＝∠AEC＝90°，
在△AED和△AEC中
∴△AED≌△AEC，
∴CE＝ED．
24．（1）解：∵EF⊥AB，∠AEF＝50°，
∴∠FAE＝90°﹣50°＝40°，
∵∠BAD＝100°，
∴∠CAD＝180°﹣100°﹣40°＝40°；
（2）证明：过点E作EG⊥AD于G，EH⊥BC于H，
∵∠FAE＝∠DAE＝40°，EF⊥BF，EG⊥AD，
∴EF＝EG，
∵BE平分∠ABC，EF⊥BF，EH⊥BC，
∴EF＝EH，
∴EG＝EH，
∵EG⊥AD，EH⊥BC，
∴DE平分∠ADC；
（3）解：∵S△ACD＝15，
∴AD×EGCD×EH＝15，即4×EG8×EG＝15，
解得，EG＝EH，
∴EF＝EH，
∴△ABE的面积AB×EF7．